www.emestrada.org

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2008

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

Junio, Ejercicio 3, Parte II, Opción A

Junio, Ejercicio 3, Parte II, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 3, Parte II, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 3, Parte II, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 3, Parte II, Opción A

Reserva 2, Ejercicio 3, Parte II, Opción B

Reserva 3, Ejercicio 3, Parte II, Opción A

Reserva 3, Ejercicio 3, Parte II, Opción B

Reserva 4, Ejercicio 3, Parte II, Opción A

Reserva 4, Ejercicio 3, Parte II, Opción B

Septiembre, Ejercicio 3, Parte II, Opción A

Septiembre, Ejercicio 3, Parte II, Opción B

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

a) La distribución de las medias muestrales es: 3

, 8'1, 8'1,0 '3100

N N Nn

Como el nivel de confianza es del 97%, podemos calcular 2

z

2

1 0'970'985 2'17

2z

Aplicando la fórmula, tenemos:

. . (8 '1 2 '17 0 '3) (7 '499;8'751)I C

b) 2

1 0'920 '96 1'76

2z

2

3 1'76 31 1'76 27 '87 28

1E n

n

El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley Normal de

media días y desviación típica 3 días.

a) Determine un intervalo de confianza para estimar , a un nivel del 97%, con una muestra

aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8’1 días.

b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar con un error

máximo de 1 día y un nivel de confianza del 92 %?.

SOCIALES II. 2008 JUNIO. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIÓN A

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

a) Escribimos todas las muestras posibles de tamaño 2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

b) Construimos la tabla para las medias muestrales:

x f x f 2x f

1 1 1 1

1’5 2 3 4,5

2 3 6 12

2’5 4 10 25

3 3 9 27

3’5 2 7 24’5

4 1 4 16

16 40 110

Media = 40

2'516

i i

i

x f

f

Varianza =

2

2 2 21102'5 0 '625

16

i i

i

x fx

f

Sea la población 1,2,3,4 .

a) Construya todas las muestras posibles de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio simple.

b) Calcule la varianza de las medias muestrales.

SOCIALES II. 2008 JUNIO. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIÓN B

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

a) El intervalo de confianza para la proporción viene dado por:

2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n

Con los datos del problema calculamos:

450 '15

300 p

2

1 0 '970 '985 2 '17

2

z

Luego, sustituyendo, tenemos:

0'15 0 '85 0 '15 0 '85. . 0 '15 2 '17 ,0 '15 2 '17 (0 '15 0 '0447) (0 '1053;0 '1947)

300 300

I C

b) 2

1 0 '950 '975 1'96

2

z

0'15 0'851'96 0'0404

300

E menor

Se desea estimar la proporción de individuos zurdos en una determinada ciudad. Para ello se

toma una muestra aleatoria de 300 individuos resultando que 45 de ellos son zurdos.

a) Calcule, usando un nivel de confianza del 97%, el correspondiente intervalo de confianza

para la proporción de individuos zurdos de la población.

b) ¿Sería mayor o menor el error de estimación si se usara un nivel de confianza del 95%?

Razone la respuesta.

SOCIALES II. 2008 RESERVA 1. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN A

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

2

1 0 '990 '995 2 '575

2

z

26 2'575 6

2 2'575 59'67 602

E n

n

Una variable aleatoria sigue una ley Normal con desviación típica 6. ¿De qué tamaño, como

mínimo, se debe elegir una muestra que nos permita estimar la media de esa variable con un

error máximo de 2 y una confianza del 99%?

SOCIALES II. 2008 RESERVA 1. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN B

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

El intervalo de confianza para la proporción viene dado por:

2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n

Con los datos del problema calculamos:

1

3p

2

1 0 '970 '985 2 '17

2

z

Luego, sustituyendo, tenemos:

1 2 1 2

1 1 13 3 3 3. . 2 '17 , 2 '17 ( 0 '1078) (0 '2255;0 '4411)3 90 3 90 3

I C

Tomada al azar una muestra de 90 alumnos de un Instituto se encontró que un tercio habla

inglés.

Halle, con un nivel de confianza del 97%, un intervalo de confianza para estimar la proporción

de alumnos de ese Instituto que habla inglés.

SOCIALES II. 2008 RESERVA 2. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN A

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

a) La distribución de las medias muestrales es: 1'2

, 2 '85,40

N Nn

Como el nivel de confianza es del 96%, podemos calcular 2

z

2

1 0 '960 '98 2 '06

2

z

Aplicando la fórmula, tenemos:

1'2. . (2 '85 2 '06 ) (2 '85 0 '3908) (2 '4592 ; 3'2408)

40 I C

b) 2

1'2 2'06 1'20'75 2'06 10'86 11

0'75

E n

n

El tiempo de utilización diaria de ordenador entre los empleados de una empresa sigue una

distribución Normal de media μ y desviación típica 1’2 horas.

a) Una muestra aleatoria de 40 empleados tiene una media del tiempo de utilización de 2’85

horas diarias. Determine un intervalo de confianza, al 96%, para la media del tiempo de

utilización diaria de ordenador.

b) Calcule el tamaño mínimo que debería tener una muestra para estimar la media del tiempo

de utilización diaria del ordenador con un error no superior a 0’75 horas y el mismo nivel de

confianza del apartado anterior.

SOCIALES II. 2008 RESERVA 2. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN B

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

a) La distribución de las medias muestrales es: 2'7

, 28, 28,0 '99

N N Nn

b)

26 28 29 28(26 29) ( 2 '22 1'11) ( 1'11) ( 2 '22)

0 '9 0 '9

( 1'11) 1 ( 2 '22) 0 '8665 1 0 '9868 0 '8533

p x p z p z p z p z

p z p z

El peso, en kg, de los alumnos de primaria de un colegio sigue una distribución Normal de

media 28 kg y desviación típica 2’7 kg. Consideremos muestras aleatorias de 9 alumnos.

a) ¿Qué distribución sigue la media de las muestras?.

b) Si elegimos, al azar, una de esas muestras, ¿cuál es la probabilidad de que su media esté

comprendida entre 26 y 29 kg?

SOCIALES II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN A

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

El intervalo de confianza para la proporción viene dado por:

2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n

Con los datos del problema calculamos:

600 '24

250 p

2

1 0 '970 '985 2 '17

2

z

Luego, sustituyendo, tenemos:

0'24 0'76 0'24 0'76. . 0 '24 2'17 ,0 '24 2'17 (0 '1814 ; 0 '2986)

250 250

I C

En un centro de anillamiento de aves se ha detectado que en una muestra de 250 ejemplares de

una especie, 60 son portadoras de una bacteria. Obtenga un intervalo de confianza, al 97%,

para la proporción de aves de esa especie que son portadoras de la bacteria.

SOCIALES II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN B

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

El intervalo de confianza para la proporción viene dado por:

2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n

Con los datos del problema calculamos:

4500 '375

1200 p

2

1 0 '900 '95 1'645

2

z

Luego, sustituyendo, tenemos:

0'375 0'625 0'375 0'625. . 0 '375 1'645 ,0 '375 1'645 (0 '3611 ; 0 '3889)

1200 1200

I C

En una muestra representativa de 1200 residentes de una ciudad, 450 utilizan habitualmente el

transporte público. Obtenga el intervalo de confianza, al 90%, de la proporción de residentes

en la ciudad que utilizan habitualmente el transporte público.

SOCIALES II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN A

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

a) La distribución de las medias muestrales es: 15

, 175, 175,325

N N Nn

Como el nivel de confianza es del 90%, podemos calcular 2

z

2

1 0 '900 '95 1'645

2

z

Aplicando la fórmula, tenemos:

. . (175 1'645 3) (170 '065 ; 179 '935) I C

b) 2

1 0 '950 '975 1'96

2

z

215 1'96 15

2'5 1'96 138'29 1392'5

E n

n

El consumo, en gramos, de un cierto producto sigue una ley Normal con varianza 2225 g .

a) A partir de una muestra de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral igual a 175 g.

Halle un intervalo de confianza, al 90%, para la media del consumo.

b) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de

confianza, al 95%, tenga una amplitud máxima de 5?

SOCIALES II. 2008 RESERVA 4. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN B

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

a) La distribución de las medias muestrales es: 4'5

, 200, 200,1'59

N N Nn

Como el nivel de confianza es del 97%, podemos calcular 2

z

2

1 0'970'985 2'17

2z

Aplicando la fórmula, tenemos:

. . (200 2 '17 1'5) (196 '745;203'255)I C

b) 2

4'5 2'17 4'51 2'17 95'35 96

1E n

n

La longitud de los cables de los auriculares que fabrica una empresa es una variable aleatoria

que sigue una ley Normal con desviación típica 4’5 cm. Para estimar la longitud media se han

medido los cables de una muestra aleatoria de 9 auriculares y se han obtenido las siguientes

longitudes, en cm:

205, 198, 202, 204, 197, 195, 196, 201, 202

a) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la longitud media de los cables.

b) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estos auriculares para que el

error de estimación de la longitud media sea inferior a 1 cm, con el mismo nivel de confianza

del apartado anterior.

SOCIALES II. 2008 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN A

www.emestrada.org

R E S O L U C I Ó N

El intervalo de confianza para la proporción viene dado por:

2 2

(1 ) (1 ). . ,

p p p pI C p z p z

n n

Con los datos del problema calculamos:

1400 '7

200p

2

1 0 '990 '995 2 '575

2z

Luego, sustituyendo, tenemos:

0'7 0 '3 0 '7 0 '3. . 0 '7 2 '575 ,0 '7 2 '575 (0 '6166;0 '7834)

200 200I C

Se ha aplicado un medicamento a una muestra de 200 enfermos y se ha observado una

respuesta positiva en 140 de ellos. Estímese, mediante un intervalo de confianza del 99%, la

proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se aplicase a la

población de la que se ha extraído la muestra.

SOCIALES II. 2008 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. PARTE II. OPCIÓN B