Escuela Secundaria Diurna No. 191 “Silvestre Revueltas”

Matemáticas III

Profesora: Gabriela García Antonio

Noviembre 2020

Probabilidad

“

”

Probabilidad

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con

certeza los eventos futuros. La probabilidad mide la frecuencia con la que

ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente

estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística,

la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la

probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas

complejos.

La probabilidad de que ocurra un evento aleatorio A es igual al cociente de los

casos favorables en los que pueda ocurrir el evento A y los eventos totales del

espacio muestra. Se le conoce como Regla de Laplace y se expresa de la

siguiente manera:

P(A)=𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠𝑃 𝐴 =

𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento dado se llama

espacio muestral. A un resultado particular se denomina punto muestral o

muestra

La probabilidad se calcula en fracciones, números decimales o porcentajes.

La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:

a) Al suceso imposible le corresponde el valor 0

b) Al suceso seguro le corresponde el valor 1

c) El resto de sucesos tendrán una probabilidad comprendida entre 0 y 1

Ejemplos:

1.-En una baraja de 52 naipes, hay 13 naipes de cada grupo: corazones, diamantes,

espadas y tréboles. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer naipe que se baraje

sea una espada?

Espacio muestral: S = (13 corazones, 13 diamantes, 13 espadas, 13 clubes)

Evento A: salir una espada ………. A = (13 espadas)

Son 13 posibilidades de que al sacar una carta sea espada de un total de 52 cartas

Probabilidad (A) =𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠=

13

52=

1

4= 0.25 =25 %

Tenemos un 25 % de que esto ocurra

2.- Se lanzó un dado dos veces y en ambas oportunidades se obtuvo 4. ¿Cuál

es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se vuelva a obtener 4?

Espacio muestral: S = (1,2,3,4,5,6)

Evento A: Salir un cuatro ………. A = (1) una posibilidad porque el dado al

lanzarse tiene un solo 4.

Probabilidad (A) = Casos favorables

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠=

1

6= 0.1666 = 16.66 %

Tienes el 16.66% de posibilidades que al lanzar un dado salga 4.

Y si lo piensas lo mismo ocurre para 1, 2,3, 5 y 6 porque son una opción de 6.

Pero cuál es la probabilidad de que al caer un dado sea un número par.

Evento A: Salir 2,4,6 ………. A = (3) son 3 opciones

Probabilidad (A) = Casos favorables

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠=

3

6=

1

2= 0.5 = 50 %

El 50 % de posibilidad que al lanzar un dado, sea un número par

Evento: conjunto de resultados

Evento IndependienteSe dice que un evento A es independiente de un evento B, si la probabilidad de que A

suceda no está influenciada porque B haya o no sucedido. Dos sucesos son

independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al

producto o multiplicación de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos.

Ejemplo:

Si se lanza una moneda normal 3 veces, la probabilidad de obtener tres soles es:

Al lanzar un dado puede caer sol o águila por eso su probabilidad de que caiga sol es

un medio y cada que lances una moneda será un medio y como son eventos

independientes. Se multiplica para obtener la probabilidad de que caigan tres soles.

P (Tres soles) = P (Sol) • P (Sol) • P (Sol)

P (Tres soles) = 1

2𝑥1

2𝑥1

2=

1

8

Son las opciones que se tienen al lanzar tres monedas, porque puede caer por ejemplo:

SOL, AGUILA, SOL que corresponde a SAS. Y así puedes obtener las opciones o

combinaciones de las tres monedas:

SAS, SAA, SSA, SSS, ASS. ASA, AAA, AAS. Son 8 pero solo una es SSS (SOL,SOL,SOL)

)

P( ganarle p y q)= (2

3)(3

4)=

6

12=

1

2= 0.5 = 50%

Entonces la solución es B.

Ejemplo:

Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes. Se repone y se extrae una segunda carta,

¿cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes?

P (primer rey) =4

52=

1

13

Porque la baraja tiene 4 reyes, como la primera carta que se obtiene se regresa a la baraja

entonces para la segunda carta tenemos la misma probabilidad

P (segundo rey) =4

52=

1

13

Probabilidad de sacar dos reyes es:

P (primer rey) x P (segundo rey)= 1

13∗

1

13=

1

169

Esto ocurre porque se devuelve la carta a la baraja, pero hay casos en que ya no se

regresa o repone la carta y la probabilidad cambia.

Evento Independiente

Extracción sin reposición:

Ejemplo:

Un estuche contiene 3 lápices rojos y 2 negros. Si se sacan uno a uno 2 lápices sin reposición,

¿cuál es la probabilidad de que esos lápices sean negros?

P (primer lápiz negro) = 2

5

La probabilidad de sacar un lápiz negro es 2 de un total de 5. Como ya se sustrajo un lápiz del

estuche y no se regresa al estuche, entonces solo queda un lápiz negro y en el estuche solo

hay 4 lápices ahora.

P (segundo lápiz negro) =1

4

Probabilidad de sacar dos lápices negros es:

P (primer lápiz negro) x P (segundo lápiz negro) = 2

5𝑥

1

4=

2

20=

1

10= 0.1 = 10%

Ejemplo:

Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes. Se no repone la carta y se extrae una

segunda carta, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes? Porque la baraja tiene 4

reyes, entonces:

P (primer rey) = 4

52=

1

13

Como la primera carta que se obtiene ya no se regresa a la baraja. Entonces para la segunda

carta tenemos 3 reyes, suponiendo que el primero haya sido rey y ahora ya son 51 cartas

porque ya no se toma en cuenta la carta que salió primero.

P (segundo rey) = 3

51=

1

17

Probabilidad de sacar dos reyes es:

P (primer rey) x P (segundo rey)= 1

13∗

1

17=

1

221= 0.0045 = 0.45%

Tutoriales:

https://youtu.be/tQh29_Noo9w

https://youtu.be/qs_UCrZ7fZA

https://youtu.be/WeeEE8o1aqM

https://youtu.be/AjDK3NQZdPc

https://youtu.be/wOwwPD-O5sY

https://youtu.be/tQh29_Noo9whttps://youtu.be/tQh29_Noo9whttps://youtu.be/qs_UCrZ7fZAhttps://youtu.be/WeeEE8o1aqMhttps://youtu.be/AjDK3NQZdPchttps://youtu.be/wOwwPD-O5sY

Eventos mutuamente excluyentes

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes sí y solo sí uno de ellos puede tener lugar

en un mismo tiempo. Es decir, uno o el otro, pero no pueden suceder al mismo tiempo.

Ejemplo:

En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una

sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo?

Ejemplo:

Una encuesta sobre tránsito demuestra que en cierta intersección, la probabilidad de que los

vehículos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si san vuelta a la derecha, y de 0.54 si

siguen de largo. Calcular la probabilidad de que un auto de vuelta a la izquierda o a la derecha.

P ( I U D ) = P(I) + P(D)

P (I U D ) = 0.15 + 0.31 = 0.46

Porque ocurre uno u otro evento pero no los dos al mismo tiempo.

Ejemplo:

Se lanzan dos dados: uno blanco y uno negro. Encontrar la probabilidad de que el dado

blanco muestre un número menor que 3 o que la suma de los puntos que aparecen en

los dados sea mayor que 9.

Evento A : Dado blanco muestre 1 o 2

Evento B : Suma ambos dados sea 10,11,12 (5,5), (6,4), (6,6) ), (6,5), (5,6), (4,6).

P(A) = 2 = 1 P(B) = 6 = 1

6 3 36 6

P( A U B ) = P ( A ) + P ( B )

P ( A U B ) = 1 + 1 = 1

3 6 2

https://youtu.be/pRFacUMELPQ

https://youtu.be/pRFacUMELPQ

Eventos complementarios

Dos eventos se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestral y no

tienen nada en común. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es

igual a 1.

P (Ac) = 1 – P(A)Ejemplo:

En un contenedor hay 1 000 ampolletas, de las cuales1

40son defectuosas. Si se saca una

ampolleta al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una ampolleta no defectuosa?

Evento A: obtener una ampolleta defectuosa

P (Ac) = 1 – P(A)

P(AC)= 1 -1

40=

39

40ampolletas no defectuosas

1000 = 40

x = 39 (1000)(39) / 40 = 975 ampolletas no defectuosas

Ejemplo:

Se lanza dos veces una moneda, ¿ cuál es la probabilidad de no obtener dos águilas ?

Cada evento de lanzar monedas es independiente, por tanto :

P (dos águilas) = P (águila) • P (águila)

P (dos águilas) = 1

2𝑥1

2=

1

4

P (Ac) = 1 – P(A)

P (Ac) = 1 – P(dos águilas)

P(AC)= 1 -1

4=3

4

3

4es la probabilidad de no obtener dos águilas al lanzar al moneda dos veces

https://youtu.be/YiSq-8L-zYs

Ejemplo:

Lanzar un dado puede caer {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ώ espacio muestral

Sale par:

E1 = {2, 4 ,6}

Sale impar.

E2 = {1, 3, 5}

E1 y E2 son eventos complementarios, porque si uno los elementos de E1 Y E2 se forma el

espacio muestral pero no tienen ningún elemento en común.

Sale menor que 3.

E3 = {1,2}

Sale 3 o más.

E4 = {3, 4, 5, 6}

E3 y E4 son eventos complementarios. Así se ve que son complementarios los que no existen

en un conjunto pero que son necesarios para tener el espacio muestral es decir omega.

Resultados equiprobables y no equiprobables

Se dice que sucesos posibles de un experimento son equiprobables cuando la

probabilidad de ocurrencia de ambos sucesos es la misma. Matemáticamente:

P(E) = P (F)

Ejemplo :

Se lanza un dado al aire, hallar la probabilidad de que aparezca :

a) Número par

b) Número primo

Espacio muestral = ( 1,2,3,4,5,6)

P (número par ) = 3 = 1 P(número primo) = 3 = 1

6 2 6 2

Probabilidades de ocurrencia son iguales, por tanto son ejemplos de resultados

equiprobables