MATEMÁTICA DISCRETA Patrícia...

Programa Aritmética Racional

MATEMÁTICA DISCRETA

Patrícia Ribeiro

Departamento de Matemática, ESTSetúbal

2018/2019

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Programa

1 Combinatória2 Aritmética Racional3 Grafos

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Capítulo 2

Aritmética Racional

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Axiomática dos Inteiros

Sejam a e b inteiros. Designaremos por a+b a sua soma e a×b (ouab) a sua multiplicação. Admitem-se válidos os seguintes axiomas:

I1. a+b e ab pertencem a Z;

I2. a+b = b+a e ab = ba;

I3. (a+b)+ c = a+(b+ c) e (ab)c = a(bc);

I4. a+0 = a e a×1 = a;

I5. a(b+ c) = ab+ac;

I6. Para cada a ∈ Z existe um único inteiro representado por −a, talque a+(−a) = 0;

I7. Se a 6= 0 e ab = ac, então b = c.

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ProposiçãoSão válidas as seguintes propriedades:

1 O elemento neutro da adição em Z é único;2 Sendo a,b,c ∈ Z é válida a lei do corte para a adição, ou seja se

a+b = a+ c, então b = c;3 Se a ∈ Z,a×0 = 0;4 Sendo a,b ∈ Z é válida a lei do anumlamento do produto, ou

seja ab = 0 sse a = 0 ou b = 0.

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DefiniçãoA subtração de inteiros representa-se por a−b e define-se como sesegue:

a−b = a+(−b).

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Suponha-se que existe uma relação de ordem nos inteirosrepresentado pelo símbolo ≤. Sejam a,b e c inteiros. Admitem-seválidos os seguintes axiomas:

I8. a≤ a;

I9. Se a≤ b e b≤ a, então a = b;

I10. a≤ b e b≤ c, então a≤ c;

I11. a≤ b⇒ a+ c≤ b+ c;

I12. a≤ b e 0≤ c, então ac≤ bc.

ObservaçãoDe referir que se pode definir as relações ≥,< e >: a≥ b sse b≤ a;a < b sse a≤ b e a 6= b; a > b sse b≤ a e a 6= b.

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DefiniçãoSeja X um subconjunto de Z. Diz-se que l é um minorante de X se

l≤ x,∀x ∈ X.

Se l ∈ X diz-se que l é mínimo de X.

I13. (Princípio da boa ordenação de Z) Se X é um subconjunto nãovazio de Z com um minorante, então X tem mínimo.

Princípio da boa ordenação de N: Se X é um subconjunto não vaziode N ou N0, então X tem mínimo.

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Princípio de Indução

TeoremaSeja P(n) uma afirmação na variável n ∈ N que satisfaz as seguintescondições:

i) Base de indução: P(1) é verdadeira;

ii) Passo de indução: para qualquer k ∈ N se P(k) é verdadeira,então P(k+1) é verdadeira.

Então P(n) é verdadeira para todo o n ∈ N.

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Princípio de Indução (1a variante)

TeoremaSeja a ∈ N e P(n) uma afirmação na variável n ∈ N com n≥ a quesatisfaz as seguintes condições:

i) Base de indução: P(a) é verdadeira;

ii) Passo de indução: para qualquer k ≥ a se P(k) é verdadeira,então P(k+1) é verdadeira.

Então P(n) é verdadeira para todo o n≥ a.

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Princípio de Indução completa

TeoremaSejam a,r ∈ N e P(n) uma afirmação na variável n ∈ N com n≥ aque satisfaz as seguintes condições:

i) Base de indução: P(a),P(a+1), ...,P(a+ r) são verdadeiras;

ii) Passo de indução: para qualquer k ≥ a+ r seP(a),P(a+1), ...,P(a+ r), ...,P(k) são verdadeiras, entãoP(k+1) é verdadeira.

Então P(n) é verdadeira para todo o n≥ a.

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Divisão Inteira

TeoremaDados a,b ∈ Z, existem inteiros q e r, tais que

a = bq+ r, 0≤ r < |b|,

onde q e r têm respetivamente o nome de quociente e resto da divisãode a por b. Além disso, q e r são únicos.

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Representação de números em diferentes basesSeja b≥ 2 um inteiro. Dado a ∈ N, se utilizarmos repetidamente oteorema anterior concluímos que

a = bq0 + r0

q0 = bq1 + r1

...

qn−2 = bqn−1 + rn−1

qn−1 = bqn + rn.

Se eliminarmos por retrosubstituição os quocientes qi conseguimosrepresentar a da seguinte maneira:

a = rnbn + rn−1bn−1 + ...+ r1b+ r0,

que usualmente se representa por

a = (rnrn−1...r1r0)b.

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Divisibilidade

DefiniçãoDados inteiros a e b, diz-se que a é divisor de b se b = aq para algumq ∈ Z.Denota-se por a|b. Quando a não divide b utiliza-se a notação a - b.

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Máximo divisor comum

Um inteiro d é um divisor comum dos inteiros a e b se d|a e d|b.

DefiniçãoSejam a,b inteiros não ambos nulos. Ao maior dos divisores comunsde a e b dá-se o nome de máximo divisor comum de a e b.Representa-se por mdc(a,b).

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Lema (Algoritmo de Euclides)Se a = bq+ r, então mdc(a,b) = mdc(b,r).

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TeoremaSejam a e b inteiros não ambos nulos e d = mdc(a,b). Então, existeminteiros x e y, tais que

d = ax+by.

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TeoremaSejam a e b inteiros não ambos nulos. Então d = mdc(a,b) sse

i) d > 0;

ii) d|a e d|b;

iii) se c|a e c|b, então c|b.

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Números primos entre si

DefiniçãoSejam a,b ∈ Z. Diz-se que a e b são primos entre si (ou primosrelativos) se mdc(a,b) = 1.

ProposiçãoDois inteiros a e b são primos entre si sse existem inteiros x e y, taisque

1 = ax+by.

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Menor múltiplo comum

DefiniçãoSejam a e b inteiros não nulos. Ao menor dos múltiplos comuns de a eb dá-se o nome de menor múltiplo comum de a e b. Representa-se pormmc(a,b).

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Menor múltiplo comum

TeoremaSejam a e b inteiros não ambos nulos. Então m = mmc(a,b) sse:

1 m > 0;2 a|m e b|m;3 sendo c 6= 0, se a|c e b|c, então m|c.

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Relação entre mdc e mmc

TeoremaSe a e b são inteiros não nulos, então

mmc(a,b) =|ab|

mdc(a,b).

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Equação linear diofantina a 2 incógnitas

TeoremaSejam a,b,c ∈ Z,a,b 6= 0 e d = mdc(a,b).

1 a equação ax+by = c tem soluções inteiras sse d|c;2 suponhamos que d|c. Então, se (x0,y0) é uma solução inteira da

equação ax+by = c, qualquer outro par (x,y) é solução sse forda forma

x = x0 +bd t

y = y0− ad t, t ∈ Z.

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Números primos

DefiniçãoUm número natural maior do que 1 diz-se primo se não tem outrosdivisores positivos além dele próprio e do 1.Um número que não é primo diz-se composto.

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Números primos

TeoremaQualquer número natural maior do que 1 é produto de númerosprimos, isto é pode ser decomposto em fatores primos.

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Trial division

CorolárioSeja n > 1 um número natural. Se n não é primo, então existe umprimo p, tal que p|n e p≤

√n.

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Números primos

TeoremaExiste um número infinito de primos.

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Decomposição em fatores primos

TeoremaSejam a e b números inteiros e p um número primo. Se p divide ab,então p divide a ou p divide b.

CorolárioSe p é um número primo e x1,x2, ...,xn são inteiros, tais que

p|x1× x2× ...× xn,

então p|xi, para algum i = 1,2, ...,n.

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Decomposição em fatores primos

Teorema (Teorema fundamental da aritmética)A decomposição em fatores primos de um número maior do que 1 éúnica, a menos da ordem dos fatores.

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Congruências

DefiniçãoSejam a,b inteiros e m um número natural. Diz-se que a é congruentecom b módulo m se m divide a−b.Representa-se por a≡ b(mod m).

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Congruências

ProposiçãoAs seguintes afirmações são equivalentes:

1 a≡ b(mod m);2 Existe k ∈ Z, tal que a = b+ km;3 Os restos das divisões de a e b por m são iguais.

ObservaçãoDizer que a≡ 0(mod m) equivale a dizer que m divide a;

Se r é o resto da divisão de a por m, então a≡ r(mod m).

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Congruências

ProposiçãoSejam m > 1 um inteiro e a,b,c,d ∈ Z. Então:

1 a≡ a(mod m);2 se a≡ b(mod m), então b≡ a(mod m);3 se a≡ b(mod m) e b≡ c(mod m), então a≡ c(mod m);4 se a≡ b(mod m) e c≡ d(mod m), então a+ c≡ b+d(mod m) e

ac≡ bd(mod m);5 se a≡ b(mod m) e k ∈ Z, então a+ k ≡ b+ k(mod m) e

ak ≡ bk(mod m);6 se a≡ b(mod m) e k ∈ N, então ak ≡ bk(mod m).

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Critérios de divisibilidade

Proposição (Critérios de divisibilidade por 3,9 e 11)Seja n ∈ N cuja representação na base 10 é

n =k

∑i=0

ai10i = ak10k +ak−110k−1 + ...+a110+a0.

Então:1 n é divisível por 3 sse ak +ak−1 + ...+a1 +a0 for divisível por 3;2 n é divisível por 9 sse ak +ak−1 + ...+a1 +a0 for divisível por 9;3 n é divisível por 11 sse a0−a1 + ...+(−1)kak for divisível por

11.

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Lei do corte

Proposição (Lei do corte para as congruências)Se ab≡ ac(mod m) e mdc(a,m) = 1, então b≡ c(mod m).

CorolárioSe ab≡ ac(mod m) e mdc(a,m) = d, então b≡ c(mod m

d ).

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Congruências Lineares

DefiniçãoUma congruência da forma ax≡ b(mod m) tem o nome decongruência linear.

TeoremaSe mdc(a,m) = 1, então existe solução da congruênciaax≡ b(mod m).Se x0 é uma solução particular, então todas as soluções são da formax = x0 + km, k ∈ Z.

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TeoremaSe mdc(a,m) = d, então existe solução da congruênciaax≡ b(mod m) sse d divide b.Neste caso, x0 é solução de ax≡ b(mod m) sse é solução dead x≡ b

d (mod md ).

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ObservaçãoO conjunto {x0 + k m

d : k ∈ Z} das soluções de ax≡ b(mod m) é aunião dos conjuntos das soluções das congruências

x≡ x0(mod m), x≡(

x0 +md

)(mod m), ...,

x≡(

x0 +(d−1)md

)(mod m).

Este últimos conjuntos são todos distintos, pelo que é costumedizer-se que x0,x0 +

md , ...,x0 +(d−1)m

d são soluções distintasmódulo m da congruência ax≡ b(mod m).

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Teorema chinês dos restos

TeoremaSejam m1,m2, ...,mk números naturais primos entre si dois a dois ea1,a2, ...,ak inteiros quaisquer. Então existe uma solução x queresolve simultaneamente as congruências

x≡ a1(mod m1)x≡ a2(mod m2)

...x≡ ak(mod mk)

Quaisquer duas soluções são congruentes móduloM = m1×m2× ...×mk.

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Função de Euler

DefiniçãoConsidere-se o conjunto

Sn = {r ∈ N0 : 0≤ r ≤ n−1,mdc(r,n) = 1}.

Define-se a função de Euler da seguinte maneira:

φ :N→ Nn 7→ φ(n) = |Sn|.

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Função de Euler

Observaçãose p é primo, então

φ(p) = p−1

eφ(pk) = pk−pk−1.

se m e n são primos entre si, então

φ(mn) = φ(m)φ(n).

se n = pe11 pe2

2 ...pekk , então

φ(n) = nr

∏k=1

(1− 1

pk

).

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