MATEMÁTICAS 3º ESO TEMA 10 PROBLEMAS MÉTRICOS EM EL … · mediatriz de un segmento es el lugar...
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MATEMÁTICAS 3º ESO
TEMA 10 – PROBLEMAS MÉTRICOS EM EL PLANO-
1. ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS
TIPOS DE ÁNGULOS DEFINICIÓN SUMA DE ÁNGULOS DE UN POLÍGONO
COMPLEMENTARIO SUMAN 90º
SUPLEMENTARIO SUMAN 180º
RECTO ÁNGULO DE 90º 180º (n-2)
LLANO ÁNGULO DE 180º CADA ÁNGULO DE UN POLÍGONO REGULAR
OBTUSO MAYOR DE 180º
n
2)-(n 180º
AGUDO MENOR DE 180º
EJEMPLO
En un pentágono tenemos que saber que sus ángulos suman 540º y cada ángulo del
pentágono son 108º.
180º (n-2) =180º (5-2) =180º ·3 =540º 540º / 5=108º
RECOMENDACIONES
MEDIATRIZ
La mediatriz de un segmento es la recta
perpendicular al segmento en su punto medio. La
mediatriz de un segmento es el lugar geométrico
de los puntos que equidistan de sus extremos. La
mediatriz de un segmento es la recta
perpendicular a éste que lo divide en dos partes
iguales. Los pasos a seguir para su trazado son:
1. Abre el compás algo más de la mitad del
segmento dado AB y, con centro en el extremo A
traza un arco. 2. Hacemos lo mismo, pero desde
el extremo B. 3. Unimos formando los dos puntos
que se han formado con los arcos.
BISECTRIZ
La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de sus
lados, pues los puntos P de la bisectriz cumplen lo siguiente:
Dist (P,r) = dist (P,s)
1) Trazamos un ángulo de cualquier medida y lo
nominamos con tres letras en este caso tenemos el
ángulo AOB.
2) Con el compás hacemos centro en el vértice O
y trazamos un arco de cualquier radio que corta a
los lados a y b en los puntos P y Q.
3) Luego, con el compás hacemos centro en los
puntos P y Q y trazamos dos arcos de igual radio
que se cortarán en un punto A.
4) Con la regla trazamos una recta que una el
vértice O con el punto A, obteniendo así la
bisectriz del ángulo.
TIPOS DE RECTAS
RECTAS PARALELAS
ES CUANDO EXISTE LA
MISMA DISTANCIA
ENTRE CUALQUIER
PUNTO DE UNA RECTA
CON LA OTRA RECTA
RECTAS COINCIDENTES CUANDO HAY UNA RECTA
ENCIMA DE LA OTRA
RECTA PERPENDICULAR
CUANDO LAS RECTAS
FORMAN 90º
RECTAS SECANTES LAS RECTAS SE CORTAN
RECTA TANGENTE
LA TANGENTE A UNA
CURVA EN UNO DE SUS
PUNTOS, ES UNA RECTA
QUE TOCA A LA CURVA
EN EL PUNTO DADO, EL
PUNTO DE TANGENCIA
2. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
RAZÓN DE SEMEJANZA
Ejemplo 1: Observa estas tres fotografías e indica si son
semejantes entre sí y por qué:
Ejemplo 2: Mide las dimensiones de este rectángulo y construye un
rectángulo semejante a él de forma que la razón de semejanza sea 3:
Solución:
1,5 · 3 = 4,5 cm
3 · 3 =9 cm
Ejemplo 3: Construye un triángulo semejante de forma que la razón
de semejanza sea 2, sabiendo que los lados de un triángulo miden
1,5 cm, 2 cm y 2,5 cm.
1,5 · 2 = 3 cm
2 · 2 = 4 cm
2,5 · 2 = 5 cm
3. ESCALAS
Es el cociente entre cada longitud de reproducción (mapa, plano, maqueta) y
la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón de
semejanza entre la reproducción y la realidad. Por ejemplo, una escala
1:200 significa que 1 cm del plano corresponde a 200 cm de la realidad.
Para calcular la escala se divide una longitud medida en el modelo, plano o
mapa, entre la longitud correspondiente a la realidad.
Ejemplo 1: En un mapa cuya escala es 1:1500000, la distancia entre
dos ciudades es de 2,5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?
A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.500.000 cm en la
realidad, es decir, 15 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades
se calcula multiplicando 2,5 por 15 km, es decir, en realidad hay 37,5
km de distancia.
¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya
distancia real es 360 km?
En este caso, la operación a realizar es una división. Pero antes
tenemos que pasar los 360 km a cm, que corresponde a 36.000.000 cm.
Dividimos 36.000.000 entre 1.500.000 y obtenemos 24 cm.
Ejemplo 2: En un mapa cuya escala es 1:300000, la distancia entre dos
ciudades es de 5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?
A cada centímetro en el mapa le corresponde 300.000 cm en la
realidad, es decir, 3 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades
se calcula multiplicando 5 por 3 km, es decir, en realidad hay 15 km de
distancia.
Ejemplo 3: En un mapa cuya escala es 1:1800000, la distancia entre A
y B es de 5 cm. En otro mapa de escala 1:1200000, la distancia entre
C y D es también de 5 cm ¿Qué distancia es mayor en la realidad AB o
CD?
A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.800.000 cm en la
realidad, es decir, 18 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades
se calcula multiplicando 5 por 18 km, es decir, en realidad hay 90 km
de distancia. A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.200.000
cm en la realidad, es decir, 12 km. Entonces la distancia entre las dos
ciudades se calcula multiplicando 5 por 12 km, es decir, en realidad hay
60 km de distancia.
Así que hay más distancia entre la ciudad A y B.
Ejemplo 4: El dibujo adjunto representa la maqueta de una urbanización
a escala 1:500. Sobre la maqueta se ha tomado las siguientes medidas:
Polideportivo: largo 30 cm y ancho 18 cm.
Depósito cilíndrico: diámetro 6 cm y altura 10 cm.
Carpa: diámetro 16 cm.
Para construir la carpa de la maqueta se han necesitado 402 cm2 de
tela. En el depósito de la maqueta caben 283 cm3 de arena. Hallar:
a) La superficie total del polideportivo.
b) El volumen del depósito.
c) La superficie y el volumen de la carpa en realidad.
RESOLUCIÓN
DIMENSIONES EN REALIDAD:
Polideportivo:
Largo 30 cm x 500 =15000 cm =150 m
Ancho 18 cm x 500 =9000 cm =90 m
Depósito cilíndrico:
Diámetro 6 cm radio 3 cm x 500 =1500 cm = 15 m
Altura 10 cm x 500 =5000 cm = 50 m
Carpa:
Diámetro 16 cm radio 8 cm x 500= 4000 cm =40 m
a) La superficie total del polideportivo.
A= b· h = 150 · 90 = 13500 m2
b) El volumen del depósito.
V=π· r2 ·h= π· 152 ·50 = 35342,9 m3
c) La superficie y el volumen de la carpa en realidad.
A= 2
1· 4 · π· r2 = 2· π· r2 =2· π· 402 = 10053,1 m2
4. TEOREMA DE TALES.
Si dos rectas cualquieras se cortan por varias rectas paralelas, los
segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los
segmentos correspondientes en la otra.
Ejemplo 1: Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
Ejemplo 2: Hallar las medidas de los segmentos a y b.
5. TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES DE PITÁGORAS
a) TEOREMA DE PITÁGORAS
b) CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS
RECTÁNGULO a2 = b2 + c2
OBTUSÁNGULO a2 > b2 + c2
ACUTÁNGULO a2 < b2 + c2
c) APLICACIÓN DE PITÁGORAS EN CIRCUNFERENCIAS
ENUNCIADO DIBUJO
Dadas dos circunferencias de radio
13 y 5 cm, con sus centros
alineados, trazamos una recta
paralela a la recta formada por los
centros de las circunferencias que
sea tangente a la circunferencia de
radio menor. Hallar la recta AB
secante a la circunferencia de radio
mayor.
X2= 132-52
X= cm12144
AB= 2·12=24 c
ENUNCIADO DIBUJO
Una circunferencia de radio 80 cm
está alineado a un punto P situado
fuera de la circunferencia que dista
130 cm al centro de la
circunferencia. Si trazamos una
tangente a la circunferencia desde el
punto P. ¿Cuál es la longitud del
segmento tangente, PT?
X2= 1302-802
X= cm47,10210500
PT= 102,47 cm
ENUNCIADO DIBUJO
Dos circunferencias con sus centros
alineados y de radios 9 cm y 5 cm
tienen sus centros separados a 20
cm. Hallar la longitud del segmento
tangente exterior común.
X2= 202-42
X2=400-16
X2=384
X= cm6,19384
t= 19,6 cm
ENUNCIADO DIBUJO
Dos circunferencias con sus centros
alineados y de radios 14 cm y 7 cm
tienen sus centros separados a 29
cm. Hallar la longitud del segmento
tangente interior común.
X2= 292-212
X2=841-441
X2=400
X= cm20400
x= 20 cm
d) APLICACIÓN ALGEBRAICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Para resolver estos problemas se tiene que hacer el teorema de
Pitágoras de cada triángulo y resolver el sistema de ecuaciones formado
por los dos triángulos. Se puede hacer también mediante un trapecio u
otras figuras geométricas.
o TRIÁNGULO
Hallar la altura sobre el lado mayor en un triángulo cuyos lados miden 6 cm, 8
cm y 10 cm.
x2+h2=62
(10-x)2+h2=82
x2+h2=62
100-20x+x2+h2=64
Resolviendo este sistema
obtenemos x=3,6 cm y h= 4,8 cm
o TRAPECIO
Hallar la altura de un trapecio de lados oblicuos 13 y 20 cm y de bases 38 y
17 cm.
132=x2+h2
202=(21-x)2+h2
169=x2+h2
400=441-42x+x2+h2
Resolviendo este sistema
obtenemos x=5 cm y h= 12 cm
6. ÁREAS DE POLÍGONOS Y FIGURAS CURVAS
NOMBRE DIBUJO (PITÁGORAS) ÁREA
CUADRADO
A=L2
RECTÁNGULO
O
PARALELOGRAM
O
A=b·h
ROMBO
2
·dDA
TRAPECIO
RECTÁNGULO
2
)·( hbBA
TRAPECIO
ISÓSCELES
TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
2
·hbA