Material de apoyo para segundo parcial · 1) A lo largo de una semana del mes de abril de 2010 las...

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MATEMÁTICAS

1 G.F.S.

Material de apoyo

para segundo parcial


2 G.F.S.

Medidas de Forma ETAPA DE APERTURA Se pretende que en esta etapa de la secuencia, y a través de la estrategia: ejercicio vivencial, el alumno identifique y describa las experiencias y conocimientos previos, mediante: Actividad 1. I. Analiza el siguiente problema y contesta lo que se te pide a fin de atender la demanda salarial de un grupo de 40, 40, 45, 50, 55, 200, 300.

Obtén la media, mediana y moda de los datos proporcionados.

¿Cómo es la media con respecto a los datos obtenidos? II. Realiza el histograma de la información En un salón de clases se hicieron diferentes encuestas con los alumnos y los resultados de una de las encuestas son:

a) ¿hacia dónde está la mayoría de los datos? b) ¿La gráfica es simétrica? c) ¿Por qué?

III. Teniendo en cuenta el concepto intuitivo de conjuntos. Contesta las preguntas al problema en cuestión. Unos amigos llegaron a una fonda a comer tacos al pastor. La mesera tomó la orden de tacos, de los cuales 18 deberán tener cebolla, 23 salsa picante y 29 cilantro. Además anotó que nueve sólo llevaban cilantro y picante, tres solo picante, ocho sólo cilantro y cinco los tres ingredientes. a) ¿Cuántos tacos llevaban cebolla y picante, pero no cilantro? b) ¿Cuántos cebolla y cilantro, sin picante? c) ¿Cuántos sólo cebolla? d) Si los tacos cuestan tres pesos y además se consumieron cuatro refrescos de ocho pesos cada uno, ¿a cuánto asciende la cuenta? e) ¿Cuántas personas eran? ETAPA DE DESARROLLO Se pretende que en esta etapa de la secuencia, y a través de la estrategia por proyecto en trabajo colaborativo, ejercicio vivencial, y a las instrucciones que de manera expositiva te presentó el facilitador y a la guía de apoyo con respecto a los conocimientos previos desarrolles las siguientes: Actividad 2.

INTRODUCCIÓN

Las medidas de forma permiten comprobar si una distribución de frecuencia tiene características especiales como simetría, asimetría, nivel de concentración de datos y nivel de apuntamiento que la clasifiquen en un tipo particular de distribución. Para conocer y darnos cuenta que son las medidas de forma, te invito a que observes el video de medidas de

forma

https://www.youtube.com/watch?v=WfhyfPkB3EA

https://www.youtube.com/watch?v=WfhyfPkB3EA


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TAREA I. De los siguientes problemas calcula la media, mediana y moda e indica si es simétrica o asimétrica según los resultados. 1) Un psicólogo escribió un programa de computadora para simular la forma en que una persona llena un test estándar del coeficiente intelectual, Para probar el programa, introdujo en la computadora 15 formas diferentes de un test del coeficiente intelectual cuyo conocido y calculo el coeficiente en cada forma. 134, 144, 138, 146, 148 143, 137, 135, 153, 146 136, 144, 138, 147, 146 2) Se pidió a 13 estudiantes de la universidad, seleccionados aleatoriamente, que dijeran el número de horas que habían dormido la noche anterior, Los datos resultantes fueron 5, 6, 6, 7, 7, 10, 5,4, 12, 6, 7, 9, 7. 3) En el cuadro siguiente se concentran las calificaciones obtenidas en el examen final de Estadística, por un grupo de 45 alumnos:

Calificaciones 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Alumnos 3 3 4 6 12 13 1 2 1

4) Los valores $12, $15, $13, $17, $15, $18, $15, $13 y $17. II. De los siguientes problemas calcula el coeficiente de asimetría y de apuntamiento de Fisher. 1) Los datos son: 2, 3, 9,2 2) El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. 3) El precio de un interruptor termo-magnético en 10 comercios de electricidad de una ciudad son : 25, 25, 26, 24, 30, 25, 29, 28, 26, y 27 euros. 4) Un microbús urbano realizo ayer 15 recorridos por su ruta autorizada, transportando en cada viaje el número de pasajeros que se indica a continuación: 13, 14, 15, 9, 5, 9, 2, 14, 10, 6, 10, 11, 13, 14 y 14. PROCESO

Para el repaso también te puedes apoyar en los siguientes vínculos:

Medidas de forma uno

Diapositivas

O también analices la información que se te presenta a continuación:

Medidas de forma: Son indicadores estadísticos que permiten identificar si una distribución de frecuencia presenta uniformidad, se pueden clasificar en dos grandes grupos: medidas de sesgo y medidas apuntamiento.

https://www.youtube.com/watch?v=SNllIAeD1SI&t=5s

https://www.google.com.mx/#q=medidas_forma+ppt


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Medida de simetría: Cuando los valores de la variable que equidistan de un valor central tienen las misma frecuencias. En este caso se verifica: x = Me = Mo donde: x es la media, Me es la mediana y Mo es la moda.

Medidas de sesgo o asimetría: informa si los extremos de las curvas (colas) asociadas a los datos son mas alargados hacia algunos de los lados. Las asimetrías puedes tener sesgo:

Positivo o derecha: tienen las frecuencias más altas a la izquierda de la media y las más pequeñas a la derecha (colas). Mo < Me < x

Negativo o izquierda: tienen las frecuencias más altas a la derecha de la media y las más pequeñas a la izquierda (colas). x < Me < Mo

Ejemplos: 1) A lo largo de una semana del mes de abril de 2010 las cotizaciones del dólar respecto al peso fueron: 12.33, 12.26, 12.24, 12.22, 12.24, 12.19, 12.24

Si comparamos las tres medidas de tendencia central podemos decir que son iguales por lo que la distribución de los datos es simétrica, y concluir que el dólar tuvo un comportamiento normal. 2) Al escribir un artículo sobre los tipos de impresoras disponibles de las denominadas impresoras de matriz de puntos, se investigaron los siguientes precios en dólares de los modelos disponibles. 575, 259, 550, 340, 475, 520, 550, 398

Si comparamos las tres medidas de tendencia central podemos decir que < Me < Mo por lo que la distribución de los datos es asimétrica negativa o por la izquierda.


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3) A fin de atender la demanda salarial de un grupo de 8 trabajadores, se analiza su ingreso en pesos que son: 32, 40, 40, 45, 50, 55, 200, 300

Si comparamos las tres medidas de tendencia central podemos decir que Mo < Me < por lo que la distribución de los datos es asimétrica positiva o por la derecha. Coeficiente de Fisher El coeficiente de asimetría mas preciso es el de Fisher que se define por:

Medidas de apuntamiento o curtosis.

La palabra curto viene del latín “curtus”, que significa corto o menguado. Se utiliza la palabra curtíos para

denominar a las medidas de forma que miden el apuntamiento o el achatamiento de las distribuciones distinguiéndose entre:


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Leptocúrticas: Distribuciones mas apuntadas que la normal. Mesocúrticas: Distribuciones con apuntamiento normal. Platicúrticas: Distribuciones menos apuntadas que la normal.

El coeficiente de apuntamiento de Fisher nos sirve para medir el mayor o menor apuntamiento, este no es el único coeficiente, pero es el más utilizado y se define como:

Ejemplo: 1) La hemoglobina en gramos de 100 ml de un grupo de pacientes se recoge en la siguiente tabla

a) Calcula la media y desviación estándar


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b) Calcular el coeficiente de asimetría de Fisher.

Como Sf < 0, entonces la distribución es asimétrica a la izquierda. c) Calcular el coeficiente de apuntamiento.


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Si Af < 0 f A , entonces la distribución es Platicúrtica, es decir es más aplanada que una curva normal. 2) Se tienen datos sobre el tiempo de arranque de un motor en segundos: 1.75; 1.92; 2.62; 2.35; 3.09; 3.15; 2.53; 1.91. Calcula a) La media

b) Desviación estándar

c) Calcular el coeficiente de asimetría de Fisher.


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Como Sf > 0, entonces la distribución es asimétrica a la derecha. d) Calcular el coeficiente de apuntamiento

Si Sf < 0, entonces la distribución es Platicúrtica, es decir es más aplanada que una curva normal.


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Actividad 3.

MEDIDAS DE CORRELACIÓN

INTRODUCCIÓN

Hasta ahora hemos estudiado temas de estadística que implica una variable, pero en algunas ocasiones es necesario investigar y estudiar la relación entre dos o más variables. Por ejemplo: Pronosticar las ventas futuras de un producto en términos de su precio, la producción promedio de tomate en base a la precipitación pluvial, el peso de personas con respecto a la estatura. Por lo tanto a partir de las técnicas estadísticas de correlación y regresión, podemos realiza una estimación que permita afirmar con mayor o menor facilidad, el comportamiento entre las variables de estudio. TAREA I. En cada uno de los siguientes problemas realiza el diagrama de dispersión y encuentra el coeficiente de correlación para indicar si existe una relación lineal entre las variables. 1) Consideremos los siguientes datos, donde “x” representa el número de sucursales que 10 bancos

diferentes tienen en un área metropolitana, e “y” representa la correspondiente cuota del total de

depósitos mantenidos por los bancos.

Solución: = 96.6 = 101

X Y x= X - y=Y - x2 y2 xy 198 227 198 - 96.6 = 101.4 227 - 101 = 126 101.4

2 = 10281.96 126

2 = 15876 12776.4

186 166 186 - 96.6 = 89.4 166 - 101 = 65 89.42 = 7992.36 65

2 = 4225 5811

116 159 116 - 96.6 =19.4 159 - 101 = 58 19.42 = 376.36 58

2 = 3364 1125.2

89 125 89 - 96.6 = -7.6 125 - 101 = 24 -7.62 = 57.76 24

2 = 576 -182.4

120 102 120 - 96.6 = 23.4 102 - 101 = 1 23.42 = 547.56 1

2 = 1 23.4

109 68 109 - 96.6 = 12.4 68 - 101 = -33 12.42 = 153.76 -33

2 =1089 -409.2

28 68 28 - 96.6 = -68.6 68 - 101 = -33 -68.62 = 4705.96 -33

2 = 1089 2263.8

58 40 58 - 96.6 = -38.6 40 - 101 = -61 -38.62 = 1489.96 -61

2 = 37214 2354.6

34 27 34 - 96.6 = -62.6 27 - 101 = -74 -62.62 = 3918.76 -74

2 = 5476 4632.4

31 28 31 - 96.6 = -65.6 28 - 101 = -73 -65.62 = 4303.36 -73

2 = 5329 4788.8

∑x2 = 33827.8 ∑y

2 = 40746 ∑xy = 33184

r = 0.89 2) En los siguientes datos se presenta la temperatura media diaria en grados Fareheit y el consumo Correspondiente diario de gas natural en pies cúbicos.

3) La siguiente tabla indica la temperatura media diaria en grados Farenheit de un periodo de 10 días y el índice bursátil medio (en 1998).


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II. Resuelve cada uno de los siguientes problemas. 1) Encuentra la recta de regresión.

2) Encuentra el coeficiente de correlación y la recta de regresión de los siguientes datos,

PROCESO Para desarrollar la tarea te indicamos los siguientes:

Medidas de correlación


Coeficiente de correlación La correlación es el grado de relación entre variables e intenta determinar que tan bien una ecuación lineal Describe, o explica la relación entre las variables. Es frecuente que estudiemos sobre una misma población los valores de dos variables estadísticas distintas, con el fin de ver si existe alguna relación entre ellas, es decir, si los cambios en una de ellas influyen en los valores de la otra. Si ocurre esto decimos que las variables están correlacionadas o bien que hay correlación entre ellas. El análisis de la correlación implica los siguientes pasos: • El estudio descriptivo mediante el “gráfico de dispersión”;

• La estimación del coeficiente de correlación (incluyendo su intervalo de confianza); • La valoración de este coeficiente de correlación (signo y magnitud) y la significación estadística; • La interpretación del coeficiente de correlación evaluando el coeficiente de determinación. Ejemplos 1) Las notas de 10 alumnos en Matemáticas y en lengua vienen dadas en la siguiente tabla:

https://www.youtube.com/watch?v=Z7c_olbk5nU&feature=youtu.be


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Los pares de valores {(2,2),(4,2),(5,5),…;(8,7),(9,10)}, forman la distribución bidimensional.

Nube de puntos o diagrama de dispersión La primera forma de describir una distribución bidimensional es representar los pares de valores en el plano cartesiano. El grafico obtenido recibe el nombre de nube de puntos o diagrama de dispersión.

Correlación lineal y recta de regresión: Cuando observamos una nube de puntos podemos apreciar si los puntos se agrupan cerca de alguna curva. Aquí nos limitaremos a ver si los puntos se distribuyen alrededor de una recta. Si así ocurre diremos que hay correlación lineal denomina recta de regresión.

Hablaremos de correlación lineal fuerte cuando la nube se parezca mucho a una recta y será cada vez mas débil (o menos fuerte) cuando la nube vaya desparramándose con respecto a la recta. En el grafico observamos que en nuestro ejemplo la correlación es bastante fuerte, ya que la recta que hemos dibujado esta próxima a los puntos de la nube. Cuando la recta es creciente la correlación es positiva o directa: al aumentar una variable, la otra tiene también tendencia a aumentar, como en el ejemplo anterior. Cuando la recta es decreciente la correlación es negativa o inversa: al aumentar una variable, la otra tiene tendencia a disminuir. 2) Una persona se entrena para obtener el carnet de conducir repitiendo un test de 50 preguntas. En la grafica se describen el número de errores que corresponden a los intentos realizados. Observa que hay una correlación muy fuerte (los puntos están “casi

alineados) y negativa (la recta es decreciente).

3) A 12 alumnos de un centro se les preguntó a qué distancia estaba su residencia del Instituto, con fin de estudiar si esta variable estaba relacionada con la nota media obtenida. Se obtuvieron los datos que figuran en la siguiente tabla:


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Observamos una nube de puntos que no nos sugiere ninguna recta concreta, porque la correlación es prácticamente inexistente, es decir, no tiene nada que ver con el rendimiento académico la dista del domicilio al instituto.

Los coeficientes de correlación lineal más frecuentes son: La de Pearson y la de Spearman, pero solo veremos el coeficiente de Pearson. Coeficiente de correlación de Pearson Este tipo de correlación se aplica para variables de intervalo o razón y se calcula con la relación:

• El valor de r = 0 indica que no existe correlación entre las variables. • Los valores +1 y -1 indican una correlación perfecta (lineal) positiva o negativa. Ejemplos: 4) Un partido político ha ordenado los datos relativos a gastos de propaganda y número de diputados obtenidos en diversas campañas electorales, porque está interesado en conocer si efectivamente los gastos de propaganda influyen en el número de diputados.

a) Dibujo del diagrama de dispersión:

b) Se calcula la media de las variables X y Y


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c) Calcular el coeficiente de correlación.

Esto indica que existe una correlación fuerte y positiva entre las variables, aunque es menor que uno, pone de manifiesto la presencia de alguna otra variable no contemplada que también influye en el número de diputados. 5) Existen programas para aumentar la velocidad de lectura de los individuos, por lo que una empresa dedicada a vender uno de estos sistemas selecciono a un joven estudiante de bachillerato y, durante 8 semanas, observó el número de palabras que puede leer en un minuto. ¿Cómo se podría saber si realmente el sistema es eficiente? Los datos son:

a) Dibujo el diagrama de dispersión:

b) Se calcula la media de las variables X y Y


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a) Calcular el coeficiente de correlación.

Esto indica que existe una correlación fuerte y positiva entre las variables, aunque es menor que uno, de modo que se interpreta diciendo que el método de lectura rápida resulta efectivo al pasar las semanas. Recta de regresión La regresión en el análisis de la relación entre dos variable, tiene una gran importancia, no solo porque explica la relación entre dos variables, sino sobre todo, porque, a partir de esta relación, se puede predecir el comportamiento futuro de la variable dependiente sobre la base de nuevo valores de la variable independiente. La relación entre las variables puede adoptar diversas formas: lineal, parabólica, exponencial, etc., pero solo veremos la lineal. La regresión lineal se puede entender también como la técnica por medio de la cual se resume la información contenida en la nube de puntos en una simple recta. Si tenemos una distribución bidimensional y representamos la nube de puntos correspondiente, la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos recibe el nombre de recta de regresión.

Ejemplo 1) Tomando en cuenta los datos del problema 4: Un partido político ha ordenado los datos relativos a gastos de propaganda y número de diputados obtenidos en diversas campañas electorales, porque está interesado en conocer si efectivamente los gastos de propaganda influyen en el número de diputados.


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¿Cuál sería el número de diputados esperado si los gastos de propaganda fueran de 35 millones de pesos? Solución: Para encontrar el número de diputados, debemos localizar la recta de regresión:

por lo tanto:

La recta de regresión es:

Entonces para 35 millones de pesos, la predicción del número de diputados es:

Es decir aproximadamente 13 diputados. Obtener el Error Estándar de Estimación, es decir, la medida de la dispersión de los valores observados con respecto a la línea de regresión, el cual se representa por Sxy, y cuya fórmula es la siguiente:

Donde: a = b0, y y x son los datos originales, y n es el número de registros. Es importante mencionar que: El error estándar es una medida que indica qué tan preciso es el pronóstico de y con base en x o, por el contrario, cuán inexacta podría ser la predicción. El error estándar de la estimación se refiere a que no todos los puntos coinciden o están en la línea de regresión, de lo contrario, la predicción sería perfecta y eso, es imposible. Con los datos del ejemplo 4, evaluar el error estándar de estimación. Con la ecuación de regresión y la tabla, calculamos:

= 1.03 Entonces si retomamos para 35 millones de pesos como gasto de propaganda, la predicción del número de diputados es:

Para evaluar el error de estimación: lo cual indica que en promedio la desviación entre los valores reales y los valores representados por la recta de regresión es de 1.03 hacia arriba y hacia abajo, es decir, que en el caso de que se gasten 35 millones de pesos como gasto de propaganda, la predicción es de 12.79 ± 1.03


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diputados, es decir, entre 11.76 y 13.82 diputados y como se está considerando solamente una vez el error estándar, este pronóstico tiene un 65% de probabilidad de realizarse. Actividad 4

TEORÍA DE CONJUNTOS

INTRODUCCIÓN En este tema fundamental: teoría de conjuntos; aprenderás a interpretar, describir y aplicar en la solución de problemas los conceptos:

Teoría básica

Operación con conjuntos y,

Diagramas de Venn El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas. Ahora bien, Todos tenemos la idea de lo que es un conjunto: es una colección, agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser números, letras, días de la semana, alumnos, países, astros, continentes, etc. a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto". Sin embargo, el concepto que tenemos es un "concepto intuitivo", el cual pues no es correcto pues también existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos formados sin elementos lo cual contradice la idea que teníamos. TAREA

I. Contesta cada una de las siguientes preguntas. 1) Define que es un conjunto. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Menciona tres términos descriptivos que pudieran utilizarse para “nombrar” ciertos conjuntos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3) Escribe los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos.

El conjunto de las asignaturas que está usted cursando este semestre.

El conjunto de los meses del año.


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El conjunto de los números pares menores de 25.

El conjunto de los días de la semana que comienzan con la letra M.

El conjunto de los planetas del sistema solar.

4) Escribe los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos descritos por la notación de conjuntos. B = { x / x es un número impar y menor o igual a 9 }

G = { x / x es un día de la semana que inicia con la letra L }

5) Describe cada uno de los siguientes conjuntos por medio de la notación de conjunto. K= {octubre, noviembre, diciembre}

G= {a, b, c, d, e, f}

II. Si consideramos los conjuntos: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 1, 3, 5, 7 } y C = { 2, 5, 6, 7}. De manera colaborativa. Obtén lo indicado en cada uno de los siguientes casos y representa los resultados por medio del Diagrama de Venn.

1) A U C

6) A - C


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2) A U B

7) A - B

3) B ∩ A

8) C - B

4) A U B U C

9) A'

5) A ∩ B ∩ C

10) B'

III. Desarrolla en binas los problemas propuestos de acuerdo a todo lo desarrollado por tu maestro(Problemas resueltos de operación de conjuntos)


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1) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

138 personas consumían A pero no B.

206 personas consumían A y B.

44 personas no consumían ni A ni B. a ¿Cuántas personas consumían A? . b. ¿Cuántas personas consumían B? c. ¿Cuántas personas consumían B pero no A? d. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos? 2) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos.

294 personas consumían A.

78 personas consumían A pero no B. a) ¿Qué porcentaje de personas consumía B? b) ¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B? c) ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos? d) ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos? 3) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B :

310 personas consumían por lo menos uno de los dos productos.

270 personas consumían A.

205 personas consumían B pero no A. Demostrar que los resultados de la encuesta no son atendibles. 4) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 5 personas consumían sólo A

25 personas consumían sólo B.

10 personas consumían sólo C

15 personas consumían A y B, pero no C.

80 personas consumían B y C, pero no A.

8 personas consumían C y A, pero no B.

17 personas no consumían ninguno de los tres productos. a. ¿Cuántas personas consumían A? b. ¿Cuántas personas consumían B?. c. ¿Cuántas personas consumían C?. d. ¿Cuántas personas consumían A, B y C?. e. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? f. ¿Cuántas personas consumían A o B? g. ¿Cuántas personas no consumían C ?. h. ¿Cuántas personas no consumían ni C ni A? 5) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A, B y C: 30 personas consumían A.

85 personas consumían B.

103 personas consumían C.


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10 personas consumían A y C, pero no B.

13 personas consumían A y C.

18 personas consumían B y C. 5 personas consumían A y B, pero no C a. ¿Cuántas personas no consumían ninguno de los tres productos? b. ¿Cuántas personas consumían los tres productos? c. ¿Cuántas personas consumían A pero no B ni C? d. ¿Cuántas personas no consumían A? e. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? 6) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que:

16 alumnos leen novelas.

18 alumnos leen ciencia ficción.

17 alumnos leen cuentos.

3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos.

1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción.

8 alumnos leen sólo cuentos.

4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción. ¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción? ¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción? 7) Una encuesta sobre un grupo de personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos:

59% usan A.

73% usan B.

85% usan C.

41% usan A y B.

33% usan A y C.

47% usan B y C.

15% usan los tres productos. ¿Son atendibles los datos de la encuesta? ¿Por qué? . PROCESO Para poder desarrollar adecuadamente la tarea, se te pide que observes los siguientes documentos: Teoría de conjuntos Presentación de conjuntos Conjuntos video Video ejemplo En base a lo anterior se te pide que analicen los siguientes ejemplos: Ejemplos


TEORÍA DE CONJUNTOS

http://www.slideshare.net/guest59e22b5/teora-de-conjuntos-1670190

http://webquest.carm.es/majwq/public/files/files_user/GabrielFlores/presentacion_de_conjuntos.pptx

http://www.youtube.com/watch?v=n2_0nFlwY6k

http://www.youtube.com/watch?v=mwvSLpM3WOg

http://webquest.carm.es/majwq/public/files/files_user/GabrielFlores/problemas_de_aplicaciÓn_de_conjuntos.pdf


22 G.F.S.

La idea de un conjunto es básica en el pensamiento humano. Continuamente resulta conveniente agrupar

objetos o cosas para poder clasificar u ordenar. De manera intuitiva podemos decir que conjunto es algo

que tiene “elementos o miembros”

Por ejemplo:

Una colección de monedas antiguas.

Los miembros del Senado forman un conjunto llamado Senado de la República.

Los números 2, 3, 5; forman un conjunto de tres elementos.

CONJUNTO. Es una agrupación, clase o colección de objetos que poseen una característica en común, en

donde a cada uno de los cuáles se le denomina elemento del conjunto.

Métodos para describir un conjunto.

Se cuenta con tres métodos para describir un conjunto:

1.- Descripción verbal de los elementos:

Es la manera más sencilla de dar a conocer el contenido de un conjunto.

Ejemplos:

“El conjunto de los números superiores a 25”

“El conjunto de los días de la semana”

“El conjunto de los billetes actuales en

2.- Lista de los elementos:

Estos se separan por comas y se encierran entre llaves. Esta forma permite denotar simbólicamente el

contenido de un conjunto.

Ejemplos:

“El conjunto de los números enteros menores que 10”; puede representarse por:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

“El conjunto de las vocales del alfabeto castellano”, puede representarse por:

V = { a, e, i, o, u }

Aplicando este método en la descripción de “El conjunto de todos los números inferiores a 1000”;

tendríamos que escribir 999 números; sin embargo puede representarse por:

N = { 1, 2, 3,…,998, 999 }

Para representar conjuntos infinitos por ejemplo “El conjunto de todos los números superiores a

5”; lo representaríamos por:

N = { 6, 7, 8,… }

Cabe aclarar que utilizamos los puntos suspensivos para dar una idea de cuáles son los elementos que lo

constituyen.

3.- Notación de conjuntos:

Dado “El conjunto de los números impares mayores que 4 y menores que 14” que puede expresarse por:

N = { x | x es un número impar mayor que 4 y menor que 14 }


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La simbología { | } que se denomina “notación de conjuntos” describe al conjunto en base a las condiciones

de un elemento arbitrario del grupo, es decir, establece las condiciones bajo las cuales un elemento

cualesquiera puede o no pertenecer al conjunto.

Las llaves { } indican el conjunto.

La línea vertical “|” se lee como “tal que” la letra “x” es un elemento arbitrario del conjunto y a su vez es

una variable.

Al lado izquierdo de la línea vertical leemos “el conjunto de las x” y al lado derecho de la línea vertical

enumeramos las propiedades que caracterizan dichos elementos.

Ejemplos 1:

Descripción verbal de los elementos:

“El conjunto de todos los elementos menores o iguales que 7”

Lista de los elementos:

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7}

Notación de conjunto:

{ x | x es un número natural, menor o igual que 7 }

Ejemplo 2:

Descripción verbal de los elementos:

“Los números enteros menores que -2”

Lista de los elementos:

B = {-3,-4,-5,-6,….}

Notación de conjunto:

B = { x | x es un número entero, menor que -2 }

CONJUNTO UNIVERSAL

Es el conjunto que contiene a los elementos de los conjuntos que se estén considerando en un análisis

cualesquiera y se representa por la letra mayúscula “U”.

Ejemplos:

1) Sean los conjuntos: A = { aves}, B = { peces}, C = { conejos }, D = { monos }.

Pero existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es U = { animales } . Gráficamente se

representa por un rectángulo tal como se observa a continuación:


24 G.F.S.

2) Sean los conjuntos: E = { mujeres }, F = { hombres }

Pero existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es U = { seres humanos }. Gráficamente se

representa por un rectángulo tal como se observa a continuación:

SUBCONJUNTOS.-

Cuando un conjunto cualquiera “A” en el que todos sus elementos son también miembros de otro conjunto

“B”, se dice que el conjunto “A” es subconjunto del conjunto “B”, el símbolo empleado para indicar esta

relación es "⊂" .

Ejemplos:

1) Sean los conjuntos K = {a, b, c, d, e} y L= {a, c, e}

Se establece que el conjunto “L” es un subconjunto de “K”, simbólicamente se representa por L⊂K.

CONJUNTO INFINITO.-

Se tiene un “conjunto infinito”, cuando no es posible indicar el número de elementos que están contenidos

en él.

Ejemplos:

1) “El conjunto de todos los números naturales”

N = { 1, 2, 3, 4,… }

2) “El conjunto de todos los números pares”

M = { 2, 4, 6, 8,… }

CONJUNTO FINITO.-


25 G.F.S.

Se tiene un “conjunto finito”, cuando es posible indicar el número de elementos que están contenidos en él.

Simbólicamente el número de elementos de un conjunto finito se expresa por “n”.

Ejemplos:

1) Si tenemos el conjunto de los días de la semana, es decir:

K = { lunes , martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

Se establece que “K” es un conjunto finito ya que consta de 7 elementos, es decir: n(K) = 7

Es necesario aclarar que un conjunto puede ser finito, aunque puede resultar físicamente mucho muy difícil

o estar fuera de la capacidad humana, el determinar cuántos elementos están contenidos.

2) “El conjunto de estrellas en el firmamento”

Se considera un conjunto finito aunque ¿quién podrá contarlas?

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Las operaciones con conjuntos es el proceso que conduce a formar conjuntos a partir de otros conjuntos.

Las principales operaciones de conjuntos son:

UNIÓN.

Si A y B son dos conjuntos, entonces la unión de A y B es el conjunto formado por los elementos que son de

A o de B o de ambos y se denota B U A .

INTERSECCIÓN.

Si A y B son dos conjuntos, entonces la intersección de A y B es el conjunto formado por los elementos que

los son de A y B simultáneamente y se simboliza por B ∩ A .

DIFERENCIA.

A partir de dos conjuntos A y B, se obtiene otro conjunto, cuyos elementos son aquellos que pertenecen al

conjunto “A” pero no están contenidos en el conjunto “B”; a este proceso se le denomina “diferencia de

conjuntos o complemento relativo de B respecto de A” y se representa simbólicamente por “A - B“.

COMPLEMENTO.

A partir de un conjunto “A” y un conjunto “U”, se obtiene otro conjunto, cuyos elementos deben ser todos

los que estén contenidos en el conjunto “U” y que no pertenecen al conjunto “A”, este proceso de

denomina “complemento de un conjunto cualquiera en relación a un conjunto universal dado”.

Simbólicamente se representa por una “comilla” que se ubica en la parte superior derecha de la literal que

define al conjunto cualquiera. A'

Ejemplos:

Realiza las operaciones con conjuntos en cada uno de los siguientes casos:


26 G.F.S.

1) Sean los conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4 } y B = { 3, 4, 5, c, d }

Entonces la unión de los conjuntos es:

A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, c, d }

2) Sean los conjuntos: S = { a, b, c, d } y M = { a, b, 1, 2, 3 }

Entonces la intersección de los conjuntos es:

S ∩ M = { a, b }

Puesto que “a, b” son los únicos elementos que lo son tanto de S como de M.

3) Sean los conjuntos: P = { a, e, i, o, u } y Q = { w, x, y, z }

Se observa que los conjuntos no tienen ningún elemento en común, por lo que su “intersección” es el

“conjunto vacío”; es decir:

S ∩ M = Ø

4) Sea los conjuntos: A = { 4, 6, 8, 10, 12 } y B = { 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

La diferencia de estos conjuntos da como resultado:

A - B = { 4, 6, 8 }

5) Sea U = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j } y S = { a, g, h, i } que es un subconjunto de U.

Entonces S' = { b, c, d, e, f, j }

DIAGRAMAS DE VENN

La manera más fácil de comprender las ideas de la teoría de conjuntos es por medio de los diagramas

llamados “Diagramas de Venn”. Dichos gráficos nos ayudan a relacionar entre los conjuntos a la igualdad,

las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento.

En los Diagramas de Venn, los conjuntos se representan mediante óvulos, círculos o nubes y el punto de

referencia es el conjunto universal “U” que se representa por un rectángulo.

Con los conjuntos A y B contenidos en el conjunto universal “U”, por medio de los Diagramas de Venn se

pueden determinar las siguientes relaciones:

En este diagrama el conjunto A representa a un subconjunto propio del conjunto B, es decir, todos

los elementos de A están contenidos en B, mientras que B tiene por lo menos un elemento no

contenido en A.


27 G.F.S.

En este diagrama los conjuntos A y B tienen en común algunos, pero no todos los elementos es

decir, representan la intersección entre A y B.

Las superficies sombreadas en las siguientes figuras, ilustran la unión del conjunto A con el

conjunto B. La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que

pertenecen a “A” ó a “B” ó a ambos.

Las superficies sombreadas en la siguiente figura, ilustran la diferencia del conjunto A con el

conjunto B. Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los

elementos de A pero que no pertenecen a B.

El complemento A’ del conjunto A, se obtiene sombreando la superficie del conjunto universal U no

contenida en A, es decir:

Ejemplos:

1) Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 } efectuar y construir los

diagramas indicados:

a) B ∪A b) C ∪A c) C ∪B

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la unión de los conjuntos A y B. A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }


28 G.F.S.

b) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la unión de los conjuntos A y C A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 }

c) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la unión de los conjuntos B y C. B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

Ejemplos:

2) Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas

indicados:

a) A ∩ B b) A ∩ C c) B ∩ C

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la intersección de los conjuntos A y B.


29 G.F.S.

A ∩ B = { 3, 5 }

b) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la intersección de los conjuntos A y C. A∩ C = { 2, 4 }

c) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la intersección de los conjuntos B y C. B ∩ C = Ø

Ejemplos:

3) Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas

indicados:

a) A − B b) B − C c) A - C

a) A = { a, b, c, d }, B = { a, e } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la diferencia de los conjuntos A y B. A - B = { b, c, d }


30 G.F.S.

b) B = { a, e } y C = { d, f, g }, Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la diferencia de los conjuntos B y C. B - C = { a, e }

c) A = { a, b, c, d } y C = { d, f, g } Representación gráfica de los conjuntos

Representación gráfica de la diferencia de los conjuntos A y C. A - C = { a, b, c, e }

Ejemplos:

4) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }, obtén el complemento de A y construye su diagrama

El complemento de A es: A' = { m, a, r }

Representación gráfica del complemento de A


31 G.F.S.

A' = { m, a, r }

2) Sean U = { letras de la palabra aritmética } y B = { vocales de la palabra vida }, obtén el complemento de

B y construye su diagrama.

U = { a, r, i, t, m, e, c } y B = { i, a } El complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c }

Representación gráfica del complemento de B

Ejemplos de aplicación

1) En una escuela de idiomas hay 120 alumnos de los cuales 65 estudian alemán, 55 ejercitan su inglés; 30

estudian a la vez alemán e inglés. Aplicando el diagrama de Venn, determinar:

a) Los alumnos que sólo estudian alemán.

b) Los alumnos que sólo estudian inglés.

c) El número de alumnos que estudian alemán o inglés.

d) El número de alumnos que no estudian ninguno de estos idiomas

Solución:

Representamos por medio del diagrama de Venn, el conjunto universal “U” de 120 alumnos, el conjunto “A”

de alumnos que estudian alemán, y el conjunto “B” de alumnos que estudian inglés; por la intersección de

ambos conjuntos, tenemos 30 alumnos que estudian alemán e inglés a la misma vez, es decir:

a) Los alumnos que sólo estudian alemán son:

n ( A ) - n ( A ∩ B ) = 65 - 30 = 35

Por lo tanto, solo 35 alumnos estudian alemán


32 G.F.S.

b) Los alumnos que solo estudian inglés son:

n ( B ) - n ( A ∩ B ) = 55 - 30 = 25

Por lo tanto, solo 25 alumnos estudian inglés

c) El número de alumnos que estudian alemán ó inglés son:

n ( A U B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A ∩ B ) = 65 + 55 - 30 = 90

d) El número de alumnos que no estudian ninguno de estos dos idiomas es:

n ( A U B )' = U - n ( A U B ) = 120 - 90 = 30

2) Una encuesta basada en 250 estudiantes del nivel medio superior dio lugar a la siguiente información

acerca de su ingreso a los cursos de química, física y matemáticas:

101 estudian química

163 estudian física

163 estudian matemáticas

35 estudian química y física

32 estudian química y matemáticas

70 estudian física y matemáticas

20 estudian química, física y matemáticas

a) ¿Cuántos estudiantes llevan química como único curso?

b) ¿Cuántos no siguen ninguno de los tres cursos?

c) ¿Cuántos estudian química y matemáticas, pero no física?

d) ¿Cuántos alumnos no siguen los cursos de química ni física?

Solución:

Representamos por medio del diagrama de Venn:

El conjunto universal “U” es 250 estudiantes

El conjunto “A” de estudiantes que cursan química

El conjunto “B” de estudiantes que cursan física

El conjunto “C” de estudiantes que cursan matemáticas

Por la intersección de los tres conjuntos, tenemos a los 20 estudiantes que cursan química, física y

matemáticas a la misma vez.


33 G.F.S.

a) Los estudiantes que sólo cursan química son:

n ( A ) - n ( A ∩ B ) - n ( A ∩ C ) + n ( A∩ B ∩ C ) = 101 - 55 - 52 + 20 = 14

Por lo tanto, sólo 14 estudiantes cursan química

b) Los estudiantes que no siguen ninguno de los tres cursos

n ( A U B U C )' = U - n ( A U B U C ) = U - n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) - n ( A ∩ B ) - n ( A ∩ C ) - n ( B ∩ C ) + n ( A∩

B ∩ C ) = 250 - 101 + 163 + 163 - 55 - 52 - 90 + 20 = 0

Por lo tanto, todos los estudiantes siguen por lo menos uno de los tres cursos.

c) Los estudiantes que cursan química ó matemáticas, pero no física, son:

n ( A U C ) = n ( A ) + n ( C ) - ( A ∩ B ) - n ( A ∩ C ) - n ( B ∩ C ) + n ( A∩ B ∩ C ) = 101 + 163 - 52 - 55 - 90 +

20 = 87

ó también:

solo matemáticas + solo química + solo química y matemáticas = 41 + 14 + 32 = 87

Alumnos que solo cursan matemáticas:

n ( C ) - n ( A ∩ C ) - n ( B ∩ C ) + n ( A∩ B ∩ C ) = 163 - 52 - 90 + 20 = 41

Alumnos que solo cursan química y matemáticas

n ( A ∩ C ) - n ( A∩ B ∩ C ) = 52 - 20 = 32

Por lo tanto, 87 estudiantes cursan química

d) Los estudiantes que no cursan química ni física, son:

n ( A U B )' = U - n ( A U B ) = U -[ n ( A ) + n ( B ) - n ( A ∩ B )] = 250 - [ 101 + 163 - 55 } = 41

Por lo tanto, 41 estudiantes no cursan química ni física


34 G.F.S.

Actividad 1

Lista de cotejo

(Heteroevaluación)

Probabilidad y Estadística

Evidencia: Desempeño y Producto

Grupo:

Evaluador: Gabriel Flores Sánchez

Alumno: Fecha de aplicación:

No Indicador a evaluar

CUMPLIMIENTO:

Si No

OBSERVACIONES

1 Muestra disposición para trabajar de manera colaborativa

2 Actúo con disciplina y cumpliendo con la norma en el aula.

3 Determina claramente la media, la mediana y la moda de los datos proporcionado del problema 1, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

4 Contesta de manera correcta cómo es la media con respecto a los datos obtenidos del inciso a, del problema 1.

5 Realiza de manera clara y correcta el histograma de frecuencias de la información presentada en la tabla de distribución de frecuencias del problema 2, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

6 Contesta de manera correcta: hacia dónde está la mayoría de los datos

7 Contesta claramente si la gráfica que se forma con el histograma es simétrica o asimétrica, y fundamenta el por qué

8 Contesta de manera correcta cada uno de los cuestionamientos del problema 3, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

Calificación promedio

Actividad 2

Lista de cotejo

(Heteroevaluación)



Grupo:


35 G.F.S.




CUMPLIMIENTO:

Si No

OBSERVACIONES



3 Calcula de manera correcta y clara la media, la mediana y la moda; e indica si es simétrica o asimétrica la distribución de los datos, del problema 1, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.





Actividad 2 (Continuación)

Lista de cotejo

(Heteroevaluación)



Grupo:



No Indicador a evaluar CUMPLIMIENTO: OBSERVACIONES


36 G.F.S.

Si No

1 Muestra disposición para trabajar de manera colaborativa.

Actúo con disciplina y cumpliendo con la norma en el aula.

2 Calcula de manera correcta y clara el coeficiente asimetría y el coeficiente de apuntamiento de Fisher de la distribución de los datos, del problema 1, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.




6

7


Actividad 3 (problema I)

Lista de cotejo

(Heteroevaluación)



Grupo:




CUMPLIMIENTO:

Si No

OBSERVACIONES


37 G.F.S.



3 Desarrolla de manera clara y correcta el diagrama de dispersión de los datos del problema 1, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

4 Calcula de manera correcta y clara el coeficiente de correlación e indica si existe o no una relación lineal entre las variables y fundamental porqué, del problema 1, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.






Actividad 3 (Continuación. Problema II)

Lista de cotejo

(Heteroevaluación)



Grupo:



No Indicador a evaluar CUMPLIMIENTO: OBSERVACIONES


38 G.F.S.

Si No



3 Determina claramente la recta de regresión de los datos mostrados en el problema 1, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

4 Determina claramente el coeficiente de correlación de los datos mostrados en el problema 2, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

5 Determina claramente la recta de regresión de los datos mostrados en el problema 2, desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.


Actividad 4

Lista de cotejo

(Heteroevaluación)



Grupo:




CUMPLIMIENTO:

Si No

OBSERVACIONES



3 Define claramente que es un conjunto

4 Menciona claramente los tres términos descriptivos que pudieran utilizarse para “nombrar” ciertos conjuntos


39 G.F.S.

5 Escribe claramente los elementos de cada uno de los conjuntos, del problema 3(cinco incisos), desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

6 Escribe claramente los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos descritos por la notación de conjuntos, del problema 4(dos incisos), desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

7 Describe claramente cada uno de los siguientes conjuntos por medio de la notación de conjunto, del problema 5(dos incisos), desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

8 Obtén los elementos en cada una de las operaciones de conjuntos, según lo indicado en cada uno de los casos y representa los resultados por medio del Diagrama de Venn. (Son diez casos), desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.

9 Da solución de manera correcta a cada cuestionamiento que se presenta en los problemas de aplicación de conjuntos. (Siete problemas propuestos), desarrollándolos de acuerdo a las instrucciones y procedimientos que te planteó el facilitador el facilitador y a la guía didáctica.


Rúbrica de la situación didáctica.

(Hetero-evaluación)

Competencia genérica: 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. Atributo: 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. 9.3 Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos.Competencia disciplinar: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Evidencia: Conocimiento

Cálculo Integral Evaluador: Gabriel Flores Sánchez Grupo:

Alumno: Periodo a evaluar:


40 G.F.S.

Criterio Evidencia En proceso el logro de la competencia (5 y 6)

Nivel 1 INICIAL RECEPTIVO ( 7 )

Nivel 2 BÁSICO. ( 8 )

Nivel 3 AUTÓNOMO. ( 9 )

Nivel 4 ESTRATÉGICO. ( 10 )

1. Calcula las medidas de tendencia central con el fin de comparar y determinar si una distribución de frecuencias presenta simetría o asimetría y deducir si los datos presentan o no una distribución normal

Actividad 1, y 2 Situaciones Problema resueltos, tareas asignadas en web; Actividad 5, prueba escrita cerrada.

No logro de la competencia. Menos de siete de calificación.

Tiene nociones a consecuencia de la participación grupal en una interacción expositiva del facilitador, requiriendo apoyo constante del mismo

Aplica e interpreta a la solución de problemas con enfoques simples o sencillos

Aplica e interpreta de una manera autónoma los problemas planteados con criterio y argumentación en su proceso de solución

Aplica e interpreta con planteamientos concluyentes y de innovación, trascendiendo en el logro de la competencia

2. Calcula el coeficiente de correlación con el fin de determinar si una serie de datos que implican el conjunto de dos variables tienen o no relación directa en un comportamiento lineal

Actividad 3 Situaciones Problema resueltos, tareas asignadas en web; Actividad 5, prueba escrita cerrada.

No logro de la competencia. Menos de siete de calificación.





Describe la teoría de conjuntos con el fin de determinar la solución a problemas del entorno real

Actividad 4 Situaciones Problema resueltos, tareas asignadas en web; Actividad 5, prueba escrita cerrada.

No logro de la competencia. Menos de seis de calificación.






Material de apoyo para segundo parcial · 1) A lo largo de una semana del mes de abril de 2010 las...

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