Material Pedagogico y Taller de Funciones Financier As Final

Serie de cuotas que pagan un valor presenteFuncion PAGO()

Datos de entradaTasa nominal 20%Periodos 36 Valor presente (15,000,000)

ProcedimientoCalculemos en primer lugar la tasa periodica (tasa que aplica cada mes)Tasa periodica 1.7%

Utilizando la función PAGO(), calculemos el valor de la cuotaCuota 557,454

Ejemplo 2: Realicemos una tabla de amortización para el problema anterior.

Para ello, requerimos de las funciones PAGOINT() y PAGOPRIN ().

Función Pagoint(): Calcula el pago de los intereses en una cuota determinada

Función Pagoprin(): Calcula el abono a capital en una cuota determinada

Datos del prestamo

Valor Actual (15,000,000)

La función PAGO() calcula el pago o cuota de una anualidad basada en tasa de interes constante durante la vida de la anualidad.

Los siguientes ejemplos ilustran la utilización de la función PAGO(), cuando se conocen la tasa de interés, el valor actual y el número de periodos.

Ejemplo 1: Una persona ha efectuado un prestamo de $15.000.000 que deberá pagar en tres años con cuotas mensuales al 20% nominal. Cual será el valor de cada cuota?

Podemos entonces decir: que el valor de la anualidad es de 557.454, lo que significa, que para amortizar un crédito de 15 millones de pesos en tres años a una tasa del 20% nominal, cada mes deben pagarse cuotas de 557.454

A27

Se tomaron los datos del prestamo de la hoja NPER.

Tasa periodica 1.7%

Periodos 36

Cuota o pago $ 557,454

No PERIODO FECHA DE PAGO PAGO DE INTERES

1 5/1/2008 $307,454 $250,000

2 6/1/2008 $312,578 $244,876

3 7/1/2008 $317,788 $239,666

4 8/1/2008 $323,084 $234,370

5 9/1/2008 $328,469 $228,985

6 10/1/2008 $333,943 $223,510

7 11/1/2008 $339,509 $217,945

8 12/1/2008 $345,167 $212,286

9 1/1/2009 $350,920 $206,533

10 2/1/2009 $356,769 $200,685

11 3/1/2009 $362,715 $194,739

12 4/1/2009 $368,760 $188,693

13 5/1/2009 $374,906 $182,547

14 6/1/2009 $381,155 $176,299

15 7/1/2009 $387,507 $169,946

16 8/1/2009 $393,966 $163,488

17 9/1/2009 $400,532 $156,922

18 10/1/2009 $407,207 $150,246

19 11/1/2009 $413,994 $143,459

20 12/1/2009 $420,894 $136,560

21 1/1/2010 $427,909 $129,545

22 2/1/2010 $435,041 $122,413

23 3/1/2010 $442,292 $115,162

24 4/1/2010 $449,663 $107,791

25 5/1/2010 $457,157 $100,296

ABONO A CAPITAL

26 6/1/2010 $464,777 $92,677

27 7/1/2010 $472,523 $84,931

28 8/1/2010 $480,398 $77,055

29 9/1/2010 $488,405 $69,049

30 10/1/2010 $496,545 $60,909

31 11/1/2010 $504,821 $52,633

32 12/1/2010 $513,235 $44,219

33 1/1/2011 $521,788 $35,665

34 2/1/2011 $530,485 $26,969

35 3/1/2011 $539,326 $18,127

36 4/1/2011 $548,315 $9,139

$15,000,000 $5,068,335

Datos de entrada caso trimestral Datos de entrada caso bimensualTasa nominal 18% Tasa nominalPeriodos (trimestres) 8 Periodos (bimestres)Valor presente 4,500,000 Valor presente

Procedimiento ProcedimientoCalculemos la tasa periodica Calculemos la tasa periodicaTasa trimestral 4.50% Tasa bimensual

Utilizando la funicón PAGO(), calculemos el valor de la cuotaCuota 682,243 Cuota

Obervemos que la suma de los abonos a capital nos da $15.000.000 que corresponde a el valor del prestamo y esta suma con el total de intereses nos da el valor total pagado de $20.068.335.

Ejemplo 3: una persona recibe un prestamo de 4.500.000 a dos años a una tasa del 18% anual compuesto trimestralmente. Si el prestamo se cancela con cuotas trimestrales, cual es el valor de cada cuota? Y si la cuota es bimensual, cual seria su valor?

Podemos entonces decir que realizar 8 pagos de 682.243 trimestrales es equivalente a realizar 12 pagos bimensuales de 452.079, si la tasa de interés es del 18% anual nominal.

Serie de cuotas que pagan un valor presenteFuncion PAGO()

5.498% Efectiva a Efectiva5.40% Efectiva a Nominal Trimestral Compuesta

#ADDIN? Utilizando la funcion Interes Efectivo

Ejemplo 2: Realicemos una tabla de amortización para el problema anterior.

Para ello, requerimos de las funciones PAGOINT() y PAGOPRIN ().

Calcula el pago de los intereses en una cuota determinada

La función PAGO() calcula el pago o cuota de una anualidad basada en tasa de interes constante durante la vida de la

Los siguientes ejemplos ilustran la utilización de la función PAGO(), cuando se conocen la tasa de interés, el valor actual

Ejemplo 1: Una persona ha efectuado un prestamo de $15.000.000 que deberá pagar en tres años con cuotas

Podemos entonces decir: que el valor de la anualidad es de 557.454, lo que significa, que para amortizar un crédito de 15 millones de pesos en tres años a una tasa del 20% nominal, cada mes deben pagarse cuotas de 557.454

CUOTA SALDO

$557,454 $14,692,546

$557,454 $14,379,968

$557,454 $14,062,181

$557,454 $13,739,097

$557,454 $13,410,628

$557,454 $13,076,684

$557,454 $12,737,175

$557,454 $12,392,008

$557,454 $12,041,088

$557,454 $11,684,319

$557,454 $11,321,604

$557,454 $10,952,843

$557,454 $10,577,937

$557,454 $10,196,782

$557,454 $9,809,275

$557,454 $9,415,309

$557,454 $9,014,777

$557,454 $8,607,570

$557,454 $8,193,575

$557,454 $7,772,681

$557,454 $7,344,772

$557,454 $6,909,731

$557,454 $6,467,440

$557,454 $6,017,776

$557,454 $5,560,619

$557,454 $5,095,842

$557,454 $4,623,319

$557,454 $4,142,921

$557,454 $3,654,516

$557,454 $3,157,971

$557,454 $2,653,150

$557,454 $2,139,915

$557,454 $1,618,127

$557,454 $1,087,642

$557,454 $548,315

$557,454 $0

$20,068,335

Datos de entrada caso bimensual18%

12 4,500,000

ProcedimientoCalculemos la tasa periodica

3.00%

452,079

Obervemos que la suma de los abonos a capital nos da $15.000.000 que corresponde a el valor del prestamo y esta suma con el total de intereses nos da el valor total pagado de $20.068.335.

Ejemplo 3: una persona recibe un prestamo de 4.500.000 a dos años a una tasa del 18% anual compuesto trimestralmente. Si el prestamo se cancela con cuotas trimestrales, cual es el valor de cada cuota? Y si la cuota es

Podemos entonces decir que realizar 8 pagos de 682.243 trimestrales es equivalente a realizar 12 pagos bimensuales

Efectiva a EfectivaEfectiva a Nominal Trimestral CompuestaUtilizando la funcion Interes Efectivo

Valor presente de un prestamo dada una serie de cuotasFuncion VA()

Datos de entradaTasa efectiva mensual 1.67% #ADDIN?Periodos 24 Cuota 300,000

ProcedimientoCalculemos el valor presente de la anualidad, utilizando la función VA()Valor presente 5,891,525

Observe las dos formas de calcular la tasa efectiva mensual.

La función VA() permite encontrar el valor presente de una anualidad (prestamo), cuando se conocen la tasa de interés, el valor de la cuota y el número de periodos.

Ejemplo 1: Una persona tiene durante dos años una capacidad de pago mensual de $300.000, si la tasa que le cobran es del 22% efectivo anual. Cuanto puede prestar?

D8

Usamos la funcion tasa nominal y luego dividimos entre 12, para convertirla a efectiva mensual

Valor presente de un prestamo dada una serie de cuotasFuncion VA()

Observe las dos formas de calcular la tasa efectiva mensual.

La función VA() permite encontrar el valor presente de una anualidad (prestamo), cuando se conocen la tasa de interés, el valor de la cuota y el número de periodos.

Ejemplo 1: Una persona tiene durante dos años una capacidad de pago mensual de $300.000, si la tasa que le cobran es del 22% efectivo anual. Cuanto puede prestar?

Tasa de interésFunción TASA()

Datos de entradaCapital 1,000,000 Periodos 12 Cuota 95,000

Procedimiento

Tasa efectiva mensual 2.08%

Datos de entradaValor presente 15,000,000 Cuota 500,000 periodos 48

ProcedimientoCalculemos el valor de la tasa aplicada, utilizando la función TASA()Tasa efectiva mensual 2.11%

La función TASA permite encontrar la tasa de interés aplicada en la anualidad, cuando se conocen el valor de la cuota, el valor presente y el número de periodos.

Ejemplo 1: Un prestamo de $1.000.000 se está amortizando con 12 cuotas mensuales de $95.000. Cual es la tasa que se está cobrando?

Para calcular la tasa de interés periódica, utilicemos la función TASA(). En los argumentos de la función debemos tener en la cuenta que como se solicita tanto el valor de la cuota como el valor presente, estos deben ser de signo contrario.

Ejemplo 2: Una persona desea realizar un préstamo a cuatro años, por valor de 15.000.000 para pagar con cuotas mensuales de 500,000. Que tasa de interés mensual le están cobrando en esta operación financiera?

Datos de entrada entidad A Datos de entrada entidad BValor actual 6,000,000 Valor actualCuota mensual 172,510 Cuota bimensualPeriodos 48 Periodos

Procedimiento

Tasa entidad A 1.4% Tasa entidad BTasa nominal 16.8% Tasa nominalTasa efectiva anual #ADDIN? Tasa efectiva anualTasa efectiva anual 18.16% Tasa efectiva anual

Ejemplo 3: Una persona requiere un prestamo por valor de $6.000.000. Una entidad financiera le ofrece pagar cuotas mensuales por valor de $172.510,04 durante cuatro años. Una segunda entidad le ofrece prestarle los 6 millones de pesos pagaderos en 24 cuotas bimensuales de 346.695,36. Cual de las dos alternativas es mas ventajosa?

Calculemos las tasas efectivas que se están cobrando en ambas entidades, para de esta manera determinar cual alternativa, es mas ventajosa para la persona:

En conclusión: el segundo banco, cobra una tasa de interés mas baja, por tanto debe optar por el crédito en este banco

A38

Anual compuesto mensualmente

D38

Anual compuesto bimestralmente

Tasa de interésFunción TASA()

Calculemos el valor de la tasa aplicada, utilizando la función TASA()

La función TASA permite encontrar la tasa de interés aplicada en la anualidad, cuando se conocen el

Ejemplo 1: Un prestamo de $1.000.000 se está amortizando con 12 cuotas mensuales de $95.000. Cual

Para calcular la tasa de interés periódica, utilicemos la función TASA(). En los argumentos de la función debemos tener en la cuenta que como se solicita tanto el valor de la cuota como el valor presente, estos

Ejemplo 2: Una persona desea realizar un préstamo a cuatro años, por valor de 15.000.000 para pagar con cuotas mensuales de 500,000. Que tasa de interés mensual le están cobrando en esta operación

Datos de entrada entidad B 6,000,000 346,695.36

24

2.8%16.8%

#ADDIN?18.02%

Ejemplo 3: Una persona requiere un prestamo por valor de $6.000.000. Una entidad financiera le ofrece pagar cuotas mensuales por valor de $172.510,04 durante cuatro años. Una segunda entidad le ofrece prestarle los 6 millones de pesos pagaderos en 24 cuotas bimensuales de 346.695,36. Cual de las dos

Calculemos las tasas efectivas que se están cobrando en ambas entidades, para de esta manera

En conclusión: el segundo banco, cobra una tasa de interés mas baja, por tanto debe optar por el crédito

Número de periodosFunción NPER()

Datos de entradaValor actual (15,000,000)Cuotas 560,516 Tasa periodica 1.7%

Procedimiento

Periodos 36

La función NPER permite encontrar el número de periodos de una anualidad, cuando se conocen el valor de la cuota, el valor presente y la tasa de interés.

Ejemplo 1: Una persona desea realizar un préstamo por valor de 15.000.000 para pagar con cuotas mensuales de 560.515,61. Si la tasa de interés del mercado es del 1.7% mensual, en cuanto tiempo terminará de pagar su deuda?

Utilizando la funicón NPER(), calculemos el número de periodos de la anualidad. Recuerde que como la función solicita como argumentos tanto el valor presente como el valor de la cuota, éstos deben ser de signo contrario.

Número de periodosFunción NPER()

La función NPER permite encontrar el número de periodos de una anualidad, cuando

Ejemplo 1: Una persona desea realizar un préstamo por valor de 15.000.000 para pagar con cuotas mensuales de 560.515,61. Si la tasa de interés del mercado es del 1.7%

Utilizando la funicón NPER(), calculemos el número de periodos de la anualidad. Recuerde que como la función solicita como argumentos tanto el valor presente como el

Pago de un ahorro

Página 18

Serie de cuotas que pagan un valor futuroFuncion PAGO()

Datos de entradaValor futuro ($ 10,000,000)Efectiva anual #ADDIN?Efectiva mensual 0.6%Efectiva anual 7.2%Periodos 12Tipo 1

Procedimiento

Calculemos el pago de la anualidad, utilizando la función PAGO()

Pago #ADDIN?

Ejemplo 2: comprobemos el ejercicio anterior utilizando formulas.

Datos de entradaValor futuro $ 10,000,000 Efectiva anual #ADDIN?

Los siguientes ejemplos ilustran un plan de ahorro con anualidad vencida y otro con anualidad anticipadasla utilizando la función PAGO(), cuando se conocen la tasa de interés, el valor futuro y el número de periodos.

Recordemos que la función PAGO() calcula el pago o cuota de una anualidad basada en tasa de interes constante durante la vida de la anualidad.

Ejemplo 1: Una persona desea contar con $10.000.000 dentro de 12 años. Su intención para obtener esta suma es ahorrar una cantidad igual cada año, en un banco que paga el 7% anual capitalizable mensualmente. ¿A cuánto ascienden los depósitos iguales que debera hacer en los años 1 al 12 para juntar los $10.000.000?

En vista de que la tasa nos la dan nominal (7% anual capitalizable mensualmente), debemos pasarla a efectiva anual, puesto que los pagos son anuales. Te voy a mostrar dos formas de hacerlo:

Podemos afirmar entonces, que si una persona desea contar con $10.000.000 dentro de 12 años y si le

reconoccen una tasa de interes del 7.2% efectivo anual puede lograrlo ahorrando $514.347 cada año.

514.347

3210

A11

Primera forma, usando la funcion INT.EFECTIVO()

A13

Segunda forma, usando la formula del interes compuesto

Pago de un ahorro

Página 19

Periodos 12Tipo 1

Procedimiento

No de CUOTA CUOTA INTERES SALDO

1 #ADDIN? #ADDIN? #ADDIN?












Pago de un ahorro

Página 20

Serie de cuotas que pagan un valor futuroFuncion PAGO()

Ejemplo 2: comprobemos el ejercicio anterior utilizando formulas.

Los siguientes ejemplos ilustran un plan de ahorro con anualidad vencida y otro con anualidad anticipadasla utilizando la función PAGO(), cuando se conocen la tasa de interés, el valor futuro y el número de periodos.

Recordemos que la función PAGO() calcula el pago o cuota de una anualidad basada en tasa de interes

Ejemplo 1: Una persona desea contar con $10.000.000 dentro de 12 años. Su intención para obtener esta suma es ahorrar una cantidad igual cada año, en un banco que paga el 7% anual capitalizable mensualmente. ¿A cuánto ascienden los depósitos iguales que debera hacer en los años 1 al 12 para juntar los $10.000.000?

En vista de que la tasa nos la dan nominal (7% anual capitalizable mensualmente), debemos pasarla a efectiva anual, puesto que los pagos son anuales. Te voy a mostrar dos formas de hacerlo:

Podemos afirmar entonces, que si una persona desea contar con $10.000.000 dentro de 12 años y si le

reconoccen una tasa de interes del 7.2% efectivo anual puede lograrlo ahorrando $514.347 cada año.

514.347

VF

5 124 11

Valor presente de una serie de cuotasFuncion VA()

Datos de entradaTasa nominal 12.0%Periodos 24 Cuota 300,000


Datos de entradaTasa periodica 1.50%Periodos 36Cuota 100,000


La función VA() permite encontrar el valor presente de una anualidad (plan de ahorro), cuando se conocen la tasa de interés, el valor de la cuota y el número de periodos.

Ejemplo 1: Una persona desea efectuar una inversión de tal manera que pueda retirar $300.000, durante los próximos dos años. Cúanto debe invertir hoy al 12% anual nominal liquidado mensualmente?

Observe que en el argumento tasa, hemos calculado directamente la tasa periodica, es decir, las funciones permiten como argumentos operaciones.

Ejemplo 2: Si una persona ahorra mensualmente $100.000 en una cuenta de ahorros durante 36 meses a una tasa del 1.5% mensual, a cuanto dinero equivale a pesos de hoy su ahorro?

Datos de entradaTasa periodica 6%Periodos 10Cuota 5,000,000 Inversión 30,000,000

Procedimiento

Valor presente 36,800,435

Ejemplo 3: A un inversionista se le presenta la siguiente alternativa de inversión: invertir hoy 30 millones de pesos y recibir semestralmente durante 5 años unos ingresos por valor de 5000,000. Si el costo de oportunidad del inversionista es del 6% efectivo semestral, es atractiva esta inversión?

Calculemos en primer lugar el valor presente de la anualidad,es decir a pesos de hoy a cuanto equivalen las 10 cuotas de 4 millones y medio a una tasa del 6% semestral

Significa entonces, que la persona invierte 30 millones y estaría recibiendo 36.800.435, por

tanto la inversión es rentable

Valor presente de una serie de cuotasFuncion VA()

Calculemos el valor presente de la anualidad, utilizando la función VA()

Calculemos el valor presente de la anualidad, utilizando la función VA()

La función VA() permite encontrar el valor presente de una anualidad (plan de ahorro), cuando se conocen la tasa de interés, el valor de la cuota y el número de periodos.

Ejemplo 1: Una persona desea efectuar una inversión de tal manera que pueda retirar $300.000, durante los próximos dos años. Cúanto debe invertir hoy al 12% anual nominal

Observe que en el argumento tasa, hemos calculado directamente la tasa periodica, es decir, las funciones permiten como argumentos operaciones.

Ejemplo 2: Si una persona ahorra mensualmente $100.000 en una cuenta de ahorros durante 36 meses a una tasa del 1.5% mensual, a cuanto dinero equivale a pesos de hoy

Ejemplo 3: A un inversionista se le presenta la siguiente alternativa de inversión: invertir hoy 30 millones de pesos y recibir semestralmente durante 5 años unos ingresos por valor de 5000,000. Si el costo de oportunidad del inversionista es del 6% efectivo semestral, es

Calculemos en primer lugar el valor presente de la anualidad,es decir a pesos de hoy a cuanto equivalen las 10 cuotas de 4 millones y medio a una tasa del 6% semestral

Significa entonces, que la persona invierte 30 millones y estaría recibiendo 36.800.435, por

Valor futuro de una serie de cuotasFuncion VF()

Datos de entradaTasa periodica 1.5%Periodos 36 Cuota 200,000 Tipo 1

ProcedimientoCalculemos el valor futuro de la anualidad utilizando la funicón VA()Valor futuro 9,597,022

Tasa efectiva anual 14%Tasa nominal #ADDIN?Tasa efectiva mensual #ADDIN? 1.1%

Datos de entradaTasa periodica #ADDIN?Periodos 24 Cuota 180,000 Tipo 1

La función VF() permite encontrar el valor futuro de una anualidad, cuando se conocen la tasa de interés, el valor de la cuota y el número de periodos.

Ejemplo 1: Si una persona ahorra mensualmente $200.000 en una cuenta de ahorros durante 36 meses a una tasa del 1.5% mensual, de cuanto dinero dispondrá después de los tres años?

Ejemplo 2: Una persona ahorra $180.000 cada mes durante un año y medio, le reconocen una tasa del 14% anual efectivo. La persona decide dejar el dinero 6 meses ganando intereses, de cuanto dispondrá al cabo de los dos años?

Calculemos en primer lugar la tasa efectiva mensual o tasa periodica. Utilicemos para ello la función =TASA.NOMINAL()

A11

1 significa que el pago se toma como anticipado, es decir, desde el momento en que hace el primer pago se toma como inicio del periodo.

C22

Otro método de calcular la tasa periodica.

Procedimiento

AL final del año y medio Valor futuro #ADDIN?

AL final de los 2 años Valor futuro #ADDIN?

Datos de entradaTasa periodica 0.3%Periodos 120 Cuota 340,000 Tipo 1

ProcedimientoCalculemos el valor futuro de la anualidad utilizando la funicón VA()Valor futuro 49,170,215

Como ya disponemos de tasa periodica, el número de periodos y el valor de la cuota, podemos proceder al cálculo del valor futuro, utilizando la funicón VF()

Ejemplo 3: Una persona compra una poliza de educación para su hijo en la cual se compromete a ahorrar mensualmente la suma de $340.000. Si la tasa de interés que le reconocen es del 1.1% mensual, de cuanto dinero dispondrá dentro de 10 años?

Valor futuro de una serie de cuotasFuncion VF()

Calculemos el valor futuro de la anualidad utilizando la funicón VA()

La función VF() permite encontrar el valor futuro de una anualidad, cuando se conocen la tasa de interés, el

Ejemplo 1: Si una persona ahorra mensualmente $200.000 en una cuenta de ahorros durante 36 meses a una tasa del 1.5% mensual, de cuanto dinero dispondrá después de los tres años?

Ejemplo 2: Una persona ahorra $180.000 cada mes durante un año y medio, le reconocen una tasa del 14% anual efectivo. La persona decide dejar el dinero 6 meses ganando intereses, de cuanto dispondrá al cabo de

Calculemos en primer lugar la tasa efectiva mensual o tasa periodica. Utilicemos para ello la función

Calculemos el valor futuro de la anualidad utilizando la funicón VA()

Como ya disponemos de tasa periodica, el número de periodos y el valor de la cuota, podemos proceder al

Ejemplo 3: Una persona compra una poliza de educación para su hijo en la cual se compromete a ahorrar mensualmente la suma de $340.000. Si la tasa de interés que le reconocen es del 1.1% mensual, de cuanto

Valor presente neto de una serie de flujos de efectivoFuncion VNA()

Datos de entradaTasa de descuento 10%Inversión inicial (15,000,000)Flujo de Efectivo 4,000,000 7,500,000 10,800,000 Año 2 3 4

ProcedimientoCalculemos el valor presente neto utilizando la función VNA()Valor presente neto 2,680,828

Datos de entradaTasa de descuento 7%Inversión inicial (20,000,000)Flujo de Efectivo 0 10,000,000 8,000,000 Año 1 2 3

Procedimiento

La función VNA() permite encontrar el valor presente neto de una inversión a partir de una tasa de descuento y una serie de pagos futuros (valores negativos) e ingresos (valores positivos). El VPN es la ganancia o perdida en terminos del valor del dinero en el tiempo presente. Si el VPN es igual a cero, significará que sólo se ha recuperado la TMAR (tasa mínima aceptable de rendimiento) y, por tanto, debe aceptarse la inversión.

Ejemplo 1: Supongamos que desee realizar una inversión en la que desembolsará $15.000.000 dentro de un año y recibirá ingresos anuales de $4.000.000, $7,500.000 y $10,800.000 en los tres años siguientes. Suponiendo que la tasa anual de descuento sea del 10 por ciento, el valor neto actual de la inversión será:

En el ejemplo anterior se incluye el costo inicial de $15.000.000 como uno de los valores porque el pago ocurre al final del primer período.

Podemos afirmar que 2.680.828 es la ganancia extra despues de haber recuperado la inversión de 15.000.000 con una tasa de referencia del 10%

Ejemplo 2: Suponga que usted puede invertir $20.000.000 en un negocio que le garantiza flujos de efectivo al final de los años 2, 3 y 5 como se indica en la tabla siguiente. Suponga una tasa de interes de 7% compuesto anualmente y encuentre el valor presente neto de los flujos de efectivo

Calculemos el valor presente neto utilizando la función VNA()Valor presente neto (457,313)

En el ejemplo anterior no se incluye el costo inicial de $20.000.000 como uno de los flujos de efectivo porque la inversión ocurre al comienzo del primer período.

Como el valor presente neto es negativo podemos afirmar que el negocio no es rentable,

pues se obtendria una perdida de 457.313, es decir las ganancias no son suficientes para

recuperar el dinero invertido.

Valor presente neto de una serie de flujos de efectivoFuncion VNA()

0 6,000,000 4 5

La función VNA() permite encontrar el valor presente neto de una inversión a partir de una tasa de descuento y una serie de pagos futuros (valores negativos) e ingresos (valores positivos). El VPN es la ganancia o perdida en terminos del valor del dinero en el tiempo presente. Si el VPN es igual a cero, significará que sólo se ha recuperado la TMAR (tasa mínima aceptable de rendimiento) y, por tanto, debe aceptarse la inversión.

Ejemplo 1: Supongamos que desee realizar una inversión en la que desembolsará $15.000.000 dentro de un año y recibirá ingresos anuales de $4.000.000, $7,500.000 y $10,800.000 en los tres años siguientes. Suponiendo que la tasa anual de descuento sea del

En el ejemplo anterior se incluye el costo inicial de $15.000.000 como uno de los valores

Podemos afirmar que 2.680.828 es la ganancia extra despues de haber recuperado la

Ejemplo 2: Suponga que usted puede invertir $20.000.000 en un negocio que le garantiza flujos de efectivo al final de los años 2, 3 y 5 como se indica en la tabla siguiente. Suponga una tasa de interes de 7% compuesto anualmente y encuentre el valor presente neto de los

En el ejemplo anterior no se incluye el costo inicial de $20.000.000 como uno de los flujos de efectivo porque la inversión ocurre al comienzo del primer período.

Como el valor presente neto es negativo podemos afirmar que el negocio no es rentable,

pues se obtendria una perdida de 457.313, es decir las ganancias no son suficientes para

Tasa interna de retorno de una serie de flujos de efectivoFuncion TIR()

Datos de entradaMes Inversión inicial (500,000)

1

Flu

jos

de E

fect

ivo

80,000

2 80,000

3 80,000

4 80,000

5 80,000

6 80,000

7 80,000

8 80,000

ProcedimientoCalculemos la tasa interna de retorno utilizando la función TIR()Tasa Interna de Retorno 5.8%

La función TIR calcula la tasa interna de retorno, la cual equivale a la tasa producida por un proyecto

de inversión con pagos (valores negativos) e ingresos (valores positivos) que ocurren en periodos

regulares. Estos valores o flujos de caja no tienen por que ser constantes, como en el caso de una

anualidad. Pero si deben ocurrir en intervalos regulares, como meses o años.

• TIR interpreta el orden de los flujos de caja siguiendo el orden del argumento valores. Deben introducirse valores de los pagos e ingresos en el orden correcto.

• El argumento valores debe contener al menos un valor positivo y uno negativo para calcular la tasa interna de retorno.

• Estimar: es un número que se estima que se aproxima al resultado TIR. En la mayoría de los casos no se necesita proporcionar el argumento estimar, se supone que es del 10%.

• Una condición indispensable para que exista una TIR real es que las ganancias futuras sean iguales o mayores a la inversión inicial.

Ejemplo 1: Se invierten $500.000 con la expectativa de recibir $80.000 al final de cada uno de los siguientes 8 meses. ¿Cuál es la tasa interna de rendimiento de la inversión?

Podemos afirmar que como la TIR del 5,8% es menor que la tasa mínima aceptable de rendimiento (10%), la inversión no es aceptable.

Ejemplo 2: Una persona invierte $8464.000 a cambio de recibir $3000.000 al final del año uno, $3500000 al final del año tres, $4000,000 al final del año cuatro y $5000.000 al final del año cinco. ¿Cuál es la tasa de interes que recibira por su inversión?

Datos de entradaMes Inversión inicial (8,464,000)

1 3,000,000

2 0

3 3,500,000

4 4,000,000

5 5,000,000

Procedimiento

Calculemos la tasa interna de retorno utilizando la función TIR()Tasa Interna de Retorno 20.0%

Conclusiones:Análisis de una alternativaSi VPN ≥ 0 y TIR ≥ TMAR → Acéptese la inversiónSi VPN < 0 y TIR < TMAR → Rechácese la inversión

Análisis de dos o mas alternativasSeleccione la alternativa d emayor VPN. No utilice la TIR como método de análisis.

Flu

jos

de

Efe

ctiv

o

Podemos afirmar que como la TIR del 20% es mayor que la tasa mínima aceptable de rendimiento (10%), la inversión es aceptable.

Tasa interna de retorno de una serie de flujos de efectivoFuncion TIR()

La función TIR calcula la tasa interna de retorno, la cual equivale a la tasa producida por un proyecto

de inversión con pagos (valores negativos) e ingresos (valores positivos) que ocurren en periodos

regulares. Estos valores o flujos de caja no tienen por que ser constantes, como en el caso de una

anualidad. Pero si deben ocurrir en intervalos regulares, como meses o años.

TIR interpreta el orden de los flujos de caja siguiendo el orden del argumento valores. Deben

El argumento valores debe contener al menos un valor positivo y uno negativo para calcular la tasa

es un número que se estima que se aproxima al resultado TIR. En la mayoría de los casos no se necesita proporcionar el argumento estimar, se supone que es del 10%.

Una condición indispensable para que exista una TIR real es que las ganancias futuras sean iguales

Ejemplo 1: Se invierten $500.000 con la expectativa de recibir $80.000 al final de cada uno de los siguientes 8 meses. ¿Cuál es la tasa interna de rendimiento de la inversión?

Podemos afirmar que como la TIR del 5,8% es menor que la tasa mínima aceptable de rendimiento

Ejemplo 2: Una persona invierte $8464.000 a cambio de recibir $3000.000 al final del año uno, $3500000 al final del año tres, $4000,000 al final del año cuatro y $5000.000 al final del año cinco.

Conclusiones:

Seleccione la alternativa d emayor VPN. No utilice la TIR como método de análisis.

Podemos afirmar que como la TIR del 20% es mayor que la tasa mínima aceptable de rendimiento

CONVERSION DE EFECTIVA A EFECTIVA

De mayor a menor

Método A

Método B

1. Conviertes la tasa efectiva dada a tasa nominal con la función TASA.NOMINAL

2. Luego conviertes la tasa nominal a efectiva, para ello, divides la tasa nominal anterior por n.

De menor a mayor

Método A

Método B

i efectivo tasa menor = (1+ i efectivo tasa mayor)1/n -1

i efectivo tasa mayor = (1+ i efectivo tasa menor)n -1

1. Conviertes la tasa efectiva dada a tasa nominal, para ello, multiplicas la tasa efectiva dada por n

2. Luego conviertes esta tasa nominal a efectiva usando la función Effect

CONVERSION DE EFECTIVA A EFECTIVA

1. Conviertes la tasa efectiva dada a tasa nominal con la función TASA.NOMINAL

2. Luego conviertes la tasa nominal a efectiva, para ello, divides la tasa nominal anterior por n.

Conviertes la tasa efectiva dada a tasa nominal, para ello, multiplicas la tasa efectiva dada por n

Luego conviertes esta tasa nominal a efectiva usando la función Effect

Taller

Página 39

APLICACIONES FINANCIERAS

1. Realice una tabla de amortización para una persona que recibió un préstamo por la suma de $12.500.000

para ser amortizado en 24 cuotas mensuales de igual valor, con una tasa de interés efectiva anual del 22.92%

Valor Actual $ (12,500,000)

Tasa periodica 1.73%

Periodos 24

Cuota o pago $ 641,184

No PERIODO FECHA DE PAGO ABONO A CAPITAL

1 2/16/2010 $ 424,363

2 3/16/2010 $ 431,724

3 4/16/2010 $ 439,213

4 5/16/2010 $ 446,831

5 6/16/2010 $ 454,582

6 7/16/2010 $ 462,467

7 8/16/2010 $ 470,488

8 9/16/2010 $ 478,649

9 10/16/2010 $ 486,952

10 11/16/2010 $ 495,398

11 12/16/2010 $ 503,991

12 1/16/2011 $ 512,734

13 2/16/2011 $ 521,627

14 3/16/2011 $ 530,675

15 4/16/2011 $ 539,880

Taller

Página 40

16 5/16/2011 $ 549,245

17 6/16/2011 $ 558,772

18 7/16/2011 $ 568,464

19 8/16/2011 $ 578,324

20 9/16/2011 $ 588,356

21 10/16/2011 $ 598,561

22 11/16/2011 $ 608,944

23 12/16/2011 $ 619,506

24 1/16/2012 $ 630,252

$ 12,500,000

2. Un estudiante de la Universidad de Santiago de Cali que se encuentra en primer semestre, decide ahorrar

al comienzo de cada semestre la suma de $300.000. Si el estudiante regularmente capitaliza la misma suma durante

5 años y la corporación le reconoce una tasa de interés del 12.7% anual compuesto semestralmente. Cuánto dinero

podrá retirar el alumno al cabo de 5 años?

3. Realice el ejercicio anterior usando fórmulas y no funciones, para ello utilice la tabla de la parte inferior:

Tasa 6.35%

No. De periodos 10

Valor Inversion $ 300,000

FECHA CUOTA INTERES

1/23/2010 $ 300,000 $ 19,050

7/23/2010 $ 300,000 $ 39,310

1/23/2011 $ 300,000 $ 60,856

7/23/2011 $ 300,000 $ 83,770

1/23/2012 $ 300,000 $ 108,140

Taller

Página 41

7/23/2012 $ 300,000 $ 134,056

1/23/2013 $ 300,000 $ 161,619

7/23/2013 $ 300,000 $ 190,932

1/23/2014 $ 300,000 $ 222,106

7/23/2014 $ 300,000 $ 255,260

4. La compañía Comercial Sánchez Ltda. Obtuvo la financiación de un activo fijo con un plazo de 18 meses y

con un interés efectivo trimestral del 5%, tiene que amortizar una cuota de $1.200.000 mensualmente.

Cuál fue el valor del Préstamo ? Cuánto costo el activo, si le financiaron el 80% del mismo ?

5. El profesor Londoño compro un automóvil, que tiene un costo de $25,000,000. La financiera FUNDAUSACA le

prestó el 75% del costo total del vehículo, si la financiera cobra una tasa de interés del 7,419% efectiva

semestral y le exigió al cliente el pago de cuotas fijas mensuales de $1.205.051,63 Cuántas cuotas

mensuales debe pagar el señor Londoño para amortizar el crédito.

6. El señor Londoño quiere conocer el valor que abona a capital y lo que corresponde a sus intereses en el

mes 12 de su deuda?. Además quiere saber en total cuánto paga de intereses?

7. Antonio Guzman cliente del Banco Solidario tiene que pagar la suma de $300.000 mensualmente durante

30 meses para amortizar la suma de $7.000.000 que le prestaron para adquirir una maquinaria, para

ensanche de su empresa. Cuál es la tasa de interés mensual que cobra el banco ?

Taller

Página 42

8. Un padre de familia pensando que su hijo tiene que ingresar a la Universidad quiere capitalizar durante 1

año y medio, en una entidad que reconoce una tasa de interés anual del 9,3% compuesto mensualmente.

Cuánto debe ahorrar mensualmente si espera tener $3.200.000 para cancelar la matricula de su hijo ?

9. Durante cuántos trimestres se debe capitalizar $400.000 en una financiera que reconoce un interés efectivo

mensual del 0,5%, para alcanzar un capital de $5.000.000 ?

10. Cuánto dinero hay que depositar al comienzo de cada periodo de 6 meses, si el objetivo es acumular

$5'000.000 al momento de realizar el vigésimo depósito? Suponga que se obtienen intereses a una tasa

del 9.2% efectivo anual. Cuánto se recibirá por concepto de intereses?

11. Se va a formar un fideicomiso para una niña de 10 años, mediante un solo pago, de manera que cuando la

niña tenga 18 años reciba $20'000.000. Determinar de cuánto debe ser el pago si se supone una tasa de

interés del 10,5% compuesto semestralmente.

12. Se colocan $200.000 en una cuenta de ahorros, al comienzo de cada mes, durante dos años. Si no se

hacen más depósitos, A.) Cuánto dinero hay en la cuenta después de cuatro años y B.) Qué tanto de esa

cantidad corresponde a intereses compuestos? Supóngase que la cuenta de ahorros paga el 10.3%

compuesto mensualmente.

13. Una persona recibió una herencia de $200'000.000. Quiere invertir una parte de ella para su vejez. Su

Taller

Página 43

meta es acumular $300'000.000 en 15 años. Qué parte de la herencia deberá invertir si el dinero producirá

12% anual capitalizable semestralmente? Cuánto recibirá por concepto de intereses en 15 años?

14. Para la compra de un automóvil se necesita liquidar un préstamo por $18'000.000 si los intereses se

calculan al 17.57% efectiva anual. Determine el pago mensual y el total de intereses pagados, si el

préstamo se hace a 3 años.

15. Se invierte una fuerte suma de dinero a una tasa de 10% anual, capitalizable trimestralmente. Cuánto

tardará en duplicarse? Y en triplicarse? En aumentar un 50% ?



interés del 8,5% compuesto trimestralmente.

17. Un matrimonio estima que puede pagar una hipoteca mensual de $800.000. Averigua por lo menos en dos bancos,

cual es la tasa nominal que se esta cobrando para vivienda. ¿Cuál será el máximo préstamo

hipotecario que puede pagar ese matrimonio si lo realiza a 15 años?

Ayudalos a realizar la tabla de amortizacion.

18. Una persona desea adquirir un apartamento por un valor de $80.000.000. El banco le financia el 70% a un plazo

de 15 años y una tasa del 16,5% efectivo anual con cuotas fijas mensuales.

Cuál es el valor de la cuota fija mensual? El banco considera que el valor de la cuota mensual no debe exced

Taller

Página 44

40% del ingreso mensual.

Cuál es el valor mínimo del ingreso para que la persona pueda acceder a este crédito?

Si la persona comprueba ingresos mensuales por $1.900.000 y se aplica la política del banco en cuanto a los ingresos

mensuales, como debe modificarse el plazo?

Si el plazo máximo es de 15 años, cuál será el máximo valor del crédito?

19. Una inversión inicial de $25.000.000 garantiza un flujo de efectivo para el año 3 de $8.000.000, para el año 4

de $10.000.000 y para el año 6 de $14.000.000. Suponga una tasa de ínteres de 5% compuesto semestralmente.

Encuentre el valor presente neto de los flujos de efectivo.

¿ Es redituable la inversión?

20. Repita el problema 19 para la tasa de interes del 6% compuesto semestralmente.

21. Una persona tiene dos alternativas de inversión, ambas de $15.000.000. Sin embargo, la primera ofrece un

de $5.500.000 al final de cada uno de los próximos 4 años; por otra parte, la segunda ofrece unpago unico

$27.500.000 al final de los 4 años. Si la TMAR = 15%, decida cual alternativa debe seleccionarse.

Analise las alternativas bajo los métodos de VPN y TIR.

Qué puede concluir sobre las alternativas de inversión?

22. Se han invertido $32.000.000 en un negocio que, según los cálculos, proporcionará ingresos de $7.500.000 el

primer año, con incrementos de $500.000 anualmente, durante 5 años. Al final de este tiempo los activos que

queden de la inversión podrian venderse en $5.000.000. Si la TMAR del inversionista es 15% anual, determinese

el VPN de los flujos de efectivo.

23. Un estudio de factibilidad arrojó las siguientes cifras: inversión inicial $940.000; beneficio neto el primer año,

$105.000 con incremento de $25.000 en cada uno de los años siguientes; valor de salvamento $150.000 al final

del año 5. La inversión se planea para un periodo de 5 años. Si la TMAR considerada es de 6% anual, determinese

la conveniencia económica de hacer la inversión, por medio de la TIR.

Taller

Página 45

Que puede concluir acerca de la TIR como herramienta de evaluación de proyectos de inversión?

Utilice el método del VPN para evaluar la inversión?

Taller

Página 46


1. Realice una tabla de amortización para una persona que recibió un préstamo por la suma de $12.500.000


PAGO DE INTERES CUOTA SALDO

$ 216,821 $ 641,184 $12,075,637

$ 209,460 $ 641,184 $11,643,913

$ 201,972 $ 641,184 $11,204,700

$ 194,353 $ 641,184 $10,757,869

$ 186,603 $ 641,184 $10,303,287

$ 178,718 $ 641,184 $ 9,840,821

$ 170,696 $ 641,184 $ 9,370,332

$ 162,535 $ 641,184 $ 8,891,683

$ 154,232 $ 641,184 $ 8,404,731

$ 145,786 $ 641,184 $ 7,909,332

$ 137,193 $ 641,184 $ 7,405,341

$ 128,451 $ 641,184 $ 6,892,607

$ 119,557 $ 641,184 $ 6,370,980

$ 110,509 $ 641,184 $ 5,840,305

$ 101,304 $ 641,184 $ 5,300,425

Taller

Página 47

$ 91,939 $ 641,184 $ 4,751,180

$ 82,412 $ 641,184 $ 4,192,408

$ 72,720 $ 641,184 $ 3,623,944

$ 62,860 $ 641,184 $ 3,045,619

$ 52,828 $ 641,184 $ 2,457,264

$ 42,623 $ 641,184 $ 1,858,702

$ 32,240 $ 641,184 $ 1,249,758

$ 21,678 $ 641,184 $ 630,252

$ 10,932 $ 641,184 $ -

$ 2,888,422 $ 15,388,422

2. Un estudiante de la Universidad de Santiago de Cali que se encuentra en primer semestre, decide ahorrar



3. Realice el ejercicio anterior usando fórmulas y no funciones, para ello utilice la tabla de la parte inferior:

SALDO

$ 319,050

$ 658,360

$ 1,019,216

$ 1,402,986

$ 1,811,125

Taller

Página 48

$ 2,245,182

$ 2,706,801

$ 3,197,733

$ 3,719,839

$ 4,275,098

4. La compañía Comercial Sánchez Ltda. Obtuvo la financiación de un activo fijo con un plazo de 18 meses y

con un interés efectivo trimestral del 5%, tiene que amortizar una cuota de $1.200.000 mensualmente.

Cuál fue el valor del Préstamo ? Cuánto costo el activo, si le financiaron el 80% del mismo ?

5. El profesor Londoño compro un automóvil, que tiene un costo de $25,000,000. La financiera FUNDAUSACA le

prestó el 75% del costo total del vehículo, si la financiera cobra una tasa de interés del 7,419% efectiva

semestral y le exigió al cliente el pago de cuotas fijas mensuales de $1.205.051,63 Cuántas cuotas

mensuales debe pagar el señor Londoño para amortizar el crédito.

6. El señor Londoño quiere conocer el valor que abona a capital y lo que corresponde a sus intereses en el

mes 12 de su deuda?. Además quiere saber en total cuánto paga de intereses?

7. Antonio Guzman cliente del Banco Solidario tiene que pagar la suma de $300.000 mensualmente durante

30 meses para amortizar la suma de $7.000.000 que le prestaron para adquirir una maquinaria, para

ensanche de su empresa. Cuál es la tasa de interés mensual que cobra el banco ?

Taller

Página 49

8. Un padre de familia pensando que su hijo tiene que ingresar a la Universidad quiere capitalizar durante 1

año y medio, en una entidad que reconoce una tasa de interés anual del 9,3% compuesto mensualmente.

Cuánto debe ahorrar mensualmente si espera tener $3.200.000 para cancelar la matricula de su hijo ?

9. Durante cuántos trimestres se debe capitalizar $400.000 en una financiera que reconoce un interés efectivo

mensual del 0,5%, para alcanzar un capital de $5.000.000 ?

10. Cuánto dinero hay que depositar al comienzo de cada periodo de 6 meses, si el objetivo es acumular

$5'000.000 al momento de realizar el vigésimo depósito? Suponga que se obtienen intereses a una tasa

del 9.2% efectivo anual. Cuánto se recibirá por concepto de intereses?



12. Se colocan $200.000 en una cuenta de ahorros, al comienzo de cada mes, durante dos años. Si no se

hacen más depósitos, A.) Cuánto dinero hay en la cuenta después de cuatro años y B.) Qué tanto de esa

cantidad corresponde a intereses compuestos? Supóngase que la cuenta de ahorros paga el 10.3%

13. Una persona recibió una herencia de $200'000.000. Quiere invertir una parte de ella para su vejez. Su

Taller

Página 50


12% anual capitalizable semestralmente? Cuánto recibirá por concepto de intereses en 15 años?

14. Para la compra de un automóvil se necesita liquidar un préstamo por $18'000.000 si los intereses se

calculan al 17.57% efectiva anual. Determine el pago mensual y el total de intereses pagados, si el

15. Se invierte una fuerte suma de dinero a una tasa de 10% anual, capitalizable trimestralmente. Cuánto

tardará en duplicarse? Y en triplicarse? En aumentar un 50% ?




cual es la tasa nominal que se esta cobrando para vivienda. ¿Cuál será el máximo préstamo

hipotecario que puede pagar ese matrimonio si lo realiza a 15 años?


de 15 años y una tasa del 16,5% efectivo anual con cuotas fijas mensuales.

Cuál es el valor de la cuota fija mensual? El banco considera que el valor de la cuota mensual no debe exced

Taller

Página 51

Cuál es el valor mínimo del ingreso para que la persona pueda acceder a este crédito?

Si la persona comprueba ingresos mensuales por $1.900.000 y se aplica la política del banco en cuanto a los ingresos

Si el plazo máximo es de 15 años, cuál será el máximo valor del crédito?



20. Repita el problema 19 para la tasa de interes del 6% compuesto semestralmente.

21. Una persona tiene dos alternativas de inversión, ambas de $15.000.000. Sin embargo, la primera ofrece un

de $5.500.000 al final de cada uno de los próximos 4 años; por otra parte, la segunda ofrece unpago unico

$27.500.000 al final de los 4 años. Si la TMAR = 15%, decida cual alternativa debe seleccionarse.


primer año, con incrementos de $500.000 anualmente, durante 5 años. Al final de este tiempo los activos que

queden de la inversión podrian venderse en $5.000.000. Si la TMAR del inversionista es 15% anual, determinese

23. Un estudio de factibilidad arrojó las siguientes cifras: inversión inicial $940.000; beneficio neto el primer año,

$105.000 con incremento de $25.000 en cada uno de los años siguientes; valor de salvamento $150.000 al final

del año 5. La inversión se planea para un periodo de 5 años. Si la TMAR considerada es de 6% anual, determinese

la conveniencia económica de hacer la inversión, por medio de la TIR.

Taller

Página 52

Que puede concluir acerca de la TIR como herramienta de evaluación de proyectos de inversión?

Taller

Página 53



180000000

3.34%

5

$ 33,671,421.29

$ 1,284,343.88 6,421,719.42

###

$ 10,609,081

$ 33,671,421.29

$ 1,284,343.88

$ 174,778,825.89

Taller

Página 54

$4,275,098 $ 4,275,098



Taller

Página 55

$16,034,155 3.34% 180,000,000.00 €

$20,042,693 12,486,979.37 €

249,739,58769,739,587.43

17.3

$1,117,473 18,750,000.00 €

$87,578 0.0120

$2,128,370 $ 2,128,369 $20,847,382

1.7%

Taller

Página 56

$165,074 $ 165,074

11.38 11,38 trimestre 4552000

$4,512,081

$487,919

$5,350,549

($6,568,727)

Taller

Página 57


$635,460

$4,876,576

28

44

16

$60,371,273



$797,997 56,000,000

Taller

Página 58

180

$1,994,993

Si la persona comprueba ingresos mensuales por $1.900.000 y se aplica la política del banco en cuanto a los ingresos 7,600,000

226 760,000

53,333,514 0.27



$515,623 5.06%

NO 6.09%

($586,715)

$ 702,380.99 TIR

17.30% AÑO -15000000

$ 723,214.25 1 0

16.36% 2 0

3 0

4 27500000


primer año, con incrementos de $500.000 anualmente, durante 5 años. Al final de este tiempo los activos que VPN

queden de la inversión podrian venderse en $5.000.000. Si la TMAR del inversionista es 15% anual, determinese AÑO -32000000

($1,485,382) 1 7500000

2 8000000

23. Un estudio de factibilidad arrojó las siguientes cifras: inversión inicial $940.000; beneficio neto el primer año, 3 8500000

$105.000 con incremento de $25.000 en cada uno de los años siguientes; valor de salvamento $150.000 al final 4 9000000

del año 5. La inversión se planea para un periodo de 5 años. Si la TMAR considerada es de 6% anual, determinese 5 14500000

($187,249) AÑO -940000

Taller

Página 59

-0.45% 1 105000

2 130000

3 155000

4 180000

5 355000

Taller

Página 60

11,642,893.53

Taller

Página 61

152,538

1,949,234

8,820,157

52,233,039

Taller

Página 62

247,766,961

49,676,450

Taller

Página 63

VPN

-15000000

5500000

5500000

5500000

5500000

Material Pedagogico y Taller de Funciones Financier As Final

Documents

Transcript of Material Pedagogico y Taller de Funciones Financier As Final