Material de Repaso MAT 1

7/17/2019 Material de Repaso MAT 1

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LOS NUMEROS REALES

Operaciones con raıces y potencias:

Para un numero a , las propiedades de las potencias que interesan son:

1. anam = an+m Para multiplicar potencias de la misma base se suman losexponentes.

2. an

am = an−m

Para dividir potencias de la misma base se restan los expo-nentes.

3. (an)m = anm Para elevar una potencia a un exponente se multiplican losexponentes.

4. a0 = 1.

Estas propiedades sirven para exponentes que pueden ser racionales, comoen el caso de las raıces cuadradas, cubicas, etc.; positivos y negativos pero sedebe tener en cuenta que las raıces pares de numeros negativos no existen; por

ejemplo: √ −1, 4√ −2,

pero las raıces impares sı; por ejemplo:

3√ −8 = −2, 5

√ −243 = −3.

Veamos algunos ejemplos de aplicacion.

’ Ejemplo 1. Introducir, en cada ejemplo, los factores dentro de cada raız:

2 3√

3 = 3√

23 3√

3 = 3√

233 = 3√

8

∗3 =

3√

24

4 3

1

4 =

3√

43 3

1

4 =

3

43 ∗ 1

4 =

3√

42 = 3√

16

1

53√

15 =3√

3 ∗ 53√

53=

3

3 ∗ 5

53 =

3

3

52 =

3

3

25

’ Ejercicio 1. Sigue la indicaciones del ejemplo anterior para introducir losfactores en un mismo radical:

2 4√

4 =

3

5

3 25

9 =

1



’ Ejemplo 2. Tambien puede hacerse el ejercicio contrario: sacar de la raızel factor que se pueda:

3√

16 = 3√

24 = 3√

23 ∗ 2 = 3√

23 3√

2 = 2 3√

2√ 1000 =

√ 103 =

√ 102 ∗ 10 =

√ 102

√ 10 = 10

√ 10

14

+ 19

=

9 + 436

=

1362 = √ 13

6√ 4 ∗ a2 + 4 =

4 ∗ (a2 + 1) = 2

√ a2 + 1 y ya no se puede mas.

Nota 0.1. Recuerda que√

a2 + b2 NO ES a +b, ya que (a + b)2 TAMPOCOES a2 + b2 SINO QUE ES a2 + b2 + 2ab

’ Ejercicio 2. Saca de la raız lo que puedas:

a)4√

8 = ; b)

125∗a216∗b = ; c)

a4

9 + a4

16 =

’ Ejemplo 3. Los siguientes ejemplos son de simplificaciones:

3√ 24 = 3√ 3 ∗ 8 =

3√ 3 ∗ 23 = 3√ 3 3√ 23 =

3√ 3 ∗ 2 = 2 3√ 3

3√ −108 = − 3

√ 108 = − 3

√ 2 ∗ 34 = − 3

√ 2 ∗ 3 ∗ 33 = − 3

√ 6 ∗ 3 = −3

3√

6

8√

625 : 4√

25 =8√

6254√

25=

8√

54

4√

52=

54

8

52

4

= 5

1

2

51

2

= 1

2

4

3

27

8 = 2

4 ∗ 27

3 ∗ 8 = 2

22 ∗ 33

3 ∗ 23 = 2

32

2 =

2 ∗ 3√ 2

= 6√

2

3

2√

3 : 3√

4 =

2 ∗ 3

1

2

1

3

4 1

3

1

2

= 2

1

3 ∗ 31

6

41

6

= 2

1

3 ∗ 31

6

22

6

= 2

1

3 ∗ 31

6

21

3

= 31

6 = 6√

3

’ Ejercicio 3. Simplifica:

a) 3√

64 ∗ 4√

27 = ; b) 4

8164

= ; c) 4√

27 ∗ 5√

6 = ; d)√

2

18

=

e)

6√ 32√ 8

3= ; f)

3√

122

= ; g)

6√

323

= ; h) 3√

24 : 3√

3 =

’ Ejemplo 4. Veamos mas ejemplos de operar y simplificar:

5√

125 + 6√

45 − 7√

20 + 3

2

√ 80 = 5

√ 53 + 6

√ 325 − 7

√ 225 +

3

2

√ 245 =

= 25√ 5 + 18√ 5 − 14√ 5 + 6√ 5 = 35√ 53√

16 + 2 2√

2 − 3√

54 − 21

53√

250 = 3√

232 + 2 3√

2 − 3√

332 − 21

53√

532 =

= 2 3√

2 + 2 3√

2 − 3 3√

2 − 21

5 5

3√

2 = −20 3√

2

’ Ejercicio 4. Simplifica:

a)√

125 +√

54 − √ 45 − √

24 =

b)

25 − 4

18125

+ 13

845

=

c) 3

3

√ 16 − 2

3

√ 250 + 5

3

√ 54 − 4

3

√ 2 =

2



Racionalizacion

Recuerda que racionalizar es la operacion que consiste en multiplicar ydividir una fraccion, en la que aparecen sumas de raıces en el denominador,por el conjugado del denominador. Para realizar correctamente las operacioneshay que recordar que el conjugado de, por ejemplo, 2

√ 5

−√

3 es 2√

5 +√

3.Tambien el de √ 3 + 1 es √ 3 − 1. Hay otro tipo de conjugados, ya que la ideade conjugado es la de multiplicar una expresion para que desaparezcan lasraıces. Por eso el conjugado de

√ 5 es el propio

√ 5 (pues

√ 5 ∗ √

5 = 5) y el de5√

4 = 5√

22es 5√

23(pues 5√

4 ∗ 5√

23 = 5√

25 = 2).

Nota 0.2. Una propiedad que se aplica muchas veces es la de que SUMAPOR DIFERENCIA ES DIFERENCIA DE CUADRADOS: (a + b) ∗ (a − b) =a2 − b2

’ Ejemplo 5. Racionaliza las siguientes expresiones:

2√

3√ 18

= 2

√ 3√

322=

2√

3

3√

2=

2√

3√

2

3√

2√

2=

2√

6

6 =

√ 6

3

23√

2=

2 3√

22

3√

2 3√

22=

2 3√

43√

23=

2 3√

4

2 =

3√

4

√ 2 − 1√

2=

(√

2 − 1)√

2√ 2√

2=

√ 2√

2 − √ 2

2 =

2 − √ 2

2

2

√ 3 −

√ 2√

18= 2

√ 3 −

√ 2√

322= 2

√ 3 −

√ 2

3√

2= (2

√ 3 −

√ 2)

√ 2

3√

2√

2= 2

√ 3

√ 2 −

√ 2

√ 2

3√

2√

2= 2

√ 6 − 26 =

√ 6 − 13

’ Ejercicio 5. Racionaliza:

a) 33+

√ 3

; b)√ 72+3

√ 32−

√ 8√

8 ; c) 2

√ 3+

√ 2√

12 d) 1

2(√ 3−

√ 5)

e) 3√ 5−2

; f) 112√ 5+3

; g)√ 3+

√ 2√

3−√ 2

h) 3√ 6+2

√ 2

3√ 3+2

Operaciones basadas en las propiedades de cuadrados de la suma yde la diferencia

Son de la forma:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab,

(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab.

’ Ejemplo 6. Realiza las operaciones siguientes:

√ 3 +

√ 22

−√

3 −√

22

=

3 + 2 + 2√

6

−

3 + 2 −√

6

= 2√

6

(√ 6 + √ 5)2√ 2 = 2√ 12 + 2√ 10 y no puede hacerse nada mas

3



’ Ejercicio 6. Opera:

a)√

5 − √ 6 √

5 +√

6

;c)

2√

5 − 3√

22

;c)√

2 − 1 √

2 + 1√

3 ;d)√

2 +√

3 √

6 − 1

’ Ejercicio 7. Racionaliza y simplifica:

a) 3√ 3−

√ 2 − 2√

3+√ 2

; b)√ 7−√ 5√ 7+

√ 5 − √ 7+√ 5√

7+√ 5

Un ejemplo final:

’ Ejemplo 7. Opera la expresion siguiente:

1

1 −√ 3

1+√ 3

+ 1

1 +√ 3

1−√ 3

Conviene ir por partes. Primero operamos los denominadores de ambasfracciones

1 −√

3

1 +√

3=

1 +√

3 − √ 3

1 +√

3=

1

1 +√

3

1 +

√ 3

1 − √ 3

= 1 − √

3 +√

3

1 − √ 3

= 1

1 − √ 3

y luego se sustituye en las fracciones correspondientes:

1

1 − √ 31+

√ 3

+ 1

1 + √ 31−√ 3

= 1

11+√ 3+

1

11−√ 3= (1 +

√ 3) + (1

−√

3) = 2

Intervalos

De esta parte interesa la definicion, la notacion (forma de representar untipo determinado de intervalo) y la union e interseccion de intervalos.

Un intervalo cerrado [a,b] es el conjunto de numeros reales que estan entrea y b incluıdos estos. Matematicamente puede escribirse como:

[a, b] =

{x tales que a

≤ x

≤ b

}.

El intervalo abierto (a,b) es como el cerrado pero exceptuando los extremosa y b, es decir,

(a, b) = {x tales que a < x < b}.

Existen intervalos semiabiertos o semicerrados,

[a, b) = {x tales que a ≤ x < b}o

(a, b] = {x tales que a < x ≤ b}.

4



Todos los intervalos que hemos nombrado hasta ahora son acotados. Existentambien intervalos infinitos (no acotados), comenzando por el conjunto de losnumeros reales entero:

R = {x tales que − ∞ < x < ∞}.

Otros intervalos infinitos seran :

[a, +∞) = {x tales que a ≤ x < +∞};

(a, +∞) = {x tales que a < x < +∞};

(−∞, b) = {x tales que − ∞x < b};

(−∞, b] = {x tales que − ∞x ≤ b}.

La utilidad de todo esto se ve cuando se estudian otras cosas como, por

ejemplo, desigualdades o dominios de funciones. La solucion a este tipo deproblemas se expresa en forma de intervalos.

Operaciones union e interseccion de conjuntos

Respecto a las operaciones de union ∪ e interseccion ∩, no resulta necesariodefinirlas formalmente. Tan solo decir que si A y B son dos intervalos, su unionA ∪ B puede ser cualquier subconjunto de numeros reales (no necesariamentees un intervalo). Por ejemplo, si A = (1, 2) y B = [3, 5), su union esta formadapor los x tales que 1 < x < 2 ası como por los x tales que 3 ≤ x < 5 quedando

un “agujero”) formado por los numeros que estan en A junto con los que estanen B. Para la interseccion A ∩ B decir que esta formada por los numeros queestan tanto en A como en B. Esta interseccion puede ser vacıa (como ocurrecon el caso de los que se han gastado para ilustrar la union). Si la intersecciones vacıa se escribe A ∩ B = ∅.

Solo una nota para no confundir los terminos. En ocasiones se dice “colo-quialmente” que A ∪ B esta formado por los puntos que estan en A y los queestan en B . Pero esta expresion “coloquial” puede conducir a confusion ya queel conjunto de puntos que estan en A y en B no es la union sino la interseccionA ∩ B.

Respecto de la union, la expresion correcta debe usar la conjuncion “o”, no “y” (reservada esta para la interseccion) y el sentido es el siguiente: sitenemos un numero de A ∪ B sabemos seguro que tal numero estara en A oen B (notar que el estar en la interseccion obliga a que este en A y en B).

Valor absoluto de un numero

En pocas palabras, un numero real puede ser positivo o negativo (o evi-dentemente, cero). Su valor absoluto es el mismo pero tomado siempre comopositivo. Precisamente esta frase sirve para definir matematicamente el valorabsoluto: si x es ya positivo, su valor absoluto es el mismo, mientras que si x es

negativo su valor absoluto se obtiene cambiandole el signo, o sea, poniendo −x

5



(al ser x negativo, −x sera positivo). En resumen, escribiendo el valor absolutode x como |x| se tendra que

|x| =

x si x ≥ 0−x si x < 0.

Desigualdades. Inecuaciones sencillas e intervalos

Algunos problemas o soluciones de problemas se expresan en forma dedesigualdad. Ya se ha gastado desigualdades cuando hemos definido los inter-valos, pero ahora vamos a trabajar con las desigualdades, los valores absolutosy los intervalos, todo a un tiempo. Las desigualdades utilizan los signos mayor(>), menor (<), mayor o igual (≥) y menor o igual (≤), aunque debe tenerseclaro que el uso que se haga depende de como se exprese.

Las operaciones con desigualdades son muy importantes y pueden resumirseen tres. Supongamos para explicarlas que tenemos dos numeros x, y tales quex < y. Entonces las tres propiedades quedan ası:

1. Al sumar (o restar) el mismo numero a ambos miembros, el sentido de ladesigualdad permanece igual: sera x + a < y + a (tambien x − a < y − a)

2. Al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por un numero pos-itivo, el sentido de la desigualdad permanece. Por ejemplo 2x < 2y

3. Al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por un numero neg-ativo, el sentido de la desigualdad cambia. Por ejemplo,

−2x >

−2y

Para entender esto conviene tener una regla nemotecnica: sustituye laformula por valores y comprueba si o que dices es correcto o no. Por ejemplola tercera: con x = 2, y = 5 se cumple que 2 < 5 de modo que si multipli-camos por un numero positivo (por ejemplo 3), quedan 2 ∗ 3 = 6 y 5 ∗ 3 = 15que sigue siendo 6 < 15. Por el contrario si multiplicamos por −2, quedaran2 ∗ (−2) = −4 y 5 ∗ (−2) = −10 siendo −4 > −10.

Otro modo de verlo es el siguiente. Supongamos, como antes, que x esmayor que y (x > y ) . Entonces esta claro que x − y es positivo (x − y >0). Si multiplicamos un numero positivo por otro positivo, por ejemplo el

2, quedara otro numero positivo: 2 ∗ (x − y) > 0 y , haciendo operaciones,2 ∗ x − 2 ∗ y > 0, luego 2 ∗ x > 2 ∗ y.

Piensa ahora en el producto por un numero negativo como el -5. Siendox − y positivo −5 ∗ (x − y) sera negativo: −5 ∗ (x − y) < 0 y operando,−5 ∗ x + 5 ∗ y < 0, de donde −5 ∗ x < −5 ∗ y.

Apliquemos esto a una sencilla inecuacion de una incognita; por ejemplo,2x − 3 < 4. Se tendra que 2x < 4 + 3 = 7 y de aquı x < 7/2. En forma deintervalo, la solucion de la inecuacion queda (−∞, 7/2).

Otro ejemplo: −3x + 4 ≤ −8. La dificultad de este ejercicio esta en que xesta multiplicada por un numero negativo y hay que tener cuidado o cambiar

el problema:

6



(a) Tener cuidado: De −3x + 4 ≤ −8 pasamos a −3x ≤ −8 − 4 = −12 luegox ≥ 12/3 = 4. Nota que al dividir por -3 se ha cambiado el sentido de ladesigualdad.

(b) Cambiar el problema: De −3x + 4 ≤ −8 podemos cambiar de miembro

tanto el −3x como el −8, quedando 4 + 8 ≤ 3x, o sea 12 ≤ 3x luego12/3 = 4 ≤ x

Esta claro que es lo mismo x ≥ 4 (como en a) que 4 ≤ x (como en b). Enforma de intervalo es [4, +∞).

’ Ejercicio 8. Hallar la solucion de las inecuaciones siguientes:

a) − 5x + 3 < 2 ;b) 2x − 4 ≥ −6 ;c) − x2

+ 3 ≤ 6 ;d) 12x − 5 > 7

Las desigualdades que hemos visto hasta el momento son lineales. Si noes este el caso, hay que tener mas cuidado. Aunque en esto insistiremos mas

adelante. Imaginemos que se plantea la desigualdad

1

x < 1

¿Sera esto igual a 1 < x?. La respuesta es que no. Esto es tan solo la mitadde la respuesta verdadera y ello se debe a que instintivamente muchos piensanen terminos de numeros positivos. Para ellos sı que es eso cierto, pero ¿y six es negativo?. Entonces, como hemos visto, al despejar x, es decir, al pasarmultiplicando x al segundo miembro, cambia de signo la desigualdad y queda1 > x. En resumen si x > 0 debe ser x > 1 y si x < 0 debe ser x < 1. La

solucion final sera la union (−∞, 0) ∪ (1, +∞).

’ Ejemplo 8. Resuelve2

1 − 3x ≤ 2

Razonemos: puede ser 1 − 3x > 0 o 1 − 3x < 0 (cero no puede ser por estaren denominador). Veamos que ocurre:

Si 1 − 3x > 0 sera 1 > 3x de donde x < 1/3. Ademas en este caso sepuede pasar el denominador 1 − 3x del primer miembro al segundo sincambiar el sentido de la desigualdad: 2

≤ 2

∗(1

−3x) = 2

−6x. Podemos

pasar −6x sumando a la izquierda 2 + 6x ≤ 2 y ahora queda 6x ≤ 0 yası x ≤ 0.

Resumiendo esta primera parte del razonamiento, si x < 1/3 debe serx ≤ 0. Esto proporciona la parte de solucion x ≤ 0, que en forma deintervalo es (−∞, 0].

La otra posibilidad es que sea 1 − 3x < 0, es decir, 1 < 3x o tambienx > 1/3. En este caso, al despejar, tenemos que cambiar el orden de ladesigualdad: 2 ≥ 2(1 − 3x) y , operando, 2 ≥ 2 − 6x, deduciendo que0

≥ −6x o bien x

≥ 0. sii x > 1/3 debe ser x

≥ 0, vamos que x > 1/3,

en forma de intervalo (1/3, +∞)

7



La solucion completa es, por tanto, la union de las soluciones de los supuestosa) y b), dando (−∞, 0] ∪ (1/3, +∞)

’ Ejercicio 9. Resuelve las desigualdades:

a) 3

5x − 4 ≤ 1; b) −2

4 − 3x > 5

Para finalizar este apartado, podemos mezclar desigualdades con valoresabsolutos pero, para no complicarlo en exceso, nos limitaremos al caso lineal.

Veamos dos ejemplos.

’ Ejemplo 9. Resuelve |2x − 3| ≥ 1.

En primer lugar razonamos que el valor absoluto de 2x − 3 sea mayor oigual que uno significa que tal numero (sin valor absoluto) sera o bien mayor

que 1 (si es positivo) o menor que -1 (si es negativo). Escribamos ahora estoen formulas que nos permitiran resolve el ejercicio:Sera 2x − 3 ≥ 1 o 2x − 3 ≤ −1 . De la primera parte obtenemos que

2x ≥ 1 + 3 = 4, llegando a que x ≥ 4/2 = 2. Esto es [2, +∞)De la otra posibilidad se tiene que 2x ≤ 3 − 1 = 2, de donde x ≤ 1, o

sea (−∞, 1]. La solucion completa sera la union de las soluciones parciales:(−∞, 1] ∪ [2, +∞)

’ Ejemplo 10. Resuelve |2 − 3x| < 4.

El razonamiento es distinto al del ejemplo 1. Aquı, se debe tener que el

numero 2 − 3x este entre n−4 y +4. 2 − 3x < 4 y 2 − 3x > −4. De la primera2 − 4 < 3x, luego −2/3 < x. Y de la segunda 2 + 4 > 3x, lego 6 > 3x, x < 2.Han de darse ambas condiciones, luego −2/3 < x < 2 que en intervalo es(−2/3, 2).

’ Ejercicio 10. Resuelve las desigualdades:

a) |5x + 4| < 2; b) |6 − 2x| ≥ 1 ; c) |4x − 3| ≤ 3 ; d) |−2 + 6x| > 5.

POLINOMIOS Y FRACCIONES POLINOMICAS

Raıces de un polinomio. Polinomios de grado dos

Si p(x) es un polinomio, se dice que x = a es una raız del polinomio si p(a) = 0.

Por ejemplo, p(x) = 2x + 1 es un polinomio de grado 1 con una sola raızx = −1/2. Otro ejemplo es el dado por q (x) = 2x2 − x − 1 que tiene dos raıcesx = 1 y x = −1/2.

Recordamos que para los polinomios de segundo grado, existe una formula

para hallar sus raıces. Si el polinomio es p(x) = ax2 + bx + c la formula

8



para hallar sus raıces es x = −b±√ b2−4ac2a

. Para el polinomio anterior q (x) =2x2 − x − 1, la aplicacion de la formula da

x =−(−1) ±

(−1)2 − 4 ∗ 2 ∗ (−1)

2

∗2

= 1 ± √

9

4 =

1 ± 3

4 =

1+3

4 = 1

1−34

= −24

= −12

como ya sabıamos.Como puede verse de la formula de las raıces de un polinomio de segundo

grado, el discriminante (el numero que hay dentro de la raız) puede ser positivo,negativo o cero. En el primer caso hay dos raıces reales y distintas, en segundocaso no hay raıces reales y en el ultimo caso hay una sola raız, pero doble.

Recordamos tambien que si tenemos p(x) = ax2 + bx + c, entonces, en casode que tenga dos raıces reales y distintas x1 y x2, se tendra la descomposiciondel polinomio en la forma p(x) = a(x − x1)(x − x2). Es muy importante poneren la decomposicion el numero a. Por ejemplo, si nos fijamos en el polinomioanterior q (x) = 2x2

−x

−1, ya hemos visto que tiene por raıces 1 y

−1/2 y es

q (x) = 2(x − 1)(x + 1/2). Multiplıcalo y comprueba que esta bien. Nota quetambien es valida la expresion q (x) = (x − 1)(2x + 1), donde el factor 2 se haincluido en el factor que tiene la raız fraccionaria. Esto a veces es util. Peroponer la a no es cuestion de utilidad: si no se pone, lo tendremos ya todo maldesde entonces.

Aunque sea una afirmacion facil, fıjate que si en nuestro ejemplo q (x) susti-tuyes la x por 1 o por −1/2 el resultado es cero. Claro, son sus raıces. Perono es necesario sustituir en el polinomio completo para ver esto, basta ver sudescomposicion. Es decir, si pones q (1) = 2∗12−1−1 = 2−1−1 = 0 y tambienq (

−1/2) = 2(

−1/2)2

−(

−1/2)

−1 = 2

∗(1/4) + 1/2

−1 = 2/4 + 1/2

−1 =

1/2 + 1/2 − 1 = 1 − 1 = 0 y a veces esto resulta demasiado largo. Es m asfacil ver que en la descomposicion del polinomio un factor es (x − 1) y que alsustituir x por 1 dara cero. Y cero por el factor que sea seguir a siendo cero.Igualmente, el otro factor es (x + 1/2) y al sustituir x por −1/2 vuelve a darcero. Un polinomio de grado 2 tiene por representacion grafica una parabola.Para dibujarla no es necesaria demasiada informacion, veamos.

(a) Puede ir hacia arriba (si a > 0) o hacia abajo (si a < 0)

(b) Puede cortar al eje de abcisas (eje OX ):

(b1) En dos puntos (caso de dos raıces reales y distintas).

(b2) En uno solo (caso de una raız real doble. En este caso esta raız es,ademas, el lugar donde esta el vertice de la parabola y ademas, laparabola es tangente en dicho punto.

(b3) No corta el eje OX . La parabola siempre estara por encima del ejede abcisas cuando a > 0, o por debajo, cuando a < 0).

(c) Ademas de las raıces se requiere el vertice. Este punto tendra una x y unay. La x se calcula con la formula x = −b

2a y la y se obtiene sustituyendo

el valor obtenido de x en el polinomio.

9



(d) Si a pesar de hacer los apartado anteriores tenemos poca informacion,podemos dar valores a x, simetricamente respecto del vertice.

’ Ejercicio 11. Se dan los siguientes polinomios de segundo grado:

a) p(x) = x2

−3x + 2 ; b) q (x) =

−2x2 + x + 3 ; c) r(x) = 4x2

−4x + 1

d) s(x) = x2 + x + 1 ; e) t(x) = −x2 ; f) u(x) = −6x2 + 7x + 3

Halla su descomposicion en factores (si existe) y representar graficamente lasparabolas.

Recuerda a partir de ahora que si x = x1 es una raız de un polinomio, ensu decomposicion aparece el factor (x − x1) ya que de este modo, al sustituirx por x1 ese factor es cero y al sustituir en el polinomio por x1 el resultadoes cero y esa es la definicion de raız. Este comentario viene por que cuandose busca raıces por Ruffini (como luego recordaremos) y se pone por ejemplo

un 1 en la izquierda, no se sabe como escribir la descomposicion, si (x − 1) o(x + 1). Basta recordar que ese numero que se pone a la izquierda para ver sial final da cero o no, es una raız si finalmente da cero, de modo que no hayduda: el factor correcto sera (x − 1).

Raıces de polinomios de grado superior a dos. Teorema del Resto.Regla de Ruffini

No se da formula para hallar las raıces de polinomios de grado 3 o mas. Lasraıces hay que buscarlas y para eso suelen ponerse ejercicios que pueden resol-verse mediante la aplicacion de unas reglas sencillas. Normalmente se tienen

raıces que son numeros enteros (0, 1,2,3,....,-1,-2,-3,....,etc.) o como muchoracionales. Nos centramos en el caso de raıces enteras buscandolas entre losdivisores del termino independiente.

’ Ejemplo 11. Sea p(x) = x3 − 3x2 + 6x − 4 . Los divisores del terminoindependiente son ±1, ±2, ±4 . Elijamos, por ejemplo el 2 y hagamos la divisionpor x − 2. Podemos recordar la Regla de Ruffini:

1 −3 6 −42 2 −2 8

1

−1 4 4

El resto es 4 y por lo tanto, el polinomio no es divisible por (x − 2). Esteresultado era esperable sin mas que recordar el Teorema del Resto: ”Si tenemosun polinomio p(x), el resto de la division entre p(x) y (x − a) es p(a)”. Eel ejemplo dado hemos tomado a = 2 y p(2) = 23 − 3 ∗ 22 + 6 ∗ 2 − 4 =8−12+12−4 = 4 que es, precısamente el resto que hamos obtenido aplicandoRuffini. El cociente es c(x) = x2 − x + 4. Probemos ahora con el valor 1, yaque es facil ver que p(1) = 0 (o sea es una raız). La division da

1 −3 6 −41 1

−2 4

1 −2 4 0

10



comprobando que el resto es cero y el cociente es c(x) = x2−2x+4. Tendremosque x3−3x2+6x−4 = (x−1)(x2−2x+4). Si queremos hacer la descomposicioncompleta, nos queda el polinomio de grado dos x2 − 2x + 4 que no tiene raıcesreales. Por lo tanto ya no podemos seguir con este ejemplo.

’ Ejemplo 12. Sea p(x) = x3

− 7x

− 6. Podemos buscar las raıces entre

los valores ±1, ±2, ±3, ±6 y en este caso es util comenzar sustituyendo en elpolinomio. Por ejemplo p(1) = 1 − 7 − 6 = −12, luego x = 1 no es raız. Parax = 2, p(2) = 8 − 14 − 6 = −12 y tampoco es raız. Sin embargo, p(−1) =−1 + 7 − 6 = 0 y sı que es raız.

Aplicamos Ruffini para ver el cociente

1 0 −7 −6−1 −1 1 6

1 −1 −6 0

que resulta x2

−x

−6. Ası, de momento x3

−7x

−6 = (x+1)(x2

−x

−6). Para

obtener la descomposicion del cociente que ha resultado aplicamos la formula

para las raıces de la ecuacion de segundo grado: x = 1±√ 1+242

= 1±52

=

3−2

.

La descomposicion completa es x3 − 7x − 6 = (x + 1)(x − 3)(x + 2).

’ Ejemplo 13. Tomamos p(x) = 6x3 − 13x2 + 4. Las posibles raıces enterasson ±1, ±2, ±4. Si probamos p(1) = 6 − 13 + 4 = 0, p(−1) = −6 − 13 − 4 =0, p(2) = 48 − 52 + 4 = 0encontramos una raız. Aplicamos Ruffini para ver elcociente que queda de segundo grado

6

−13 0 4

2 12 −2 −46 −1 −2 0

resultando el cociente c(x) = 6x2 − x − 2. Sus raıces son x = 1±√ 1+4812

= 1±712

=

812

= 23

−612

= −12

.

Como el coeficiente de x2 es 6 la descomposicion de 6x2 − x − 2 viene dadade la forma 6(x − 2

3)(x + 1

2). si escribimos c 6 como 2*3 podemos entrar un 3 al

primer factor y un 2 al segundo, quedando 6(x − 23

)(x + 12

) = (3x − 2)(2x +1).

La decomposicion del polinomio inicial de grado tres queda 6x

3

− 13x

2

+ 4 =(x − 2)(3x − 2)(2x + 1).

’ Ejemplo 14. Sea el polinomio p(x) = 2x3 + 5x2 + 4x + 1.Probamos conla raız 1, p(1) = 2 + 5 + 4 + 1 = 0 y no es raız. Probamos con -1, p(−1) = 0,como es raız aplicamos Ruffini:

2 5 4 1−1 −2 −3 −1

2 3 1 0

y las raıces de 2x2 + 3x + 1 son

−1 y

−1/2. La descomposicion completa es

2x3 + 5x2 + 4x + 1 = 2(x + 1)2(x + 12) = (x + 1)2(2x + 1).

11



’ Ejercicio 12. Halla la descomposicion de los siguientes polinomios de gradotres:

a) p(x) = x3 + 3x2 − x − 3; b) p(x) = 2x3 − x2 − 5x − 2; c) f (x) = x3 − 1

d) p(x)=6x3 − x2 − 10x − 3; e) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1; f) p(x) = x4 + x3 − x − 1.

Ejercicios de aplicacion.

Veremos aquı dos tipos de ejercicios. Unos que consisten en determinar unpolinomio (sus coeficientes) a partir de ciertos datos (divisibilidad o en generalsu resto por la division por x − a). Los otros de simplificaciones de cocientesde polinomios que requieren previamente su descomposicion.

’ Ejemplo 15. Sea el polinomio p(x) = x3 + ax2 + bx − 1, del que se sabeque es divisible por (x − 1) y que el cociente de su division por (x + 2) es -3.Halla a y b.

Que sea divisible por (x−

1) significa que 1 es raız del polinomio: p(1) =0 → 1 + a + b − 1 = 0 → a + b = 0

Que su resto al dividir por (x + 2) sea −3 significa que p(−2) = −3 →−8 + 4a − 2b − 1 = −3 → 4a − 2b = 6. La resolucion del sistema

a + b = 0

4a − 2b = 6

es a = 1 y b = −1.

’ Ejemplo 16. Sabemos que el polinomio p(x) = 2x3 + 3ax − 2x + b es

divisible por (x − 2) y por (x + 3). a y b.Las ecuaciones para a y b se obtienen de p(2) = 0 y p(−3) = 0. De laprimera condicion 16 + 6a − 4 + b = 0 → 6a + b = −12. De la segunda,−54 − 9a + 6 + b = 0 y operando, esta ecuacion queda −9a + b = 48. Sirestamos las dos ecuaciones en a y b se tiene que 15a = −60 → a = −4. Laotra incognita se halla a partir de 6a + b = −12 → b = 12.

’ Ejercicio 13. Se da el polinomio p(x) = x3 + ax2 + bx + 1 y se pide hallaa y b en los siguientes casos:

(a) Es divisible por (x + 1) y por (x − 2).

(b) Es divisible por (x + 1) y por (x − 1).

(c) Su resto al dividir por (x + 3) es 2 y es divisible por (x − 2).

(d) Es divisible por (2x + 1) y por (x + 2).

’ Ejercicio 14. Se da el polinomio p(x) = x3 + ax2 − 2x + b y se pide hallaa y b en los siguientes casos:

(a) Es divisible por (x + 2) y por (x − 3).

(b) Es divisible por (x + 2) y por (x − 2).

(c) Su resto al dividir por (x + 3) es 2 y es divisible por x.

12



(d) Es divisible por (2x + 1) y por (x + 2).

’ Ejemplo 17. Simplifica el cociente x3+3x2−x−3x3−7x+6

x3 + 3x2

−x

−3

x3 + 2x2 − 5x − 6 =

(x + 1)(x

−1)(x + 3)

(x + 1)(x − 2)(x − 3) =

x

−1

x − 2 .

’ Ejercicio 15. Simplifica los cocientes: a) 2x2−3x−24x2−4x+1

; b) x2−3x+2x2−4

; c) x2+x−2x2−2x+1

.

’ Ejercicio 16. Sea el cociente p(x)q(x)

= ax3+2x22−3bx+1x3+cx2+3x−d . Se sabe que tanto el

numerador como el denominador son divisibles por (x +1) y por (x − 2). Hallaa, b, c, d y simplifica el cociente.

ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMASEcuaciones de segundo grado y reducibles a ellas.

Ya hemos visto antes que se pueden obtener las soluciones de la ecuaci oncuadratica (es decir, de segundo grado) ax2 + bx + c = 0, mediante la formula

x = −b±√ b2−4ac2a

. Tambien hemos visto su interpretacion geometrica: son abcisasde los puntos de corte, con el eje OX , de la parabola f (x) = ax2 + bx + c ).Hay otras ecuaciones que despues de una pequena transformacion se conviertenen una ecuacion cuadratica, cuyas soluciones hay que buscar previamente.Despues de hallar tales soluciones se hallan las de la ecuacion inicial y se

comprueba (ESTO ES MUY IMPORTANTE) que verifican tal ecuacion inicial.(a) Bicuadradas. Son las ecuaciones del tipo ax4 + bx2 + c = 0 que se

denominan bicuadradas por que son cuadraticas en la variable x2. Teniendo encuenta que x4 = (x2)

2y por tanto ax4+bx2+c = a (x2)

2+b (x2)+c. Si hacemos

un cambio, como poner t = x2, entonces la ecuacion queda at2 + bt + c = 0.Esta ecuacion la podemos resolver para hallar t y pueden presentarse variassituaciones. Las unicas que sirven como soluciones de la ecuacio bicuadradainicial son las positivas.

’ Ejemplo 18. Consideramos la ecuacion x4 − 3x2 − 4 = 0, para resolverla

llamamos t = x2

. La ecuacion en la nueva variable t queda t2

− 3t + 4 = 0 →t = 3±√ 9+16

2 = 3±5

2 =

4−1

. Tenemos dos soluciones t = 4, t = −1 pero como

t = x2 estas soluciones de t llevan a x2 = 4, x2 = −1. La segunda no tienesoluciones reales y la primera (que es de segundo grado) tiene dos solucionesx = ±2.

’ Ejercicio 17. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) x4 − 10x2 + 9 = 0; (b) x4 − 2x2 − 3 = 0;

(c) x4

− 29x2

+ 100 = 0; (d) x4

− 18x2

+ 81 = 0.

13



Ecuaciones con radicales

. Lo mejor para entender como se resuelven es a partir de algunos ejemplos.

’ Ejemplo 19. Resuelve√

2x − 3 + 1 = x.Aislamos la raız:

√ 2x

−3 = x

−1 y elevamos ambos miembros al cuadrado:

√ 2x − 3

2= (x − 1)2 → 2x−3 = x2+1−2x → x2−4x+4 = 0 → x =

4 ± √ 16 − 16

2 =

4 ± 0

2 = 2.

En este caso solo ha salido una soucion pero conviene comprobar que verificala ecuacion inicial: ¿x = 2 cumple que

√ 2x − 3 + 1 = x? Basta sustituir:

¿√

4 − 3 + 1 = 2? La respuesta es afirmativa y por ello la solucion hallada esvalida.


2x2 + 3x + 5 = x + 3.

Elevamos al cuadrado:√ 2x2 + 3x + 5

2= (x + 3)2 → 2x2 + 3x + 5 =

x2 + 6x + 9 → x2 − 3x − 4 = 0. Las soluciones de esta ecuacion son x = 4, −1.Ahora hay que ver cada una, por separado, si cumple la ecuaci on inicial.

Para x = 4,√

2 ∗ 16 + 12 + 5 =√

32 + 12 + 5 =√

49 = 7, lo que es iguala 4 + 3. Por tanto sı es solucion.

Para x = −1,√

2 − 3 + 5 = 2, que tambien es igual a −1 + 3 y tambienda una solucion de la ecuacion inicial.


2x +√

5x

−6 = 4.

Elevamos al cuadrado, 2x+5x−6+2

2x(5x − 6) = 16 → 2

2x(5x − 6) =22 − 7x →

2x(5x − 6) = 11 − 72

x. Elevamos de nuevo al cuadrado: 2x(5x −6) = (11 − 7

2x)2 → 10x2 − 12x = 121 − 77x + 49

4 x2 → 9

4x2 − 65x + 121 = 0.

Salen dos soluciones y la unica valida es x = 2 (la otra es x = 242/9 que noverifica la ecuacion inicial)

’ Ejemplo 22. Resuelve x − √ 2x − 1 = 1 − x.

Dejamos sola la raız en un miembro de la igualdad, −√ 2x − 1 = 1 − 2x y

elevamos al cuadrado 2x − 1 = 1 + 4x2 − 4x.Resulta la ecuacion de segundo grado 4x2 − 6x + 2 = 0, que simplificando

por 2 queda 2x

2

− 3x + 1 = 0. Las soluciones son x = 1, 1/2. Ahora debemoscomprobar si son solucion.

Para x = 1, da 1 − √ 2 − 1 = 1 − 1 = 0, que sı es cierto.

Para x = 1/2, da 1/2 − √ 1 − 1 = 1/2 = 1 − 1/2 y tambien es solucion.

’ Ejemplo 23. Resuelve x +√

2x − 1 = 1 − x.Aislamos la raız en un miembro de la igualdad

√ 2x − 1 = 1−2x y elevamos

al cuadrado: 2x − 1 = 1 + 4x2 − 4x. Resulta la misma ecuacion de antes,4x2

− 6x + 2 = 0, con las mismas soluciones: x = 1, 1/2. Como la ecuacion

inicial no es la misma de antes, alguna de las soluciones no sera valida:

14



Para x = 1, da 1 +√

2 − 1 = 1 + 1 = 2, que no es 0 (1 − x = 1 − 1 = 0,es lo que da el segundo miembro).

Para x = 1/2, da 1/2 +√

1 − 1 = 1 = 1 − 1/2 que sı es solucion.

Nota 0.3. Siempre que se este en la situacion de que hay solo una raız (oel producto de dos raıces), se aisla esa raız en un miembro, pasando al otro elresto.

’ Ejercicio 18. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

a)√

x2 − 5x + 4 + 1 = x + 3 ; b) x +√

7 − 3x = 1

c)√

5x + 6 − 3 = 2x ; d)√

x2 + 3 − √ 3 − x = 0

e)√

2 − 5x + x√

3 = 0 ; f)√

2x − 4 +√

x + 5 = 5

g)

1

√ 5x+14 =

1

7 ; h) √ 3x + 4 + 2x − 4 = 0

Ecuaciones con fracciones polinomicas

Anteriormente hemos operado con fracciones algebraicas. Ahora se trata deutilizar esos conocimientos para resolver ecuaciones con fracciones polinomicas.Nuevamente, algunos ejemplos pueden servir para entender como se resuelven.

’ Ejemplo 24. Resuelve xx−3

+ 2xx+3

= 6x2−9

.

En primer lugar reducimos a comun denominador todas las fracciones. Se

tendra en cuenta que (x2 − 9) = (x + 3)(x − 3). Ası,

x(x + 3)

(x − 3)(x + 3)+

2x(x − 3)

(x + 3)(x − 3) =

6

(x + 3)(x − 3) → x(x + 3) + 2x(x − 3)

(x + 3)(x − 3) =

6

x2 − 9

como los denominadores son iguales ( (x+3)(x−3) = (x2−9) ), los numeradorestambien:

x(x+3)+2x(x−3) = 6 → 3x2−3x−6 = 0 → x2−x−2 = 0 → x = −1 y x = 2.

’ Ejemplo 25. Resuelve 2xx+2 = 3x+2

2x .En esta ecuacion, basta multiplicar en cruz: (2x)2 = (x + 2)(3x + 2) →

4x2 = 3x2 + 8x + 4 → x2 − 8x − 4 = 0 y seguir con el procedimiento habitual.

’ Ejercicio 19. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) 3

x + 3 =

x + 2

2 − x; b)

x + 2

x + 3x =

5x + 6

2 ;

c) 8 − x

2 − 2x − 11

x − 3 =

x + 6

2 ; d)

8

x + 6 +

12 − x

x − 6 = 1.

15



Sistemas de ecuaciones

Nos limitaremos a sistemas de ecuaciones con dos incognitas y distinguire-mos los lineales de los no lineales. Para los primeros existen tres metodosclasicos de resolucion: igualacion, sustitucion y reduccion. De todos ellos eltercero es facilmente aplicable en sistemas lineales de mas ecuaciones y es elque mas suele emplearse (sin por ello rehuir los otros, en especial el de susti-tucion). Para el caso de sistemas no lineales el tratamiento es distinto y sueleadaptarse bien el metodo de sustitucion. Veamos algunos ejemplos de cada unode ellos.

(a) Sistemas lineales.Sea el sistema

2x − 3y = 1

x + y = 3

(a.1) Igualacion.Consiste en despejar la misma incognita de ambas ecuaciones; por ejemplo

x. De la primera ecuacion x = 1+3y2

y de la segunda ecuacion x = 3 − y. Ahora

igualamos las dos expresiones para x: 1+3y2

= 3 − y → 1 + 3y = 6 − 2y → 5y =5 → y = 1, de donde x = 3 − 1 = 2(a.2) Sustitucion.

Despejamos una variable en una ecuacion y a sustituimos en la otra. Apartir de x = 1+3y

2 , su sustitucion en la segunda ecuacion es 1+3y

2 + y = 3 y

operando obtendremos y y despues x.(a.3) Reduccion.

Se dice tambien que “se hacen ceros”. Notemos que si a la primera ecuacionle sumamos la segunda multiplicada por 3, eliminaremos y. Tendremos 2x −3y = 1 junto a 3x + 3y = 9. Sumandolas, se obtiene 5x = 10 → x = 2, etc.

’ Ejemplo 26. Resuelve por reduccion el sistema:

3x + 2y = 5

4x + 5y = 2.

En primer lugar eliminamos x. Para ello multiplicaremos la primera ecuacionpor 4, la segunda ecuacion por 3 y restaremos:

3x + 2y = 5 3x + 2y = 5 3x + 2y = 54(3x + 2y) − 3(4x + 5y) = 4 ∗ 5 − 3 ∗ 2 −7y = 14 y = −2,

por tanto, x = 5−2y3

= 93

= 3.

Nota 0.4. Este tipo de ejercicios tiene una explicacion grafica en el plano.Cada ecuacion tiene por representacion una recta, de este modo al resolverel sistema estamos hallando aquellos valores (x, y) que cumplen ambas ecua-ciones. En terminos geometricos, la solucion del sistema corresponde al puntoque esta en ambas rectas: su interseccion. Recordemos que para representar

una recta, bastan dos puntos. Si queremos representar graficamente la situacion

16



que se da en la interseccion de dos rectas en el plano, se puede representar,ademas, el punto comun.

En nuestro primer ejemplo, podemos dibujar las dos rectas, mediante suscortes con los ejes. Para la primera 2x − 3y = 1 si damos el valor x = 0,deducimos que y = −1/3. Si se da y = 0, obtenemos x = 1/2. Resumiendo:

la recta la dibujaremos a partir de los puntos (0, −1/3), (1/2, 0) y por el (2, 1)que es su interseccion con la segunda. Esta, que es x + y = 3 la dibujamosponiendo x = 0 → y = 3, punto (0, 3) y poniendo y = 0 → x = 3, punto (3, 0).A ellos se suma el de interseccion con la otra recta.

’ Ejercicio 20. Resuelve por reduccion los sistemas siguientes, dando poste-riormente una representacion grafica:

a) 3x + 5 = 2y + 1

x − 9 = 1 − 5y

; b)

3x + 2 = y − 56x + 1 = 2y − 3

;

c)x3 −

y

2 = 4x2 − y

4 = 2

; d) 2x + 3y = 19

4x + y = 23

b) Sistemas no lineales.Tan solo veremos sistemas en los que se despeja una variable en una

ecuacion y se sustituye el valor en la otra ecuacion. Por ejemplo,

3x

+ xy

= 4

y = x − 2

Aquı ya tenemos despejada y en la segunda ecuacion. La sustituimos en la

primera, pero previamente operamos en ella: 3y + x2

= 4xy. Ahora la sustitu-cion da 3(x − 2) + x2 = 4x(x − 2) → 0 = 3x2 − 11x + 6 → x = 11±√ 121−72

6 =

11±76

= 3 y 4/6 = 2/3. Para x = 3 → y = 2 y tenemos como solucion el puntodel plano (3, 2). El otro punto se obtiene a partir de x = 2/3 → y = −4/3,dando el punto (2/3, −4/3). No hacemos representacion grafica pues para estosproblemas no es, en general, facil (exceptuando casos en los que aparece rectay parabola, como veremos a continuacion).

’ Ejemplo 27. Resuelve el sistema e interpreta geometricamente el resultado:

y − 3x = −5

x2 + y = −1 .

La resolucion es sencilla. Basta poner y = 3x − 5 y sustituir en la otraecuacion: x2 + (3x − 5) = −1 → x2 + 3x − 4 = 0 que da dos soluciones:x = 1, x = −4. Para cada x hay un valor de y. Para x = 1 es y = −2. Parax = −4 es y = −17. Estos puntos son (1, −2) y (−4, −17). La interpretaciongrafica tambien es sencilla. Se tiene una recta y = 3x − 5 y una parabolay = −x2 − 1. Los puntos de corte entre la parabola y la recta son los puntossolucion.

’ Ejercicio 21. Resuelve los siguientes sistemas y da la interpretacion grafica

de los apartados b) y d).

17



a) x − 3y + 3 = 0√

4 + x − y + x = y − 2

; b)

y = x2 − 3xy + x = 3

;

c) xy = 15

x

y =

5

3 ; d)

y = 4x − x2

y = x

Ejercicios de repaso

1. Resuelve las ecuaciones:

a) x4 − 4x2 = 0; b) 5x3 − 3x2 = 0;

c) 4x3 − x = 0; d) x4 + 4x2 = 0

2. Resuelve las ecuaciones sin operar (usa que se te da ya la descomposi-

cion):

a) (2x − 7)(x2 − 3)2 = 0; b) 5x(x2 − 4)(3x + 12) = 0;

c) 3x(x + 2)3 = 0; d) (x − 5)(x2 + 1) = 0.

3. Halla la descomposicion de los polinomios que aparecen en las siguientesecuaciones para hallar la solucion de estas:

a) x3 + x2 − 6x = 0; b) x3 + 4x2 + x − 6 = 0;

c) − x3 + 13x − 12 = 0; ; d) x3 + 2x2 − 4x − 8 = 0.

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Material de Repaso MAT 1

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