Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

Matemàtiques per a Multimèdia I

Prova d’avaluació continuada 3 Jordi Llonch Esteve

Per a dubtes i aclariments sobre l'enunciat, heu de dirigir-vos al consultor responsable de la vostra aula.

Les respostes a les cinc primeres preguntes, així com l'explicació de l’exercici pràctic, han de lliurar-se com a un únic document .pdf

L’exercici pràctic haurà de lliurar-se com a un document de Flash (.fla)

Tots els arxius de la pràctica han de lliurar-se com un únic arxiu comprimit, .zip o .rar.

Cal lliurar la solució en un missatge en l'espai Lliurament i registre d'AC.

La data límit de lliurament és el divendres 20 de maig fins a les 24 hores.

No s'acceptarà com a resposta textos copiats literalment del material docent de l'assignatura. En cas d'usar-se altres fonts, la còpia literal tampoc serà acceptada i haurà de citar-se la font.

Propietat intel·lectual

Amb freqüència és inevitable, en produir una obra multimèdia, fer ús de recursos creats per terceres persones. És per tant comprensible fer-ho en el marc d'una pràctica dels estudis del Grau en Multimèdia, sempre i això es documenti clarament i no suposi plagi en la pràctica.

Per tant, en presentar una pràctica que faci ús de recursos aliens, haurà de presentar-se juntament amb ella un document en què es detallin tots ells, especificant el nom de cada recurs, el seu autor, el lloc en què es va obtenir i el seu estatus legal: si l'obra està protegida pel copyright o s'acull a alguna altra llicència d'ús (Creative Commons, llicència GNU GPL...). L'estudiant haurà d'assegurar-se que la llicència que sigui no impedeix específicament el seu ús en el marc de la pràctica. En cas de no trobar la informació corresponent haurà d'assumir-se que l'obra està protegida pel copyright.

A més, hauran d’adjuntar-se els arxius originals quan les obres usades siguin digitals, i el seu codi font si correspon.

Un altre punt a considerar és que qualsevol pràctica que faci ús de recursos protegits pel copyright no podrà en cap cas publicar-se a Mosaic, la revista del Grau en Multimèdia, tret que els propietaris dels drets intel·lectuals donin la seva autorització explícita.

Presentació i competències

Aquesta tercera pràctica d'avaluació continuada cobreix els mòduls 4,5 i 6 del programa de l'assignatura.

La prova està estructurada en un total de 5 exercicis teòrics i 1 exercici pràctic. La valoració de cada exercici està indicada al costat de l'enunciat del mateix.

Les competències que s'han d’adquirir en acabar la prova són:

Coneixement i aplicació dels aspectes bàsics de l'àlgebra vectorial i de sistemes de coordenades Coneixement i aplicació de les transformacions geomètriques afins Coneixement de les principals corbes i superfícies i les seves expressions paramètriques Aprendre a realitzar programació bàsica amb ActionScript per a la representació de corbes

Criteris d'avaluació Exercicis teòrics

Tots els exercicis han de ser presentats de forma raonada i clara, especificant tots i cadascun dels passos que s'hagin dut a terme per a la seva resolució. No s'acceptarà cap resposta que no estigui clarament justificada.

Exercici pràctic

És necessari documentar en cada apartat de l'exercici pràctic què s'ha fet i com s'ha fet. Això implica que s'ha d'enviar, a més del fitxer .fla, la documentació corresponent a cada apartat explicada en el mateix document .pdf on s’ha respost a les preguntes teòriques.

Enunciats

1. Poden ser base d’un espai vectorial bidimensional els vectors u1=(3,5) i u2=(6,10)? I d’un espai tridimensional els vectors v1=(3,5,2), v2= (2,3,4) i v3=(7,11,10)? Demostra-ho matemàticament. (2 punts)

Perquè els vectors u1 i u2 siguin base de l’espai vectorial bidimensional comprovarem que siguin linealment independents, és a dir, generarem una matriu formada pels dos vectors i comprovarem que la determinant sigui diferent a zero. En cas de ser zero, els vectors seran dependents i no podran ser base d’un espai vectorial bidimensional ja que se’n podrà formar un a partir de l’altre.

퐝퐞퐭(풖ퟏ,풖ퟐ) = 3 65 10 = 30 − 30 = ퟎ

Els vectors u1 i u2 no poden ser base d’un espai vectorial bidimensional perquè la seva determinant és zero.

En el cas dels vectors v1, v2 i v3 s’ha de complir el mateix que en l’anterior cas.

퐝퐞퐭(풗ퟏ ,풗ퟐ,풗ퟑ) =3 2 75 3 112 4 10

= 90 + 44 + 140− 42 − 100 − 132 = ퟎ

Els vectors v1, v2 i v3 no poden ser base d’un espai vectorial tridimensional perquè la seva determinant és zero.

2. Calculeu el mòdul (norma) dels vectors u1 i v1 de l’exercici anterior. Calculeu, si és possible, la suma vectorial d’ambdós vectors. (1 punt)

‖풖ퟏ‖ = 3 + 5 = √34 = ퟓ,ퟖퟑ

‖풗ퟏ‖ = 3 + 5 + 2 = √38 = ퟔ,ퟏퟔ

No és possible calcular la suma vectorial d’ambdós vectors, ja que tenen dimensions diferents.

3. En un espai tridimensional tenim dos punts, la posició dels quals ve definida pels vectors a=(3,5,2) i b=(-1,5,-1). Calculeu la distància entre els dos punts, el producte escalar a·b, el producte vectorial axb i el producte vectorial bxa. (2 punts)

Distància, d(a,b):

풅(풂,풃) = (−1− 3) + (5− 5) + (−1 − 2) = √25 = ퟓ

Producte escalar, a·b:

풂 · 풃 = (3 ∗ −1) + (5 ∗ 5) + (2 ∗ −1) = ퟐퟎ

Producte vectorial, a˄b:

풂 ∧ 풃 = (5 ∗ −1) − (5 ∗ 2), (−1 ∗ 2) − (3 ∗ −1), (3 ∗ 5) − (−1 ∗ 5) = (−ퟏퟓ,ퟏ,ퟐퟎ)

Producte vectorial, b˄a:

풃 ∧ 풂 = (5 ∗ 2) − (5 ∗ −1), (3 ∗ −1) − (−1 ∗ 2), (−1 ∗ 5)− (3 ∗ 5) = (ퟏퟓ,−ퟏ,−ퟐퟎ)

4. Considereu un objecte tridimensional qualsevol i un punt de l’objecte A, que anomenarem “centre” de l’objecte (tot i que no sigui el centre geomètric), i que té per coordenades (3,2,6) en un determinat sistema de coordenades de referència. Considereu un altre punt B de l’objecte, de coordenades (4,6,7). A quin punt B’ de l’espai haurem de representar el punt B de l’objecte si fem una reducció de la grandària de l’objecte a la meitat deixant invariant el punt A, una translació W=(2,2,2) i una rotació de 20º en sentit horari al voltant de l’eix X? (3 punts)

El primer pas és fer una translació de B a un nou centre de coordenades (0,0,0). Per fer-ho, li restem el vector w, que serà l’invers del centre del nostre objecte:

푤 = (−3,−2,−6)

푇 (퐵) = 퐵 +푤 = (4,6,7) + (−3,−2,−6) = (1,4,1)

Després fem la reducció:

푥′푦′푧′

=푝 0 00 푞 00 0 푟

푥푦푧

=0.5 0 00 0.5 00 0 0.5

141

=0.52

0.5

Després fem la translació inversa per retornar el punt a la posició inicial:

푤′ = (3,2,6)

푇 (퐵′′) = 퐵′′ +푤′ = (0.5,2,0.5) + (3,2,6) = (3.5,4,6.5)

A continuació fem la translació w=(2,2,2):

푇 (퐵′′′) = 퐵′′′+ 푤 = (3.5,4,6.5) + (2,2,2) = (5.5,6,8.5)

A continuació fem la rotació en sentit horari de 20º respecte l’eix X:

푥 = 푥푦 = 푦 cos푎 − 푧 sin푎푧 = 푦 sin푎 + 푧 cos푎

=푥 = 5.5

푦 = 6 cos(−20) − 8.5 sin(−20) = 8.55푧 = 6 sin(−20) + 8.5 cos(−20) = 5.94

Així doncs,

푩 = (ퟓ.ퟓ,ퟖ.ퟓퟓ,ퟓ.ퟗퟒ)

5. Considereu una corba definida en coordenades polars, de tal manera que la distància de cada punt a l’origen (el radi) és sempre dues vegades el valor de l’angle (en radiants) del seu vector de posició respecte l’eix X. Expresseu aquesta corba en coordenades cartesianes (x,y) en funció del paràmetre . (2 punts)

Per convertir les coordenades polars a cartesianes de la corba fem la parametrització d’aquesta.

푥(휑) = 2φ푐표푠휑

푦(휑) = 2φ푠푖푛휑

El radi és sempre dues vegades el valor de .

6. PRÀCTICA

CREACIÓ DE CORBES PARAMÈTRIQUES AMB FLASH

L’objectiu de la pràctica és conèixer les bases per a la creació de corbes paramètriques bidimensionals amb l’ordinador. Utilitzarem Adobe Flash CS5 i Actionscript 2.0

És important poder descriure una corba de manera paramètrica, és a dir, en funció d’un paràmetre. Això ens permetrà anar assignant valors a les coordenades x i y per tal que els punts de la corba es vagin dibuixant a la pantalla.

Un cop teniu la funció explícita d’una corba, és a dir, de la forma y=f(x), podeu obtenir directament la corba paramètrica per dibuixar-la. Anem donant valors reals al paràmetre t i tenim els valors de les coordenades x(t) i y(t) segons:

)(tfytx

Recordeu que una corba en coordenades polars r=f() també la podeu expressar fàcilment com a corba paramètrica en coordenades cartesianes fent

sin)(cos)(

fyfx

Teniu la forma paramètrica de diferents corbes al mòdul “Corbes i Superfícies” dels materials didàctics. En aquesta pràctica dibuixareu diferents corbes paramètriques amb Flash mitjançant una programació molt simplificada en Actionscript 2.0. Per fer-ho seguireu els següents passos

1. Obriu Adobe Flash Professional CS5.

2. Feu “Crear Nuevo Actionscript 2.0”. Us apareixerà un espai en blanc per dibuixar (un “escenari”) de 550x400px. Heu de tenir en compte que el sistema cartesià de coordenades d’aquest escenari té l’origen a la cantonada superior esquerra. L’eix de les X és positiu cap a la dreta, i l’eix de les Y és positiu cap a baix. Això és important, ja que haureu de fer una transformació de sistema de coordenades per dibuixar cada punt de la corba i de manera que tingui l’orientació convencional.

3. Aneu a la “Línea de tiempo”, us situeu sobre el primer fotograma (de la línia llarga de rectangles petitets, el de més a l’esquerra), feu clic amb el botó dret sobre ell i obriu el panell “Acciones” (o feu F9 en PC i ALT+F9 en Mac).

4. Copieu i enganxeu el següent codi:

//CIRCUNFERENCIA DE RADI R //definició de les propietats de la línia (gruix=2, color=0x0000FF, transparència=100)

_root.lineStyle(2, 0x0000FF, 100);

//coordenades del centre de l'escenari

xcentre=275; ycentre=200;

//determinem el radi de la circumferència

R=100

//càlcul del punt on comença la corba. Definim la variable i (el paràmetre de la corba) //i li donem el valor inicial 0 per calcular la posició del primer punt de la corba

var i:Number = 0;

//passem el paràmetre de graus a radians (en actionscript el nombre PI s'escriu Math.PI)

t=i*Math.PI/180

//escrivim l’expressió paramètrica de la corba (cosinus és Math.cos, i sinus Math.sin)

x=R*Math.cos(t) y=R*Math.sin(t)

//transformació de coordenades x,y a coordenades xf, yf de flash

xf=xcentre+x yf=ycentre-y

//posem el punt inicial de dibuix a les coordenades del punt inicial de la corba _root.moveTo(xf, yf);

//bucle per dibuixar la corba //el paràmetre i (graus) estarà entre 0 i 360, per tant posem la condició que el bucle //s'executi sempre que 0<i<360

while (i < 360) { t=i*Math.PI/180 x=R*Math.cos(t) y=R*Math.sin(t)

//transformació de coordenades x,y a coordenades flash

xf=xcentre+x yf=ycentre-y

//dibuixem el punt de coordenades (xf,yf) que està en funció del paràmetre t segons l'equació de la corba //i fem anar el bucle amb el comandament i++

_root.lineTo(xf, yf); i++; }

El codi correspon a la generació d’una circumferència de radi R=100 centrada al centre de l’escenari. Per executar-ho, feu ctrl+intro. Es generarà un fitxer .swf on obtindreu el resultat.

Estudieu bé el significat de les línies de codi i dibuixeu amb el mateix sistema i en un sol escenari (de manera que apareguin totes simultàniament) les següents corbes:

1. Una circumferència de radi 100 centrada en el centre de quadrant superior dret de l’escenari (heu d’arrodonir a valors sencers les coordenades). (2,5 punts)

Per fer aquesta part he copiat el codi que se’ns proporciona a l’enunciat i he canviat les coordenades del centre de la circumferència (arrodonint-les a valors sencers).

2. Una el·lipse de semieixos a=100 i b=50 centrada en el centre del quadrant inferior esquerra de l’escenari. (2,5 punts)

El codi de la el·lipse és similar a la de la circumferència. En aquest cas he eliminat la variable R i he afegit les variables a i b, que representen els semieixos. La fórmula serà diferent per a cada eix, ja que ara tenim dos semieixos, per això enlloc de multiplicar per R els dos eixos (com fem a la circumferència), aquí he multiplicat primer per “a” i després per “b”:

x=a*Math.cos(t) y=b*Math.sin(t)

També he canviat les coordenades del centre de l’el·lipse.

3. Una espiral d’Arquímedes centrada en centre del quadrant inferior dret de l’escenari. (2,5 punts)

La fórmula de l’espiral és similar a la de l’el·lipse. En aquest cas no tenim dos semieixos, així que he eliminat aquestes variables i n’he definit una altra, que he anomenat “a” i li he assignat el valor de 4, ja que així la mida entre línies de l’espiral feia que cabessin més voltes. En aquest cas, el valor de dins del “while” ha estat de 4 voltes, és a dir 360 * 4 = 1440. La fórmula de l’espiral és:

x=a*t*Math.cos(t) y=a*t*Math.sin(t)

També he canviat les coordenades del centre de l’espiral.

4. Una paràbola dins els marges del quadrant superior esquerre. Per a aquesta figura haureu de tenir en compte que el paràmetre i, tal com l’hem definit, només accepta valors positius, per la qual cosa haureu de construir la corba en dos passos, amb simetria axial. (2,5 punts)

La paràbola està formada per dues paràboles, les quals he anomenat paràbola 1 i paràbola 2. Són gairebé iguals, només he canviat la direcció de l’eix x, de tal manera que una és el reflex de l’altre o, en altres paraules, la simetria axial.

Per a fer la paràbola he definit les variables “f”, “g” i “h” a les quals he assignat valors. La fórmula de la paràbola és:

x=l; y=f*x*x + g*x + h;

També he canviat les coordenades de la paràbola.

Per desplaçar cada figura, podeu fer una translació del centre de coordenades en cada cas, redefinint (xcentre,ycentre) als nous valors respecte al sistema de coordenades de Flash.

Les quatre figures han d'aparèixer simultàniament en el mateix escenari, per la qual cosa podeu anar afegint blocs de codi, un sota l’altre, amb compte de redefinir les variables necessàries en cada cas. Heu d’entregar un sol document .fla amb tot el codi escrit en el panell d’accions d’un sol fotograma. No s’ha d’entregar el fitxer swf.