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Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional

53

Matemática 1 año

Capítulo I

Conjuntos. Elementos. Pertenencia.

Conjunto finito. Conjunto infinito. Conjunto unitario. Conjunto vacío.

Formas de definir un conjunto, conjunto definidos por formulas. Formas de

representar un conjunto. Relaciones entre conjuntos. El lenguaje coloquial.

Relación de inclusión.

Operaciones con conjuntos: unión intersección y diferencia.

Problemas de conteo. Diagramas de Carroll.

Capítulo II Operaciones con números naturales: suma, resta, multiplicación y división,

Propiedades.

Múltiplo y divisor de un número

Uso del paréntesis combinando operaciones.

Supresión de paréntesis, corchetes y llaves.

Lenguaje coloquial y simbólico.

Ecuaciones, problemas que se plantean mediante ecuaciones.

Capítulo III

Números enteros.

Representación y orden de números enteros : números opuestos, valor absoluto.

Operaciones con números enteros: suma, resta, producto, cociente, Potenciación,

radicación. Cálculos combinados en Z.

Propiedades de la radicación y potenciación, ejercicios combinados

Cuadrado de un binomio

Capítulo IV

Números Racionales:

Concepto de número racional: operaciones en Q, suma, resta,

multiplicación, división, potenciación, radicación. Ejercicios

combinados.

Producto y cociente de potencias de igual base, potencia de potencia. Ecuaciones en Q, Problemas que se plantean mediante ecuaciones. Capítulo V


54

Geometría:

Signos y símbolos.

Conjunto de puntos: punto, recta y plano. Definición de semirrecta

y segmento. Segmentos consecutivos. Suma de segmentos.

Ángulos, medidas de un ángulo convexos, llanos, cóncavos,

consecutivos.

Clasificación de los ángulos. Opuestos por el vértice.

Triángulos : definición. Elementos de un triángulo. Clasificación de los

triángulos según sus lados y sus ángulos.


55


56


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CONTENIDOS

Conjuntos. Elementos. Pertenencia.

Conjunto finito. Conjunto infinito. Conjunto unitario. Conjugo

vacío.

Formas de definir un conjunto, conjunto definidos por formulas.

Formas de representar un conjunto. Relaciones entre conjuntos. El

lenguaje coloquial. Relación de inclusión .

Operaciones con conjuntos: unión intersección y diferencia.

Problemas de conteo. Diagramas de Carroll.

Se llama conjunto a toda reunión de personas o agrupación de cosas,

objetos, animales, etc. Así el equipo de fútbol de Boca está formado por el

conjunto de sus jugadores. Se encuentra también en el diario “el conjunto

musical los Redondos” o un “conjunto de políticos viajó al exterior ”. Si se

habla de conjunto matemático responde al mismo concepto.

Ejemplo :

Conjunto de números pares.

Conjunto de figuras geométricas.

Conjunto de números dígitos.

Cada jugador de Boca es un elemento del conjunto Equipo de Boca.

Si Schiavi juega para Boca decimos que Schiavi es un elemento del conjunto

Boca y que Schiavi pertenece al conjunto.

Entonces entre cualquier elemento y el conjunto al que

pertenece se establece una relación llamada de pertenencia.

CONJUNTO

ELEMENTO

PERTENENCIA

NOTACION

Capítulo I


58

Notación

Ejemplo: Conjunto “Los Beatles” Lo llamamos conjunto A

Elementos: Ringo Starr. a A

John Lennon b A

Paul Mac Cartney c A

George Harrison d A

A = dcba ,,,

pertenece

PERTENENCIA

no pertenece

ELEMENTO

Denominación:

Letra imprenta

minúscula

Representación

gráfica:

CONJUNTO

Denominación:

Letra imprenta

mayúscula

Símbolo:

Representación

gráfica:

Diagrama de Venn


59

Ejemplo de conjunto vacío: (se llama fi ,es una letra griega, y se

parece a un cero tachado)

A es el conjunto formado por todos los chanchos que vuelan.

B es el conjunto formado por los triángulos de cuatro lados.

C es el conjunto formado por los meses del año que comienzan con G.

Ejemplo de conjunto unitario: C es el conjunto formado por el número que resulta de sumar 3+6

D es el conjunto formado por el número que representa mi edad .

E es el conjunto formado por los días de la semana que comienzan con L

Conjunto Universal: U es el conjunto al que pertenecen todos los

elementos de su especie. ( Se representa gráficamente mediante un

rectángulo)

Ejemplo si A = { a, b, c, d} su conjunto universal será U ={ las letras del

abecedario}

Cuando el conjunto es finito, se pueden enumerar todos sus elementos: (se

llama definirlo por extensión)

CONJUNTO

FINITO: tiene un

número finito de

elementos.

INFINITO: tiene un

número infinito de

elementos

Conjunto vacío: no

tiene elementos

ó {}

Conjunto unitario:

tiene un sólo

elemento

CLASIFICACIÓN

DE

CONJUNTOS


60

A

B

Ejemplo: 1) A conjunto de las vocales. Entonces

A = { a, e, i, o, u } ó gráficamente

2) B conjunto de los dígitos. Entonces

B = {0, 1;2;.3;4;5;6;7;8;9} ó gráficamente

Cuando el conjunto es infinito no se pueden enumerar todos sus

elementos, entonces para definirlo se recurre a alguna propiedad que

caracterice a los mismos: “números pares”, “números

impares”,“colores”, “frutas” etc. ( se llama definirlo por

comprensión) Para hacerlo más formal, no se dice A = { números pares}, como se

sabe que A esta formado por todos los pares, a cada uno de los

elementos de A se lo llama x, pero por pertenecer a A “x ”debe ser un

numero par, entonces (empezamos con la notación matemática, la que

se llama también lenguaje simbólico, ...a no asustarse)

A = {x / x es número par} Leyendo en voz alta: El conjunto A

esta formado por todos los elementos a los que llamamos x tal que (/)

x es un número par.

Seguimos con notación matemática. Coraje!!!!

10 15 se lee 10 es menor ó igual a 15

8 > 5 se lee 8 es mayor que 5

6 < 3 se lee 6 es menor que 3

9 = 9 se lee 9 es igual a 9

11 8 se lee 11 es mayor ó igual que 8

Los números que se utilizan para contar la cantidad de elementos de un

conjunto, se llaman números naturales.

Por convención designamos con la letra N al conjunto de dichos

números: N = {0; 1; 2; 3; 4;............}

1 5 8 9

4 7 6 2

3

8 9

6 3

7

a

e o

i u


61

a)Escriban los siguientes conjuntos por extensión:

A es el conjunto formado por los meses del año que tienen 30 días.

A={....................................................................................................................

.......}

B es el conjunto formado por los días de la semana.

B={....................................................................................................................

.......}

C es el conjunto formado por las vocales de la palabra ciudadano.

C={.............................................}

b) Coloquen según corresponda o

sábado A lunes B o C

junio A martes B e C

c) Proporcionen dos ejemplos de conjuntos vacíos recordando que se notan

con o {}.

...........................................................................................................................

.........

...........................................................................................................................

.........

d) Proporcionen dos ejemplos de conjuntos unitarios.

...........................................................................................................................

.........

...........................................................................................................................

.........

e) Coloquen según corresponda < = >

3 6 12 9+2 5-3 3-1

3-1 6-5 21 7 14 12+3

1


62

f) Proporcionen dos conjuntos finitos y dos conjuntos infinitos.

...........................................................................................................................

.........

...........................................................................................................................

.........

...........................................................................................................................

.........

...........................................................................................................................

.........

g) Escriban los siguientes conjuntos por comprensión.

F = { rojo, amarillo, azul}

..............................................................................................................................

.........

H = { cucarachas, hormigas, moscas, avispas,..........mosquitos}

..............................................................................................................................

.........

h) Escriban los siguientes conjuntos por extensión: x N

En general si a x b

Es un intervalo numérico, a y b son los extremos de dicho

intervalo; si a x esto implica que a está incluído en el intervalo, y si x

b quiere decir que b está también incluído en dicho intervalo.

En resumen:

1) Si a x b a está excluído del intervalo y b incluído

2) Si a x b a está incluído en el intervalo y b excluído

3) Si a x b los dos extremos están excluídos (tanto a como b)

4) Si a x b los dos extremos están incluídos (tanto a como b)

Ejemplos A = { x/x N 2 x 8 } definido por comprensión

A = { 3; 4; 5; 6; 7; 8 } definido por extensión

B = { x/x N 1 x 7 }

B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6}

C = { x/x N 4 x 9 }

C = { 4; 5; 6; 7; 8; 9 }

A = {x / x es número par y 3 < x < 12}


63

......................................................................................................................……

…..

B = { x / x es impar y 12 < x < 21}

..............................................................................................................................

......

C = { 14 x 23}

..............................................................................................................................

......


64


65

En diversas oportunidades, se trabaja con una parte de un conjunto, por

ejemplo si tomamos como conjunto universal “ el de todos los vinos”,

cuando decimos “prefiero el vino tinto para acompañar el asado”, solo

hablamos de una parte del conjunto U, en ese caso el conjunto de los vinos

tintos está incluído en el conjunto de todos los vinos.( en otras palabras el

conjunto de los tintos es parte del conjunto de todos los vinos).

Gráficamente: U ={ x/x son vinos} V ={ x/x vino tinto}

U

Simbólicamente:

V U Se lee V esta incluído en U, o bien U incluye a V

La relación de inclusión es una relación que se establece entre conjuntos.

Otro ejemplo:

A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 }

B = { 1; 3; 5; 7; 9 }

Pueden ver que B es parte de A entonces

Importante: El conjunto está incluido en cualquier conjunto A

V

A

B

1 5

9

3 7

4 6

2 8

INCLUSION

B A:


66

Si consideramos los elementos 2; 3 y 5 podemos decir que:

5 B; 2 A; 2 B;

3 B.

UNIÓN – INTERSECCIÓN - DIFERENCIA

Entre los conjuntos podemos realizar ciertas “operaciones”, las más

importantes son: unión, intersección y diferencia.

Dados dos conjuntos

A y B llamaremos unión de dichos conjuntos a otro conjunto C

formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.

Supongamos que A es el conjunto de todos los empleados de la oficina

de Personal que hablan ingles y B es el conjunto de los empleados de la

misma oficina que saben informática.

La pertenencia es una relación entre un elemento y un

conjunto.

OPERACIONES

ENTRE

CONJUNTOS

UNION


67

A = { Inés, Martín, Esteban, Jose, Ana} B = { Inés, Martín,

Sara,Juan, Isabel}

Si tenemos en cuenta la definición de Unión, A B = C

C = { Inés, Martín. Esteban , José. Ana. Sara. Isabel ,Juan}, como

vemos Inés y Martín que hablan inglés y también saben computación no se

repiten

Se define unión en forma simbólica :

A B = C = { x/x A x B} y se lee: Si se tienen dos conjuntos y se

realiza la unión de ambos, el resultado es otro conjunto formado por

todos los elementos x tal que x pertenece al primer conjunto “o” x

pertenece al segundo conjunto.

Si se observa que tanto Inés como Martín, pertenecen a ambos conjuntos,

pueden efectuar un gráfico mas preciso

A B

Martín

Inés

Martín

Inés

A B Martín

Inés


68

Cuando se dice que nos encontraremos en la intersección de Callao y

Corrientes, todos saben que se está hablando de la Esquina de Callao y

Corrientes, es decir donde se cruzan las dos calles, esa esquina pertenece

tanto a la calle Corrientes como a la calle Callao. Al referirnos a conjuntos

adoptamos el mismo criterio, entonces :

“Dados dos A y B llamaremos intersección de dichos conjuntos a otro

conjunto C formado por todos los elementos que pertenecen a A “y” a B.

Se define intersección en forma simbólica

A B = C = { x/x A x B} y se lee: Si se tienen dos conjuntos y

se realiza la intersección de ambos, el resultado es otro conjunto

formado por todos los elementos x tal que x pertenece al primer

conjunto “y” x pertenece al segundo conjunto.

Algunas uniones e intersecciones especiales:

U = U Justificando: Si se tiene un conjunto universal, por

ejemplo el de todas las frutas y le agregamos un conjunto vacío ( es decir

ningún elemento), se obtiene el conjunto de todas las frutas.

U = Justificando: Si se tiene un conjunto universal, por

ejemplo el de todas las frutas y buscamos elementos en común con un

conjunto vacío ( es decir ningún elemento), no se encontrarán elementos

que pertenezcan simultáneamente a ambos conjuntos por lo que el

resultado es conjunto vacío.

Cuando la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío, es decir no

tienen elementos en común se dice que los conjuntos son disjuntos o

disyuntos.

INTERSECCION


69

Ejemplo:

Dados A = { 1; 3; 5; 7; 9 } y B = { 1; 7; 9; 11; 13 } hallen A B ; A

B por extensión y mediante Diagramas de Venn.

A B = { 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13 }

A B = { 1; 7; 9 }

Se sabe que realizar una diferencia ( o también como lo llamamos

comúnmente realizar una resta) es sacar algo a otra cosa determinada.

Se llama diferencia entre A y B, al conjunto formado por todos los

elementos de A que no pertenecen a B. (es decir por todos los elementos

que pertenecen al primer conjunto y no al segundo) Al conjunto A se le

quitan todos los elementos del conjunto B.

En lenguaje simbólico: A - B = { x / x A x B }

Ejemplo:

Dados A = { 1; 3; 5; 7; 9 } y B = { 1; 7; 9; 11; 13 }

hallar A B ; A B ; A – B por extensión y mediante Diagramas de

Venn.

B A B A

3

5

1

7 9

11

13 3

11

13

5 7 1

9

A B A B

B A

7 11

13

3

5

1 9

A – B

DIFERENCIA

A - B

A B A - B

B


70

A – B = { 3; 5 } son los elementos que

pertenecen a A y no pertenecen a B

- ¿ A – B será lo mismo que B – A? Volvamos al

ejemplo anterior

A – B B – A

Conclusión: La diferencia entre dos conjuntos no es conmutativa

A – B B – A .

Se llama complemento de un conjunto A a otro conjunto formado por

todos los elementos que le faltan al conjunto A para llegar al universal

U.

B A

7 11

13

3

5

1

9

A – B

A B

7 5

3

13

11

1

9

B – A

A – B son los

elementos que

pertenecen a A

y no a B.

B – A son los

elementos que

pertenecen a B

y no a A.

A – B = { 3; 5 } B – A = { 11; 13 }

COMPLEMENTO

AAC


71

Ejemplo:

U = vocales A = { i, o, u } entonces complemeto de A = Ac = A = {

a ,e }

Gráficamente:

Para realizar la actividad N° 2 , primero trabajamos juntos

a

e

i o

u

U

A


72


73

1) Dados los siguientes conjuntos

A = {1; 3; 5; 7; 9} y B = {3; 7; 9; 11; 15}

Se pide (En forma gráfica y por extensión)

A B

A B

…………………………………………………………………….

…………………………………………………………………….

Dado el siguiente diagrama, sobrea en cada caso la situación indicada

a) PM

b) PM

c) U - PM

d) U - PM

Dado el siguiente diagrama, sombrea en cada caso la situación indicada

U

M

P

2


74

a) PM

b) ) PM

c) U - PM

d) U - PM

U

M

P


75

Vamos a resolver problemas ayudándonos con conjuntos y también con

diagramas de Carroll

El Diagrama de Carroll es una tabla o cuadro de doble entrada que se

emplea para resolver problemas de conteo.

Ejemplo 1

Se realiza una encuesta entre 62 empleados y se obtiene como dato que

26 de ellos han registrado inasistencias por asuntos particulares, 14

por enfermedad y 6 por ambas cosas.

Si se representa la situación planteada gráficamente mediante diagramas de

Venn, se obtiene:

Justificación:

6 por registrar inasistencias en ambos conceptos, se

ubican en la intersección de los dos conjuntos.

Si 26 han registrado inasistencias por asuntos

particulares, al tener ya en dicho conjunto a 6 personas para llegar a las 26

solo faltan 20, por lo que se coloca 20 en AP.

De igual manera procedemos con las inasistencias por

enfermedad, colocando 8 personas, pues 8 + 6 = 14.

Si se suman todos los elementos 20+14= 34, como los encuestados

son 62, se puede inferir que entre esas personas se encuentra algunas

que no registraron inasistencias que son 62-34=28, por lo que se

completa el conjunto U con 28 personas.

Ese mismo problema podría resolverse mediante el Diagrama de

Carroll.

PROBLEMAS

DE

CONTEO

Ap E

20 6 8

28


76

Inasistencia por

asuntos particulares

No por asuntos

particulares

TOTAL

Inasistencias por

enfermedad

6 8 14

No por enfermedad 20 28 48

TOTAL 26 36 62

Para realizar la actividad N°3, realizaremos juntos dos problemas

analizando bien cada paso a seguir.

Problema 1: En un club hay 250 socios que no practican ningún deporte, los que

practican solamente tenis 100 y los que practican solamente voley son 120.

En total hay 600 socios y sólo dos deportes que practicar.

1. ¿ Cuántos socios practican por lo menos un deporte?

2. ¿ Cuántos socios practican voley?

3. ¿Cuántos socios practican a lo sumo dos deportes?

Primero realizamos el diagrama de Venn.

Justificación:

Si hay 250 que no practican ningún deporte

entonces 600-250 = son los que practican deportes.

TRABAJAMOS

JUNTOS

120 130 100

V T

250


77

Si 100 solo tenis entonces, no van en la intersección de los dos

deporte al igual que los 120 que practican sólo voley.

como indica la primera cuenta , hay 350 personas que practican

algún deporte, entonces

350 – (120 + 100) = 130, que son los que practican los dos

deportes.

: Si le decimos a alguien “ debes

traer por lo menos 10 pesos para

la fiesta”, le estamos indicando que

como mínimo debe traer 10 pesos.

Luego si lo desea puede traer más de 10 pesos.

En nuestro ejemplo : por lo menos un deporte , son aquellas personas

que como mínimo practican un deporte, entonces nos sirven las que

practican 1 o más de 1.

Si le decimos a alguien “ debes traer a lo sumo 10 pesos para la

fiesta”, le estamos indicando que como máximo debe traer 10 pesos.

Luego si lo desea puede traer menos de 10 pesos.

En nuestro ejemplo : a lo sumo un deporte , son aquellas personas que

como máximo practican un deporte, entonces nos sirven las que

practican 1 o menos de 1, es decir los que no practican nada.

Teniendo en cuenta lo visto respondemos las preguntas:

1. (Por lo menos 1 es decir 1 ó más) 350

2. 250

3. (A lo sumo 2 es decir como máximo dos) 600

Problema 2

.

Por lo menos


78

Menor de 15

años

Entre 15 y 30

años

Mayor de 30

años

TOTAL

cadetes 19 68 180

socios 47 103 321

vitalicios 105

TOTAL 98 208 650

1. ¿ Cuántas personas son vitalicios?

2. ¿ Cuántas son menores de 15 o socios?

3. ¿ Cuántas son mayores de 30 o cadetes?

4. ¿ Cuántas son mayores de 30 y cadetes?

5. ¿ Cuántas de los mayores de 30 años son socios o cadetes?

6. ¿Cuántos de los que están entre 15 y 30 son socios?

7. ¿ Cuántos del total son vitalicios o mayores de 30?

8. ¿ Cuántos del total están entre 15 y 30 y son cadetes?

9. ¿ Cuántos de los cadetes están entre 15 y 30?

10. ¿ Cuántos de los vitalicios son mayores de 30?

11. ¿ Cuántos del total están entre 15 y 30 o son cadetes?

12. ¿ Cuántos del total están entre 15 y 30 y son vitalicios?

Primero completamos el cuadro:,

Justificación:

Si deben contestar cuantos son vitalicios, se busca en el cuadro

Vitalicios-Total.

“socios o menores de 15”, Si le decimos a una persona que debe

traer una sidra o una cerveza para la fiesta, con que traiga una de las dos

cumpliría con lo pedido, es decir que con una de las dos cosas alcanza.

En el caso de nuestro ejemplo “socios o menores de 15”, nos están


79

preguntando por todos los que sean socios o sean menores, entonces 32

socios + 98

menores = 419 .OJO. debemos tener en cuenta que 47 los estamos

sumando dos veces por lo tanto el resultado total sera. 419-47=372

“socios y menores de 15”, ”, Si le decimos a una persona

que debe traer una sidra y una cerveza para la fiesta, debe traer las dos

cosas para cumplir con lo pedido En el caso de nuestro ejemplo “socios

y menores de 15”, nos están preguntando por todos los que sean socios

y sean menores, las dos cosas simultáneamente, por lo tanto el resultado

total será.47

¿cuantos de los que están entre 15 y 30 son socios?, buscamos

entre los de 15 y 30 la cantidad de socios entonces el resultado será :

171

Teniendo en cuenta lo visto respondemos las preguntas:

1) 149 9) 68

2) 372 10) 12

3) 295 11) 98 + 180 - 19

4) 93 12) 105

5) 93+103

6) 171

7) 149+20 8-12

8) 68


80

En la oficina de personal y de recursos humanos se realiza una encuesta

para saber que cursos de capacitación quiere hacer cada empleado, la

propuesta planteada consta de tres cursos A, B y C , los resultados

obtenidos en la misma son :

Calcula

a)El número de personas encuestadas

b) El número de personas que solo consumen la marca A.

c) El número de personas que consumen al menos dos marcas.

d)El número de personas que no consumen las marcas A o B.

cursos A B C A y B B y C C y A A y B

y C

Ninguna

De las

tres

empleados 134 218 150 32 29 41 3 97

TRABAJAMOS

JUNTOS


81

Se entrevista a un cierto número de personas para investigar sobre

el servicio de video cable que utilizan; obteniéndose los siguientes

resultados:

160 contrataron M.

120 contrataron C.V.

150 contrataron T.

30 contrataron los tres

190 contrataron ninguno

40 contrataron M. y C.V.

70 contrataron C.V. y T.

50 contrataron M. y T.

¿Cuántas personas fueron encuestadas?

a) 520

b) 490

c) 384

M: Multicanal

T : Telecentro

C.V: Cable Visión

3


82

d) 470

e) 530

Problema 3

9,7,5,3,2A

5,4,3,2,1,0B

0,9,8,7C

6,5,4D

Graficar. Realizar cada una de las operaciones y expresarlas por extensión.

1) BA

2) DC

3) CB

4) DB

5) DCBA

6) CBA

7) CA

8) CB

9) BA


83

Operaciones con números naturales: suma, resta, multiplicación y

división, Propiedades.

Múltiplo y divisor de un número

Uso del paréntesis combinando operaciones.

Supresión de paréntesis, corchetes y llaves.

Lenguaje coloquial y simbólico.

Ecuaciones, problemas que se plantean mediante ecuaciones.

Inecuaciones, resolución de problemas.

Supongamos que a, b y c son números naturales, entonces se verifica que:

a + b = c

a y b son los sumandos o términos y c es la suma

Propiedades de la adición

ASOCIATIVA CONMUTATIVA

(a+b) + c = a + (b+c) a + b = b + a

(3+5) + 2 = 3 + (5+2) 5 + 2 = 2 + 5

PROPIEDAD ASOCIATIVA

Si se reemplazan dos o más sumandos por una suma efectuada la suma total

no varía.

PROPIEDAD CONMUTATIVA

Si se cambia el orden de los sumandos, la suma no varía.

OPERACIONES

ADICION-SUSTRACCION

MULTIPLICACION

DIVISIÓN

ADICIÓN

9 Sumando

3 Sumando

Suma

+

12


84

José va al supermercado , lleva en la billetera 3 billetes de $100 y 4 billetes

de $10 tenemos un total de:

3. $100 + 4 . $10 = $ 300 + $40 = $340 ( asociamos)

O bien podemos sumar sin agrupar

$ 100 + $ 100 +$ 100 + $ 10 + $ 10 + $ 10 +$ 10 = $340

Tambien obtendremos el mismo resultado si sumamos primero los billetes

de $ 10 y luego los billetes de $ 100. (conmutamos)

Restar de un número a un número b, es encontrar un número c tal que

sumado a b de por resultado el primer número.

En símbolos:

a - b = c entonces a = c + b

Ejemplo numérico:

9 -

Ambos son términos de una sustracción el número 5 es la resta o diferencia.

Propiedades de la sustracción:

La sustracción no es conmutativa.

¿Por qué?

Por que si se cambia el orden del minuendo y sustraendo, el resultado varía.

Pensemos en José que llevó al supermercado $340, si hace una compra de $

180, puede pagarla y aún le queda vuelto.¿cuánto?

$ 340 - $ 180 = $160

Si la propuesta fuera distinta, tiene $ 180 y gasta $ 340, el resultado de la

cuenta sería distinto y no podría hacer la compra dado que no le alcanzaría el

dinero.

$ 340 - $ 180 $ 180 -$ 340

9 minuendo

2 sustraendo

7 resta o diferencia

SUSTRACCIÓN


85

La multiplicación es una “suma abreviada”; Cuando sumamos los billetes

de $ 100 de José, en lugar de sumar $ 100 + $ 100 +$ 100, hicimos 3. $

100 (dado que tenía 3 billetes)

.

Indicamos la suma de n términos iguales a de esta forma:

a + a + a +............ + a

n términos

Definimos la multiplicación de a por n (n N)

a + a +..........+ a = a . n

número de términos

a . n = b

a y n se llaman factores y b es el producto

Propiedades de la multiplicación

ASOCIATIVA CONMUTATIVA

a. (b . c ) = ( a. b ) . c a . b = b . a

2. (5 . 7 ) = ( 2 . 5 ) . 7 8 . 5 = 5 . 8

Propiedad Asociativa:

Si se reemplazan dos o más factores en una multiplicación por su producto,

el resultado final no varía.

ejemplo: 2 . (3 . 5) = (2. 3) . 5

2 (15 ) = 6 . 5

30 = 30

Propiedad Conmutativa:

Si se cambia el orden de los factores, el producto no varía. Podemos

deducir lo siguiente: 2 . 3 = 3 . 2

MULTIPLICACIÓN


86

Expresar que el producto de dos números naturales distintos de cero, a y n

es igual a otro número natural b, es equivalente a afirmar que a está

contenido n veces en b, o que n está contenido a veces en b.

b : n = a entonces b = a . n (n o)

b es el dividendo, n es el divisor, a es el cociente exacto.

Como n puede no estar contenido un número exacto de veces en b es decir

si hacemos la división el resto no es cero se cumple

Primero lo vemos con un ejemplo numérico y luego en forma simbólica.

entonces 15 = 7 . 2

b = n . a + r

r es el resto de la división y tiene que ser necesariamente menor que el

divisor.

Propiedades de la división

NO ES CONMUTATIVA NO ES ASOCIATIVA

a : b b : a (a : b) : c a : (b : c)

2 : 4

½

(8 : 4) : 2 8 : (4 : 2)

1 4

DIVISIÓN

b 0 r a

división

resto

dividendo

cociente

15 2

14 7

1


87

Sigamos con José, que compró 3 tortas de frutilla, 2 kilos de frutillas, 6

botellas de vino blanco y 6 de vino tinto y 2 kilos de carne

¿Cuánto gastó?.

3 . + 2 + 6 + 6 + 3 =

3.5 + 2.3 + 6.4 + 6.4 + 3.3 = 78

¿Cuánto le dieron de vuelto si pagó con $ 100 ?

100 – 78 = 22

¿Cuántas botellas de vino blanco puede comprar con $ 10? ¿ cuánto

dinero le sobra?

$ 10 dividido 4 : comprará dos botellas y le sobrarán $ 2

Inventen dos compras de $ 130, en la que no le den vuelto.

10 tortas de $ 10 $ 100 5 kg pescado $ 20

6 botellas de $ 4 $ 24 8 kg carne $ 24

2 kilos de

frutillas $ 6

10 kg pescado $ 40

TOTAL $ 130 2 kg frutilla $ 6

10 botellas $ 40

TOTAL $ 130

4 c/u pesos

1 el kilo 5 c/u

3 el kilo

4c/u 4 c/u

3 el kilo 4 el kilo

TRABAJAMOS

JUNTOS


88

Si gastó la mitad del dinero que tenia ¿Cuánto le queda?

$ 340 : 2 = $ 170

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta.

La multiplicación es distributiva respecto de la adición y de la sustracción.

En general si a, b, c y n son números naturales cualesquiera.

( a + b - c ) . n = a . n + b . n - c . n a derecha

n ( a + b - c ) = n . a + n . b - n . c a izquierda

Ejemplo numérico:

( 8 + 4 - 1 ) . 4 = 8 . 4 + 4 . 4 - 1 . 4 = 32 + 16 - 4 = .....

4 . ( 8 + 4 - 1 ) = 4 . 8 + 4 . 4 - 4 . 1 = 32 + 16 - 4 = .....

El siguiente cálculo puede resolverse de dos formas diferentes:

La división no es distributiva respecto de la suma y de la resta, pues solo

puede realizarse a derecha.

MAS PROPIEDADES

Sin aplicar propiedad

distributiva

Aplicando propiedad

distributiva

( 8 + 4 - 1 ) . 4 =

11 . 4 = 44

( 8 + 4 - 1 ) . 4 =

8 . 4 + 4 . 4 - 1 . 4 =

32+ 16 - 4 = 44

4 . ( 8 + 4 - 1 ) =

4 . 8 + 4 . 4 - 4 . 1 =

32 + 16 - 4 = 24

RESOLVER


89

Resolver de dos formas distintas si es posible:

(2 + 4 + 1) . 3 =

(18 - 16 + 4) : 2 =

(300 - 20 - 15) : 5 =

Si el cociente entre 2 números naturales a y b es exacto, a es múltiplo de b

y b es divisor de a.

Es decir 18 dividido 3 = 6 , entonces 18 es múltiplo de 3, pues lo

podemos obtener multiplicando a 3 por otro número natural que en este

caso es 6. Además 3 es divisor de 18 pués al realizar la división el resto es

0.

Criterios de divisibilidad

Divisible por 2 Termina en 0,2,4,6,8 128

Divisible por 3 La suma de sus cifras es múltiplo

de 3

345

Divisible por 4 Sus dos últimas cifras forman un

número divisible por 4

124

Divisible por 5 Termina en 0 ó 5

135

Divisible por 6 Es divisible por 2 y por 3 a la vez 228

2. 3 + 4 . 3 + 1 . 3 = 21 ( 7 ) . 3 = 21

18: 2 - 16 : 2 + 4 : 2 = 3 ( 6 ) : 2 = 3

(265) : 5 = 53 300 : 5 - 20 : 5 - 15 : 5 = 53

MÚLTIPLOS Y

DIVISORES

TRABAJAMOS

JUNTOS


90


91

1) Averigua :

¿ cuándo un número es divisible por 10?

¿ y por 8 ?

¿ y por 11?

¿ y por 7?

2) Observen los siguientes números y sin hacer la división completen la

tabla:

2)Escriban los primeros siete números impares que son divisibles por 5.

3) Escriban un número impar entre 80 y 100 que se divisible por 3 y no por

5.

4) Señale un camino para ir de A a B, pasando por todos los cuadrados

cuyo cociente sea 12,

114 : 12 120 : 60 1.258 : 12 1.669:16

540 : 45 819 : 9 492 : 7 49 : 7

720 : 8 1.008 : 84 151 : 32 725 : 91

1.213 :12 124 : 3 432 : 36 276 : 23

1) Resolver los siguientes cálculos de dos formas distintas:

a) ( 30 – 4 – 17 + 51) . 3 =

42 36 17 27 61 51

8 16 15 80 24 21

Números divisibles

por 2

Números divisibles

por 3

Números divisibles

por 2 y 3

A B

4


92

Hamburguesa $ 1

Papas $ 2

Pancho $ 1

Pizza $ 3

Bebida $ 2

……………………………………………………………………….

.............................................................................................................

b) ( -3 + 11 + 10 –5 ). 7 =

.........................................................................................................…

……………………………………………………………………….

2) Los chicos van al buffet de la

escuela después de jugar el partido

de football, compran 5 pizzas,

12 panchos ,8 papas fritas, 16 bebidas.

¿ cuánto gastan?

¿ cuanto le dan de vuelto si

pagan con un billete de $ 100?

...........................…………………………………………………….

………………………………………………………………………

...............................………………………………………………….

………………………………………………………………………

3) Para navidad fuimos a comprar los regalos para toda la familia con $ 500.

Gastamos la mitad del dinero en una campera de cuero para Raúl porque además era

su cumpleaños, un par de zapatos para la abuela que costaron $ 36. También

compramos 5 pantalones de $ 36 cada uno. ¿cuánto dinero nos sobró?

.......................………………………………………………………..

.......................………………………………………………………..

........................…………………………………………………….…

…………………………………………………………………….…

4) Han ingresado a la repartición 137 personas, se las quiere repartir en tres oficinas

distintas, y si queda alguno irá temporariamente a mesa de entradas. ¿ Cuántas

personas irán a cada oficina?. ¿ Queda alguno para ser enviado a mesa de entradas?

..........................………………………………………………………

........................………………………………………………………..

.......................………………………………………………………...

………………………………………………………………………..

5) Completen el siguiente cuadro, sin hacer cuentas y justificando la respuesta

Divisible por 2 Divisible por 3 Divisible por 5 Divisible por 10

544

2.475

310

65.550

666


93

Retomemos la compra que efectuó José en el Supermercado.

¿Cuánto gastó?. Gastó $ 78

3 . + 2 + 6 + 6 + 3 =

3.5 + 2.3 + 6.4 + 6.4 + 3.3 = 78

¿Cuánto le dieron de vuelto si pagó con $ 100 ?

Podemos expresar el cálculo para responder, de dos formas distintas. 1 ) $ 100 - $ 15 - $ 6 - $24 - $ 24 – $ 9 = 22 Se restan todos los gastos al

dinero con el que se paga.

2) $ 100 – ( $ 15 + $ 6 + $ 24 + $ 24 + $ 9 ) = 22 Se suman los gastos

del luego se restan del dinero con el que se paga.

Como podemos observar los dos cálculos son equivalentes pues tienen el

mismo resultado, entonces si observamos podemos concluir:

“ para suprimir ( ) , { } ó precedidos por un signo – (menos)

debe cambiarse los signos de los números que se encuentran en su

interior, y para suprimir ( ) , { } ó precedidos por un signo +

(más), se efectúa la supresión sin cambiar ningún signo.”

Ejemplo:

- (3 + 7 ) + { 8 + 10} – 8 –( -6-1) =

PARÉNTESIS,

CORCHETES O

LLAVES.


94

1°) sacamos los paréntesis precedidos por – , cambiando los signos de los

números de su interior. El número 3 es positivo igual que el 7 , mientras

que el 6 y el 1 son negativos. Entonces;

- 3 – 7 + { 8 + 10 } – 8 + 6 +1 =

2°) sacamos las {} precedidas por un +, dejando todo como se encuentra:

3 – 7 + 8 + 10 – 8 + 6 +1 =

3°) se suman los positivos , se suman los negativos y se restan a los

primeros:

3 + 10 +6 +1 +8 – ( 7 + 8) =

28 – ( 15) =

4°) suprimimos el paréntesis y como se halla precedido por un signo – se

cambia el signo del número 15.

28 – 15 = 13

¿Cómo debe efectuarse la supresión si en el cálculo hay varios

paréntesis? Ejemplo:

( 3 - (-5 - 6 + ( 8 - 10)))=

En este caso también sigue vigente la regla anterior. Surge otra inquietud, ya

sabemos como sacarlos, lo que no tenemos en claro es cual sacar primero.

Regla: los ( ) , { } ó se suprimen de adentro hacia afuera.

1°) escribimos todo igual, hasta llegar + ( 8 – 10), que es el paréntesis mas

pequeño o bien el que está dentro de los otros. Como esta precedido por un

signo + se suprime sin variar nada.

( 3 - ( -5 - 6 + 8 - 10)) =

2°) nuevamente escribimos todo igual, hasta llegar - ( 5 + 6 + 8 – 10 ), que es

ahora el paréntesis mas pequeño o bien el que esta dentro del otro. Como esta

precedido por un signo - se suprime cambiando los signos:

( 3 + 5 + 6 - 8 + 10) =

3°) suprimimos el último y como no tiene ningún signo eso asegura que esta

precedido por un signo +, no cambiamos nada.

3 + 5 + 6 - 8 + 10 = 16


95

Ejemplo:

( -2 + 8) – ( - ( 4 + 5)) +10 =

1°) Los paréntesis 1 y 2 pueden sacarse simultáneamente,

podríamos decir que tienen la misma categoría, el primero esta

precedido por un + , por lo que se suprimirá sin variar nada y el 2

esta precedido por un - , entonces al suprimirlo se modificarán los

signos de los números que están en su interior.

-2 + 8 – ( -4 –5 ) + 10 =

2°) Faltaría suprimir los paréntesis 3, como están precedidos por un

signo - se cambian los signos:

-2 + 8 + 4 +5 + 10 = 25

1) 2 - (- 3 - 6 - 8 + 4) - (5 - 1 + 3) + 14 =

2 + 3 + 6 + 8 - 4 - 5 + 1 - 3 + 14 =

34 – 12 = 22

2) m - (- 2m + n + p) + (m + 4n + 5p) =

m + 2m - n - p + m + 4n + 5p =

4 m + 3 n +4p queda expresado de esta manera pues no se puede agrupar

letras distintas, se suman todas las p, todas las n y todas las m.

3) 7 + ( -5 + 8 ) – ( 2 + 5 ) + 4 =

7 – 5 + 8 – 2 + 5 + 4 =

7 + 8 + 4 – 5 – 5 –2 =

19 – 12 = 7

JUNTANDO LAS DOS

SITUACIONES:

2 1

3

TRABAJAMOS

JUNTOS

JERARQUÍA DE LAS

OPERACIONES


96

En las operaciones combinadas se deben tener en cuenta algunas reglas.

Las operaciones que se encuentran entre ( ) , { } ó se resuelven

primero.

Si no hay paréntesis los signos + ó – separan términos y se resuelven

primero las operaciones que hay dentro de cada término, siempre de

izquierda a derecha.

Por último se resuelven las sumas y restas, que se deben realizar

también de izquierda a derecha.

Ejemplo: Sugerencia : separar en términos

3 . 7 – ( 4 +10) + 10 : 2 . 5 + 7.5 =

1° se resuelve la operación que se encuentra entre paréntesis

3 . 7 – ( 14) + 10 : 2 . 5 + 7.5 =

2° se suprime el paréntesis como está precedido por un signo – se cambia el

signo.

3 . 7 – 14 +10 : 2 . 5 + 7.5 =

3° Se resuelve cada término.

21 – 14 + 25 +35 =

4° Se suman los positivos y se resta el negativo.

81 – 14 = 67

OTRO EJEMPLO.

45 : 5 – 7 + 8 + ( 4 . 3 : 6) =12

9 - 7 + 8 + ( 12 : 6 ) =12

9 - 7 + 8 + (2) =12

9 - 7 + 8 + 2 = 12

2° t 1° t 3° t 4° t


97

1) Resolver suprimiendo paréntesis:

a) 2 + (- 3 + 6 - 8 + 15) - (2 + 3 - 1) + 24 =

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………

b) 2 - (- 3 - 6 - 8 + 4) - (5 - 1 + 3) + 14 =

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………

c) - 2 -(- 8 + 7 - 5 + 4) - (6 - 7 - 8) - 1 =

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………

d) a + (b + c - f + g) - (- b - c + f + g) =

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………

f) t - ( - 2t + 6a - 4t) - (- 2t + 6 - 4a) =

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………

Calcular aplicando el orden de prioridad en las operaciones.

Separar en términos.

a) 28 - 2 . 5 + 4 =

b) 100 - 2 . 20 + 3 . 5 =

c) ( 8 + 20 ) . 4 - 3 . 4 =

d) 200 + 100 . 4 - ( 2 + 8 ) . 5 =

e) 400 - 2 ( 6 + 8 ) + 200 . 3 =

f) 40 - 10 . 2 + ( 8 - 2 ) . 5 =

5


98

4) Realicen las siguientes operaciones.

a) 9 . ( 64 – 20 ) +16

2539

.………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….

b) 10

400 + ( 7-30:5) + 12.6 =

.………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….

c) 720 - 6

54 + ( 34 - 8 ) – ( 13 –10 ) =

.………………………………………………………………………

……………………………………………………………………….

5) Coloquen los paréntesis adecuadamente para que el resultado sea correcto.

a) 2 + 3 - 6 = 30 b) 15 . 2 + 3 .7 = 345

c) 12 . 7 + 8 = 180 d) 4. 3 – 5. 32 + 14 : 2 = 8

6) Indiquen que número sumado a 11 da :

a) 41 b) 63 c) 87 d) 23

………………………………………………………………………..

Problema 1)

Si Pedro tiene 23 años y Aníbal 16, ¿cuántos años tendrá Aníbal

cuando Pedro tenga 58?

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………

Problema 2)

Pedro y Aníbal ganan por mes $ 340 y $ 217 respectivamente,¿cuánto gana su padre por

año , si gana $ 235 mas que los dos hijos juntos?

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………


99

Trabajamos juntos.

Un padre reparte 72 pesos entre sus tres hijos, Andrés, Tito y Betina.

De manera tal que a Tito le corresponde $ 1 más que a Andrés y a Betina $1

más que a Tito. ¿cuánto le corresponde a cada uno?

Se sabe que $ Andrés + $ Tito + $ Betina = $ 72 *

Pero $ Tito = $ Andrés + $ 1

Y $ Betina = $ Tito + $ 1 entonces $ Betina = $ Andrés + $1

Si reemplazamos en *

$ Andrés +$ Andrés + $ 1 + $ Tito + $1 + = $ 72

pero Tito = $ Andres + $ 1

Reemplazamos nuevamente

$ Andrés +$ Andrés + $ 1 +$ Andrés + $ 1 + $ 1 = $72

3 $ Andrés = $ 72 - $ 3

3 $ Andrés = $ 69 entonces si tres sueldos de Andrés equivalen a $ 69

$ Andrés = $ 69 : 3 = $ 23 ( es el sueldo de Andrés)

¿ cuanto le corresponde a los otros dos hijos?

…………………………………………………………………………………

……………………………………………………………

Por supuesto que para resolver el problema, escribiremos los cálculos

planteados en forma simbólica.

Andrés = x

Tito = x + 1

Betina = x + 1 +1


100

Entonces

x + x + 1 + x + 1 +1 = 72 3x = 72 - 3

Problema 2:

Para una fiesta infantil en un supermercado mayorista se compraron 120

cajas de galletitas, cada caja contenía dos docenas de paquetes y cada

paquete dos decenas de galletitas. Si al evento concurrieron 430 chicos ¿

cuantas galletitas le correspondió a cada uno? ¡cuantas sobraron?

Si la mitad eran de chocolate y el resto repartidas en partes iguales entre

frutilla y dulce de leche, ¿ cuántas había de cada gusto?

..............................................................................................................

.........................……………………………………………………….……

…………………………………………………………………..…………

……………………………………………………………..

Problema 3 :

Para llenar un tanque de 130 litros, se abrió una canilla que arroja 15 litros

por hora:

a)¿ Cuántos minutos tardará en llenarse?.

b) Si arroja agua durante 3 horas y media ¿ cuántos litros le faltan para

completar el tanque?

..............................................................................................................

.........................……………………………………………………….……

…………………………………………………………………..…………

……………………………………………………………..

Problema 4 :

Para la oficina de personal se compraron 123 cuadernos a $ 3 c/u, 25

resmas a $ 14 c/u , 10 cajas de gomas y 10 cajas de biromes a $ 2 cada una.

Si por pagar en efectivo se redujo el monto en $ 22 ¿ cuanto dinero se

pagó?

..............................................................................................................

.........................……………………………………………………….……

…………………………………………………………………..…………

……………………………………………………………..


101

Ecuaciones 1) 3x + 2 a –7xy => esta expresión se denomina expresión algebraica

pues esta formada por números y letras.

2) 3 + 2 => es una expresión numérica.

A partir de dos expresiones numéricas que representan el mismo número surge

la “igualdad numérica”

3 + 2 = 6 - 1

3) una igualdad donde figuren dos expresiones algebraicas o una expresión

algebraica y una numérica origina lo que se llama “ecuación”.

Ejemplos: 2 x + 3 y = 5 x + 2

2 x – 3 z s = 5

3 z3 = 16

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN :

Resolver una ecuación es hallar su solución.

La solución (o las soluciones) de una ecuación es el valor (o los valores) que

ha de tomar la incógnita para transformar la ecuación en una igualdad

numérica.

Ejemplo 1)

2 x + 4 y = 5 x + 2 si x = 2 e y = 2 2.2 + 4.2 = 5.2 + 2

12 = 12 entonces x = 2 e y = 2 son solución de esta ecuación.

Como podemos ver, se podría encontrar otras valores que al reemplazar sus

valores en la ecuación verifiquen la igualdad.

Ejemplo 2)

3x + 5 = 8 si x = 1

3.1 + 5 = 8 x= 1 es solución de la ecuación, cualquier otro

número que se reemplace no verifica la igualdad, si x = 8

3.8 + 5 = 8

24 + 5 = 8

LENGUAJE COLOQUIAL Y

LENGUAJE SIMBÓLICO


102

Cuando para resolver un problema se necesita plantear una ecuación, se

debe pasar del lenguaje coloquial al simbólico.

Ejemplo ¿cuál es el doble de la suma entre 8 y 3 ?

Como lo que se busca es el número que cumpla con esa condición, le

asignamos una letra , en general “x” y se la llama incógnita.

Entonces , el doble del número será 2x, y finalmente la ecuación que

representa el problema planteado será:

Otros ejemplos:

El doble de un número 2x

El triple o triplo de un número 3x

La mitad de un número x : 2

Un número par 2x (todo número multiplicado

por 2 sera par)

Un número impar 2x + 1 (si a un par se le suma

1 será impar)

El consecutivo de un número x + 1

El anterior de un número x -1

El producto de un número y su

consecutivo x. (x + 1)

La suma de tres número

consecutivos

x + (x +1) + (x + 2)

La décima parte de un número x : 10

La cuarta parte de un número X : 4

2 x = 8 + 3


103

Unir con flechas cada enunciado con la expresión simbólica correspondiente.

La mitad de la edad que tendré en 5 años 3x – x:2

El triple del consecutivo de un número. ( x + 5 ) : 2

El doble de un número dividido su consecutivo. 3 ( x+1)

El triple de un numero menos la mitad de ese 2 x : (x + 1)

numero.

RESOLVER ECUACIONES.

En toda ecuación se conocen algunos datos y se desconocen otros, que se

representan mediante letras y se llaman incógnitas. Como una ecuación es una

igualdad se puede pensar como una balanza en equilibrio, para conservar este

equilibrio se sabe q ue lo que se agregue o quite de un platillo debe agregarse o

quitarse del otro.

Entonces, como el objetivo es hallar el valor de la incógnita , efectuamos

operaciones en ambos platillos, aplicando lo que se conoce como propiedad

uniforme.

Propiedad Uniforme:

1) Si a ambos miembros de una igualdad se le suma o resta un mismo

número, la igualdad no varía.

2) Si a ambos miembros de una igualdad la multiplicamos o dividimos por

un mismo número (distinto de cero) la igualdad no varía.

2x+3 17 2x+3-3 17-3

2x 14 2x

2

14

2

7 x

TRABAJAMOS

JUNTOS


104

Para acortar la resolución en lugar de aplicar la propiedad uniforme se hace lo

que se conoce como “pasaje de términos”

Ejemplo 1

Resolvemos haciendo

pasaje de términos o Aplicando propiedad uniforme

2 . x = 4 2 x = 4

x = 4 : 2

x = 2

Ejemplo 2 Resolvemos: a) haciendo pasaje de términos, b) aplicando propiedad uniforme

x : 2 = 8 x : 2 = 8

x=8.2 (x : 2) . 2 = 8 . 2

x = 16 x . 2 = 16

x = 16

Ejemplo 3:

2 x – 1 = 9 separo en términos

2 x = 9 + 1 pasa el 1 con la operación inversa a la – o

sea +

2 x = 10 efectúo la suma (9 + 1 = 10)

x = 10 : 2 paso el 2 que está multiplicando; dividiendo

x = 5 efectúo la cuenta (10 : 2 = 5) es el resultado

ejemplo 4:

3x – 6 = 9

3 x = 9 + 6 pasa sumando

3 x = 15 se efectuó la suma (9+6=15)

x = 15 : 3 el 3 que estaba multiplicando pasa dividiendo

x = 5

multiplica

Pasa

dividiendo =

2 x 4 2 2 x 4 2

= x = 2

multiplica

divide

TRABAJAMOS

JUNTOS


105

ejemplo 5: 2 x – 1 = x + 8

En el ejemplo observamos que tenemos x en ambos miembros de la igualdad.

Cuando ocurre esto, se agrupan las x en un miembro (de un solo lado) para

poder calcular su valor.

¿Cómo se opera con la x?

(2 x – 1 x = x) “Si se tienen dos x y se le resta una x, entonces queda una

x”

Observar:

(otros ejemplos de agrupamiento de las x)

2 x – x = x

3 x – 2 x = x

2 x + x = 3 x

4 x - 2 x = 2 x

4x – 3 x = x

Seguimos con el ejemplo:

2 x – 1 = x + 8

2 x – x = 8 + 1 pasa el 1 sumando y la x restando

x = 9

otro ejemplo:

6x - 8 = 2x + 16

6x - 2x = 16 + 8

4x = 24

x = 24 : 4

x = 6

Nota: “cuando tenemos x en ambos miembros de una ecuación (es decir de

un lado del igual y del otro lado), debemos agrupar las x en un mismo

miembro (ya sea a la derecha o a la izquierda del igual), a los números que no

tienen x en el otro”

ejemplo:

4x - 2 = 2x + 18

4 x - 2x = 18 + 2 Ya agrupamos las x con las x , y los números con los números. Ahora sumamos o restamos respectivamente:

4x - 2x = 2x / 18 + 2 = 20

2x = 20

pasamos las 2x restando

resolvemos de ambos lados 6x - 2x = 4x y 16 + 8 = 24 el cuatro pasa dividiendo


106

x = 20 : 2

x = 10

Ejemplo 6: Manuel está en un delibery haciendo entregas a domicilio

viernes, sábados y domingos; trabaja 12 horas cada día y le pagan por hora

$x. Durante el fin de semana gastó $30 en un libro , el lunes contaba con

$690. ¿Cuánto cobra por hora de trabajo?.

1 día ————— 12 hs.

3 días ————— 12 x 3 = 36 horas

cantidad de horas que trabaja durante el fin de semana.

La ecuación buscada sería:

36 x – 30 = 690

Si la resolvemos:

36 x = 690 + 30

36 x = 720

x = 720 : 36

x = $20

Juan gana $20 por hora

Problema 2

En una editorial cada libro de una colección cuesta $6. La editorial por el

envío de una cierta cantidad de libros cobra un recargo de $15 en concepto

de flete.

Si una librería realiza un pedido y gasta por todo concepto (incluído el

flete) $375

¿Qué cantidad de libros solicitó?.

6 x + 15 = 375

6 x = 375 – 15

6 x = 360

x = 60

Respuesta: 60 libros.


107

Hallar la solución de las siguientes ecuaciones.

a) 2 ( x –4 ) = 5 ( x - 4 ) aplicamos la propiedad distributiva.

2 x – 2.4 = 5.x - 5.4

2 x – 8 = 5 x – 20 agrupamos las x con las x y los números con

20 – 8 = 5 x – 2 x

12 = 3 x

12 : 3 = x

4 = x

Verificamos, reemplazamos x = 4

2( 4 – 4 ) = 5 ( 4 – 4 ) 2.0 = 5.0

0 = 0

b) 2

5x + 6 = 10 separar en términos

2

5x = 10 - 6

2

5x = 4 para seguir despejando la incógnita x , observamos lo que

quedo escrito y para seguir pasando

b) y se va la segunda!!!!

3

62x = 4

2x-6 = 3.4

2x-6 = 12

2x= 12 + 6

2x = 18

x = 18 : 2 x = 9

c) 3

62x = x + 4


108

2x – 6 = 3 ( x - 4) propiedad distributiva. Como 3 divide a todo el primer

miembro cuando pasa al otro miembro multiplica a todo .el miembro

2x – 6 = 3 x - 3.4

2x - 6 = 3 x – 12 juntamos las x con las x y los números con los números. 12 – 6 = 3x –2x

6 = x


109

Pr

obl

em

a

1)

En el platillo de una balanza hay una caja, y en el otro, media caja y una

pesa de 1 kg. la balanza está en equilibrio. Escriban la ecuación que les

permita calcular el peso de la caja entera. (Sugerencia hacer el gráfico)

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………

Problema 2)

Resolver cada ecuación:

a) 103

52x

x b) 2x – 8 =

2

42x

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………

c) 2 ( x + 7 ) = x + 15 d) 4 ( x – 1) = 3 ( x + 2)

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………

………………………………………………………

e) 143

2x resolvemos juntos f ) 10

2

5x

2x = 14 . 3 (como 3 está dividiendo

pasa multiplicando)

x =2

42 (como 2 está multiplicando

pasa dividiendo)

En este caso se podía dividir primero y multiplicar después.

Problema 3)

6


110

La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo numero es el

doble del primero; el tercero, el doble del segundo y el cuarto, el

doble del tercero.¿cuáles son los números?

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

Problema 4)

La suma de dos números es 32 y uno de ellos es siete veces mayor

que el otro. Hallen los dos números.

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

Problema 5)

Los días de vacaciones que le corresponden a Juan son el doble

de las que le corresponden a María más cinco días ¿cuántos días le

corresponden a cada uno?

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………


111

Números enteros:

Representación y orden de números enteros : números opuestos, valor

absoluto.

Operaciones con números enteros: suma, resta, producto, cociente,

Potenciación, radicación. Cálculos combinados en Z.

Propiedades de la radicación y potenciación, ejercicios combinados

Cuadrado de un binomio.

¿Cómo surge la necesidad de definir otro conjunto numérico , además del

conjunto de los naturales (N) con el que ya hemos trabajado?

Cuando hablamos de arriba o abajo, antes o después etc. estamos

estableciendo puntos de referencia.

Muchas veces en situaciones de la vida cotidiana establecemos esos puntos

aunque no lo hagamos concientemente. Por ejemplo ... “El cerro Gris tiene

235 m de altura”, ..... “ en Puerto Madryn la sensación térmica es de 5

grados bajo 0 ,......si subimos a un ascensor y deseamos ir al segundo

subsuelo apretamos el botón -2

En el primer caso el punto de referencia es el nivel del mar al que llamamos

0 metros, a partir de dicho punto, los que se encuentren por encima del

mismo serán positivos y los que se encuentren debajo negativos. Entonces si

se dice 100 m se estará hablando de una altura de 100m y si se dice - 100 m

todos comprenderán que se trata de una profundidad de 100 metros. En el

caso de las temperaturas será 0° , en el ejemplo del ascensor será la PB.

Surge entonces la necesidad de un nuevo conjunto de números llamado

conjunto de los números enteros, que se nota con la letra Z.

NÚMEROS

ENTEROS

50 m

100 m

150 m

200 m

-50 m

-100 m

-150 m

0 m

Nivel del mar

35°C

22°C

-5°C

3

2

1

0

-1

-2

PB

Subsuelos


112

Al conjunto formado por los números naturales o enteros positivos, los

enteros negativos y el 0 lo llamamos conjunto de los números enteros y lo

indicamos con:

Z = {......-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,......}

Vamos a ver varios ejemplos.

Ejemplo N° 1

(volvamos a José y el supermercado).

José compró 3 tortas de frutilla, 2 kilos de frutillas, 6 botellas de vino blanco y

3 de vino tinto y 2 kilos de carne y gastó $ 78, ¿ que hubiera pasado sin en lugar

de pagar con $ 100, pagaba con $ 50 ?

En realidad no hubiera podido hacer la compra pues el gasto superaría al dinero

que tiene, la deuda sería de $ 28 y para indicar que es una deuda diriamos - $ 28.

No es lo mismo decir tengo $ 28 que debo $ 28, por eso la deuda se escribirá

como - $ 28.

28$

78$

50$

Ejemplo N° 2

Pablo está preocupado pues acaba de recibir el resumen de su cuenta bancaria

con una deuda de $ 4500.

A los diez días, va al banco y paga $ 1.200 en efectivo. Cuando al mes

siguiente le llega el resumen bancario observa lo siguiente:

Banco Irlandés Cuenta Nº

0000507/8

Señor: Pablo González Ahorro y Servicios

Deuda Anterior

Pago en Efectivo

Interés por

deuda

Fecha

10-03-04

20-03-04

15-03-04

- 4500.-

- 150.-

1200.-

SALDO AL 31-03-04 - 3450.-


113

Pablo miró el resumen y observó que todavía debía $

¿Cómo llegó el banco a esa suma?

Pablo leyó una y otra vez el resumen, buscó lápiz, papel y comenzó a

anotar.

debía $ 4.500.-

pagué - $ 1.200.-

debo $ 3.300.-

debo intereses + $ 150.-

$ 3.450.-

Sin embargo, el banco había hecho la cuenta de otro modo: deuda

anterior (- 4500) + intereses por deuda (- 150), el cliente debe (- 4650); pagó

$1200, debe entonces (- 3450). El cliente sigue debiendo por que lo que

pagó es menor que su deuda.

Debe

–

4500 – 150 = - 4650

Pagó - 4650 + 1200 = - 3450

En general los números enteros se representan en una recta en la que se

marca el 0 (cero) y un segmento unidad con el objeto de fijar el punto de

referencia. En dicha recta a partir del cero hacia la derecha, estarán

representados los números positivos y del cero hacia la izquierda los

números negativos. El 0 no es ni positivo ni negativo. Teniendo en cuenta lo

expuesto cualquier número de la recta numérica es mayor que otro que se

encuentre a su izquierda.

El orden de los naturales se establece de la siguiente forma

1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 .........

Representación

y orden

de números

enteros

-3 -2 -1 0 1 2 3

negativos positivos


114

El orden de los enteros se establece de la siguiente forma

-8< -7 < -6 < -5 < -4 < -3 < -2< -1 < 0 < 1 <2 <3 <4 <5 ......

Si consideramos en la recta numérica, –2 y 2 están a la misma distancia del

cero.

A estos números se los denomina números opuestos

Números opuestos: Se denomina así a los números cuya distancia al cero es

la misma.

Módulo o valor absoluto de un número:

La distancia entre cualquier número entero y el cero se denomina valor

absoluto o módulo.

En cualquier número se pueden distinguir dos propiedades

1) su signo. ( positivo o negativo).

2) su valor absoluto o módulo (cantidad de unidades que ocupa en la

recta numérica).

ejemplo: El módulo de - 2 = 2 (ocupa dos unidades)

y el módulo de 2 = 2 aunque ambos tienen distinto signo tiene

igual modulo

Módulo se representa por medio de dos barras donde queda encerrado el

número.

22

El número que esta dentro del modulo puede ser positivo o negativo, pero el

modulo de cualquier número (sea positivo o negativo) es positivo, pues se

asocia al concepto de distancia, y las distancias son siempre positivas.

Ordenar de menor a mayor los siguientes números:

-15; 4; -7; 2; 9; -20; 5; 0; 1; -12; -1; 3; 20.

-20; -15; -12; -7; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 9; 20.

..........................................................................................................................

Ordenamos de menor a mayor:

-2; 7; 0; 45; -1;-32; 20; 17; 8.

.............................................................................................................................

.


115

Problema 1)

Dibujen una recta numérica y ubiquen los siguientes números.

a) Marquen con un color los números naturales y con otro los números

enteros.

b) Marquen si existen pares de números opuestos.

c) Indiquen el módulo o valor absoluto de cada número.

-5 , -9, 3, 8, -5, 7, 2 ,–2 ,-7,

................................................................................................................

................................................................................................................

................................................................................................................

................................................................................................................

................................................................................................................

Problema 2)

Completen el siguiente cuadro

número opuesto módulo consecutivo doble

5

7

- 6

-12

Problema 3)

Si tenemos en cuenta los años mas importantes en la vida de Juan:

Nació 1951

Terminó la primaria 1963

Terminó la secundaria 1968

Se recibió de abogado en 1975

Se casó en 1978

Tuvo su primer hijo en 1980

7


116

Tuvo su segundo hijo en 1983

Se divorció en 1999

Tomen como punto de referencia el año en el que terminó la secundaria e

indiquen mediante un número entero cuantos años antes o después

ocurrieron los otros acontecimientos.

Nació

Terminó la primaria

Terminó la secundaria

Se recibió de abogado

Se casó

Tuvo su primer hijo

Tuvo su segundo hijo

Se divorció

Problema 4)

En un edificio de Belgrano, en el ascensor la PB esta indicada con el 0, y los

subsuelos con números negativos.

Completen el siguiente cuadro.

Sube en el piso Viaja en el ascensor Baja en el piso

-3 5 pisos hacia arriba

4 5 pisos hacia abajo

6 pisos hacia arriba 4

7 pisos hacia abajo -3

8 0

-2 8


117

Suma y resta

Para sumar y restar dos números enteros se tiene 8 posibilidades

Suma de dos enteros positivos. ( + 3 ) + ( + 4 ) 3 + 4 = 7

Resta de dos enteros positivos. ( + 3 ) - ( + 4 ) 3 – 4 = - 1

Suma de dos enteros de distinto signo. ( + 3 ) + ( - 4 ) 3 – 4 = -1

( - 3 ) + ( + 4 ) - 3 + 4 = 1

Resta de dos enteros de distinto signo. ( - 3 ) - ( + 4 ) - 3 – 4 = - 7

( + 3 ) - ( -4 ) 3 + 4 = 7

Suma de dos enteros negativos. ( - 3 ) + ( - 4 ) - 3 – 4 = -7

Resta de dos enteros negativos. ( - 3 ) - ( - 4 ) - 3 + 4 = 1

Si recordamos lo visto en el capitulo anterior, para sumar o restar

enteros operamos igual que con naturales, eliminamos los paréntesis

y luego se opera.

-2 + 3 – 5 + 4 – 8 + 2 – 7 + 6

A esta sucesión de sumas y restas en Z, se la conoce con el nombre de

suma algebraica. ¿Cómo se resuelve?

Agrupamos los números positivos por un lado y los negativos por otro de

la siguiente manera:

(3 + 4 + 2 + 6 ) - ( 2 + 5 + 8 + 7 ) =

positivos negativos

Como existe un – delante de un paréntesis significa que son negativos a

pesar de que dentro del paréntesis figuren como positivos.

( 15 ) - ( 22 ) = 15 - 22 = -7

Si la suma de los positivos es mayor que la de los negativos, entonces el

resultado final, será positivo.

Si la suma de los positivos es igual a la de los negativos, entonces el

resultado final será 0.

OPERACIONES

FUNDAMENTALES

CON NÚMEROS

ENTEROS


118

Si la suma de los negativos es mayor que la de los positivos , entonces el

resultado final era negativo.

Al resolver las sumas algebraicas, se puede pensar que los números positivos

es el dinero con que se cuenta para pagar una deuda, los números negativos

son la deuda.

Retomando:

Si lo que se tiene es mayor que la deuda, abono y me quedo con efectivo.

Si lo que se tiene es igual a la deuda, abono y no me queda nada.

Si lo que se tiene es menor a la deuda, abono y quedo con deuda.

Multiplicación en Z:

Definición: Si a y n son números enteros, el producto a . n (se lee “a por

n”) es también un número entero.

El producto a . n se define mediante:

a . 0 = 0

a . 1 = a

a (-1) = - a

Es decir, multiplicar un número entero a por otro n mayor que 1, significa

sumar n veces a; en cambio multiplicarlo por – n; significa sumar n veces el

opuesto de a.

Es decir:

el producto de dos números es positivo si ambos son del mismo signo;

negativo si uno de ellos es negativo,

cero si alguno de los dos es cero, o ambos son ceros.

Esto se conoce con el nombre de “regla de los signos”

1) (+) . (+) = (+)

2) (+) . (- ) = (- )

3) (- ) . (+) = (- )

4) (- ) . (- ) = (+)

En 1) y 4) observamos que siendo los 2 del mismo signo (es decir ambos + o

ambos negativos) da positivo (+)

En 2) y 3) cuando uno de ellos es negativo da negativo (- )

La regla de los signos se utiliza para la multiplicación y la división.

ejemplos:

1) 2 . 3 = 6 4) ( - 5 ) . 7 = - 35

2) ( - 2 ) . (- 3 ) = 6 5) 7 . (- 8) = - 56

3) ( - 4 ) . 8 = - 32 6) ( - 4 ) . (- 8) = 32

Si se tienen más de dos enteros se multiplican de a 2 :

(- 3) . (- 4) . (- 8) = - 96


119

Para dividir también se aplica la regla de los signos:

a) (- 4) : 2 = - 2

b) (- 6) : (- 3) = 2

c) (- 8) : (- 2) = 4

d) 16 : ( - 2) = - 8

e) (- 18) : (- 9) = 2

f) (- 15) : 3 = - 5

Ejercicio1)

Resuelvan las siguientes sumas y restas eliminando previamente los

paréntesis.

a) ( + 3) + (-4) = ....................... b) ( - 7 ) + (+5) + (-2) =..........................

d) ( - 5) – ( -3) =....................... d) ( +9) + (+7) =……………………….

e)( - 5) + ( - 4) =……………... f) ( +9) – (-8) - (6) =...............................

Ejercicio 2) Resuelvan las siguientes sumas algebraicas:

a) 7 – 8 - 4 + 9 + 8 + 3 – 4 =...............................................

b) 5 – 8 + 9 – 5 – 9 + 6 = ....................................................

c) – 7 – 5 + 9 + 8 + 9 –3 =

d) – 11 – 12 – 7 - 9 + 9 + 7 + 8 =

Ejercicio 3)

Completen el siguiente cuadro

a b c a. b. c a. b : c

3 -2 1

4 -8 2

-1 3 2

-8 -2 4

-3 -2 3

( +) . ( - ) = ( - )

8


120

-2 10 4

25 20 -5

-7 -2 -1

1 0 3

Ejercicio 4)

Según corresponda en cada caso indique si es V (verdadero) o F (falso).

a) (-3): (-3) = (3): (3) d) (-5).(1) = (-1). (5)

b) (-5). (-1) = (5).(-1) e) (-2).0 = 0. (-5)

c) (-3): (-1) = (-1): (-3) f) (-5) (2) = (-2). (5)

Ejercicio 5)

Coloquen los paréntesis necesarios donde correspondan para que las

operaciones combinadas den el resultado indicado

-4-2-2+3+2=5

-2:2-2-3-5+10=-21

Ejercicio 6)

Completen el siguiente cuadro:

a b c a+b-c a+b-(c+a) a.b.c a-(b+c)

-1 2 3

0 2 -1

5 1 -1

-2 -3 -2

2 3 0

1 -1 -1

2 4 -3

3 3 -2


121

Dado un número a que a Z y otro n que a N definimos una nueva

operación a la que llamamos potenciación que cumple:

an = b Donde a se llama base, n exponente y b potencia.

Ejemplo numérico:

23 = 8 “2 es la base, 3 el exponente y 8 la potencia”

¿ cómo se calcula una potencia?

En realidad la potenciación es una multiplicación abreviada, el número n

nos indica la cantidad de veces que se multiplica la base:

23 = 2.2.2. = 8

23 = 2 . 2 . 2 = 8

3 veces ( n = 3)

22 = 2 . 2 = 4

2 veces ( n = 2)

Para tener en cuenta

a0 = 1 cualquier número distinto de 0 elevado a la 0 es igual a 1 (por ahora

lo tomamos sin discusión ya veremos cual es el motivo cuando estudiemos

propiedades de las potencias).

a1 = a cualquier número elevado a la 1(primera) es el mismo número.

Si el exponente es 2 se denomina al cuadrado.

Si el exponente es 3 se denomina al cubo

POTENCIACIÓN

EN Z


122

En esta primera instancia hemos definido al exponente como un número

natural, por lo que no puede ser negativo, pero hemos definido a la base

como un numero entero por lo que puede ser positivo o negativo.

Por lo tanto estudiaremos todas las posibilidades teniendo en cuenta los

signos de la base. Sigan la secuencia del grafico analizando el ejemplo

numérico para comprender mejor las distintas situaciones que se plantean.

Conclusión: Cuando la base es positiva ya sea el exponente par o impar

siempre arroja por resultado un número positivo.

Conclusión: Cuando la base es negativa y el exponente es par da por

resultado un número positivo.

Conclusión: Cuando la base es negativa y el exponente es impar es en el

único caso en el que el resultado es un número negativo.

Ojo queda pendiente el caso en el que el exponente es negativo.

Importante -22 (-2)

2

- 2.2 (-2). (-2)

-4 4

En una caso la base es 2 y

en el otro (-2)

Exponente

impar

n = 3

Resultado Negativo (-2)3 = (-2). (-2).(.2)= -8

- . - . - = -

POTENCIACIÓN

an = b

Base positiva a > 0

Ej. a = 5

Exponente par

n = 2

Exponente

impar

n = 3

Exponente par

n = 2

Resultado siempre positivo

52 = 5.5 = 25

53 = 5.5.5= 125

Resultado Positivo (-2)2 = (-2). (-2) = 4

-.- = +

Base negativa a < 0 Ej. a = -2


123

La potenciación no es distributiva con respecto a la adición o a la

sustracción.

Es decir; en símbolos:

(a + b)2 a2 + b2

(2 + 3)2 22 + 32

5 2 4 + 9

25 13

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la

división:

En símbolos:

(a . b)n = an . bn

(a : b)n = an : bn

( 2 . 3 )2 = 2

2 . 3

2

6

2 = 4 . 9

36 = 36

En el producto y en el cociente el resultado es el mismo aplicando o no la

propiedad distributiva.

23 . 22 = 25 =23+2

2 . 2 . 2 2 . 2 = 5

Conclusión: en el producto de potencias de igual base se suman los

exponentes.

Primero se efectúa la suma y después se eleva a la potencia correspondiente.

Propiedades

de la

potenciación

Producto de

potencias de

igual base


124

Ejemplo 1:

34 . 35 = 39

45 : 43 = 42

4 . 4 . 4 . 4 . 4

4 . 4 . 4

Si observamos los exponentes: 5 - 3 = 2

Propiedad: En el cociente de potencias de igual base se restan los

exponentes.

ejemplo 2:

84 : 82 = 84-2 = 82

(22) 3 =(2 . 2 ) 3 = 23 . 23 = 23+3 = 26

Si observamos los exponentes 2 . 3 = 6

Propiedad En la potencia de potencia se multiplican los exponentes

( 25 )2 = 2 5 . 2 = 210

Potenciación 1) Calcular las siguientes potencias:

a) ( - 3 )2 =.................. e) (- 2 )4 =..................

b) ( - 3 )3 =................. f) (- 2 )5 =..................

c) ( - 7 )2 =………….. g) ( - 1 )2 =.................

aplico

propiedad

distributiva

aplico propiedad de

producto de

potencias de igual

base

Cociente de

potencias de

igual base

Potencia de

potencia

= 42

1

1

1

1

1

1


125

d) ( - 7 )3 =………….. h) ( - 1 )3 =.................

La radicación es la operación inversa de la potenciación

n a = b entonces a = bn

siendo n: índice de la raíz

a: radicando

b: raíz enésima

signo radical

La raíz de índice 2 se llama raíz cuadrada y generalmente el 2 no se

escribe en el signo radical, o sea a “se lee raíz cuadrada de a”. La

raíz de índice 3, se llama cúbica.

ejemplos:

4 = 2 porque 22 = 4

8 = 2 porque 23 = 8

Las raíces de índice par tienen “algunas particularidades”: Si x2

= 4 , nos

encontramos con una ecuación y para resolverla deberemos encontrar el o

los valores de x que verifiquen la igualdad, entonces surge la pregunta

¿cuáles son los valores de x que elevados al cuadrado darán como resultado

4?

En realidad los números que satisfacen esa condición son x = 2 ó x = -2

3

Producto de potencias de

igual base Cociente de potencias

de igual base

Potencia de potencia

Se suman los

exponentes

Se restan los exponentes

Se multiplican los

exponentes

Propiedades de la

potenciación

RADICACIÓN


126

2x = |x|

|x| = 2

x = 2 o x = - 2

Resumiendo si n es par: 2x = |x|

Este tema resulta un poco difícil de comprender, pero pensemos que:

22 = 4 y (-2)2 = 4

La radicación goza de las mismas propiedades que la potenciación.

Es decir:

No es distributiva respecto a la adición y/o a la sustracción:

a + b a + b

ejemplo numérico:

1442514425 Verificar realizando los cálculos con la

calculadora.

Es distributiva respecto a la multiplicación y a la división.

a . b = a . b

ejemplo numérico:

3 64.8 = 3 512 = 8 sin aplicar propiedad distributiva

3 8 . 3 64 = 2 . 4 = 8 aplicando propiedad

distributiva

Al igual que en la potenciación, las raíces de índice impar y radicando

negativo son las únicas que me dan por resultado un número negativo.

Propiedades

de la radicación


127

4 ¿ qué significa?, ¿ qué era ?

Como no se puede encontrar el resultado se dice que la solución

es vacía.

Radicación

Radicando positivo

a > 0

a = 5

Radicando negativo

a < 0 a = -2

Índice par

n = 2

4 = 2

Índice impar

n = 3

283

Índice par

n = 2

4

Resultado siempre positivo

No tiene resultado pues no existe ningún número que multiplicado por sí mismo sea negativo. Recordemos que

+.+=+ -.- =+

Índice impar

n = 3

3273

Resultado Negativo

Usando la

Calculadora

La

calculadora

marca error

entonces


128

Se ha visto que la potenciación no es distributiva con respecto a la

suma o a la resta y ¿entonces como se opera en una situación como la

que sigue?

(x-2)2

1) Se sabe que si un número o una expresión está elevada al cuadrado,

la base debe multiplicarse por sí misma dos veces. Entonces:

(x – 2 ) 2 = (x - 2) (x - 2)

2)Se aplica propiedad distributiva

(x + 2) (x + 2) = x . x + 2 . x + 2 . 2 + 2 . x

= x2 + 2x + 4 + 2x

= x2 + 2x + 2x + 4

= x2 + 4x + 4 Agrupamos las x

Otro ejemplo

(x + 5)2 = (x + 5) (x + 5)

(x + 5) (x + 5) = x . x + 5 . x + 5 . x . + 5 . 5

= x2 + 5x + 5x +25

= x2 + 10x + 25

En general

(a b)2 = a

2 2 a b + b

2

(a + b)2 = a

2 + 2 a b + b

2

(a - b)2 = a

2 - 2 a b + b

2

Si se tiene una suma al cuadrado el resultado es: el cuadrado del

primer número, más el doble producto del primer número por el

segundo, más el cuadrado del segundo.

En caso de una resta, el resultado es el mismo, pero el doble producto

será negativo.

Cuadrado de

Binomio

1°

1° 2°

2°


129

Ejercicio

Marque con una x la ecuación que corresponde a cada uno de los

siguientes enunciados

1) La suma de los cuadrados de dos números distintos es igual a 25.

a. (x+y)2 =25

b.

x2+y

2=25

c.

x + y2=25

2)El triple de un número aumentado en 6 es igual a 36.

a. 3x+6=36

b.

3x=36+6

c.

3(x+6)=36

3) La suma de tres números consecutivos es 63.

a. 3w=63

b.

w+w+1+w+2=63 c.

3(w+1)=63

4)El triple de un número es igual al doble de su consecutivo.

a. 3t=2t+1

b.

t+3=2t+1

c.

3t=2(t+1)

9


130

5) Si un número se lo eleva al cuadrado se obtiene por resultado el

cuádruple de dicho número.

a. g=4g2

b.

4g=g2

c.

g2=g+4

Ejercicio

Planten la ecuación y resuelvan los siguientes problemas.

1. La suma entre un número y el doble de su consecutivo es igual a

35

¿Cuál es el número?

...............................................................................................................

...............................................................................................................

...............................................................................................................

2.El doble del anterior de un número sumado a su triplo es igual a 13.


...............................................................................................................

...............................................................................................................

...............................................................................................................

3.El triple de la suma entre dos números consecutivos es igual a 45.


...............................................................................................................

...............................................................................................................

...............................................................................................................

4.El cuádruple de la edad que tenía Yolanda hace 2 años es igual al doble de la

que tendra dentro de 10. ¿Qué edad tiene Yolanda?

...............................................................................................................

...............................................................................................................

...............................................................................................................


131

Ejercicio

Observen como se resuelve cada ecuación y resuelvan las de la última

página

1. 142:)3( 2x

x2+3=28

x2=28+3

x2=25

x =5 ó x = -5

5. 2974 2x

4x2 =36

x2 =9

x = 3 ó x = -3

2. 712x

. x2 = -6

2x = (-6)2

2x = 36

x = 18

6. 2154 x

5x+1 = 24

5x+1 = 16

5x = 15

x = 3

3. 27)1(3 3x

x3-1= -27 : 3

x3-1= -9

x3= -8

x = -2

7. 523 2x

8 = 2x2

4 = x2

x = 2 ó x = -2

4. 4223 x 3 2x = -2

x + 2 = (-2)3

x +2 = -8

x = -10

8. 21115 x

1-11x = (-2)5

1-11x = -32

33 = 11x

3 = x

EJERCICIOS PARA HACER EN CASA:

NÚMEROS ENTEROS

1°) ESCRIBIR LOS PLANETAS ORDENADOS SEGÚN SU TEMPERATURA

MEDIA EN SUPERFICIE, ORDENADOS DE MAYOR A MENOR.

15

0°C

21

0°C

350°C

22°C

230°C

18

0°C

22

0°C

480°C

23°C


132

2°) SABIENDO QUE UN PAÍS OBTIENE DINERO AL EXPORTAR ( ) Y AL

IMPORTAR LO PIERDE ( ).

CALCULAR EL SALDO OBTENIDO PARA CADA MES E INDICAR

FINALMENTE CUÁL FUE EL MES DE MAYOR INGRESO Y EL DE MAYOR

EGRESO.

3°) EN UN PUEBLO DE LA SIERRA DE CÓRDOBA SE HIZO UN

ESTUDIODEL MOVIMIENTO DE POBLACIÓN OCURRIDO EL AÑO

PASADO.

TOMANDO LOS DATOS DEL GRÁFICO Y USANDO NÚMEROS ENTEROS,

DETERMINAR SI FINALMENTE HUBO UN AUMENTO O UNA

REDUCCIÓN EN LA POBLACIÓN INICIAL.

4°) CALCULAR LA TEMPERATURA PROMEDIO ANUAL A PARTIR DE LA

MÁXIMA Y LA MÍNIMA, PARA CADA CIUDAD CHILENA.

Mes Export. Import. Saldo

Abril 616 593 ...................

Mayo 454 519 ....................

Junio 503 542 ...................

Julio 548 521 ....................

(en millones de dólares)

TEMP. MAX. TEMP. MIN. TEMP. PROM. TEMP. MAX. TEMP. MIN. TEMP. PROM.

SANTIAGO 34°C 6°C ............... PUNTA

ARENAS 26°C 10°C ...............

VALDIVIA 33°C 3°C ............... BAHÍA ORANGE 23°C 7°C ...............

PUEBLO

74 41

53 168 89


133

5°) CALCULAR CUÁNTOS GRADOS DE LATITUD HAY QUE RECORRER

AL REALIZAR LOS SIGUIENTES VIAJES: (USANDO LA FÓRMULA DE

VARIACIÓN)

BRASILIA TEGUCIGALPA; TEGUCIGALPA BRASILIA;

QUITO PANAMÁ; BRASILIA QUITO;

PANAMÁ TEGUCIGALPA

6°) DETERMINAR EL TIEMPO DE DURACIÓN QUE TUVO

CADA IMPERIO DE LA ANTIGÛEDAD:

(USANDO LA FÓRMULA DE VARIACIÓN)

BABILONIA : desde 2.000 hasta 600

EGIPTO: desde 4.000 hasta 332

GRECIA: desde 2.800 hasta 100

ROMA: desde 750 hasta 476

7°) EL MERCURIO ES UNA SUSTANCIA QUE CONGELA A 39°C

Y VAPORIZA A 357°C.

SÍ INICIALMENTE SE ENCUENTRA EN ESTADO LÍQUIDO, A LA

TEMPERATURA

AMBIENTE DE 12°C. CALCULAR (USANDO LA FÓMULA DE

VARIACIÓN):

1°) LA VARIACIÓN DE TEMPERATURA QUE EXPERIMENTARÁ

PARA LLEGAR A SOLIDIFICAR.

POLO NORTE: 90°

TEGUCIGALPA: 14°

PANAMÁ: 8°

ECUADOR: 0°

QUITO: 1°

BRASILIA: 22°

POLO SUR: 90°

POLO NORTE: 90°

TEGUCIGALPA: 14°

PANAMÁ: 8°

ECUADOR: 0°

QUITO: 1°

BRASILIA: 22°

POLO SUR: 90°

NEGATIVO

POSITIVO

357°C

0°C

39°C

SÓ

LID

O

L

QU

IDO

G

AS


134

2°) LA VARIACIÓN DE TEMPERATURA QUE EXPERIMENTARÁ

PARA LLEGAR A VAPORIZAR.

8°) INDICAR CON FLECHAS PARA C/ CUENTA EL

SIGNO DEL RESULTADO.

pos. pos. pos. pos.

pos. neg. neg. neg.

neg. pos. neg.par

neg. neg. neg.impar

9°) RESOLVER LAS SIGUIENTES OPERACIONES COMBINADAS:

1. ( 16) ( 22) ( 13) ( 20) =

.....................................................................................................................

2. ( 49):( 7) ( 18):( 1) ( 30):( 3)

.....................................................................................................................

3. ( 6)3:( 3)

2 =

357°C

0°C

39°C S

ÓL

IDO

L

QU

IDO

G

AS

LA REGLA DE LOS SIGNOS SEGÚN LOS CALCULADORES HINDÚES: "EL

PRODUCTO DE DOS BIENES O DE DOS DEUDAS ES UN BIEN".

NEGATIVO

POSITIVO

NEGATIVO

POSITIVO


135

.................................................................................................................

....

4. ( 1).( 14) ( 5).( 4) ( 8).( 4) =

.................................................................................................................

....

5. ( ( 4):( 1) )3 =

.................................................................................................................

....

6. ( ( 39) ( 13) ( 45) ( 5) )3 =

.................................................................................................................

....

10°) CONSTRUIR LAS RELACIONES UTILIZANDO FLECHAS:

11°) RESOLVER LAS SIGUIENTES OPERACIONES COMBINADAS:

1) ( 38) ( 17) ( 27) 2 ( 42) ( 26) ( 13)

2=

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

2) ( 1)2 ( 2)

3 ( 3)

4 ( 10)=

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

3) 12.332 81.2 498:212

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

4) 10:5:21532:310 =

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

ALGUNAS RESPUESTAS:

RADICACIÓN

BHASKARA, MATEMÁTICO HINDÚ DEL SIGLO XII, INDICA QUE LA RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO

POSITIVO TIENE DOS VALORES, PERO AFIRMA QUE

NO HAY NINGUNA RAÍZ CUADRADA DE UN N° NEGATIVO PORQUE ESTOS NÚMEROS NO SON

CUADRADOS.

3

3

2

2

POSITIVO

NEGATIVO

POSITIVO

NEGATIVO

2 soluciones

1 solución

sin solución


136

2°) Saldo de mayo: 65 millones 3°) 89 hab. 4°) Santiago: 20°C; Punta

Arenas: 8°C 5°) Brasilia Tegucigalpa: 36°; Quito a Panamá 9°C 6°)

Duración del imperio babilónio: 1.400 años, del imperio egípcio: 4332 años.

7°): 1°): 345°C 2°): 51°C 9°) 5 1 24 38 64

216 11°) 4 9 9 3

1) 202:)6( 2x

2) 823x

5) 30202 2x

6) 2234 x


137


138


139

Capítulo IV

Si observamos el siguiente dibujo veremos dos zonas perfectamente

delimitadas, cada una de ellas se puede representar con una fracción.

5

3 y 5

2

Una fracción esta formada por dos números naturales:

el numerador y el denominador:

5

3

adordeno

numerador

min

NÚMEROS RACIONALES

Se lee: dos

quintos Se lee: tres

quintos

El denominador

indica en cuantas

partes se ha divido el entero.

El numerador

indica cuantas

partes se han tomado del entero.

IMPORTANTE EL

DENOMINADOR NO

PUEDE SER 0


140

En la vida cotidiana estamos acostumbrados a hablar con fracciones; cuando

vamos a la panadería y pedimos 2

1kg de pan; en el supermercado

4

1de café,

etc.

El ticket del supermercado también muchas veces “esconde” una fracción; ya

que si el mismo nos indica que gastamos $ 24,50, esta es la forma decimal de

nombrar un número racional. O sea que los números racionales pueden

expresarse en forma fraccionaria 2

1ó en forma decimal ya que

2

1es la forma

fraccionaria y 0,5 es su equivalente en su forma decimal.

¿Cómo pasar una fracción a número decimal y viceversa?

Ejemplo: 4

3 para pasar esta fracción a decimal se divide 3 por 4 :

se obtiene 0,75

Ahora para pasar de decimal a fracción se procede:

1) en el numerador se escribe todo el número, en este caso 75 y en el

denominador la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el

número que deseamos pasar a fracción.

2) luego se simplifica. Simplificar significa “achicar” la fracción dividiendo

numerador y denominador por un mismo número. En este caso , primero se

divide por 5, y luego nuevamente por 5, así se obtiene 4

3

1) 8

1 para pasar a decimal dividimos 1 dividido 8

se obtiene

0,125, ahora para volver a la fracción, se escribe en el numerador todo el

número y en el denominador 1000. Para simplificar dividimos numerador y

denominador por 5.

30 4

20 0,75

0

1 8

20 0,125

40

0

1

5

25

125

1000

200

40


141

2) Se simplifica hasta obtener nuevamente: 8

1

Representación de fracciones en la recta numérica:

Si queremos representar 4

1en la recta numérica; sabemos que se trata de

un número que está comprendido entre el 0 y el 1 ya que ¼ es la forma

fraccionaria y 0,25 es su equivalente en su forma decimal.

Para representar 4

1 en la recta numérica dividimos el “segmento unidad”

entre 0 y 1 en cuatro partes iguales y tomamos una de ellas.

De la misma forma podemos hacer si tuviéramos una tableta de chocolate y

quisiéramos sólo 4

1de la tableta.

Continuamos con el ejemplo del chocolate.

Si tenemos una barra de chocolate y queremos sólo la mitad es decir

Tomaremos:

0 -1 1 1

4

0 1 1

4

1

2

1

2


142

Si de la misma barra de chocolate queremos 4

2 tendremos que

dividir la barra en cuatro partes iguales y tomar dos de ella.

¿Qué observamos? Que tenemos exactamente “la misma cantidad” de

chocolate en ambos casos. Es decir que 2

1 representa lo mismo que

4

2

Cuando esto sucede decimos que 2

1 y

4

2 son fracciones equivalentes.

A pesar de que tienen distinto numerador y distinto denominador, si se

simplifica 4

2 se obtiene

2

1.(para simplificar dividimos numerador y

denominador por 2)

4

2


143

Si comemos 4

1 de una pizza y después

4

2 de la misma ¿Qué

fracción de la pizza comimos?

Es decir que para sumar 2 o más fracciones, las mismas deben tener el mismo

denominador y entonces sumamos los numeradores. Ej 4

6

4

51

4

5

4

1 ¿Qué

ocurre cuando las fracciones no tienen el mismo denominador? La convertimos en fracción equivalente de denominador 4 para poder sumarla

1°

2°

+

=

OPERACIONES CON

FRACCIONES

Suma


144

2

1

4

3

4

5

4

2

4

3

La convertimos en fracción

equivalente de denominador 4

EQUIVALENTES EQUIVALENTES

Si es necesario transformamos ambas fracciones dadas en fracciones

equivalentes y luego las sumamos.

Conclusión:

equivalente

Transformamos en una

fracción equivalente de

denominador 8

Ejemplo 1

Ejemplo 2

4

2

2

2

2

1

equivalente

35

19

35

14

35

5

5

2

7

1

35

5

5

5

7

135

14

7

7

5

2

4

5

8

3

8

13

8

10

8

3

8

10

2

2

4

5


145

Para sumar o restar dos números racionales expresados en forma

fraccionaria, se los expresa como fracciones equivalentes de igual

denominador y el resultado es otra fracción del mismo denominador y el

numerador resulta de sumar o restar los numeradores.

Buscar las fracciones

equivalentes

Sumar o restar

5

3

4

1=

4

4

5

3

5

5

4

1

20

17

20

12

20

5

4

5

2

3

4

5

2

2

2

3

4

5

4

6

2

3

3

7

3

3

2

3

2

2

3

7

6

9

6

14

El producto de números racionales expresados en forma fraccionaria, es una

fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo

denominador es el producto de los denominadores.

Ejemplo:

Para poder trabajar con números más pequeños, se puede simplificar antes de

efectuar la multiplicación; los numeradores con los denominadores.

Simplificamos el 3 y el 9 por 3

Ejemplo 1

45

3

9

1

5

3

15

1

9

1

5

3

1

3

Cuando aparezco yo es porque el

ejercicio está resuelto al final del

capítulo

Multiplicación


146

Simplificamos el 20 y el 4 por 4. ( 5420 y 144 ) después efectuamos la

multiplicación:

1535 numerador

881 denominador

Ejemplo 2

5

20 . 3 = 15

4 8 8

1


147

Operación Simplificamos Multiplicamos

12

15

3

16

..............................

.................................

Para dividir dos fracciones, multiplicamos la primera de ellas por la recíproca

de la segunda fracción. Es decir:

Los números racionales pueden ser también negativos .

Operación Multiplicamos Simplificamos

24

15

3

18

.........................

...................

Entonces , hay que invertir

la segunda fracción y luego

multiplicar

7

3

5

2

3

7:

5

2

3

7su recíproco

7

3

y convertimos la división en

producto

División


148

Observemos la recta numérica.

-2

1 es un número racional negativo.

Es decir que cuando hablemos de números racionales o fracciones en lo

sucesivo hay que pensar que pueden ser positivos o negativos (si son

negativos delante de la raya de fracción colocaremos el signo -

correspondiente).

O sea:

Ubicamos en la recta numérica:

Las operaciones con los números racionales negativos respetan las mismas

reglas vistas anteriormente:

Ejemplos:

20

17

20

825

20

8

20

25

4

4.

5

2

5

5.

4

5

5

2

4

5

-1 0 1

-1/2 1/2

- 1

4

1

2

3

4 ; ; - -

-1/4 0 -1 -1/2 -3/4

- 1

4 =

3

4 -

4

4 - = -1

- 2

7 =

1

7 -

3

7 -

Ejemplo 1

Ejemplo 2

1 2


149

En 1 y 2 convertimos en fracciones equivalentes:

En 1 y 2 convertimos en fracciones equivalentes:

Respetamos la regla de los signos

+ -

+ + -

- - +

Simplificamos numeradores y denominadores (el 9 y el 3 por 3; y el 2 y el 4

por 2).

El resultado es una fracción negativa, porque 3

2 es positiva y

4

9 es negativa,

respetando la regla de los signos (+) . (-) = (-).

Resultado negativo

. = + 1

3 =

2

7 -

2

7 - =

3

3 +

1

3

. 7

7

6

21 - +

7

21

1

21

1 2

Ejemplo 4

= 3

2

2

3

9

4

.

1

1

- -

2

3

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Producto y cociente


150

Observamos que cuando es un producto o una división de racionales

negativos los encerramos entre paréntesis.

* es un producto

es una resta

Por eso la importancia de los paréntesis en *

Resolvemos:

-7 - : = : 1

7 =

3

4

3

4 =

1

7

3

4 . 21

4 - -

El más (+) no lo coloco, ya

sé que es positivo

2

5 -

25

4 -

2

5 -

25

4 -

1

= . 2

5 -

25

4 -

1 2

5 5

2

= 10

9

3

2

4

5

.

1

1 4

3

. 2 2

3

- -

1

Ejemplo 4 (-) . (-) = +

7

1 :

3

2

7 .

3

2

3

14


151

Remarcamos que:

- . = - 25

4 =

2

5 -

2

5 - =

4

4 -

25

4

. 5

5

8

20 - -

125

20

133

20

. 2

5 -

25

4 -

2

5 -

25

4 -

producto resta

Por eso la importancia

de colocar paréntesis


152


153

1) Expresa la parte coloreada en forma de fracción

Figura Fracción Numerador Denominador

2) Escribe tres fracciones equivalentes

5

3

5

4

2

7

3) Completa cada una de las siguientes igualdades de forma que se obtengan

ecuaciones equivalentes.

5

4

8

25

24

9

2

8

45

16

3

7

21

9

28

10


154

Resolviendo problemas:

El primero lo hacemos juntos:

María y Carmen tienen, cada una un block con 240 hojas. María

usó las dos terceras partes del suyo y Carmen las tres quintas partes.

¿Cuántas hojas usó cada una?.

María 3

2 de 240 = 160

3

240.2

Carmen 5

3 de 240 = 144

5

240.3

5) En la oficina de personal hay 30 empleados, las dos quintas partes son

mujeres y el resto hombres. ¿Cuántas mujeres hay en la oficina? Y

¿hombres?

5

2 de 30 = 12

5

2.30 mujeres

30 – 12 =18 hombres

6) Un automovilista recorrió un camino en tres días. El primer día recorrió la

tercera parte. El segundo día las dos cuartas partes del mismo camino y el

tercer día el resto. Si el camino tenía 1200 km.

¿cuántos kilómetros recorrió el primer día?

¿cuántos kilómetros recorrió el segundo y cuantos el tercer día?

1° día 3

1 de 1200 = km400

3

1200

80

48

1

6

1

400

1


155

2° día 4

2 de 1200 = km600

4

2.1200

3° día 1200 – 600 – 400 = 200 km

RTA: a)…………………………………………b)……………….………

7)¿ Cuantos cuartos de torta hay en dos tortas?, ¿ Cuánto hay que agregar a

tres cuartos de torta para completar tres tortas?

Rta: a) 8 cuartos

b) 9 cuartos

8) Para festejar el cumpleaños de Adrián en la oficina compraron empanadas

de pollo, jamón y queso y carne picante. Primero comieron la mitad de las

que compraron, luego la tercera parte de las que quedaban y finalmente María

se llevo a su casa las 6 que sobraron. ¿cuántas empanadas compraron?.

x cantidad de empanadas

primero comieron 2

1 x

segundo 3

1 de lo que quedaba

si habían comido 2

1 quedan

2

1 entonces

3

1 de

2

1 =

3

1 .

2

1 =

6

1

María se llevó 6

Entonces

2

1 x +

6

1 x + 6 = x

1

5

3 2

4

2

600 1

5 6

8 7

2 1

3 4

8 9

7 6


156

6 = x - 2

1 x -

6

1 x

6 = 6

136 xxx

36 = 2 x

18 = x

8) Para viajar a San Nicolás alquilaron un micro. Primero reservaron la

tercera parte de los asientos, luego la mitad de los que quedaban y aun

quedaron sin reservar 8 asientos. ¿Cuántos asientos tenía el micro?

…………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………


157

1)

Pasar a número decimal:

2) Pasar a fracción:

3) Compramos 2 kilos a $ 12,75 de carne de cerdo , 4 kilos a 8,50 de cordero

y 6 kilos de papas a $ 1,25 (los precios que se indican son por kilo).¿ si

pagamos con un billete de $ 100, cuanto dinero nos devolvieron?

…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………RTA.: 33

4) Fuimos al buffet del club y gastamos $ 33,18 ¿cuántos pesos debió pagar

cada uno si éramos tres personas y dividimos la cuenta en partes iguales?

…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………RTA.: 11,06

4

1

3

4

4

1

5

3

3

5

8

1

5

16

2

1

2

3

0,2 1,25 1,50

0,1 0,750 4,50

0,125 0,50 0,6

11


158


159

Para resolver una potencia en el conjunto de los racionales (en Q) recordamos

que la potenciación es distributiva respecto del cociente, por lo tanto ,

elevamos a lo que indica el exponente al numerador y al denominador

Elevamos por separado numerador y denominador.

Aplicamos propiedad distributiva del cociente respecto a la potenciación

Observamos que representamos las mismas reglas vistas para la

potenciación que vimos para los números enteros.

(+) . (+) = (+)

(+) . (- ) = (- )

(- ) . (+) = (- )

(- ) . (- ) = (+)

= 9

16 =

3

4

3

4

2

2

2

= - 1

16

1

4

2 Como es exponente es par el resultado es positivo

- = - 8

27

2

3

3 Como es exponente es impar el resultado es negativo

- = - 8

27

2

3

3 2

3

- 2

3

- 2

3 = - . .

= 5

4

5

4

2

2

2

Ejemplo

s

Potenciación en Q


160

Datos Resolver Datos Resolver Datos Resolver

2

3

1

33 2

3

4

2

3

2

0 3 3

3

4

2

5

4

3 0 3

3

4

3

7

1

2

2

1

2

7

2


161

Para resolver una raíz en el conjunto de los racionales (o sea en Q),

recordamos que la radicación es distributiva respecto del cociente, es decir,

que si tenemos una fracción debajo de una raíz, podemos separarla en

dos raíces, una para el numerador y otra para el denominador.

(o sea que extraemos la raíz cuadrada del numerador y del denominador)

Ejemplos:

a)

b)

Cuando el radicando es negativo y el índice es impar, el resultado es

negativo (igual que en Z)

c)

d)

e)

f)

36

25

6

5 =

36

25 =

27

8

3

2 =

27

8 =

3 3

3

- = 27

8

3 3

2 -

= 1

32

5 1

2

= 1

16

4 1

2

- = 8

27

3 2

3 -

- = 1

32

5 1

2 -

Ejemplo 1

Otros ejemplos

Radicación en Q


162

operación Resolver operación Resolver operación Resolver

3

27

8

4

81

16

36

81

4

1

5

32

243

4

1

100

36

3

8

27

4

625

16

5

32

1

5 32

4

121


163

Producto de potencias de igual base:

23 . 22 = 25 =23+2

2 . 2 . 2 2 . 2 = 5

Conclusión: en el producto de potencias de igual base se suman los

exponentes.

Con las fracciones pasa exactamente lo mismo que con los números enteros,

si se tiene la misma base se suman los exponentes.

45 : 43 = 42

4 . 4 . 4 . 4 . 4

4 . 4 . 4

Si observamos los exponentes: 5 - 3 = 2

Lo mismo ocurre si la base es una fracción, se restan los exponentes.

Cociente de

Potencias de igual base

2

3

2 .

2

3

3 2

3

5 =

RECORDANDO

= 42

1

1

1

1

1

1

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

5

. . . .


164

Propiedad: En el cociente de potencias de igual base se restan los

exponentes.

(22) 3 =

(2 . 2 ) 3 = 23 . 23 = 23+3 = 26

Propiedad En la potencia de potencia se multiplican los exponentes

( 25 )2 = 2 5 . 2 = 210

Lo mismo ocurre con las fracciones, se multiplican los exponentes.

4

=

8 3

2

2

3

2 Se multiplican los exponentes

= 3

4 :

3

4

3

4

4 2 2 Se restan los exponentes


165

Para resolver un ejercicio combinado es necesario recordar el orden de

prioridad de las operaciones, es decir:

1° efectúe las multiplicaciones y las divisiones

2° efectúe las sumas y restas.

Ejemplo 1°

Producto de potencias de

igual base

Cociente de potencias de

igual base Potencia de potencia

Se suman los

exponentes

Se restan los exponentes

Se multiplican los

exponentes

Propiedades de la

potenciación

RADICACIÓN

Ejercicios

Combinados


166

En este ejercicio el paréntesis se coloca para indicar que la fracción es

negativa y que se trata de un producto de un numero positivo (5/4) por otro

negativo -

¿Qué hubiera ocurrido si no estaba el paréntesis?

si no hubiera estado colocado el paréntesis hubiera quedado así:

la operación se transforma en una resta

2 3

En primer lugar efectuamos el producto

Sacamos común denominador para efectuar la resta

2 3

4 5

1 3

- . Separamos en términos

1 5

8 - 5 15

8 15

- 1 3

= 3 15

1

5

= =

1 2

5 4

2 3

2 7

. + - =

1

2

= 2

7 + = 5

6 - - 35 + 12

42 23 42

-

Sacamos común denominador para efectuar la suma

Simplificamos (en el producto) numerador con denominador

5 4

2 3

-


167

el paréntesis es absolutamente necesario para indicar que se trata de un

producto entre un racional positivo y un racional negativo. Observa el

siguiente ejemplo:

¿y si son los dos negativos y quiero realizar un producto?

Es sencillo, coloco dos paréntesis en lugar de uno solo, uno para cada numero

negativo por ejemplo.

Como es un producto entre dos números negativos hay que aplicar la regla

de los signos.

( - ) . ( - ) = (+)

2 3

- 2 15

. 1 5

=

Es un producto entre dos números

negativos, aplicamos la regla de los

signos. ( - ) . ( - ) = ( + )

2 3

- . 5 4

5 4

- 2 3

Es un producto

Es una resta


168

Separamos en términos.

Para separar en términos tengo que tener en cuenta los signos (+) y (-) que

estén colocados fuera de los paréntesis. Por eso el primer signo (+) que

encontramos está después de ½, o sea que el primer término de este ejercicio

está formado solamente por un número que es 2

1 , el segundo término abarca

hasta el signo (-) delante del paréntesis y luego hasta finalizar, el tercer

término.

Primero se realizan las divisiones y los productos por eso en este caso se

resuelve primero el segundo termino.

Después el tercer término

Los signos que separan los términos no se modifican hasta que se resuelvan

los mismos

Finalmente realizamos las sumas y las restas sacando el común

denominador

1 4

1 2 = -

2

2 3

- = 1 5

: 10 3

-

1 2 3

1 2

+ 2 3

1 5

: - 2

= 1 2

- -

1 5

1 2

2 3

+ 2

: - 1 2

- = -

1 2

10 3

+ - 1 4

+ = -

1 2

= - 3712

- 1 4

6 - 40 - 3 12

= - 10 3


169

Recuerda que 6 es un número positivo, mientras que 40 y 3 son negativos : 6

– (40+3) = 6 – 43 = - 37 que es el numerador.

OTRO

En este caso, dentro del paréntesis se separa en términos.

Luego realiza el producto entre 4

3 y 5. A ese resultado súmele

2

1. Además

todo lo que encierra el paréntesis divídalo por 2

1

Fíjate como lo hacemos:

1 2

1 2

3 4

+ . 5

1

: - 2 3

- =

17 2

= = 2 3

+ 55 6

= 51 + 4 6

17 4 =

1 2

: + = 2 3

1 2

+ = 15 4

2 + 15 4

17 4

=

1 2 =

15 4 + : +

1 2

3 4 . =

5

15 4

= 2 3

1

Cálculos auxiliares

POR FIN , SE

TERMINÓ

4

155.

4

3


170


171

Resuelva los siguientes ejercicios combinados. Escriba todos los pasos

necesarios para resolverlo. Si le resulta útil, realice los cálculos auxiliares al

costado derecho de la hoja.

1)

2

3

2

1

9

2

8

27

2)

3

3

2

9

1:

3

2

49

36

3) 24

5

9

20

4

30

4) 5

2

2

1

9

20

6

5

5)

3

2

1

5

4:2

8

7=

6)

2

3

2

21

4

8

7

5

2

12


172

7) 42

3

10

9:

5

3

10

1

9) 4

5.

3

2:

5

3

2

1

9

8.

4

5

2

1

10)

033

5

2

2

1

4

27

3

2

Algunos problemas.

1) María gastó en el supermercado

1°) 4

1 de lo que tenía en la carnicería

2°) 5

1 de lo que tenía en lácteos

Si tenía 125 pesos, ¿cuánto gastó en cada rubro y cuanto dinero le queda?

RTA:................................................... ........................ ..............................................

2) ¿Cuántos cuartos hay que agregar a 4

3

de pizza para tener 4 pizzas?

RTA:................................................... ........................ ..............................................

8) 4

3

8

3:

4

1

3

2


173

Ejercicio página 84 1)

Buscar las fracciones

equivalentes

Sumar o restar

5

3

4

1=

20

17

4

4

5

3

5

5

4

1

20

12

20

5

20

17

20

12

20

5

4

5

2

3

4

1

4

5

2

2

2

3

4

5

4

6

4

5

4

6

4

1

2

3

3

7

6

23

3

3

2

3

2

2

3

7

6

9

6

14

6

9

6

14

6

23

Ejercicio página 86


12

15

3

16

12

15

3

16

3

20


24

15

3

18

24

15

3

18

12

45

4 5

4 1

9 5

8 4


174

Ejercicio página 91 1)

Figura Fracción Numerador Denominador

10

5 5 10

6

3 3 6

8

5 5 8

2)

5

3

10

6

15

9

20

12

5

4

10

8

15

12

20

16

2

7

4

14

6

21

8

28

3)

5

4

10

8

25

20

30

24

9

2

36

8

45

10

72

16

3

7

9

21

9

21

12

28


175


1

2


Datos Resolver Datos Resolver Datos Resolver

2

3

1 9

1

33 -27 2

3

4 9

16

2

3

2 9

4 0 3 0 3

3

4 27

64

2

5

4 25

16 3 0 1 3

3

4 27

64

3

7

1 343

1

2

2

1 4

1

2

7

2 49

4

4

1 0,25

3

4

33,1

4

1 0,25

5

3

0,6 3

5

66,1

8

1 0,125

5

16 3,2

2

1

0,5

2

3

1,5

0,2 1/5 1,25 5/4 1,50 3/2

0,1 1/10 0,750 3/4 4,50 9/2

0,125 1/8 0,50 1/2 0,6 3/5


176


operación Resolver operación Resolver operación Resolver

3

27

8

3

2 4

81

16

3

2

36

81

6

9

4

1

2

1 5

32

243

2

3

4

1

0

100

36

10

6 3

8

27

2

3 4

625

16

5

2

5

32

1

5

1

5 32 - 2

4

121

2

11


177

Capítulo V

Geometría:

Signos y símbolos.

Conjunto de puntos: punto, recta y plano. Definición de semirrecta y

segmento. Segmentos consecutivos. Suma de segmentos.

Ángulos, medidas de un ángulo convexos, llanos, cóncavos, consecutivos.

Clasificación de los ángulos. Opuestos por el vértice.

Triángulos : definición. Elementos de un triángulo. Clasificación de los

triángulos según sus lados y sus ángulos.

Signos y Símbolos

no es igual a

menor que

mayor que

no es menor que

no es mayor que

menor o igual que

mayor o igual que

perpendicular a

// paralela a

oblicua a

// no paralela a

// igual y paralelo

en consecuencia

pertenece a

no pertenece a

determinan

y

o, en sentido inclusivo

o, en sentido exclusivo

¡QUE

INTERESANTE

!


178

tal que

incluido en

incluye a

incluido estrictamente o propiamente dicho

incluye estrictamente a

unión o reunión

intersección

para todo

existe por lo menos uno

implica (condición necesaria)

implica doblemente; si sólo si(condición necesaria

y suficiente)

corresponde unívocamente

corresponde biunívocamente

conjunto vacío

alfa eta

nu tau

beta theta xi ípsilon

gamma iota ómicron phi

delta kappa pi ji o chi

épsilon lambda rho psi

zeta mu sigma omega

Alfabet

o griego


179

Antes de comenzar a trabajar nos pondremos de acuerdo en la

notación que utilizaremos, es decir cuando veamos un símbolo

sabremos lo que representa

A los puntos los designaremos mediante letras mayúsculas de

imprenta.

Por ejemplo: A , B

A las rectas con letras minúsculas de imprenta.

Por ejemplo:

- A los planos mediante letras del alfabeto griego. Por ejemplo:

A las semirrectas con dos letras mayúsculas de imprenta y una

flecha sobre las mismas. Por ejemplo: AB .

A los segmentos con dos letras mayúsculas de imprenta y un guión

sobre las mismas. Por ejemplo: AB .

La geometría que estudiaremos será la llamada geometría

Euclídea, en honor a Euclides

EUCLIDES

Euclides es, sin lugar a dudas, el Matemático

más famoso de la antigüedad y quizás el más

nombrado y conocido de la historia de las

Matemáticas.

Se conoce poco de la vida de Euclides, sin

embargo, su obra sí es ampliamente conocida.

Todo lo que sabemos de su vida nos ha

llegado a través de los comentarios de un

historiador griego llamado Proclo. Sabemos

que vivió en Alejandría (Egipto), al parecer en

torno al año 300 a.c. Allí fundó una escuela

de estudios matemáticos. Por otra parte

también se dice que estudió en la escuela

fundada por Platón.

a

b


180

r

a b

d

c

e

f

g

A

Su obra más importante es un tratado de geometría que recibe el título de "Los

Elementos", cuyo contenido se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando

hasta el siglo XVIII, cuando aparecen las geometrías no euclídeas.

"Los Elementos" ha tenido más de 1.000 ediciones desde su primera publicación en

imprenta en 1482. Se puede afirmar, por tanto, que Euclides es el matemático más

leído de la historia.

Esta obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la

sistematización, el orden y la argumentación con la que está constituida. Euclides recopila,

ordena y argumenta los conocimientos geométrico-matemáticos de su época, que ya eran

muchos.

Euclides construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o

propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se

deduce todo lo demás) que Euclides llamó postulados. Los famosos cinco postulados de

Euclides, que ofrecemos a continuación, son:

Ahora enunciamos los axiomas o postulados que relacionan los entes elementales. Se

denominan axiomas o postulados porque al ser tan evidentes no necesitan demostración

Axioma 1: Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.

Axioma 2: Por un punto pasan infinitas rectas.

Axioma 3: Dos puntos determinan una única recta a la cual pertenecen.

Axioma 4: por una recta pasan infinitos planos.

Un ejemplo concreto de este axioma lo constituyen las puertas giratorias de

los bancos compuestas de un eje fijo (la recta r) y de las hojas que giran

alrededor de él (los planos).

http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Gauss/gauss.htm


181

lenguaje simbólico

r ; r r

lenguaje coloquial

La recta r está incluida en el plano alfa, la recta r está incluida en el plano beta

y la recta r está incluida en el plano delta.

Axioma 5:

Por tres puntos no alineados pasa un único plano al cual pertenecen .

Si sobre una recta marcamos un punto P, la recta quedará dividida en

dos partes que llamaremos semirrecta. En realidad quedan dos

semirrectas pero para poder diferenciar a cual de las dos semirrectas nos

referimos señalamos otros dos puntos ( P y O ) de la siguiente manera:

A x

x B

x C

lenguaje

simbólico

A; B C

lenguaje coloquial

El punto A, B, y C determinan el

plano alfa.

O R

P

r

Semirrecta


182

PR es la semirrecta de origen P que contiene al punto R

POes la semirrecta de origen P que contiene al punto O

El punto R y el punto O le dan el sentido a las semirrectas.

La semirrecta PR tiene sentido hacia la derecha de la hoja mientras que la

semirrecta PO tiene sentido hacia la izquierda de la hoja.

PR y POson semirrectas opuestas: porque están sobre la misma recta r, tienen

el mismo origen P y distinto sentido.

La semirrecta es un conjunto de puntos que tiene origen pero no tiene fin.

Otro ejemplo:

OP es la semirrecta de origen O que contiene al punto P

Vamos a marcar el conjunto de puntos que abarca dicha semirrecta.

¿Por qué marcamos más allá del punto P; acaso la semirrecta no termina en el

punto P?

No, el punto P solo determina el sentido de la semirrecta, pero esto no

significa que la semirrecta finalice en el punto P.

Quiere decir que la semirrecta OP empieza en el punto O y no tiene fin.

Exactamente, el punto P solo me determina el sentido si es a la derecha o a la

izquierda, te doy otro ejemplo:

OQ: Semirrecta de origen O que contiene al punto Q

0

P

0

P

O

Q


183

A

B

C

D

Dada una recta r y dos puntos P y Q pertenecientes a ella, hallamos

gráficamente la intersección entre las semirrectas PQ y QP

Obtenemos una porción de la recta que está rayada por ambos trazos, es

decir que es común a ambas semirrectas, dicha porción común la

denominamos segmento PQ .

Un segmento es un conjunto de puntos que tiene origen y fin.

En el segmento PQ ; P y Q son los extremos del segmento.

Con las rectas, semirrectas y segmentos podemos efectuar operaciones, ya que

se trata de conjuntos de puntos, por lo tanto podemos efectuar operaciones de

unión y de intersección.

Si tomamos un metro de madera y lo estiramos, nos damos cuenta que está

formado por varias varillas unidas entre sí por remaches, cada

una de estas varillas representa un segmento que está unido al

anterior por el remache, que es lo único que tienen en común.

Llamamos segmentos consecutivos a aquellos que tienen

solamente un extremo común.

Si están sobre una recta, se dice que están alineados.

P

Q

r

Segmento

Segmentos

Consecutivos


184

Cuando no están alineados se dice que forman una poligonal.

Dadas las siguientes figuras nombrar pares de segmentos consecutivos y no

consecutivos.

A

B

C

E

D

A

E

B

C

D

BCABy son segmentos consecutivos

DCyED son segmentos consecutivos

CDyAB no son segmentos consecutivos

BCyAE no son segmentos consecutivos

B

C

A

H G

F

E

D

X M

N O

P Q

R S

T U

V W


185

Dos rectas que se cortan en el plano se dice que son secantes.

Dos rectas que se cortan formando cuatro ángulos iguales son

perpendiculares

Segmentos

consecutivos

Segmentos no

consecutivos

DECO, EFCD,

FGEF , CDFG,

HGAH , HGBC,

Segmentos

consecutivos

Segmentos no

consecutivos

NOMN , PQMN,

PQOP, VUXM ,

STRS , XMUT ,

a

b

a

b

a y b son secantes

a b Se lee: “la recta a es

perpendicular a la recta b”

Posiciones relativas a dos rectas en el plano:


186

a b

o

Rectas paralelas

Dos rectas en el plano son paralelas cuando no tienen ningún punto en común,

es decir, cuando no se cortan o bien cuando tienen todos sus puntos en

común. (esto es difícil de comprender, pero igual lo mencionamos, mas

adelante nos interiorizaremos en ello)

lenguaje simbólico

a b a b =

lenguaje coloquial

La recta a es paralela a la recta b sí

y solo sí a intersección b es igual al

conjunto vacío.

Observen los puntos, esta figura se llama trama. Dibujen en ella con distintos

colores 2 rectas paralelas, 2 rectas perpendiculares y 2 rectas oblicuas


187

Dos rectas que se intersecan determinan cuatro regiones, a las que

llamaremos ángulos.

Todo ángulo convexo puede ser designado con tres letras mayúsculas,

ubicando en el centro, el vértice del ángulo o bien con una letra del alfabeto

griego. Por ejemplo el ángulo dibujado anteriormente se designa BOA siendo

O el vértice del ángulo.

Convexos

A

B

O

Agudo menores de

90º

Recto

igual a 90º Obtuso

mayores de 90º

Ángulos

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Elementos de un ángulo


188

1) 2)

Ángulo Cóncavo

Son mayores son mayores a 180º

Ángulos especiales:

Angulo nulo: es el que mide o°

Angulo llano: es el que mide 180° Observen detenidamente las regiones punteadas, se llaman tramas. La primera es una trama triangular y la segunda es una trama cuadrada: Utilizando como vértices los puntitos de cada una dibujen en ambas:

1) un ángulo cóncavo ( ˆ ) 2) un ángulo convexo ( ˆ ) 3) un ángulo llano.

( )ˆ 4) un ángulo recto. ( ˆ ) 5) un ángulo obtuso. ( )ˆ 6) un

ángulo agudo. ( ˆ )

O

CÓNCAVO 0°<( ˆ )<180° CONVEXO ˆ >180°

( ˆ ) = 0° nulo

0°<( ˆ )<90° agudo

( ˆ ) = 90° recto

90°<( ˆ )<180° obtuso

( ˆ )= 180° llano


189

Ángulos consecutivos

Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado común.

Si tienen un lado en común significa que tienen el mismo vértice. (En este

ejemplo el vértice es el punto 0).

Dado el siguiente gráfico,

nombraremos algunos pares de

ángulos consecutivos y algunos no consecutivos.

La medida de un ángulo es un número que nos permite comparar la

amplitud de ese ángulo con la amplitud de otro que consideramos como

unidad consideramos como unidad la amplitud de una vuelta completa.

0

C

B

A

AOB y BOC son ángulos consecutivos

AOB y BOC son consecutivos

BOC Y COD son consecutivos

AOB y COD no son consecutivos

A

B

C

D

0

Medida de un Ángulo


190

En el sistema sexagesimal el ángulo de una vuelta completa es igual a 360º.

Si dividimos un ángulo de un giro en 360 partes de igual medida, cada una de

ellas es un ángulo de un grado sexagesimal. Se simboliza:1º

Si dividimos un ángulo de 1º en 60 partes de igual medida obtenemos un

ángulo de un minuto sexagesimal.

Se simboliza 1´ y se cumple que 1º = 60´ (un grado es igual a sesenta

minutos).

Y si hacemos lo mismo con un ángulo de 1´ obtenemos uno de un segundo

sexagesimal. Se simboliza 1” y se cumple que 1´= 60”. Este sistema de

medición de ángulos se llama sistema sexagesimal.

Para medir ángulos se debe utilizar un instrumento llamado

transportador; que consiste en un semicírculo graduado dividido en 180

partes, cada una de las cuales corresponde al ángulo central de un grado.

La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema

sexagesimal. Analicemos el siguiente problema:

Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos

una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón

en 2 h 48' 35"; el segundo día, en 2h 45' 30". ¿Cuanto tiempo corrió Luis en

ambos días?

Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:

2h 48' 35"

+ 2h 45' 30"

4h 93' 65"

Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la

suma se puede escribir así:

4h 94' 5"

De la misma forma, 94' equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:

5h 34' 5"

Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.


191

En la primera carrera un compañero de Luis corrió la maratón en 3 horas

exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?

Debemos hacer la siguiente operación:

3h 0' 0"

- 2h 48' 35"

Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y

los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48

(minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un

minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60".

2h 59' 60"

- 2h 48' 35"

0h 11' 25"

Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese

número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si

alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo

transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.

18º 26' 35"

X 3

54º 78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego

Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.

Multiplicación de un ángulo por un

número natural.


192

54º 79' 45"

Pero 79' = 1º 19', luego

55º 19' 45"

18°25´36”

+

45°25´30”

45°25´30”

-

18°30´36”

26°16´52”

x2

....................................

....................................

....................................

....................................

RTA.:

....................................

....................................

....................................

....................................

RTA.:

....................................

....................................

....................................

....................................

RTA.:

Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta interior con origen en el

vértice del ángulo que lo divide en dos partes congruentes (es decir iguales).

0

C

R

A

OR bisectriz del COA = ROA = COR

Se lee: El ángulo ROA es congruente al

ángulo COR .( En geometría se habla de

congruencia entre dos figuras, no de

igualdad).

Bisectriz de un ángulo


193

O R 1

2

Ejemplo:

Dado el ángulo que mide 60º, si trazamos su

bisectriz OR ; 1 mide 30º y 2 también mide 30º.

Dos ángulos son complementarios cuando la suma de ambos es igual a un

recto.

y son complementarios + = 90º

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de ambos es igual a un llano.

y son suplementarios + = 180º

Si por ejemplo vale 50º y es igual a 40º, entre los dos suman 90º,

entonces y se dicen complementarios

Claro, siempre que la suma de los dos sea igual a 90º se dicen que son

complementarios y si es igual a 120º y es igual a 60º se dice que son

suplementarios porque la suma es 180º.

Dos ángulos que son consecutivos y suplementarios se llaman ángulos

adyacentes

a

c

b

o

Ángulos complementarios y

suplementarios

Ángulos adyacentes


194

ob lado común, oc y oa semirrectas opuestas y son adyacentes

+ = 180º

Se llaman así los ángulos que tienen el vertice común y sus lados son

semirrectas opuestas

y son ángulos opuestos por el vértice y también lo son.

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

A B

C D

Ángulos opuestos por el vértice


195

1 )Observen cada reloj y determinen que tipo de ángulo determinan las agujas

2)Clasifiquen los ángulos de las siguientes figuras

( ˆ ) ...........................................( ˆ )................................ ( )ˆ ..........................

( ˆ )............................................( )ˆ ...............................( ˆ )...........................

)ˆ( ............................................ )ˆ( ................................. )ˆ( ..........................

3) Hallen la medida de ˆ sabiendo que:

a) ˆ = 53° 23 35” y ˆ y ˆ son suplementarios.

13


196

.......................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.........................................................................................................

b) ˆ = 37° 43 21” y ˆ y ˆ son complementarios.

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.............................................................................................................

.................................................................................................

4) Hallen la medida de los ángulos.

= 23° 54 36” ˆ = 86° 41 58”

ˆ = 126° 38 42”

ˆ = ˆ

ˆ = 27° 34 18”


197

1) 2)



18°25´36”

+

45°25´30”

45°25´30”

-

18°30´36”

26°16´52”

x2

....................................

....................................

....................................

....................................

RTA.: 63°51´6”

....................................

....................................

....................................

....................................

RTA.: 26°54´54”

....................................

....................................

....................................

....................................

RTA.: 52°29´44”

llano llano obtuso

obtuso obtuso

obtuso

recto

recto

agudo

agudo

agudo

agudo


198


199

.

Según la longitud de sus lados los triángulos se clasifican en :

Triángulos equiláteros Triángulos isósceles Triángulos escalenos

Tres lados iguales y Dos lados iguales y Tres lados distintos y

tres ángulos iguales. dos ángulos iguales tres ángulos distintos.

Según la ángulos los triángulos se clasifican en :

Triángulos acutángulos Triángulos rectángulos Triángulos obtusángulos

Tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso

.

Un triángulo es un polígono convexo.

Los tres segmentos que forman los bordes son los lados.

Los tres puntos que comparten los lados dos a dos son los vértices.

Las tres regiones interiores que se forman al cortarse cada par de lados son

los ángulos interiores.

Si se prolongan los lados , los ángulos adyacentes a los ángulos interiores son

los ángulos exteriores.

amplitud de sus

a

b

ca

bc

ab

a, b, c vértices

c

b

a

ˆ

ˆ

ˆ

Ángulos

Internos

a

b ángulos externos

c

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c a

b

c

a

c a c

b b

Triángulos


200

Completen las siguientes tablas: (la medida de los lados está en cm).

Lean previamente la página 60

Si se sabe que la suma de los ángulos interiores es de 180°

Triángulo Angulo A Angulo B~

Angulo C Clasificación de

acuerdo a la

amplitud de sus

ángulos

1 53 ° 28°

2 123° 16°

3 90° 45°

4 60° 60°

5 32° 108°

Si se sabe que el perímetro de un triángulo es la suma de las medidas de los

lados.

Triangulo Lado

AB

Lado BC Lado CA Perímetro Clasificación de

Acuerdo a la

longitud de sus

lados

1 10 8 8

2 21 21 65

3 24 15 82

a) Identifiquen y anoten cuáles de las siguientes afirmaciones son

verdaderas:

1- Si un triángulo es equilátero, también es isósceles.

2- Todo triángulo isósceles es equilátero.


201

3- Un triángulo obtusángulo puede ser isósceles.

4- Un triángulo equilátero puede ser rectángulo.

5- Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son siempre

complementarios.

Un triángulo escaleno puede ser rectángulo.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º

Si pudiéramos recortar un triángulo y de cada vértice recortar el ángulo y

pegarlos uno a continuación del otro podríamos observar que nos queda

determinado un ángulo llano.

Dibujen un triángulo cualquiera.

Marquen los ángulos interiores con color.

Dividan el triángulo en 3

Dispongan esas partes de forma que en cada una quede un ángulo.

.

Trate de hacerlo con papel y tijera recortando los ángulos del triángulo y

pegándolos uno a continuación del otro.

+ + = 180º

Relaciones entre los ángulos de un triángulo


202

Esta propiedad nos permite calcular los ángulos interiores de un triángulo

de la siguiente forma.

Verificamos que la suma de los ángulos interiores es igual a 180°

Supongamos que nos dan un triángulo isósceles y nos dicen que el ángulo

desigual mide 40º es decir:

Y el ángulo desigual B = 40º

A +B +C =180º

A + C + 40º = 180º (Remplazamos el dato B = 40º)

A + C = 180º - 40º

A + C = 140º Pero como A = C

A = 140º: 2

A = 70º

B

A C

Como se trata de un triángulo isósceles Tiene 2 lados congruentes (iguales) A = C y también 2 ángulos congruentes

CA

La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es

igual a 180°


203


Triángulo Angulo A Angulo B~

Angulo C Clasificación de

acuerdo a la

amplitud de sus

ángulos

1 53 ° 28° 99° Obtusángulo

2 123° 41° 16° Acutángulo

3 90° 45° 45° Rectángulo

4 60° 60° 60° Acutángulo

5 32° 40° 108° Obtusángulo

Triangulo Lado

AB

Lado BC Lado CA Perímetro Clasificación de

Acuerdo a la longitud

de sus lados

1 10 8 8 26 Isósceles

2 21 23 21 65 Isósceles

3 24 15 43 82 Escaleno


204


205

1)

2)

1)Observen detenidamente las regiones punteadas. Utilizando como vértices

los puntitos de cada trama.

dibujen en caso de ser posible: ( los lados y ángulos iguales con el

mismo color )

1. un triángulo que tenga los tres lados iguales.

2. Un triángulo que tenga dos lados iguales.

3. Un triángulo que tenga los tres lados desiguales.

4. Marquen con color los ángulos interiores.

5. Un triangulo rectángulo isósceles.

6. Un triangulo obtusángulo.

7. Un triangulo acutángulo escaleno

2) Lean atentamente e indiquen si son verdaderas o falsas las siguientes

afirmaciones, justificando en cada caso:

a) Todos los triángulos isósceles son equiláteros.

..................................................................................................................

b) Algunos triángulos equiláteros son isósceles

..................................................................................................................

c) Ningún triángulo rectángulo es equilátero

..................................................................................................................

d) Ningún triángulo obtusángulo es isósceles.

14


206

..................................................................................................................

e) A veces los triángulos rectángulos son isósceles.

.................................................................................................................

3) Observen atentamente la siguiente tabla y completen justificando en cada

caso con un gráfico que cumpla las condiciones. De no ser posible

indiquen por que.

TRIANGULO EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

ACUTÁNGULO

OBTUSÁNGULO

RECTÁNGULO

4) Dado el siguiente dibujo , completen el cuadro.

5) Si el ángulo = 70º ¿Cuál es su complemento? ¿Y su suplemento?

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.................................................................................................................

A B

D E C


207

6) Calculen la medida del AMB, sabiendo que MO es bisectriz de AMB y que

A OAM O = 4 X – 29º y BMO = x + 19º

Resolvemos juntos

OAM es igual a BMO por su bisectriz entonces

OAM = OAM

4 x – 29° = x + 19°

3 X = 48°

3

48x

x = 16°

Reemplazamos y OAM = 4 . 16° - 29

= 64° - 28°

OAM =35°

A

B

O M


208

7) Calcular los ángulos señalados con números:

a) 7 x – 11º

Determina la medida de todos los ángulos

Ayuda es el opuesto por el vértice con

2 x + 17º

C

1

M

B 2 D

B es bisectriz de CDM

Este es igual que el anterior

¡Ánimo!

D

1

3 x + 34 º

5 x - 18 º

25°


209

8) Clasifique cada triángulo de acuerdo a los datos.

60º

60º 45º 100º

3 lados distintos

..................................

......


210

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