MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2 · 2015-08-24 · inversión es útil la matemática financiera, ya que...
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Jesús Rodríguez FrancoAlberto Isaac Pierdant RodríguezElva Cristina Rodríguez Jiménez
primera edición ebook 2014
MATEMÁTICASFINANCIERAS 2
Grupo Editorial Patria®División Bachillerato, Universitario y Profesional
Serie integral por competencias
Derechos reservados:
©2014, Jesús Rodríguez Franco / Alberto Isaac Pierdant Rodríguez /Elva Cristina Rodríguez Jiménez©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
ISBN ebook: 978-607-438-999-9
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43
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Impreso en México / Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
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Grupo Editorial Patria®
1.1 Interés y monto compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Monto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Número de periodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Comparación del interés simple con
el interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Valor actual o presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 1.2 Tasas de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 Tasas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Tasa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Tasa nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Ecuación de valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Tiempo equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Fórmulas empleadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
BLO
QUE
1 Resuelves casos de interés compuesto
Contenido
Introducción a la asignatura y a tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
Competencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . VII
Competencias disciplinares extendidas del campo de Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Las secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
2.1 Anualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Clasificación de las anualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Anualidades vencidas u ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Monto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Valor actual o presente (A o VP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 2.2 Anualidades anticipadas y diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 Monto en anualidades anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Valor actual en anualidades anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Renta en anualidades anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 Plazo en anualidad anticipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 Anualidades diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 Monto en anualidades diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
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2Calculas tipos de anualidades
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Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1 Depreciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Valor del bien adquirido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Costo del bien o servicios que tiene un activo . . . . . . . . . . 117
Método de línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Método del porcentaje fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Depreciación e inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Método de la suma de dígitos o enteros . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Método de unidades de producción o servicio . . . . . . . . . 134
Método del fondo de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Fórmulas empleadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
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4 Calculas depreciación de activos fijos
Valor presente en anualidades diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 Renta en anualidades diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 Plazo en anualidades diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 Tasa de interés en anualidad vencida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 Tasa de interés en anualidad anticipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 Anualidades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 Valor actual en anualidades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 Anualidades perpetuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 Valor de la renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 Ejemplos con Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 Fórmulas empleadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
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2Calculas tipos de anualidades
3.1 Amortizaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Amortización constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Amortización con renta variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Amortización gradual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Diferir el inicio de los pagos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 Inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Derechos transferidos de un bien con inflación. . . . . . . . 102 Cambio de tasas de interés y amortización constante . . 103 Unidades de Inversión (UDI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Fondos de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
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3 Aplicas amortización de créditos
Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Vínculos en internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
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V
Grupo Editorial Patria®
Introducción a la asignatura y a tu libro
La matemática financiera es de gran utilidad en áreas como la administración, la economía y en diversas ramas de la ingeniería; en donde es utilizada como auxiliar en cálculos de la ingeniería económica; valuar inversiones en maquinaria, equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y, en general, en cualquier inversión que signi-fique un proceso en el cual se realice una evaluación de un proyecto. Pero no sólo en estas áreas sofisticadas de la inversión es útil la matemática financiera, ya que un pequeño inversionista puede utilizarla para analizar opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan tener mejores condiciones de vida.
Este libro Matemáticas Financieras 2 está dirigido de manera especial a estudiantes de nivel medio superior, así como a profesores y futuros profesionistas de la administración, contaduría, economía y finanzas, que en una forma directa requieran del uso de esta matemática para analizar de manera sencilla, pero objetiva, los problemas que se les presenten sobre la inversión de un capital, la solicitud de un crédito, la compra de un equipo o una ma-quinaria, o cualquier operación monetaria que involucre una decisión de inversión.
La obra responde a la actualización de los programas de la Dirección General de Bachillerato (DGB), Su estruc-tura propicia en el estudiante la construcción de su aprendizaje en forma cotidiana a partir del enfoque educativo basado en competencias. El libro está estructurado para que el alumno se fije metas de autoconocimiento y mo-tivación en forma individual o grupal, a partir de sus habilidades y conocimientos previos o competencias, para alcanzar un nivel cognitivo superior y de desarrollo que lo vincule con el acontecer cotidiano y los problemas financieros reales.
Los conceptos se presentan con un lenguaje ameno, los ejemplos van de lo sencillo a la mediana complejidad, con la idea de que el estudiante adquiera confianza y seguridad, al estudiarlos en forma individual, por equipos o en grupo, la mayorparte son casos reales y algunos hipotéticos. Los problemas que se presentan en cada bloque tienen como objetivo reforzar el desarrollo de estrategias, hábitos y técnicas que el alumno utiliza para incorporar nuevos conocimientos y experiencias. Al inicio de cada bloque se plantea una situación didáctica, la cual emplea un problema de aplicación financiera real y la secuencia didáctica propuesta lo posibilita a analizar e identificar los elementos que conforman el problema, con lo anterior el estudiante podrá contestarse la pregunta: ¿en donde voy a aplicar lo que estoy estudiando? Esta pregunta, encuentra una respuesta más completa en el momento que lleva a la práctica el proyecto de trabajo, porque al entrevistar a los funcionarios de la empresa financiera, de supermer-cados, mueblerías, casas de empeño, entre otras, le permite resolver todas sus dudas y reforzar el conocimiento adquirido en la escuela con respecto al bloque en estudio.
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Jesús Rodríguez Franco Alberto Isaac Pierdant RodríguezElva Cristina Rodríguez Jiménez
MATEMÁTICASFINANCIERAS 2
VI
Introducción a la asignatura y a tu libro Grupo Editorial Patria®
En nuestro país la realidad comercial y sobre todo la financiera se han influenciado por los avances tecnológicos que más impactan a la sociedad. Algunas son las calculadoras científicas, financieras, las computadoras modernas, las tabletas y los buscadores de información a través del Internet. El manejo de la computadora y sus programas de cálculo, como la hoja electrónica Excel e Internet, han permitido a los analistas de datos financieros obtener resultados de manera rápida y certera, y lograr al mismo tiempo un máximo beneficio que se refleja en atractivos rendimientos en sus inversiones. Por esta razón, nos hemos preocupado por incluir en cada bloque, problemas financieros que muestren una solución mediante el uso de la hoja electrónica Excel, la calculadora científica y las ligas de búsqueda en Internet, que fortalece la aplicación de las tecnologías de la información y la comunicación.
El contenido del texto está dividido en cuatro bloques:
1. Resuelves casos de interés compuesto
2. Calculas tipos de anualidades
3. Aplicas amortización de créditos
4. Calculas depreciación de activos fijos
Bloque 1Se inicia con un problema de aplicación, interés compuesto, monto compuesto, comparación del interés simple con el interés compuesto, valor actual o presente y el tiempo, después se analiza el concepto y forma de cálculo de las tasas de interés equivalentes, efectivas y nominal, también explica la manera de calcular por aproximación a la tasa de interés compuesto, después se presentan ejemplos contextualizados de inflación, ecuación de valor y tiempo equivalente, así como problemas resueltos en la hoja electrónica Excel.
Bloque 2Se estudia la clasificación de las anualidades, el cálculo del valor futuro, el valor presente, el plazo y la renta para las anualidades simples o vencidas, anticipadas, diferidas, generales, perpetúas y problemas resueltos en la hoja electrónica Excel.
Bloque 3Al inicio se plantea la compra de un taladro de banco (industrial) a crédito, se estudian los conceptos de anualidad, la clasificación de las anualidades y se continúa con la amortización gradual, los derechos del deudor y el acreedor. También casos contextualizados cómo: la amortización de una deuda, hipotecas, inflación, refinanciamiento de un crédito y fondos de amortización.
Bloque 4Se analiza a qué activos fijos se aplica la depreciación y en cuáles no. Después se estudian los métodos: de la línea recta, porcentaje fijo, suma de dígitos, de unidades de producción o servicio y de fondo de amortización. También utiliza la hoja electrónica Excel para la solución de los ejemplos y elaborar cuadros de depreciación.
Al final mencionamos, que el contenido y estructura de cada bloque está enfocado para que el alumno de bachi-llerato alcance el proceso de comprensión y aprendizaje de las matemáticas financieras, para resolver en un futuro no muy lejano problemas de su vida cotidiana o como usuarios de ésta en la empresa en donde lleguen a laborar.
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VII
Introducción a la asignatura y a tu libro Grupo Editorial Patria®
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para
continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con-vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro-
piados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Competencias disciplinares extendidas del campo de MatemáticasBloques de aprendizaje
1 2 3 4
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
X X X X
2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. X X X X
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos a situaciones reales.
X X X X
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemáticos y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
X X X X
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. X X
Competencias disciplinares extendidas del campo de Matemáticas
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4
BLOQUE 1 Aplica la electricidad en su entorno natural
Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías?
Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer?
Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
¿Cómo podemos explicar en equipo las ideas clave y los conceptos principales referentes a alguno de los siguientes temas?:
Formas de electrizar los objetos, electroscopio, materiales conductores y aislantes.
Ley de Coulomb, campo eléctrico, potencial eléctrico y dife-rencia de potencial.
Corriente eléctrica, intensidad de la corriente eléctrica y fuer-za electromotriz.
Ley de Ohm, circuitos eléctricos y conexión de resistencias en serie, paralelo y mixtas.
Potencia eléctrica, efecto Joule y leyes de Kirchho .
Capacitores eléctricos, electroquímica y ley de Faraday de la electrólisis.
A continuación se lista una serie de acciones que debes seguir para responder la pregunta correspondiente a la situación didáctica. Recuerda que es muy importante que las realices con responsabili-dad, actitud cientí ca, entusiasmo y compañerismo.
1. Formen un equipo de tres o cuatro integrantes, pónganse de acuerdo entre ustedes y su profesor(a) con respecto al tema que desarrollarán. Después decidan la manera en que se orga-nizarán para la realización de su investigación bibliográ ca y vía Internet.
2. Apóyense en este libro para hacer la lectura de los conceptos involucrados referentes al tema que seleccionaron, consulten otras fuentes de información que tengan a su alcance: enciclo-pedias, libros, revistas, videos o vía Internet.
3. Identi quen las ideas clave, así como los principales concep-tos involucrados y escríbanlos en su cuaderno o en su compu-
tadora. Deben estar seguros de que comprenden la lectura y en caso de que les surjan dudas en términos o conceptos deben anotarlas en su cuaderno o en su computadora para que a la brevedad posible las resuelvan, ya sea consultando las fuentes de información a su alcance o apoyándose en su profesor(a).
4. Una vez que se han puesto de acuerdo en la selección de la información más relevante, elaboren un resumen o síntesis, primero en su cuaderno y/o computadora.
5. Cuando lo indique su profesor(a), participen todos de mane-ra organizada en la exposición de su investigación realizada, pueden hacerla apoyándose en cartulinas, papel rotafolio o en un programa en su computadora como PowerPoint. Es muy importante el uso de imágenes o fotografías.
Criterios que debes seguir para resolver la pregunta hecha en la si-tuación didáctica, los cuales serán de utilidad para que tú mismo y tu profesor(a) puedan evaluar y valorar tu desempeño:
1. Lee con atención lo referente al tema seleccionado, tanto en tu libro de texto como en las fuentes de información consultadas.
2. Participa con interés y curiosidad cientí ca en el intercambio de ideas, conocimientos y experiencias con tus compañeros(as), lo que favorecerá su aprendizaje y les posibilitará aprender unos de otros.
3. Colabora activamente en la identi cación de las ideas clave y los principales conceptos involucrados.
4. Participa de manera propositiva y respetuosa en la elabora-ción del resumen o síntesis que contendrá la información más relevante que seleccionaron.
5. Ponte de acuerdo con tus demás compañeros de equipo en la parte que te tocará exponer ante los demás equipos y cuál será el apoyo que seleccionarás para tu exposición; hazlo con responsabilidad, compromiso e interés cientí co.
AutoevaluaciónCon el propósito de que re exiones acerca de los resultados ob-tenidos después de resolver la pregunta formulada en la situación didáctica, responde lo siguiente en tu cuaderno.
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Anexo 3
3Anexo
Constantes físicas y sus valores
Velocidad de la luz en el vacío C 5 2.998 3 108 m/s < 3 3 108 m/s
Masa de la Tierra mT 5 5.98 3 104 kg
Radio de la Tierra rT 5 6.37 3 106 m
Velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol yT 5 30 km/s 5 108 000 km/h
Velocidad de rotación de la Tierra en el ecuador yR 5 463 m/s 5 1 666.66 km/h
Masa de la Luna mL 5 7.25 3 1022 kg
Radio de la Luna rL 5 1.738 3 106 m
Masa en reposo del electrón me 5 9.109 3 10231 kg
Masa en reposo del protón mp 5 1.673 3 10227 kg
Masa en reposo del neutrón mn 5 1.675 3 10227 kg
Unidad de masa atómica u 5 112 masa del C12 5 1.660 3 10227 kg
Energía de un electrón volt eV 5 1.602 3 10219 J
Carga del electrón e2 5 21.602 3 10219 C
Carga del protón P 1.602 3 10219 C
Número de Avogadro NA 6.022 3 1023 moléculas/mol
Constante universal de los gases R 5 8.314 J/K mol
Aceleración normal de la gravedad g 5 9.80665 m/s2
Constante de gravitación universal G 5 6.670 3 10211 Nm2/kg2
Presión atmosférica normal Pn 5 760 mm de Hg 5 1.034 kgf /cm2
Cero absoluto 0 k = 2273.15 °C
Equivalente mecánico del calor 1 cal 5 4.186 J
Constante de Coulomb o electrostática KE 5 8.987 3 109 Nm2/C2
Constante de Planck h 5 6.626 3 10234 Js
Constante magnética KM 5 1027 N/A2
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Grupo Editorial Patria®
Bibliografía
BásicaHewi , Paul G., Física conceptual. México, 9ª. Edición, Pearson Educación, 2004.
Pérez Montiel, Héctor., Física general. México, 5a. edición, Grupo Editorial Patria, 2010.
Tippens, Paul E., Física, conceptos y aplicaciones. México, 6ª. Edición. McGraw-Hill, 2001.
ComplementariaGiancoli, C., Física, principios con aplicaciones. México, 6ª. Edición, Pearson, 2006.
Raymond, A., Fundamentos de física. México, 6ª. Edición, omson Learning, 2004.
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BLOQUE 1 Aplica la electricidad en su entorno natural
Circuitos eléctricos y conexión de resistencias en serie, en paralelo y mixtasUn circuito eléctrico es un sistema en el cual la corriente uye por un conductor en una trayectoria completa, es decir, cerrada, debido a una diferencia de potencial. Un foco conectado a una pila por medio de un conductor es un ejemplo de un circuito eléctrico básico ( gura 1.42).
En cualquier circuito eléctrico por donde se desplazan los electro-nes a través de una trayectoria cerrada, existen los siguientes ele-mentos fundamentales:
1. Calcular la intensidad de la corriente que pasará por una resis-tencia de 20 Ω al conectarse a un acumulador de 12 V.
2. Determinar la resistencia del lamento de una lámpara que deja pasar 0.6 A de intensidad de corriente al ser conectado a una diferencia de potencial de 120 V.
3. Por una resistencia de 10 Ω circula una corriente de 2 A. ¿Cuál es la diferencia de potencial a la que están conectados sus ex-tremos?
4. Calcular la resistencia de un conductor que al conectarse a una diferencia de potencial de 12 V deja pasar una corriente de 90 miliamperes.
Ejercicios
Resolución de problemas de la ley de Ohm 1. Determinar la intensidad de la corriente eléctrica a través de una
resistencia de 40 Ω al aplicarle una diferencia de potencial de 120 V.
Solución:
Datos Fórmula
I ? I V
RR 40 ΩV 120 V
Sustitución y resultado
I 120 V40 V 3 A
2. Un tostador eléctrico tiene una resistencia de 18 Ω cuando está caliente. ¿Cuál será la intensidad de la corriente que fl uirá al co-nectarlo a una línea de 120 V?
Solución:
Datos Fórmula
R 18 Ω I V
RV 120 V
I ?
Sustitución y resultado
I 120 V18 V
6.67 A
3. Un alambre conductor deja pasar 8 A al aplicarle una diferencia de potencial de 120 V. ¿Cuál es su resistencia?
Solución:
Datos Fórmula
I 8 A I V
R ∴ R
V
IV 120 V
R ?
Sustitución y resultado
R 120 V
8 A 15 Ω
Ejemplos
4. Calcular la diferencia de potencial aplicada a una resistencia de 12 Ω, si por ella fl uyen 7 A.
Solución:
Datos Fórmula
V ? I V
R ∴ V IR
R 12 ΩI 7 A
Sustitución y resultado
V 7 A 12 Ω 84 V
Inicio de bloqueObjetos de aprendizaje
En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y pertinencia en el nivel educativo en el que te encuentras.
Competencias por desarrollar
Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad que tienes para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.
Las Secciones de Tu libro
Situación didáctica
Secuencia didáctica
Rúbrica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.
¿Cómo lo resolverías?
En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.
¿Qué tienes que hacer?
La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado que hacen facilitan tu actividad y tus resultados.
Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje.
Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.
Ejercicios
Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.
Ejemplos
La experiencia que logres a través de los talleres, actividades experimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarrollar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendizaje cooperativo durante el trabajo en equipo.
Taller y actividad experimental
Otras herramientas
Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.
Estos desempeños son los que se espera que logres al finalizar cada bloque te posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.
¿Qué sabes hacer ahora?
Desempeños por alcanzar
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Instrumentos de evaluaciónLista de cotejo
Portafolio de evidencias Rúbricas
Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque; éstos, junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor/a.
Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado.
En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas, otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.
Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.
Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB.
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Aplica lo que sabes
Actividad de aprendizaje
Para tu reflexión
Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos en situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.
Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estásadquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.
A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales en el desarrollo del bloque.
Rúbrica
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Tiempo asignado al bloque 12 horas
nAnaliza las relaciones entre los elementos del interés simple y el interés compuesto para determinar o estimar su comportamiento.
n Interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos de interés compuesto para calcular el monto compuesto, valor actual, tasa de interés nominal, efectiva, equivalentes y tiempos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
n Explica e interpreta los resultados obtenidos de valor presente y futuro mediante procedimientos matemáticos financieros y los contactos con modelos establecidos o situaciones reales.
n Formula y resuelve problemas matemáticos financieros aplicando y modificando los diferentes elementos de interés compuesto.
nArgumenta la solución obtenida de problemas de valor presente y valor futuro con métodos financieros mediante el lenguaje algebraico y el uso de las tic.
n Identifica los principios medulares que subyacen en casos de interés simple e interés compuesto y propone maneras de solucionar problemas de interés compuesto, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
nAsumen una actitud constructiva frente a su entorno familiar y local, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta aportando puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
Competencias a desarrollar
1B LO Q U E
Objetos de aprendizaje
1.1 Interés y monto compuesto
1.2 Tasas de interés
Resuelves casos de interés compuesto
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n Identifica los elementos de interés compuesto y su importancia del capital dinero, monto, tiempo y tasa de interés.
n Compara la diferencia entre la aplicación del interés simple y el interés compuesto.
n Comprende el concepto del valor del dinero en el tiempo (valor presente y valor futuro).
nResuelve problemas reales de cálculo de monto compuesto, valor presente y futuro, tasa de interés.
1. ¿Calcula el interés que produce un capital de $76 600 a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés de 12% anual.
2. Encuentra el interés exacto que se paga por un préstamo de $16 350 a 11.52% en 240 días
3. El ingeniero Roberto Ávila recibe un préstamo de $48 750 a dos años. Si la tasa de interés es de 1.2% bimestral, ¿cuánto pagará dentro de dos años?
4. El Banco del Noroeste entrega a la señora Virginia Torres la cantidad de $2 255 000, por un préstamo a un año, tres meses y 15 días, con una tasa de 27%. ¿Cuál es el capital inicial del préstamo?
5. Una deuda de $8 400 se liquidó el 29 de junio de este año con un cheque cuyo importe es de $9 080, con una tasa de interés simple de 11.75%. ¿Cuánto tiempo se prestó el dinero?
6. Se descuenta un préstamo de $350 870 a un plazo de 180 días, con una tasa de descuento de 13% anual. a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo? b) ¿Qué cantidad de dinero se recibe?
7. La compañía Publicine de México decide descontar un documento el 30 de abril con valor $683 656, con una tasa de descuento de 10% anual. La fecha de venci-miento es el 30 de junio de este año. ¿Cuánto dinero recibirá la compañía?
Desempeños del estudiante al concluir el bloque
nAnaliza las relaciones entre los elementos del interés simple y el interés compuesto para determinar o estimar su comportamiento.
n Interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos de interés compuesto para calcular el monto compuesto, valor actual, tasa de interés nominal, efectiva, equivalentes y tiempos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
n Explica e interpreta los resultados obtenidos de valor presente y futuro mediante procedimientos matemáticos financieros y los contactos con modelos establecidos o situaciones reales.
n Formula y resuelve problemas matemáticos financieros aplicando y modificando los diferentes elementos de interés compuesto.
nArgumenta la solución obtenida de problemas de valor presente y valor futuro con métodos financieros mediante el lenguaje algebraico y el uso de las tic.
n Identifica los principios medulares que subyacen en casos de interés simple e interés compuesto y propone maneras de solucionar problemas de interés compuesto, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
nAsumen una actitud constructiva frente a su entorno familiar y local, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta aportando puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
Competencias a desarrollar
¿Qué sabes hacer ahora?
Responde las siguientes preguntas:
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BLOQUE 1 Resuelves casos de interés compuesto Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer?
Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías?
Selección de una alternativa de inversiónUn inversionista desea aumentar un capital de $10 000 en seis me-ses. Sus opciones en la localidad son Banco Latino y Banco Austra-liano. El ejecutivo de cuenta del primer banco le ofrece una tasa de interés anual de 4.5% capitalizable mensualmente. El ejecutivo del segundo banco le ofrece una tasa de interés de 5.5% capitalizable semestralmente. ¿En qué banco le conviene a la persona hacer su inversión para aumentar su capital?
Alternativa de inversión en dos instituciones financierasEl caso que se estudiará a continuación tiene como objetivo tomar la mejor decisión para invertir el dinero en una institución banca-ria a fin de alcanzar a reunir la máxima cantidad de dinero a futuro para comprar o adquirir los bienes o servicios deseados, utilizando el interés compuesto.
El señor Juan González Heredia recibió la cantidad de $500 000 de una herencia. Él y su esposa Raquel analizaron en qué gastarían el
dinero. Decidieron utilizar $320 000 para realizar arreglos a su casa, $100 000 guardarlos para imprevistos y $80 000 invertirlos en una institución bancaria, con el objetivo de utilizar ese dinero para cuando su hijo Jesús Miguel ingrese a la universidad, ya que los cos-tos de la inscripción, mensualidades y libros se irán incrementando conforme trascurra el tiempo. En la actualidad Jesús Miguel tiene tres años de edad, para cuando él ingrese a la universidad transcu-rrirán 15 años. Ellos deciden visitar tres instituciones financieras para tomar la decisión en cuál depositarán el dinero. La primera que visitaron es Noroeste. Ésta les ofrece invertir a plazo fijo con interés de 12.5% capitalizable bimestralmente; la segunda es Ban-co Sorfin, que ofrece invertir a plazo fijo con un interés de 11.6% capitalizable por trimestre y la última que visitaron fue Bonos del Ahorro, que les da a ganar 15.6% capitalizable semestralmente. Suponiendo que las tres instituciones financieras ofrecen la misma liquidez, ¿por cuál banco deben decidirse para invertir su dinero, con el objetivo de que dentro de 15 años éste alcance el máximo monto? Considera que la tasa de interés permanece constante du-rante todo el plazo y no hay inflación.
1. ¿Bajo qué necesidades puedes crear una cuenta de inversión mediante una tarjeta de débito?
2. ¿Qué importancia tiene realizar una inversión a plazo fijo?
3. ¿Qué ventajas ofrecen las instituciones financieras para que decidas realizar una inversión a plazo fijo?
4. Para una misma tasa de interés anual, ¿qué le conviene más a un inversionista: una capitalización mensual o una semestral? ¿Por qué?
Análisis de la situación 1. ¿Qué importancia tiene la creación de una cuenta de inver-
sión en la vida cotidiana de las personas?
2. ¿Sabes qué es un préstamo personal y cómo se paga la canti-dad prestada a través de la cuenta de inversión? ¿Qué desven-tajas tiene el realizar esta operación?
3. ¿Qué son los periodos de capitalización y cómo se calculan para un plazo determinado? Cita una situación de aplicación.
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5
BLOQUE 1 Resuelves casos de interés compuesto Grupo Editorial Patria®
Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
4. ¿Es lo mismo invertir en una cuenta que ofrece un periodo de capitalización semestral y otra que es semanal? Describe las ventajas y desventajas de cada una, cita un ejemplo.
5. Menciona un ejemplo sobre el cálculo de la tasa equivalente.
6. ¿Cómo se calcula el valor futuro de una cantidad invertida a interés compuesto en una institución financiera? ¿En qué si-tuaciones se realiza esta operación?
7. ¿Qué importancia tiene saber la tasa de interés que paga cada institución financiera?
8. ¿Por qué es importante saber que institución financiera te conviene más para poder invertir?
¿Qué tienes que hacer?Visita una institución bancaria cercana a tu domicilio (o pide ayu-da a tu profesor) y solicita la siguiente información:
1. ¿Qué tipos de cuenta de inversión o de ahorro ofrece la insti-tución?
2. ¿Cuál es la cantidad mínima de inversión que se requiere para abrir una cuenta de este tipo?
3. ¿Qué tasa de interés proporciona una cuenta de inversión típica?
4. ¿Cuál es el plazo en el que esa cuenta paga los intereses?
5. ¿Se requiere mantener en la cuenta un saldo mínimo diario o mensual?
6. ¿Qué ventajas y desventajas tiene esta inversión a mediano y largo plazos?
7. Pregunta al asesor financiero lo siguiente. Si invierto $1 000 hoy y no hago movimientos en mi cuenta; ¿cuál sería el interés dentro de tres meses?
8. Pídele que te diga si la tasa de interés en estos instrumentos financieros es fija o variable. Que te aclare, en lo posible, esta pregunta, ya que de eso dependerá que te intereses por reali-zar una inversión a futuro.
9. Pregunta al asesor financiero cómo se aplica el interés com-puesto en préstamos personales y qué ventajas tiene.
10. Pregúntale qué otros beneficios tiene tener una cuenta de in-versión mediante una tarjeta de débito. También cuestiónalo sobre si es posible invertir en otros instrumentos financieros que no requieran de un capital inicial muy grande (por ejem-plo, CETES y los requerimientos que se solicitan).
1. Elabora un reporte de la información obtenida en la visita a la institución bancaria. Indica en él tus principales observacio-nes sobre la importancia de contar con una cuenta de inver-sión a largo plazo.
2. Con los datos obtenidos en la institución bancaria calcula el interés simple mensual propuesto en la situación didáctica.
3. Emplea en la solución de este problema la calculadora y la hoja de cálculo, siempre como una herramienta de trabajo.
4. Presenta tu proyecto en hojas de rotafolio o cartulinas.
5. Presenta el informe ante el grupo y analicen la importancia que tiene el interés compuesto para que en una inversión au-mente el capital.
6. Cuando lo indique tu profesor integra tu informe al Portafolio de evidencias.
7. Escucha y analiza los comentarios de otros estudiantes de ma-nera reflexiva, argumenta y fundamenta por qué lo realizaron de esa manera.
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BLOQUE 1 Resuelves casos de interés compuesto Grupo Editorial Patria®
1. El señor Antonio deposita $5 000 el día 2 de mayo de 2015 en el Banco Nacional. Él retirará su dinero dentro de un año. Como sabemos, al retirar el capital inicial también le entregarán los in-tereses generados en el periodo (M 5 C 1 I ). Analicemos el problema. Si el periodo es de un año por consecuencia el plazo también es de un año y la tasa de interés debe ser anual (T 5 6% anual), la expresión matemática que cumple con estas caracterís-ticas es la del interés simple.
I 5 5 000(0.06)(1) 5 $300
M 5 5 000 1 300 5 $5 300
Ejemplos
Entonces el día 2 de mayo de 2016 el señor Antonio recibe $300 de intereses más los $5 000 que invirtió.
Periodo 5 plazoC M 5 C 1 I
Fecha inicial2 de mayo de 2015
Fecha final2 de mayo de 2016
Gráfica 1.1
Sin embargo, analicemos si el señor Antonio decide recibir sus in-tereses en forma mensual, en vez de cada año. Si el periodo es de un mes y el plazo de la inversión es de un año, entonces el plazo tiene doce periodos de capitalización mensual, de esta forma el señor Antonio recibirá ahora 12 pagos de intereses al transcurso de un año, en lugar de un pago único de intereses al final del año.
Periodo plazo
C C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Fecha inicial2 de mayo de 2015
Fecha final2 de mayo de 2016
Gráfica 1.2
No se necesita utilizar una expresión matemática para darnos cuenta que recibirá de esta forma más intereses al final del plazo.
2. La licenciada Andrea invierte un capital de $8 000 a 8% anual durante tres años en un banco. Calcula:
a) El interés simple.
b) El interés compuesto.
Solución:
a) Cálculo del interés simple:
Datos Desarrollo
C 5 $8 000 I 5 Cni
T 5 8% anual I 5 8 000 (3) (0.08)
n 5 3 años I 5 $1 920
Incógnita 5 I
El monto después de tres años es de:
M 5 $8 000 1 $1 920 5 $9 920.
Ejemplos
1.1 Interés y monto compuestoEn el libro de Matemáticas financieras 1 se estudió el interés simple en el que el capital permanece constante desde la fecha inicial de la operación hasta la fecha final. Otra forma de plantearlo es cuan-do el capital tiene el mismo valor durante todo el tiempo que dura el préstamo y en la fecha final se pagan los intereses. En el caso del interés compuesto el capital no permanece constante desde la fe-cha inicial hasta la fecha final del plazo, ya que el capital va a estar cambiando al final de cada periodo. Esto se debe a los intereses que se le agregan al capital inicial al término del periodo, para que jun-tos produzcan un nuevo capital. Éste genera nuevos intereses en el siguiente periodo y así sucesivamente mientras dura la operación financiera, entonces se dice que los intereses se capitalizan en cada periodo.
Definición
Periodo de capitalización. Es el tiempo que existe entre dos fechas consecutivas en la que los intereses se le adicionan al capital.
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MontoEntonces la fórmula de interés compuesto es:
M 5 C(1 1 i)n 1.1
Esta ecuación sólo se utiliza para tasas de interés anuales.
Donde:
C 5 Capital inicial
M 5 Capital final o monto
i 5 Tasa de interés en el periodo
n 5 Número total de periodos de capitalización
(1 1 i)n 5 Factor de acumulación o factor de interés compuesto
Interés simple (IS ) Interés compuesto (IC )
$9 920 $10 077.70
Entonces:
IS IC
El interés simple siempre será menor que el interés compuesto.
Para tu reflexión
3. Celia deposita en su cuenta de ahorro en el Banco de Atlántico la cantidad de $5 000 a una tasa de 7% durante cuatro años.
Tabla 1.2
PeriodosCapital inicial
($)Intereses ($)
I 5 Cni
Capital final ($)
M 5 C + I
1 5 000.00 350.00 5 350.00
2 5 350.00 374.50 5 724.50
3 5 724.50 400.71 6 125.21
4 6 125.21 428.76 6 553.97
4. El costo del servicio de luz en la consultoría del contador Alejan-dro Pruneda se incrementa en 8% bimestral. ¿Cuánto tendrá que pagar el próximo bimestre si el consumo promedio bimestral es de $730?
Solución
Datos Incógnita 5 M
C 5 $730
Ejemplos
b) Cálculo del interés compuesto:
Datos Desarrollo
Capital de $8 000 I 5 Cni
T 5 0.08 anual I 5 8 000 (1) (0.08)
n 5 un año I 5 $640
Monto inicial del primer año 5 Capital inicial 1 intereses del primer año.
M1 5 8 000 1 640
M1 5 $8 640
El monto obtenido en el primer año se convierte en el capital inicial del segundo año:
M1 5 C2 5 $8 640 I2 5 $8 640 (1) (0.08)
i 5 0.08 anual I2 5 $691.20
n 5 1 año
Monto final del segundo año:
M2 5 8 640 1 691.20
M2 5 $9 331.20
El monto del segundo año se convierte en el capital inicial en el tercer año.
M2 5 C3 5 $9 331.20 I3 5 9 331.20 (1) (0.08)
T 5 8% anual I3 5 $746.50
n 5 1 año
Monto final al terminar el tercer año:
M3 5 9 331.20 1 746.50
M3 5 $10 077.70
Tabla 1.1 Comportamiento del capital y el incremento del interés
Número de periodos en
años
Capital al inicio del
periodo ($)
Intereses en el periodo
($)
Capital al final ($)
1 8 000.00 640.00 8 640.00
2 8 640.00 691.20 9 331.20
3 9 331.20 746.50 10 077.70
De la tabla anterior se puede observar el comportamiento del capital y los intereses, lo cual nos permite comprobar que en el interés compuesto, el capital se incrementa al final de cada periodo.
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BLOQUE 1 Resuelves casos de interés compuesto Grupo Editorial Patria®
Tabla 1.4 De periodos de capitalizaciónPeriodo Frecuencia (p)
Anual 1
Semestral 2
Cuatrimestral 3
Trimestral 4
Bimestral 6
Mensual 12
28 días 13
Catorcenal 26
Quincenal 24
Semanal 52
Diario 360 o 365
En el interés compuesto la tasa de interés y el tiempo deben ex-presarse en la misma unidad de tiempo. Por ejemplo: si el periodo de capitalización de los intereses es bimestral, entonces el interés es capitalizable bimestralmente o es convertible cada bimestre o es compuesto bimestralmente (AC bimestral).
En la actualidad ya no es necesario esperar un año para que los inte-reses se adicionen al capital y empiecen a generar sus propios inte-reses, ya que las instituciones financieras ofrecen diferentes planes de inversión con periodos de capitalización menores a un año.
Definición
Frecuencia de capitalización. Es el número de veces que en un año los intereses se capitalizan y se denota por la letra p.
En la tabla 1.4 se muestran los periodos de capitalización en un año con sus respectivas frecuencias.
Número de periodosEl número total de periodos por año se encuentra de la siguiente forma:
Número total de periodos de capitalización
Número de periodos de capitalización en
un año
Número de años5
n 5 un bimestre
T 5 8%
Desarrollo
M 5 730.00[1 1 0.08]1
M 5 730.00(1.08)
M 5 $788.40
5. Encuentra la frecuencia de conversión de un depósito que paga el 5.3% anual de interés capitalizable trimestralmente.
1año1 trimestre
12 meses3 meses
4= = =P
P 5 4 periodos de capitalización trimestral.
Ejemplos
6. Determina el interés de cada periodo de capitalización y el nú-mero de periodos de capitalización, si la tasa nominal es de 9% capitalizable bimestralmente, durante cuatro años.
Ejemplos
El comportamiento del capital se muestra en forma algebraica en la tabla 1.3.
Tabla 1.3 Comportamiento del capital al transcurso del tiempo
Números de
periodos
Capital al inicio del periodo
Interés en el
periodoCapital final
1 C C i M1 5 C 1 C i 5 C (11 i )
2 C (11 i ) C (11 i ) i
M2 5 C (11 i ) 1 C (11 i ) i 5 C (1+ i )(11 i )
M2 5 C (11 i )2
3 C (11 i )2 C (11 i )2 i
M3 5 C (11 i )2 1
C (11 i )2 i 5 C (1+ i )2 (11 i )
M3 5 C (11 i )3
n C (11 i )n21 C (11 i )n21 i Mn 5 C (11 i )n
Para tu reflexión
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BLOQUE 1 Resuelves casos de interés compuesto Grupo Editorial Patria®
¿Qué sucede cuando el periodo de capitalización de intereses no es anual y se desea conocer el monto de un capital?, entonces, es necesario conocer la frecuencia de capitalización, el interés por periodo y el número total de periodos de capitalización, para pos-teriormente calcular el monto de un capital utilizando la ecuación siguiente:
= +M C
ip
np
1 1.2
Donde:
n 5 es el plazo en años
i 5 es la tasa de interés anual capitalizable en p periodos en un año
p 5 frecuencia de capitalización
8. ¿Qué cantidad de dinero podrá tener tu papá dentro de tres años, si invierte $18 580 en Bansur, que paga interés de 1.82% bimes-tral?
Solución
Datos
C 5 $18 580 Incógnita 5 M
n 5 3 años
np 5 (3) (6) 5 18 bimestres
T 5 1.82% bimestral
Desarrollo
M 5 18 580 [1 1 0.0182]18
M 5 18 580 (1.38355258)
M 5 $25 706.40
Ejemplos
Solución
Primero encuentra el número de periodos de capitalización
12 meses2 meses
6= =P
P 5 seis periodos de capitalización bimestral.
Después calcula el interés por periodo:
9%6
1.5= =T % bimestral
Por último encuentra el número total de periodos de capitalización para los cuatro años:
m 5 6 3 4 5 24
m 5 24 periodos de capitalización bimestral durante cuatro años.
7. Si la tasa de interés es de 6.8% capitalizable trimestralmente du-rante dos años determina:
a) Frecuencia de capitalización
b) El interés por periodo
c) El número total de periodos de capitalización
Solución
a) 12 meses3 meses
4= =P
P 5 4 periodos de capitalización trimestral
b) 6.8%
41.7%= =i de interés trimestral
c) m 5 (4) (2) 5 8 periodos de capitalización trimestral durante dos años.
En Excel existe un conjunto de fórmulas llamadas funciones fx , las cuales permiten resolver problemas financieros sin necesidad de es-cribir la fórmula. Las funciones en que se aplican ejercicios de interés compuesto son:
Lo que se desea calcular Función en Excel
Monto a interés compuesto o valor futuro (M ) 5VF(tasa,nper,pago,va,tipo)
Capital o valor actual (C o VP ) 5VA(tasa,nper,pago,vf,tipo)
Tasa de interés o interés(T o i ) 5TASA(nper,pago,va,vf,tipo)
Tiempo (n ) número de periodos 5NPER(tasa,pago,va,vf,tipo)
Como estas funciones están estructuradas para dar solución a las anualidades (serie de pagos periódicos) las cuales se estudiaran en el bloque 2 del libro tenemos que hacer algunas aclaraciones para poder realizar cálculos de interés compuesto.
nva (valor presente o actual) se indica con signo negativo, ya que se trata de una salida de dinero.
npago debe omitirse o poner cero (0), porque no se realiza ningún pago periódico.
ntipo indica cuándo vencen los pagos. Se anota cero para calcular el monto de un pago vencido para anualidades o también puede omitirse.
Uso de TIC
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BLOQUE 1 Resuelves casos de interés compuesto Grupo Editorial Patria®
9. Halla el monto acumulado en dos años, si el capital es de $3 545 y se invierte a un tipo de interés del:
a) 28% capitalizable semestral
b) 28% capitalizable trimestral
c) 28% capitalizable mensual
Solución
a) Datos
C 5 $3 545 Incógnita 5 M
n 5 2 años
T 5 28% anual capitalizable semestral o también puede ser AC semestral
np 5 (2) (2) 5 4
Desarrollo
1= +M C
ip
np
= +M 3545 10.28
4
2 4
=( )
5 3 545 (1.14)4 5 3 545 (1.6889)
M 5 $5 987.36
b) Datos
C 5 $3 545 Incógnita 5 M
n 5 2 años
T 5 28% anual AC trimestral
np 5 (2) (4) 5 8
Desarrollo
= + =M 3545 10.28
43545 1.07
4 28[ ]
( )
5 3 545 (1.7182)
M 5 $6 090.97
c) Datos
C 5 $3 545 Incógnita 5 M
n 5 2 años
T 5 28% anual AC mensual
np 5 (2) (12) 5 24
Desarrollo
3 545 10.2812
3 545 1.0233332
244
[ ]
= + =M
5 3 545 [1.7394] 5 $6 166.17
Como se puede observar en los tres resultados anteriores, a ma-yor frecuencia de capitalización e igual tasa anual nominal, mayor será el interés obtenido por la inversión. En el inciso c) la conver-sión es mensual y tendrá mayor rendimiento que en la conversión trimestral, y la trimestral a su vez tiene mayor rendimiento que la semestral.
10. Se desea conocer el monto acumulado, cuando el capital es de $4 385, invertido al 6% anual capitalizable bimestralmente, con un plazo de dos años.
Solución
Datos
C 5 $4 385 Incógnita 5 M
n 5 2 años
T 5 6% anual C bimestral
np 5 6 (2) 5 12
Desarrollo
= + = + =M Cip
np
1 4385 10.06
64385 1.01
6 212[ ]
( )
5 4 385 (1.126825) 5 $4 941.13
Nota: El valor VA en la función de Excel se escribe con signo negativo (,-D8,).
Resuelto con Excel
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Comparación del interés simple con el interés compuestoCon el siguiente caso puedes comparar la diferencia que existe en la cantidad de dinero recibido con el interés simple y la recibida con el interés compuesto.
Como observamos en los resultados del ejemplo 11, el interés compuesto es mayor que el interés simple, con un mismo capital, tasa y tiempo, porque el interés compuesto siempre gana intereses por sí mismo, en tanto que el interés simple no. La mejor forma de comparar los montos es hacerlos de manera gráfica.
Tabla 1.5 Comparativa de interés simple e interés compuesto
AñoInterés simple M 5 C (1 + ni )
Interés compuestoM 5 C (1 + i )n
0 10 000 10 000
1 11 000 11 000
2 12 000 12 100
3 13 000 13 310
4 14 000 14 641
En la gráfica 1.3 se observa que el monto a interés compuesto (eje de las ordenadas) crece en forma geométrica y su gráfica es una función exponencial, en donde para cada periodo existe un incre-mento que es mayor con respecto al periodo anterior. Esto hace que la curva ascienda de izquierda a derecha cada vez más rápida-mente. La función que da este comportamiento exponencial lo da la ecuación de monto de interés compuesto:
M 5 C(1 1 i)n
En el interés simple el monto crece en progresión aritmética y la gráfica es una línea recta, en donde para cada periodo el incremen-to es constante. La ecuación de monto es una línea recta:
M 5 C1(C i)n
M 5 b 1 mx
11. El contador Benjamín Rodríguez invierte $10 000 a 10% anual durante cuatro años en Banco del Oriente.
a) Calcula el interés simple
b) Calcula el interés compuesto
Solución
a) Cálculo del interés simple
Datos Desarrollo
C 5 $10 000 I 5 Cni
T 5 10% anual I 5 10 000(4)(0.10)
n 5 4 años I 5 $4 000
Incógnita 5 I
El monto a cuatro años es 10 000 1 4 000 5 $14 000
b) Cálculo del interés compuesto
Datos Desarrollo
Capital 5 $10 000 I 5 Cni
i 5 0.10 anual I 5 10 000 (1) (0.10)
n 5 un año I 5 $1 000
Incógnitas 5 I y M M1 5 10 000 1 1 000
El monto al primer año es de 10 000 1 1 000 5 $11 000
El monto obtenido en el primer año se convierte en el capital ini-cial del segundo año.
Datos Desarrollo
M1 5 C2 5 $11 000 I 2 5 11 000 (1) (0.10)
i 5 0.1 anual I 2 5 $1 100
n 5 un año
Monto final del segundo año es: M2 5 11 000 1 1 100 5 $12 100
El monto del segundo año se convierte en el capital inicial en el tercer año.
Datos Desarrollo
M2 5 C3 5 $12 100 I 3 5 12 100 (1) (0.10)
T 5 10% anual I 3 5 $1 210
n 5 un año
Ejemplos
Monto final al terminar el tercer año:
M3 5 12 100 1 1 210 5 $13 310
El monto del tercer año se convierte en el capital inicial en el cuarto año.
Datos Desarrollo
M3 5 C4 5 $13 310.00 I 4 5 13 310(1) (0.10)
i 5 0.10 I 4 5 $1 331
n 5 un año
Monto final al terminar el cuarto año:
M4 5 13 310 1 1 331 5 $14 641
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Valor actual o presenteEl valor actual (VP) es un concepto muy utilizado en las matemá-ticas financieras, porque permite conocer el valor del capital que es necesario invertir ahora, a una tasa de interés determinada, para en un tiempo futuro se pueda llegar a tener un cierto monto.
A partir de la fórmula de monto en interés compuesto:
M 5 C(1 1 i)n 1.1
Al despejar a C se tiene:
( )=+
CMi n1
1.3
O también puede escribirse como:
C 5 M(1 1 i)2n 1.4
o como:
VP 5 M(1 1 i)2n 1.4a
Analiza las siguientes situaciones y responde lo que se pide. Describe un breve comentario sobre el procedimiento que realizaste para obte-ner los resultados y destaca la importancia que tiene el análisis que realizaste en situaciones parecidas.
nPara que Juan se compre una computadora portátil invierte $15 500.00 durante 24 meses a una tasa de 7.56%. Encuentra el valor acumulado.
nSi la tasa de interés es de 9% capitalizable semestralmente du-rante tres años determina:
a) La frecuencia de capitalización
b) El interés por periodo
c) El número total de periodos de capitalización
Comentario:
Actividad de aprendizaje
12. ¿Cuál es el valor presente de $28 000 invertidos 14 meses, a una tasa de 8% capitalizable bimestralmente?
Solución
Datos
M 5 $28 000 Incógnita 5 C
n 5 14 meses 5 7 bimestres
T 5 8% AC bimestral
Desarrollo
= +
= +
=
=
=
C Mip
C
C
C
C
np
1
28000 10.08
6
28000 1.0133333
28000 0.9114518
25520.65
7
7( )( )
−
−
−
El valor presente de $28 000 es de $25 520.65, con un plazo de 14 meses y tasa 8% AC bimestral.
Ejemplos
Gráfica 1.3 Comparativo de interés simple con el interés compuesto.
0 1 2 3 4Año
14 500
13 500
12 500
11 500
10 500
9 500
$
Interés simple Interés compuesto
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Resuelto con Excel
13. Calcula el valor actual de $15 840 pagaderos a un año 8 meses, a una tasa de 6% capitalizable cada tres meses.
Solución
Datos
M 5 $15 840 Incógnita 5 C
n 5 1 año 8 meses 5 6.6666667 trimestres
T 5 = =6%4
1.5% 5 0.015 trimestral
Número de trimestres:
1 trimestre 3 meses X 20 meses
203
6.6666667 trimestres= =X
Desarrollo= +
= +
=
=
C Mip
C
C
C
np
1
15840 1 0.015
15840 0.9055096
$14 343.27
6.6666667( )( )
−
−
14. El ingeniero Manuel Herrera desea comprar un automóvil, para ello analiza dos planes de compra. El primero es pagar de con-tado la cantidad de $108 000 y el segundo es pagar un anticipo de $40 000 y el saldo cubrirlo en dos pagarés de $45 210 cada uno a 6 y 12 meses. Si el contador invirtiera en el banco el dinero a una tasa de 14% capitalizable mensualmente, ¿cuál de los dos planes le conviene?
Solución
Primero se necesita trasladar todas las cantidades al mismo tiempo.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
40 000 45 210 45 210
Meses
Valor actual de los dos pagarés:
Valor actual de la segunda propuesta
C2 5 40 000 1 81 506.16
C2 5 $121 506.16
Al ingeniero le conviene aceptar la primera propuesta, ya que tie-ne un ahorro de $13 506.16 si compra ahora el automóvil.
Nota: El valor VF en la función de Excel se escribe con signo negativo (,-D8,). Si el valor de VF se pone con signo positivo Excel mostrará resultado en rojo y con signo negativo ya que Excel lo considera como salida de capital.
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Al emplear la siguiente propiedad de logaritmos log(x)n 5 n log (x):
= +
MC np
iplog log 1
Al despejar n se tiene:
=+
( )
n
MC
pip
log
log 1 1.5
TiempoEl tiempo se puede calcular despejando n de la ecuación 1.2:
= +M C
ip
np
1 1.2
Al despejar a n:
= +
MC C
ip
np
1
Al aplicar logaritmos:
= +
MC
ip
np
log log 1
nEl señor Gonzalo Ríos firma un pagaré por la cantidad de $11 349, a plazo de un año, con una tasa de interés de 1.5% mensual. El señor Ríos está pensando en descontar el documento cinco meses antes de su vencimiento, con una tasa de 18% con capi-talización mensual. ¿Cuál es el valor del documento a los cinco meses antes del vencimiento?
nCalcula el valor actual de $8 000, pagaderos a 8 meses y 13 días, a una tasa de 4.6% capitalizable mensualmente.
Comentario:
Después de haber obtenido los resultados de los cuestionamientos, describe porque es importante saber calcular la tasa del interés acor-dado en un préstamo personal, argumenta tu opinión.
Actividad de aprendizaje
15. Un capital de $9 870 produce intereses a una tasa de 4% ca-pitalizable cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a $11 873.15?
Solución
Datos
C 5 $9 870 Incógnita 5 n
M 5 $11 873.15
T 5 4% AC mensual
i 5 0.003333 mensual
Ejemplos
Desarrollo
=+
=+
= =
= =
=
n
MC
pip
np
n
log
log 1
log11 873.15
9 870
12 log 10.0412
log 1.2029534log 1.0033333
0.080248812 0.001445241
0.08024880.017343
4.6272
4 años 7 meses 15 días
[ ]( )( ) ( )
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Resuelto con Excel
16. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital que se invierte a 12% capitalizable mensualmente?
Solución
Datos
T 5 12% AC mensual Incógnita 5 n
p 5 12
M 5 3C
C 5 C
Desarrollo
= +
= +
=
1
3 10.1212
3 1.01
12
12( )
( )
( )
M Cip
C C
np
n
n
=
=
=
= =
=
n
n
n
n
n
log 3 12 log 1.01
log 312 log 1.01
0.47712125412 0.004321374
0.4771212540.05185645
9.20
9 años 2 meses 12 días
[ ]
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
1. ¿En cuánto tiempo un capital de $5 700.00 se convierte en un monto de $7 000.00 a una tasa de 5% capitalizable diariamente? Bajo que hechos podrías aplicar este caso.
2. ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $72 800.00, para alcanzar la cantidad de $79 999.00 incluidos los intereses, con una tasa de 8% capitalizable trimestralmente? Menciona por-que es importante considerar un tiempo estimado para realizar una inversión de este tipo.
Actividad de aprendizaje
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1.2 Tasas de interésEs importante recordar que los periodos de la tasa de interés son periodos de capitalización y es en donde los intereses se acumulan al capital para que produzcan nuevos intereses.
17. Banco del Noroeste ofrece una tasa de interés de 8% capitalizable anualmente, mientras que Banco Sorfin ofrece 8% con capita-lización trimestral. ¿En qué banco es recomendable hacer una inversión?
La respuesta es en Banco Sorfin, porque los intereses los pagan cada trimestre y al reinvertirse ponen a trabajar el capital cuatro veces al año. Por su parte, en el Banco del Noroeste sólo se capi-talizan los intereses una vez al año.
Para comprobar el resultado anterior se debe conocer la tasa real de interés que se obtiene con cada inversión. Para conocer esta tasa i es necesario despejarla de la ecuación de monto.
= +1( )M C i n 1.1
Existen dos caminos para despejar la tasa i. A continuación se muestran las dos alternativas.
Raíz Logaritmos
Ejemplos
18. El director de una escuela depositó en una institución financiera $600 000 y después de tres años y cuatro meses le entregaron la cantidad de $950 000. ¿Cuál es la tasa de interés bimestral que le dio la institución financiera a su inversión?
Solución
Datos
C 5 $600 000 Incógnita 5 i
M 5 $950 000
n 5 3 años y 4 meses
n 5 20 bimestres
Desarrollo = − = −
= − = −
= − = −
= − = −
/ 1 / 1
1950 000600 000
1
1.583333 1 1.58333 1
1.58333 1 1.023243 1
1/
20
20 1/20
0.05
( )
( )
i M C M C
iMC
i
i
n n
n
i 5 0.023243 bimestral T 5 2.3243% bimestral
19. Una inversión de $10 000 en 10 años quintuplicó su valor. Calcula la tasa anual.
Solución
Datos
C 5 $10 000 Incógnita 5 i
M 5 $50 000
n 5 10 años
Desarrollo
= − = −
= − = −
= − = −
=
iMC
i
i
i
T
n 150 00010 000
1
5 1 5 1
5 1 1.17462 1
0.17462 anual
= 17.462% anual
10
10 1/10
0.1
( )
( )
1.6
1.6a
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Tasas equivalentesLas tasas equivalentes son aquellas que producen el mismo interés durante un año con diferentes periodos de capitalización.
20. Encuentra la tasa de interés convertible cuatrimestralmente a una equivalente de 10.8% capitalizable al mes.
Solución
Monto acumulado a 10.8% convertible mensualmente:
= +10.108
121
12
M C
Monto acumulado a una tasa convertible cuatrimestralmente:
= +132
3
M C
i
Al igualar los montos:
=
+ = +
+ =
+ = +
− =
= −
=
=
M M
C Ci
i
i
i
i
i
i
10.108
121
3
10.108
121 0.3333333
10.108
121 0.3333333
1.009 1 0.3333333
1.0364889 1 / 0.3333333
0.0364889 / 0.3333333
0.109467 anual convertible cuatrimestralmente
1 2
12 3
12
3 33
12/3
4
( )
( )
( )
( )
+
Ejemplos
=
+ = +
+ =
+ = +
− =
= −
=
=
M M
C Ci
i
i
i
i
i
i
10.108
121
3
10.108
121 0.3333333
10.108
121 0.3333333
1.009 1 0.3333333
1.0364889 1 / 0.3333333
0.0364889 / 0.3333333
0.109467 anual convertible cuatrimestralmente
1 2
12 3
12
3 33
12/3
4
( )
( )
( )
( )
+
La tasa de 10.8% anual capitalizable al mes es equivalente a la tasa de 10.9467% anual capitalizable cuatrimestralmente.
21. Calcula la tasa de interés convertible bimestralmente a una equi-valente de 8% capitalizable al mes.
Solución
Monto acumulado a 8% convertible mensualmente:
= +10.08121
12
M C
Monto acumulado a una tasa convertible al bimestre:
= +162
6
M C
i
Al igualar los montos:
M1 5 M2
Resuelto con Excel
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