MATEMÁTICAS UNIDAD 2 GRADO 8º · 2011. 10. 19. · UNIDAD 2 GRADO 8º Productos notables . 2...

1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física

Universidad de Antioquia

1

MATEMÁTICAS

UNIDAD 2

GRADO 8º

Productos notables



2

LOGRO:

Reconoce como se conforman los productos notables a partir de la

propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.

INDICADORES DE LOGRO:

Reconoce los diferentes productos notables

Aplica los productos notables a la resolución de problemas

geométricos

Aplica los productos notables a la resolución de problemas de la

cotidianidad.

Resuelve ejercicios que involucran productos notables.

Identifica la relación entre los productos notables y la

potenciación.

¿CÓMO ASÍ QUE NOTABLES?, ¿SOBRESALEN MÁS QUE LOS OTROS?



3

Reseña histórica:

Al iniciarnos en nuestra aventura por el conocimiento de las

matemáticas, lo primero a lo que se hace referencia es al número,

como clase, según lo plantean algunos, o como conjunto, según otros.

La cuestión es que el hombre y su inmensa necesidad de organizarse en

sociedades, poco a poco, fue implementando un lenguaje simbólico que

le sirvió de instrumento en las actividades cotidianas, tanto para

comunicarse como para demarcar y establecer normas de convivencia.

Primero, se da cuenta que el medio natural le ofrece una serie de

herramientas para tal organización; comienza a utilizar las piedras como

mecanismo de conteo; luego, descubre que puede hacer marcas en los

árboles, en el suelo, en las paredes de las cavernas… y así llega, sin

saber, a la intuición de número.

El estudio de los números, o mejor dicho la fase de estructuración de los

números y su aplicación en otras ramas de la matemática, como la

geometría, la aritmética y el álgebra, no ha sido fácil. Desde mucho

antes de Cristo, con Pitágoras de Samos, pasando por Euclides, Al-

Jwārizmī, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros; todos ellos fueron

dándole forma y sentido a todo ese conocimiento vago que desde

tiempos remotos, babilonios y egipcios aplicaban en su cotidianidad.

Por ejemplo, en la aritmética, que es la parte de la matemática que

trata del arte o habilidad para contar, sólo se utilizan números o

cantidades conocidas que mediante operaciones de adición,

multiplicación y potenciación, de acuerdo con ciertas propiedades ya

existentes, es posible realizar todos los cálculos habidos y por haber. En

el álgebra, rama de la matemática que permite generalizar las

aplicaciones aritméticas, mediante el uso de cantidades desconocidas

representadas por letras, también se vale de las operaciones de

adición, multiplicación y potenciación para tales aplicaciones. Y en la

geometría (del griego geō que significa 'tierra' y metrein 'medir'), rama

de las matemáticas que se encarga de las relaciones métricas del

espacio y sus propiedades, en su forma más elemental y no tan



4

elemental; se vale del álgebra y la aritmética para formalizar y

sistematizar sus aplicaciones.

Dentro de todas estas operaciones elementales, como la adición, la

multiplicación, la potenciación, entre otras, aplicables en todas las

ramas de las matemáticas anteriormente mencionadas, a través de

propiedades de composición bien definidas, se derivan procedimientos

que permiten simplificar con mayor facilidad las operaciones indicadas.

Procedimientos como el producto notable y la factorización son

herramientas muy prácticas para la agilización en la búsqueda de un

resultado concreto1.

Cuando se realiza un producto notable se está aplicando una

multiplicación, pero se hace de una forma directa reduciendo la

operación a un mínimo de pasos posibles, por ejemplo en aritmética no

es muy frecuente encontrarse con un producto notable pero se puede

ejemplificar un ejercicio para hacer sencillas demostraciones, de la

siguiente manera:

930253)35(25)35( 222

Si se realiza la multiplicación aplicando la propiedad distributiva, que es

el proceso normal, el procedimiento se hace más largo; observa:

915152533533555)35()35()35( 2

Ahora bien, si trabajamos dentro del álgebra, el mismo producto

notable pudiese aplicarse de la siguiente manera:

1Santamaría, J. (2006). Productos notables. Artículo no publicado (pp.1-8). Tinaquillo, Estado

Cojedes.



5

yxyxyx 53).53()53( 2yyxyyxxx 5.53).5()5.(33).3(

22222 25309)5()53(2)3()53( yxyxyyxxyx

Al llevar este mismo procedimiento al campo de la geometría le

daríamos el siguiente enfoque:

Suponga un terreno de forma cuadrada, donde cada lado mide ”y-4”,

calcula el área del terreno:

Para hallar el área de un cuadrado se multiplica lo que mide de ancho

por lo que mide de largo; así:

222 )4()4()(2)4()4()4( yyyyy 1682 yy es el área del

terreno.

El producto notable es aquella multiplicación que

se efectúa con expresiones algebraicas de forma

directa, aplicando una fórmula o procedimiento,

de acuerdo a una situación específica.

Veamos algunos casos específicos de productos

notables.

4y

4y



6

Por Ley de Potenciación: 2aaa

EL CUADRADO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS

Ejemplo Nº 1

Supóngase que tenemos una región de forma cuadrada, cuyas

dimensiones son las siguientes: de largo y de ancho mide "" 7x

unidades.

Necesitamos conocer el área del cuadrado.

Sabemos que para calcular el área de un

cuadrado, sólo tenemos que multiplicar lo

que mide de ancho por lo que mide de

largo, Es decir:

Área del Cuadrado = Largo Ancho

Área = (Lado) 2

Entonces; Apliquemos la Fórmula:

Área = 2777 )()()( xxx

Si aplicamos la propiedad distributiva nos quedaría:

(X + 7) . (X + 7) = X2 + X.7 + 7.X + 72 = X2 + 2 (7.X) + 72

Luego: Área = 27)(x

Desarrollemos esta potencia de la siguiente manera:

Ancho Largo

7x

7x



7

222 7727 )()()()( xxx

Simplificando el resultado, tenemos que: 49147 22 xxx )(

De esta manera obtenemos el área de la región cuadrada:

Área = 49142 xx

El resultado es un polinomio de tres términos: “EL primer

término al cuadrado, más el doble del producto del primer

término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”

Ejemplo 2:

Desarrollemos el Producto Notable: 25 )( y

222 5255 )()()()( yyy

Simplificando queda:

22 10255 yyy )(

Cuadrado

del 1er

Término

El Doble del

producto: del 1er

término por el 2do

término

Cuadrado

del

2do

Término



8

ACTIVIDAD:

Resuelve preferiblemente en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

Ejercicios propuestos:

a. (x + 7)2 b. ( + ) 2 c. ( + 5) 2

d. (x2 + 3) 2 e. (xy + xz) 2 f. (Xa+1 + 1) 2

g. (a2 b + ac) 2 h. (2xy + y2) 2

5.9- En un club se desea crear una cancha para la práctica individual

de tenis y se dispone de una pared cuadrada de lado x. Los

especialistas en ese deporte solicitan que sea más grande, por lo

que se le añadieron 3m a cada lado. ¿Cuál es el área de la

nueva pared?

CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS

Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de

dos términos; sólo que para desarrollar este caso hay que tomar en

cuenta el signo de los términos.

TRABAJEMOS EN NUESTRO

APRENDIZAJE

Aprendamos algo

nuevo



9

Ejemplo Nº 3:

222 3323 )()()()( xxx

Simplificando:

963 22 xxx )(

El cuadrado de una diferencia es igual a:

El cuadrado del primer término, menos el doble producto del

primero por el segundo, más el cuadrado del segundo


a. (X - 5)2 b. (2X/3 - 1/5) 2c. (a/3 - 3) 2

d. (X2 - 2) 2 e. (Xa-1 - 1) 2 f. (2xy - x2 ) 2

g. Si a2 + b2 = 13 y a . b = 6 ¿cuánto vale (a – b) 2?

h. Calcula los productos: 1) (–x – a) 2

2) (x + a) 2 ¿Qué relación existe entre ellos? ¿Por qué?

Primer

Término

Segundo

Término Primer

Término

Segundo

Término

Doble


APRENDIZAJE



10

7x

5x

i. Se necesita revestir un piso con cerámica, el cual tiene forma

cuadrada de lado x, pero la cantidad de cerámica sólo cubre

una superficie también cuadrada que tiene ¾ de metro menos

por cada lado del área total. ¿Cuántos m2 de cerámica se

compraron?

j. ¿Qué diferencia observas en estos ejercicios? : 1) (x – a) 2

2) x2 - a2

Después de resolverlos, ¿qué apreciación tienes al respecto?

EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

Ejemplo Nº 4:

Tenemos una región de forma rectangular cuyas dimensiones ya

conocemos:

Se necesita conocer el área de la región.

Sabemos que el área de un rectángulo se calcula

multiplicando lo que mide de largo por el ancho.

Entonces: Área = )()( 57 xx

Ancho Largo

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



11

Desarrollarnos este producto de la siguiente manera:

)()()()( 575757 2 xxxx

El resultado de este producto notable es un trinomio: “El término común

al cuadrado más el producto del término común con la suma algebraica

de los términos no comunes más el producto de los términos no

comunes”.

Simplificando el resultado, queda:

)()()()( 35257 2 xxxx 3522 xx

De esta manera se obtiene el área de la región rectangular:

Área = 3522 xx

Ejemplo Nº 5:

Desarrolla el producto: )()( 2393 xx

2929332393 2 )()()()()()( xxxx

Simplificando cada término:

22 9333 xxxx )()()(

xxx 21)7()3()29()3(

182)9(

Término

Común

Términos no

comunes Término

común

Suma de

términos no

comunes

Producto de

términos no

comunes

Trinomio

Término

Común

Término no

comunes



12

Luego:

182192393 2 xxxx )()(

El producto de los términos no comunes

Producto del término común con la

suma de los no comunes

El cuadrado del término común


5.19- (x2 + 6) . (x2 – 2) 5.20- (a3 + 1/5) . (a3 + 2/3)

5.21- (y – 3/5) . (y + 4) 5.22- (2x - 7) . (2x +2)

5.23- Si se cumple que (x + a) . (x + b) = x2 - 2x + 8 entonces

¿cuánto vale a + b?

5.24- ¿Para qué valores de la x se cumple que el producto de:

a) (x + 3) por

b) (x - 1) es igual a cero?

5.25- Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 9 cm

y en el otro se le resta 2cm, ¿cuál será el área de la nueva figura?


APRENDIZAJE



13

6x

6x

2.26- Calcule el área del siguiente rectángulo:

LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA:

Ejemplo Nº 6:

Se conocen las dimensiones de una región rectangular:

Largo = 6x y Ancho = 6x

Tenemos que calcular el área respectiva:

Para hallar el área de un rectángulo

aplicamosla Fórmula: Área = Largo x.Ancho

Área = base x Altura

Entonces, Área = )()( 66 xx

Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma:

22 )6()()6()6( xxx

Suma Diferencia

1erTérmino al

cuadrado 2

doTérmino al

cuadrado

x

a

x

b

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



14

Simplificando el resultado: 362x

Luego: El área de la región rectangular es: 22 6x

El resultado de este producto notable es un binomio: “El

cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo

término”

ACTIVIDAD:

Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios propuesto.


a. (y – 3/5) . (y + 3/5) b. (x2 + 6) . (x2 – 6)

c. (a3 + 1/5) . (a3 – 1/5) d. (x/3 + 2/7) . (x/3 – 2/7)

e. (2x - 7) . (2x +7)

f. Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 5 m y en

el otro se le resta 5 m ¿cuál será el área de la figura que se originó?

g. Calcula el área de la figura sombreada:

x

a

x

a


APRENDIZAJE



15

5x

5x

EL CUBO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS:

Ejemplo Nº 6:

Se debe determinar el volumen de un tanque que tiene forma de cubo,

conociendo sus dimensiones:

Largo = x + 5, Ancho = x + 5 y Alto = x + 5

Para hallar el volumen de un cubo aplicamos la fórmula:

Volumen = Largo x Ancho x Alto

Como las tres medidas son iguales

Entonces,Volumen = (Lado)3

Entonces: Volumen = )())( 555 xxx

Por Ley de Potenciación: 35555 )()())( xxxx

Luego: Volumen = 35)(x

Para desarrollar esta potencia procedemos así:

35)(x = (x + 5)2 . (x + 5) esto por ley de potenciación y como

sabemos calcular el cuadrado de una suma

35)(x = (x2 + 10.x + 25) . (x + 5)

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



16

35)(x = x3 + 5.x2 + 10.x2 + 50.x + 25.x + 125 esto por multiplicación

de polinomios

35)(x = x3 + 15.x2 + 75.x + 125 por agrupación de términos

semejantes

35)(x = x3 + 3 . 5. x2 + 3. 52.x + 53

El resultado de este producto notable es un polinomio: “El cubo

del primer término, más el triple del producto del primer término

al cuadrado, por el segundo término, más el triple del producto

del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del

segundo término”.

32233 )5()5()(35)(3))5( xxxx

Luego; simplificando cada término:

33)( xx , 22 1553 xx )()(

1255555 3)( , xxx 7525353 2)()(

De esta manera tenemos que:

12575155 233 xxxx )(

Ejemplo Nº 7:

Desarrollar el producto notable: 312 )( x

Si aplicamos el procedimiento anterior; obtenemos:

El cubo del primer término (2x) 3

El triple del producto del primer 3 . (2x)2 . 1



17

término al cuadrado por el

segundotérmino

El triple del producto del primer

término por el cuadrado del

segundo

3 . 2x . 13

El cubo del segundo término 13

Sumando estos términos

32233 1123123212 )()()()()()()( xxxx

Simplificando cada término del resultado:

* )()()()( xxxx 2222 3 38x

* 143123 22 xx )()( 212x

* 123123 2 xx )()( x6

* 1111)1( 3

Luego, el polinomio se reduce a: 1612812 33 xxxx )(

ACTIVIDAD:

Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios propuestos.



APRENDIZAJE



18

a. (x + 3)3 b. (3X/2 + 4/5) 3 c. ( y/3 + 3) 3

d. (x2 + 5) 3 e. (xy + xz) 3 f. (a2 b + ac) 3

g. (2xy + y2) 3

h. Si el volumen de un cubo es 27 cm3 ¿Cuál será el nuevo volumen

si se aumenta su arista en x unidades?

EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS.

Se desarrolla aplicando el mismo procedimiento de “el cubo de la suma

de dos términos”, sólo que en este caso se debe tomar en cuenta el

signo de los términos.

Veamos esto en un ejemplo:

Ejemplo Nº 8:

Desarrolla el producto notable: 32)(y

Simplificando cada término en el resultado:

Primer

Término

Segundo

Término

32233 )2()2()(3)2()3)()2( yyyy

SEMBREMOS UN

POCO DE

CONOCIMIENTO



19

* 33)( yy

* 22 623 yy )()(

* )()()( 4323 2 yy = y12

* )2()2()2()2( 3 8

Luego; Simplificado cada término el polinomio resultante es:

8126)2( 233 yyyy

En resumen, obtenemos como resultado: El cubo del primer

término, menos el triple del producto del cuadrado del primero

por el segundo, más el triple del producto del primero por el

cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

ACTIVIDAD:

En tu cuaderno realiza los siguientes ejercicios propuestos.


a. (X – 1/2)3 b. (2X/3 - 1/5) 3 c. (a/3 - 3) 3

d. (X2 - 5) 3 e. (xy - xz) 3 f. (2xy - x2 ) 2

g. Compara los siguientes cubos

1) (x - p) 3 2) (p - x) 3 ¿Son iguales? ¿Por qué?

h. Las cajas para embalaje de mercancía de una empresa tienen

forma cúbica con volumen de 125 cm3, con la finalidad de


APRENDIZAJE



20

disminuir costos, la empresa decide reducir el tamaño del

envase restando x unidades (con x < 5) a la arista del cubo

original. ¿Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo

envase?

i. Si a = b + 3 ¿cuánto vale (a – b)3 ?

j. Simplifica las siguientes operaciones:

a) )()()( 1414123 2 xxx

b) 294117372 )()()( xxx

c) 33 6132 )()( xx

k. Halla la suma de:

El doble del cuadrado de la diferencia entre X y 2, con el triple

delproducto de la suma de X y 1 por su diferencia.



21

En tu cuaderno resuelve los siguientes productos notables: (x + 5)2 = (7a + b)2 = (4ab2 + 6xy3)2 = (xa+1 + yb-2)2 = (8 - a)2 = (3x4 -5y2)2 = (xa+1 - 4xa-2)2 = (5a + 10b)(5a - 10b) = (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) = (x + 4)3 = (5x + 2y)3 = (2x2y + 4m)3 = (1 - 4y)3 = (3a3 - 7xy4)3 = (2xa+4 - 8ya-1)3 = (x + 5)(x + 3) = (a + 9)(a - 6) = (y - 12)(y - 7) = (4x3 + 15)(4x3 + 5) = (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) =

Recolectemos

lo aprendido

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