Matemáticas - UNID · Si rn = x donde n es un entero positivo, entonces r es una raíz n-ésima de...
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Matemáticas Sesión #2. Polinomios y expresiones racionales.
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Contextualización
Los polinomios son expresiones algebraicas que son las de mayor uso y
aplicación en cualquiera de las áreas de las matemáticas, tal es el caso del
cálculo diferencial e integral. En esta sesión aprenderemos a identificar y
clasificar los polinomios y sus tipos de factorizaciones, también
trabajaremos con las expresiones racionales las cuales representan a dos
polinomios que se están dividiendo para aprender a simplificarlas.
Una de las características principales de los polinomios y de toda expresión
algebraica es su grado exponencial, es por esta razón que aprenderemos a
identificar y trabajar expresiones algebraicas con Exponentes enteros y
calcularemos sus raíces reales.
Extraído de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/polynomial.gif solo para fines educativos
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Introducción
En matemáticas existen muchas
expresiones algebraicas pero las
mayormente utilizadas son los
polinomios.
Los polinomios se forman de n
términos, donde cada termino se
compone de un coeficiente (número),
una variable (letra) y un exponente.
Con estas expresiones algebraicas
podemos realizar cualquier operación
aritmética que necesitemos, así como
también podemos factorizar o
simplificar con la ayuda de las leyes de
los exponentes.
Extraído de: http://2.bp.blogspot.com/-
F0wyVZrArRE/TZjBYo8LQmI/AAAAAAAAAAg/gXT5zQUUJZ8/s1600/POLINOMIOS%25286%2529+-
+operaciones.jpg solo para fines educativos.
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Explicación
Polinomios y factorización
Un polinomio es una expresión que se forma con constantes, variables y exponentes, que están combinados a través de las operaciones aritméticas de sumas, restas y multiplicaciones,… pero no divisiones.
Los exponentes solo pueden ser números enteros positivos incluido el 0.
No puede tener un número infinito de términos.
Extraído de: http://laprofematematica.com/blog/wp-content/uploads/2010/02/elemento_polinomio-2.jpg solo para fines
educativos.
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Explicación
Las operaciones que se pueden realizar con los polinomios son las mismas
operaciones aritméticas que conocemos tales como las suma, resta,
multiplicación y división y cada una de ellas se resuelven bajo ciertas
características.
Suma y resta de polinomios.
Realiza la suma de 3x3 – 2x2 + x -5 y 4x3+5x2+8x-12
Primeramente acomodamos nuestros polinomios en suma:
(3x3 – 2x2 + x -5) + (4x3+5x2+8x-12)
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Explicación
Eliminando los paréntesis las expresiones nos quedan:
3x3 – 2x2 + x -5+4x3 + 5x2 + 8x - 12
Y ahora juntamos términos semejantes para realizar la operación que entre
ellos existe:
(3+4)x3 +(-2+5)x2 + (1+8)x +(-5-12)
7x3 + 3x2 + 9x -17 éste es el resultado de la suma de polinomios
Ahora sí utilizamos estos mismos polinomios para restar la solución será:
(3x3 – 2x2 + x -5) – (4x3+5x2+8x-12)
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Explicación
El signo menos si afecta a todos los términos que están después de él, así
que se deberá de afectar este polinomio cambiando cada uno de sus signos
en cada término:
3x3 – 2x2 + x -5 - 4x3- 5x2 - 8x+12
Y ahora al juntar términos semejantes nos quedará:
(3-4)x3 +(– 2-5)x2 + (1-8)x +(-5+12)
-x3 -7x2 -8x+7 éste será nuestro resultado.
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Explicación
Multiplicación de polinomios:
Realizaremos la multiplicación de los siguientes polinomios:
(x+4)(x2+4x+4) para resolver la multiplicación se deberá multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio:
x(x2) = x3 cuando tenemos términos semejantes multiplicándose se suman los exponentes.
x(4x)= 4x2
x(4)= 4x
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Explicación
Y ahora el segundo término por cada termino del segundo polinomio
4(x2)= 4x2
4(4x)=16x
4(4)= 16
Ahora juntamos términos semejantes:
4x2 + 4x2 = 8x2
4x + 16x = 20x
Solamente acomodamos los términos con el mayor grado iniciando la expresión:
8x2 + 20x +16
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Explicación
Para factorizar polinomios hay varios métodos:
1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:
Ejemplo: factoriza 3x2+x, se tiene de factor común “x” por lo tanto:
x(3x+1) es la factorización.
2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por
diferencia. Se basa en la siguiente fórmula:
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Explicación
Ejemplo: factoriza 4x2 – 25, esta expresión nos muestra que sus dos
términos son cuadráticos y entre ellos hay una resta (diferencia), lo cual
caracteriza a este tipo de factorización por lo tanto:
(2x + 5)(2x – 5) son los factores de nuestra expresión.
3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un
binomio. Se basa en las siguientes fórmulas:
y
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Explicación
Ejemplo: factorice x2 – 6x +9, para solucionar este trinomio primero
debemos de comprobar que su primer y tercer término tengas
raíces cuadradas.
y por lo tanto si es un trinomio
cuadrado perfecto ahora sólo se acomodan los términos como nos
muestra la fórmula: (x – 3)2
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Explicación
Expresiones racionales.
Las expresiones racionales nos representan la división de dos
polinomios:
Con las expresiones racionales podemos simplificar a través de
factores los polinomios hasta reducir la expresión a su más mínima
forma.
Por ejemplo: Simplifica
Aquí como tenemos dos términos
iguales al de abajo se elimina uno con el de abajo así que ésta es la
expresión que nos queda de la simplificación.
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Explicación
Exponentes enteros y raíces reales
Los exponentes enteros positivos representan la abreviatura del producto de
n factores (xn) a la letra n se le llama exponente y a la “x” se le llama base.
Si rn = x donde n es un entero positivo, entonces r es una raíz n-ésima de x.
Por ejemplo 32 = 9 y así 3 es la raíz segunda (por lo general llamada raíz
cuadrada) de 9.
Algunos números no tienen una raíz n-ésima que sea un número real, por
ejemplo los números negativos (-4,-9-16) no tienen raíces reales.
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Explicación.
La raíz n-ésima principal de x
la denotamos como:
Existen algunas leyes de los
exponentes que nos ayudan a
dar solución a las operaciones
con polinomios.
Tabla de algunas leyes de los
exponentes:
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Explicación.
Ejemplos del uso de las leyes de los exponentes:
Simplifique:
1. x6x9 = x6+9 = x15
2. w4w8 = w4+8=w12
3.
4.
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Conclusión
Los polinomios son las expresiones algebraicas mayormente utilizadas, se manejan como ecuaciones y como funciones para el cálculo diferencial e integral, con estas expresiones podemos realizar cualquier operación aritmética que necesitemos y también podemos factorizarlas para reducir una forma de expresión de tipo polinomial.
Las leyes de los exponentes se trabajan siempre que se esté realizando algún proceso u operación con un polinomio.
En la siguiente sesión estudiaremos las Ecuaciones cuadráticas otra forma de manejar los polinomios.
Extraido de:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Ecua
ci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg/250px-
Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg.png solo para fines
educativos.
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Para aprender más…
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
Videos que ayudan a entender más claramente los polinomios y su factorización:
Math2me. Conceptos importantes de los polinomios. Recuperado el día 07 de abril del 2014:
https://www.youtube.com/watch?v=K7YOYztqaWY
Tareas plus. Suma y resta de polinomios. Recuperado el día 07 de abril del 2014:
https://www.youtube.com/watch?v=TiBL2zfO310
Video de simplificación de expresiones racionales y uso de la factorización:
Academia Vázquez. Simplificación de fracciones algebraicas (expresiones racionales).
Recuperado el día 07 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=mLflDFKp_sY
Video de las leyes de los exponentes:
Math2me. Leyes de los exponentes. Recuperado el día 07 de abril del 2014:
https://www.youtube.com/watch?v=6jNWN-o0__Y
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con
más éxito.
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Bibliografía
Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias
sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall
hispanoamericana, S.A.
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