Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de...
Transcript of Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de...
![Page 1: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/1.jpg)
Matemáticas DiscretasCurso Propedéutico
Coordinación de Ciencias Computacionales
![Page 2: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/2.jpg)
Conjuntos
![Page 3: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/3.jpg)
Conjuntos
Se tiene un “sentimiento íntimo” de que un conjunto debe ser una colección bien definida de elementos. A estos elementos se les suele llamar objetos y se dice que son miembros del conjunto.
El adjetivo “bien definido” implica que cualquiera que sea el objeto considerado, se pueda determinar si está o no en el conjunto que se analiza.
Matemáticas Discretas 3
![Page 4: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/4.jpg)
Conjuntos
Conjunto: Colección finita o infinita de objetos en el que el orden, no tiene importancia.Se llama cardinalidad del conjunto, y se denota #A al número de elementos que forman el conjunto.Subconjunto: Una porción (B) de un conjunto (A). Cada elemento de B pertenece a A, y se denota B⊂A
Matemáticas Discretas 44
A
B
C
![Page 5: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/5.jpg)
Conjuntos
Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, C,..., para representar conjuntos, y minúsculas para los elementos.Dado un conjunto A
● Se escribe x ∈ A si x es un elemento de A;● y ∉ A indica que y no pertenece a A.
Matemáticas Discretas 5
![Page 6: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/6.jpg)
Conjuntos
Un conjunto se puede determinar enlistando sus elementos entre llaves como A = {1, 2, 3, 4, 5}, (determinación extensional).
Este conjunto también se puede determinar mediante una propiedad que indica cómo deben ser los elementos (determinación intencional). Entonces A también se puede escribir como A = {x | x es un entero, 1 ≤ x ≤ 5 }.
Matemáticas Discretas 6
![Page 7: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/7.jpg)
Conjuntos
Cuando se trata un problema particular, hay un universo o conjunto universal, formulado o implicado, del cual se seleccionan los elementos para formar los conjuntos.
EJEMPLO. Para el universo U = {1, 2, 3, 4, 5}, considérese un conjunto A = {1, 2}. Si B = {x | x2 ∈ U } los elementos de B son 1, 2. Como A y B tienen los mismos elementos se considera que son el mismo conjunto.
Matemáticas Discretas 7
![Page 8: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/8.jpg)
Conjuntos
Definición Para un universo U se dice que los conjuntos A y B(tomados de U) son iguales y se escribe A = B, si A y B contienen los mismos elementos.
De esta definición se deduce que ni el orden ni la repetición tienen importancia para un conjunto, de modo que {1, 2, 3} = {3, 1, 2} = {2, 2, 1, 3} = {1, 2, 1, 3, 1}.
Matemáticas Discretas 8
![Page 9: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/9.jpg)
Conjuntos
Un conjunto contable es aquel cuya cardinalidad es igual a la de (un subconjunto de) los números naturales.…en otras palabras es enumerable…observa que puede ser finito o infinito
En caso de ser infinito su cardinalidad es ℵ0.☞ NOTA: Observa que si es finito, entonces seguro es contable, pero si es infinito no es seguro.Ejemplo: Los enteros ℤ son contables.
Matemáticas Discretas 9
![Page 10: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/10.jpg)
Conjuntos
Un conjunto incontable o no contable es aquel que no es contable.Su cardinalidad es mayor a la de los números naturales i.e. mayor
que ℵ0, pero no necesariamente ℵ1.Ejemplo: Los reales ℝ son incontables.☞ NOTA: Uno de los grandes problemas en teoría de números es demostrar la cardinalidad de los números reales.
Matemáticas Discretas 10
![Page 11: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/11.jpg)
Conjuntos
EJEMPLO Para U = {1, 2, 3,... }, el conjunto de enteros positivos, sea:a) A = {1, 4, 9,...,64, 81} = {x2 | x ∈ U, x2 <100}.b) B = {1, 4, 9, 16} = {y2 | y∈ U, y2 < 20}c) C = {2, 4, 6, 8,...} = {2k | k∈ U }
A y B son ejemplos de conjuntos finitos, mientras que C se denomina conjunto infinito.
Matemáticas Discretas 11
![Page 12: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/12.jpg)
Conjuntos
Dado un conjunto finito A|A| denota el número de elementos en A y se denomina cardinalidad o tamaño de A.EJEMPLO Un nombre de variable en FORTRAN ANSI está formado por una sola letra seguida de a lo sumo, cinco caracteres (letras o dígitos). Si U es el conjunto de todos los nombres de variables, entonces, por las reglas de la suma y el producto |U| es 26 +26(36)+ 26(36)2+ ...+ 26(36)5 = 1 617 038 306de modo que U es un conjunto grande, pero todavía finito.
Matemáticas Discretas 12
![Page 13: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/13.jpg)
Subconjuntos
Definición Si C, D son conjuntos de un universo U, se dice que C es un subconjunto de D, y se escribe C ⊆ D o D ⊇ C si todo elemento de C es también un elemento de D.
Si existe algún elemento de D que no está en C, C se denomina subconjunto propio de D y se denota por C⊂ D o D ⊃ C.
Matemáticas Discretas 13
![Page 14: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/14.jpg)
Subconjuntos
Teorema Sea A, B ⊆ U. Entonces A = B si y sólo si, A ⊆ B y B ⊇ A.
Demostración Se deja como ejercicio
Matemáticas Discretas 14
![Page 15: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/15.jpg)
Subconjuntos
EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, 4, 5} con A = {1, 2, 3}, B = {3,4}, C = {1, 2, 3, 4}. Entonces se cumplen las siguientes relaciones de subconjuntos:a) A ⊆ C b) A ⊂ C c) B ⊂ C d) A ⊆ Ae) B ⊈ A (es decir, B no es un subconjunto de A)f) A ⊄ A
Matemáticas Discretas 15
![Page 16: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/16.jpg)
Subconjuntos
Teorema Sea A, B, C ⊆ U.● Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C. ● Si A ⊂ B y B ⊆ C, entonces A ⊂ C.● Si A ⊆ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.● Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.
Matemáticas Discretas 16
![Page 17: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/17.jpg)
Conjunto vacío
Definición El conjunto nulo o vacío es aquél que no contiene elementos y se denota por ∅ o {}.
Se observa que |∅| = 0, pero {0} ≠ ∅. Además, ∅ ≠ {∅}, pues {∅} es un conjunto con un elemento: el conjunto vacío.
Matemáticas Discretas 17
![Page 18: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/18.jpg)
Conjunto vacío
Interesa, en primer lugar, el caso en que dos conjuntos cumplen una relación de subconjuntos. Sin embargo, para los conjuntos A, B del universo U puede suceder que A no sea subconjunto de B. Esto se expresa por A ⊈ B y tiene lugar cuando hay algún elemento x ∈ A tal que x ∉ B.
Matemáticas Discretas 18
![Page 19: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/19.jpg)
Conjunto vacío
Teorema Para cualquier universo U, sea A⊆ U. Entonces ∅ ⊆ A; si A ≠ ∅ entonces ∅ ⊂ A.
Demostración Si el primer resultado no es verdadero, entonces ∅A, de modo que hay un elemento x del universo con x ∈ ∅, pero x ∉A. Pero x ∈ ∅ es imposible. Además, si A ≠ ∅, entonces hay un elemento a ∈ A (y a ∉ ∅), de modo que ∅ ⊂ A.
Matemáticas Discretas 19
![Page 20: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/20.jpg)
Operaciones de conjuntos
Definición Dados A, B ⊆ U, se definen las propiedades siguientes:a) A ∪ B (la unión de A y B) = {x | x ∈ A o x ∈ B}b) A ∩ B (la intersección de A y B) = { x | x ∈ A y x ∈ B}c) A △ B (la diferencia simétrica de A y B) =
A △ B ={x | x ∈ A o x ∈ B, pero x ∉A ∩ B}
Matemáticas Discretas 20
![Page 21: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/21.jpg)
Operaciones de conjuntos
La unión o conjunción de dos eventos (conjuntos) es el evento que incluye a todos los desenlaces que pertenecen sólo a A, sólo a B, o a ambos A y B.A⋃BImplicaciones:
● No exclusividad. Los elementos que pertenecen● a A y a B son parte de A⋃B● Si ocurre A entonces ocurre A⋃B● Si ocurre B entonces ocurre A⋃B
Matemáticas Discretas 21
S
B
A
A
⋃B
![Page 22: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/22.jpg)
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Lanzar dos dados
Matemáticas Discretas 22
x=3: A={(1,2),(2,1)}
x=4: B={(1,3),(2,2),(3,1)}
x=6: C={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
A⋃B={(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1)};
B⋃C={(1,3),(2,2),(3,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
;
A⋃C={(1,2),(2,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)};
A
B
C
![Page 23: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/23.jpg)
Operaciones de conjuntos
La intersección de dos eventos (conjuntos) es el evento que incluye a aquellos desenlaces que pertenecen a ambos A y B.A⋂BImplicaciones:Si ocurre A⋂B entonces ocurren A y B
Matemáticas Discretas 23
S
B
A
A
⋂B
![Page 24: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/24.jpg)
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Lanzar dos dados
x=3: A={(1,2),(2,1)}
x=4: B={(1,3),(2,2),(3,1)}
x=1er dado sacó 2: C={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
A⋂B= ∅;
B⋂C={(2,2)};
A⋂C={(2,1)};
Matemáticas Discretas 24
A
BC
![Page 25: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/25.jpg)
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Escoger una cartax=Figuras: A={OZ,OC,OR,BZ,BC,BR,EZ,EC,ER,CZ,CC,CR}
x=Oros: B={O1,O2,O3,O4,O5,O6,O7,OZ,OC,OR}
x=Ases: C={O1,B1,E1,C1}
A⋂B={OZ,OC,OR}
B⋂C={O1}
A⋂C=∅
Matemáticas Discretas 25
![Page 26: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/26.jpg)
Operaciones de conjuntos
Dos conjuntos A y B son disjuntos o mutuamente
excluyentes si no contienen desenlaces comunes; es decir, si
su intersección es el conjunto vacio
A⋂B=∅
Implicaciones:● Si ocurre A, entonces no ocurre B
● Si ocurre B, entonces no ocurre A
Matemáticas Discretas 26
A
S
B
A
![Page 27: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/27.jpg)
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Escoger una carta
x=Figuras:
A={OZ,OC,OR,BZ,BC,BR,EZ,EC,ER,CZ,CC,CR}
x=Oros: B={O1,O2,O3,O4,O5,O6,O7,OZ,OC,OR}
x=Ases: C={O1,B1,E1,C1}
A⋂B={OZ,OC,OR}
B⋂C={O1}
A⋂C=∅Figuras y Oros no son disjuntos
Oros y Ases no son disjuntos
Figuras y Ases son disjuntos
Figuras, Oros y Ases no son disjuntosMatemáticas Discretas 27
![Page 28: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/28.jpg)
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: AmoniácidosLeucina: A={UUA,UUG,CUU,CUC,CUA,CUG}
Metionina: B={AUG}
Valina: C={GUU,GUC,GUA,GUG}
Leucina ∩ Metionina=∅Leucina ∩ Valina=∅Metionina ∩ Valina=∅Leucina, Metionina y Valina son mutuamente excluyentes
Matemáticas Discretas 28
![Page 29: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/29.jpg)
Operaciones de conjuntos
Si A, B ⊆ U, entonces A ∪ B, A ∩ B, A △ B ⊆ U. Por tanto son operaciones binarias en P ( U)También se puede decir que en estas operaciones P (U) es cerrado.
Matemáticas Discretas 29
![Page 30: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/30.jpg)
Operaciones de conjuntos
EJEMPLO Con U={1,2,3, ... ,9,10}, A={1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,7}, C={7,8,9} tenemos
a) A∩B = {3, 4, 5} b) A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
c) B∩C = {7} d) A∩C = ∅e) A△B = {1, 2, 6, 7} f) A∪C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
g) A△C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
Matemáticas Discretas 30
![Page 31: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/31.jpg)
Operaciones de conjuntos
Definición Si S, T⊆ U, cuando S ∩ T = ∅, entonces S y T se denominan disjuntos o mutuamente disjuntos.
Teorema Si S, T⊆ U, S ∪ T = S △ T si y sólo si S y T son disjuntos.
Matemáticas Discretas 31
![Page 32: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/32.jpg)
Operaciones de conjuntos
Demostración Se comienza con S, T disjuntos. Si x∈S∪T, entonces x∈S o x∈T (o ambos). Pero como S y T son disjuntos, x∉S∩T, de modo que x∈S△T. Por tanto, como x∈S∪T implica que x∈S△T, resulta S∪T⊆S△T. Para la inclusión opuesta, si y∈S△T, entonces y∈S o y∈T. De modo que y∈S∪T . Por tanto, S△T⊆S∪T y por lo tanto resulta que S△T = S ∪T.A la inversa , si S∪T=S△T y suponiendo que S∩T≠∅, sea x∈S∩T . Entonces, x∈S y x∈T , de modo que x∈S∪T. Sin embargo, x∉S△T lo cual contradice la igualdad de conjuntos dada. En consecuencia, S y T son disjuntos.
Matemáticas Discretas 32
![Page 33: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/33.jpg)
Operaciones de conjuntos
Se dice que un evento es el complemento de otro evento A,
si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que
no pertecen a A, y se denota Ac.Implicaciones:
● Ac es el evento de que no ocurra A.● Si ocurre A, entonces no ocurre Ac.● Si ocurre Ac entonces no ocurre A
Matemáticas Discretas 33
S
A
Ac
![Page 34: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/34.jpg)
Operaciones de conjuntos
Definición Para un conjunto A ⊆ U, el complemento de A, denotado por U - A o Ac , está dado por {x | x∈ U, x∉A }. Para U ={1,2,3, ... ,9,10}A={1,2,3,4,5}, B={3,4,5,6,7}, y C={7,8,9}Ac ={6, 7, 8, 9, 10},Bc ={1, 2, 8, 9, 10}, Cc ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}
Matemáticas Discretas 34
![Page 35: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/35.jpg)
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Lanzar una monedaAguila/Cara: A={anverso}Sol/Cruz: B={reverso}
A=Bc; Ac=B
Matemáticas Discretas 35
![Page 36: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/36.jpg)
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Lanzar un dadox=2: A={2}x=Par: B={2,4,6}x=Impar: C={1,3,5}B=Cc; Bc=CAc={1,3,4,5,6}
Matemáticas Discretas 36
![Page 37: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/37.jpg)
Operaciones de conjuntos
Ejemplo: Edad de una persona en años
x=3ª edad: A={x≥65, x∈N+}
x=votante: B={x≥18, x∈N+}
x=reservista: C={x≥18 ⋀ x<45, x∈N+}
Ac={x<65, x∈N+};
Bc={x<18, x∈N+};
Cc={x<18 ∨ x≥45, x∈N+}
Matemáticas Discretas 37
![Page 38: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/38.jpg)
Operaciones de conjuntos
Definición Para A, B ⊆ U, el complemento (relativo) de A en B, denotado por B – A , está dado por {x | x ∈ B, x ∉ A}.
Para U={1,2,3, ... ,9,10}A={1,2,3,4,5}, B={3,4,5,6,7}, y C={7,8,9} se tiene:
a) B – A ={6,7} b) A – B = {1, 2} c) A – C = Ad) C – A = C e) A – A = ∅ f) U – A = AC
Matemáticas Discretas 38
![Page 39: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/39.jpg)
Operaciones de conjuntos
Teorema Las siguientes proposiciones son equivalentes para los conjuntos A, B ⊆ Ua) A ⊆ B b) A ∪ B = B c) A ∩ B = A d) BC⊆AC
1) a)⇒b) Si A, B son conjuntos cualesquiera, entonces B⊆A∪B. Para la inclusión opuesta, si x∈A∪B, entonces x∈A o x∈B, pero como A⊆B, en ambos casos se tiene x∈B; de modo que A∪B⊆B y resulta la igualdad.2) b)⇒c) Dados los conjuntos A, B, siempre se tiene que A⊇A∩B. Para la inclusión opuesta, sea y∈A. Si se tiene A∪B=B, y∈A⇒y∈A∪B⇒ y∈B⇒ y∈A∩B, entonces A⊆A∩B y se concluye que A=A∩B.
Matemáticas Discretas 39
![Page 40: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/40.jpg)
Operaciones de conjuntos
Teorema Las siguientes proposiciones son equivalentes para los conjuntos A, B ⊆ Ua) A ⊆ B b) A ∪ B = B c) A ∩ B = A d) BC⊆AC
3) c)⇒d) z∈BC ⇒ z∉B⇒ z∉A∩B, pues A∩B⊆B. Con A∩B=A, z∉A∩B⇒ z∉A⇒ z∈ AC , de modo que BC ⊆ AC .4) d)⇒a) Por último, w∈A⇒ w∉ AC y como BC ⊆ AC , w∉ AC ⇒ w∉
BC ⇒ w∈B , y A⊆B.
Matemáticas Discretas 40
![Page 41: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/41.jpg)
Operaciones de conjuntos
Debe tener alguna importancia que las leyes 2 a 10 se presenten por pares. Estos pares se llaman duales. Una proposición se puede obtener a partir de la otra intercambiando en todos los casos en que se presente ∪ por ∩, y viceversa, y donde aparezca U por ∅, y viceversa.
Matemáticas Discretas 41
![Page 42: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/42.jpg)
Operaciones de conjuntos
Teorema (El principio de dualidad) Si s es un teorema que trata de conjuntos e incluye sólo –, ∩, ∪, e =, entonces el dual de s también es un teorema de la teoría de conjuntos.
Este principio reduce el trabajo de forma considerable. Para cada par de las leyes 2 a 10 sólo se necesita demostrar una de las proposiciones y recurrir a este principio para obtener la otra proposición del par.
Matemáticas Discretas 42
![Page 43: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/43.jpg)
Operaciones de conjuntos
Matemáticas Discretas 43
Definición Denótese por I un conjunto de índices. Si para cada índice i∈I hay un conjunto Ai ⊆ U
y
Obsérvese que si x∉ Ai, para todo índice i∈I .Si x∉ Ai para al menos un índice i ∈ I, entonces .
![Page 44: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/44.jpg)
Operaciones de conjuntos
Matemáticas Discretas 44
Si el conjunto de índices I es el conjunto Z+, se puede escribir:
![Page 45: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/45.jpg)
Operaciones de conjuntos
Matemáticas Discretas 45
EJEMPLO Sea I = {3,4,5,6,7}, y para i∈I seaAi = {1,2,3,...,i}⊆ U = Z+. Entonces,
mientras que
EJEMPLO Sea U = R e I = R+. Si para cada r ∈ R+,Ar = [-r, r] entonces = R, ={0}.
![Page 46: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/46.jpg)
Operaciones de conjuntos
Matemáticas Discretas 46
Teorema (Leyes de DeMorgan generalizadas) Sea I un conjunto de índices, donde para cada
a) b)
![Page 47: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/47.jpg)
▪ Ejercicio: Sean los conjuntos▪ S={0,...,40}
▪ A={2, 3, 5, 6, 14, 28, 32}
▪ B={0, 1, 3, 5, 16, 17, 21, 28, 30, 31, 32, 33}
▪ C={1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 24, 28}
Encuentre: a) A∩B, b) B⋃C, c) A⋃(B⋂C), d) Bc⋂C
Matemáticas Discretas 47
Solución:
a) A∩B={3,5,28,32}
b) B⋃C={0,1,2,3,4,5,8,9,10,16,17,18,21,24,28,30,31,32,33}
c) (B⋂C)={1,5,16,28}
A⋃(B⋂C)={1,2,3,5,6,14,16,28,32}
a) Bc={2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,18,19,20,22,23,24,25,26,27,29,34,3
5,36, 37,38,39,40}
Bc⋂C={2,4,8,9,10,18,24}
![Page 48: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/48.jpg)
▪ Ejercicio: Sean los conjuntos A, B y C de la figura. Encuentre
fórmulas que definan cada uno de los 8 eventos disjuntos indicados
[DeGroot, 2012, Ch1]
Matemáticas Discretas 48
Solución:
1: {A ∩ B ∩ C}
2: {A ∩ Bc ∩ C}
3: {Ac ∩ B ∩ C}
4: {A ∩ B ∩ Cc}
5: {A ∩ Bc ∩ Cc}
6: {Ac ∩ B ∩ Cc}
7: {Ac ∩ Bc ∩ C}
8: {Ac ∩ Bc ∩ Cc}
S
12 3
45 6
7 8
AB
C
Pista: Piensa en binario
![Page 49: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/49.jpg)
▪ Ejercicio: Dados los tres colores primarios R, G, y B,
Enumere el espacio de búsqueda de una imagen de 3
pixeles, si cada pixel sólo puede tomar un color cada
vez.
Matemáticas Discretas 49
Solución:
S={RRR,RRG,RRB, RGR, RGG,RGB,
RBR,RBG,RBB,
GRR,GRG,GRB, GGR, GGG,GGB,
GBR,GBG,GBB,
BRR,BRG,BRB, BGR, BGG,BGB,
BBR,BBG,BBB}
![Page 50: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/50.jpg)
▪ Ejercicio: Solución
Demostración de la igualdad de izquierda a derecha:
▪ Sea x un desenlace en A⋃(B⋂C), entonces x está contenido en A o contenido en la
intersección entre B y C.
▪ Si x está contenido en A; entonces, también está contenido en la unión de A con
B. Así mismo, x también está contenido en la unión de A con C. Por tanto, x está
contenido en la intersección de la unión de A con B y la unión de A con C.
▪ Si x está contenido en la intersección entre B y C; entonces x está contenido en
B y x está contenido en C. Ya que x está contenido en B, también está contenido
en la unión de A con B. Así mismo, x está contenido en la unión de A con C. Por
tanto, x está contenido en la intersección de la unión de A con B y la unión de A
con C.
Esto prueba que A⋃(B⋂C) ⊂ (A⋃B) ⋂ (A⋃C)
▪ Pero esto, no es la igualdad; falta la demostración de derecha a izquierda.
Matemáticas Discretas 50
![Page 51: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/51.jpg)
▪ Ejercicio: Solución (cont.)
Demostración de derecha a izquierda:
▪ Sea x un desenlace en (A⋃B) ⋂ (A⋃C). Entonces x está contenido en la unión de A
y B, así como en la unión de A y C. Al estar contenido en la unión de A y B, x está
contenido o bien en A, o bien en B (o en ambos).
▪ Si está en A, entonces está en la unión de A con (B⋂C).
▪ Si está en B y no en A, como pertenece a la intersección (A⋃B) ⋂ (A⋃C), pero
no está en A, eso significa ¡que tiene que estar en C!, y por ende, como está en
B y C, entonces está en la intersección de B y C.
Esto prueba que (A⋃B) ⋂ (A⋃C) ⊂ A⋃(B⋂C)
▪ Entre la demostración de izquierda a derecha y la de derecha a izquierda queda
demostrada la igualdad, c.q.d.
Matemáticas Discretas 51
![Page 52: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/52.jpg)
▪ Ejercicio: Demostrar la propiedad distributiva de la
unión sobre la intersección, y de la intersección sobre la
unión:
A⋂(B⋃C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)
Matemáticas Discretas 52
Solución: La solución es análoga a la demostración de la propiedad distributiva de la unión
sobre la intersección. Se deja como ejercicio.
![Page 53: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/53.jpg)
Leyes de la teoría de conjuntos
Idempotencia:X∪X=X X∩X=XConmutativa:X∪Y=Y∪X X∩Y=Y∩XAsociativa:(X∪Y)∪Z= X∪(Y∪Z) (X∩Y)∩Z=X∩(Y∩Z)
Matemáticas Discretas 53
![Page 54: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/54.jpg)
Leyes de la teoría de conjuntos
Distributiva:
X∪(Y∩Z)= (X∪Y)∩(X∪Z)
X∩(Y∪Z)=(X∩Y)∪(X ∩ Z)
Identidad:
X∪∅=X
X∩S=X
Dominación:
X∪S=S
X∩∅=∅
Matemáticas Discretas 54
![Page 55: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/55.jpg)
Leyes de la teoría de conjuntos
Complemento:
X∪Xc=S
X=(Xc)c
X∩Xc=∅De Morgan:
(X∪Y)c=Xc∩Yc
(X∩Y)c=Xc∪Yc
S-(X∪Y)= (U-X)∩(U-Y)
S-(X∩Y)= (U-X)∪(U-Y)
Matemáticas Discretas 55
![Page 56: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/56.jpg)
Diagrama de Venn
Un diagrama de Venn, se construye como sigue: U se representa por el interior de un rectángulo, mientras que sus subconjuntos se representan por círculos interiores y otras curvas cerradas.
Matemáticas Discretas 56
![Page 57: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/57.jpg)
Diagrama de Venn
En la figura se usan diagramas de Venn para establecer una de las leyes de DeMorgan.
Matemáticas Discretas 57
![Page 58: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/58.jpg)
Diagrama de Venn
Diagrama de Venn numerando regiones
Matemáticas Discretas 58
La región 3 es Ac ⋂ B⋂ Cc y la región 7 es A⋂ Bc ⋂ Cc. Cada región es un
![Page 59: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/59.jpg)
Diagrama de Venn
Matemáticas Discretas 59
A ∪ B está formado por las regiones 2, 3, 5, 6, 7, 8, de modo que (AAl desarrollar (A⋃ B)c ⋃ C está formado por las regiones 1, 4, 6, 7,
![Page 60: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/60.jpg)
Diagrama de Venn
Matemáticas Discretas 60
El conjunto Ac consta de las regiones 1, 3, 4, 6, mientras que las regiones
![Page 61: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/61.jpg)
Diagrama de Venn
Matemáticas Discretas 61
Los conjuntos A, B de la figura no tienen intersección, así queaquí la regla de la suma da lugar a |A ⋃ B| = |A| + |B|, y esnecesario que A, B sean finitos, pero no requiere condiciónalguna sobre la cardinalidad de U.
![Page 62: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/62.jpg)
Diagrama de Venn
Matemáticas Discretas 62
EJEMPLO En una clase de 50 alumnos de primero de universidad,30 estudian BASIC, 25 Pascal, y 10 los dos lenguajes. ¿Cuántosalumnos estudian uno de los lenguajes de programación?.
![Page 63: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/63.jpg)
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 63
Definición Dados los conjuntos A, B ⊆ U, el producto cartesiano ocruz de A, B se define por A × B y es igual a
AXB = {(a,b)| a ∊ A, b ∊ B}
Se dice que los elementos de A × B son pares ordenados. Para (a,b), (c, d) ∈ A × B, se tiene que (a, b) = (c, d) si y sólo si, a = c y b =d.
![Page 64: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/64.jpg)
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 64
Si A, B son finitos, por la regla del producto resulta que A × B = |A|
Además aunque A, B ⊆ U, no es necesario que A × B ⊆ U, de modo que U
![Page 65: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/65.jpg)
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 65
EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces,a) A × B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}.b) B × A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}.c) B2=B × B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}d) B3=B × B × B = {(a,b,c)|a,b,c∊B} ; (4, 5, 5)∈B3.
![Page 66: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/66.jpg)
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 66
EJEMPLO Si U =R, R × R = se conoce como el plano real de la geometría
![Page 67: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/67.jpg)
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 67
EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza
Denótese por E1 la primera parte del experimento E y sea M1 = {1, 2,
![Page 68: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/68.jpg)
Producto cartesiano
Matemáticas Discretas 68
Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama
![Page 69: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/69.jpg)
Conjunto potencia
Definición Si A es un conjunto del universo U, el conjunto potenciade A, denotado por P(A), es la colección de todos los subconjuntos de A.
Para cualquier conjunto finito A con |A| = n ≥ 0, A tiene 2n
subconjuntos, de modo que |P(A)| = 2n .
Matemáticas Discretas 69
![Page 70: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/70.jpg)
Conjunto potencia
Conjunto potencia (sobre Ω): El conjunto
potencia es el conjunto Σ de todos los
subconjuntos de Ω.
Matemáticas Discretas 70
![Page 71: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/71.jpg)
Conjunto potencia
EJEMPLO
sea A={x, y, z}
Su conjunto potencia,
P(A)={{},{x},{y},{z},{x, y},{x, z},{y, z},{x, y, z}}
Matemáticas Discretas 71
![Page 72: Matemáticas Discretas - INAOE...Operaciones de conjuntos Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022071500/611e5c1521a9535a7d094fce/html5/thumbnails/72.jpg)
Gracias
Matemáticas Discretas 72