Material Semana 6 Matemática Ecuaciones Lineales y Cuadráticas Versión PDF
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MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
Curso de Nivelación 2014
Universidad de El Salvador, Derechos Reservados ador, Derechos Reservados
Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 2013
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
CURSO DE NIVELACIÓN PARA NUEVO INGRESO 2014
MATEMÁTICA
CURSO DE MATEMÁTICA EN LÍNEA
Contenido
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES ............................................................................................ 1
APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES .............................................................................................. 2
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS .................................................................................. 5
APLICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS ................................................................................... 7
1 Universidad de El Salvador, Derechos Reservados 2013
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
CURSO DE NIVELACIÓN PARA NUEVO INGRESO 2014
MATEMÁTICA
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
2S i e s u n a v a r ia b le , e n to n c e s la s e x p re s io n e s ta le s c o m o 5 0 ó 5 4
s e d e n o m in a n e c u a c io n e s e n la v a r ia b le .
S i a l s u s t i tu ir p o r e l n ú m e ro re s u lta u n a p ro p o s ic ió n v e rd a d e ra , e n to n c e s
d ire m o s
x x x x
x
x r
- = - =
q u e e s u n a ra íz o s o lu c ió n d e la e c u a c ió n .r
Al conjunto formado por todas las soluciones le llamaremos conjunto solución.
Ecuaciones equivalente son aquéllas ecuaciones que tienen el mismo conjunto
solución.
Para resolver una ecuación (Calcular su conjunto solución), utilizamos la ley
cancelativa de la suma y del producto para obtener una serie de ecuaciones
equivalentes, cada una de las cuales será, en algún sentido más simple que la
anterior, de tal manera que en la última ecuación equivalente la solución se obtenga
por simple inspección.
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CURSO DE NIVELACIÓN PARA NUEVO INGRESO 2014
MATEMÁTICA
APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES
( ) ( )
E je m p lo . C á lc u le e l c o n ju n to s o lu c ió n d e :
4 1 9
S o lu c ió n :
4 1 9
4 1 1 9 1 (P ro p ie d a d d e la ig u a ld a d )
4 9 1 (E le m e n to in v e rs o a d i t iv o y e le m e n to n e u tro y
le y a s o c ia t iv a )
4 8 (S
x
x
x
x
x
+ =
+ =
+ + - = + - ¬
= - ¬
= ¬
( ) ( )
{ }
im p lif ic a n d o )
1 14 8 ( E le m e n to in v e rs o m u lt ip lic a t iv o y p ro p ie d a d
4 4
d e la ig u a ld a d )
8( L e y a s o c ia t iv a y e le m e n to n e u tro p a ra e l p ro d u c to )
4
2 2
x
x
x s
= ¬
= ¬
= ® =
Del ejemplo anterior se obtiene dos leyes, muy prácticas, para resolver ecuaciones:
a) Si en ambos miembros de una ecuación no existen símbolos de agrupación (
( ), {},[],- ), entonces si un término está sumando (restando) en un miembro
pasa a restar (sumar) en el otro miembro.
b) Si una expresión algebraica divide (multiplica) a todo un miembro de la
ecuación pasa a multiplicar (dividir) a todo el otro miembro de la ecuación.
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MATEMÁTICA
{ }
E je m p lo . C á lc u le e l c o n ju n to s o lu c ió n d e :
1 ) 5 6 1 0 5
S o lu c ió n :
5 6 1 0 5
5 1 0 5 6
5 1 0 1
5 1 0 1
5 1
1
5
1 / 5 1 / 5
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x s
+ = +
+ = +
= + -
= -
- = -
- = -
-=-
= ® =
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
2 ) 3 5 3 8 5 9
S o lu c ió n :
3 5 3 8 5 9
3 5 3 8 5 9
3 5 3 8 5 9
3 3 3 9
3 3 9 3
3 3 6
3 3 6
6 6
6
6
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ - - + = + - -é ùë û
+ - - + = + - -é ùë û
+ - - - = - -
- - - = - -
- - = -
- = - +
- = -
- - = -
- = -
-=-
{ }1 1x s= ® =
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MATEMÁTICA
( )
( )
23 ) 3
2 2
S o lu c ió n :
¡O b s e rv e q u e 2 n o p e r te n e c e a l c o n ju n to s o lu c ió n !
2 3
2 2
2 2 3
2
2 2 3
2 3 6
4 3
3 4
4 4
4
4
1
x
x x
x
x
x x
x xx
x x
x x
x x
x x
x
x
x
= -+ +
= -
= -+ +
é ù= + -ê ú+ë û
= - +
= - -
= - -
+ = -
= -
-=
= - ® { }1s = -
Ejercicios: Despeje la variable indicada (despejar una variable significa que
dicha variable solo aparece en un miembro con coeficiente uno y no aparece en
el otro miembro)
( )
( )
1 ) ,
S o lu c ió n :
1
1
as a
a p
as
a p
s a p a
sa sp a
sa sp a
sa a sp
s a sp
spa
s
=-
=-
- =
- =
= +
- =
- =
=-
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( )
( )
1 2
1
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2 1 2
2
1 2
2
2
1
2
2 ) ,
S o lu c ió n :
0
, 0
R RR R
R R
R RR
R R
R R R R R
R R R R R R
R R R R R R
R R R R R R
R R R R R
R RR R R
R R
R RR
R R
=+
=+
+ =
+ =
+ - =
- = -
- = -
-= - ¹
-
=-
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
2L a e c u a c ió n d e s e g u n d o g ra d o t ie n e la fo rm a 0 .
D e a c u e rd o a l te o re m a d e la s ra íc e s , la e c u a c ió n d e s e g u n d o g ra d o t ie n e
2 ra íc e s .
D e d u c ire m o s u n a fó rm u la q u e n o s p e rm ita c a lc u la r la s s o lu c io n e s
a x b x c+ + =
d e la
e c u a c ió n d e s e g u n d o g ra d o .
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2
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
0 , 0
0
0
02 2
2 4
2 4
a x b x c a
a x b x c
a a
b cx x
a a
b b c bx x
a a a a
b c bx
a a a
b c bx
a a a
+ + = ¹
+ +=
æ ö+ + =ç ÷è ø
æ öæ ö æ ö æ ö+ + + = +ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø è øè ø
æ ö+ + =ç ÷
è ø
æ ö+ = - +ç ÷
è ø
2 2
2
2
2
2
2
2
4
2 4
4
2 4
4
2 2
4
2 2
4
2
b a c bx
a a
b b a cx
a a
b b a cx
a a
b b a cx
a a
b b a cx
a
- +æ ö+ =ç ÷
è ø
-+ = ±
-+ = ±
-= - ±
- ± -=
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APLICACIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
E je m p lo . C á lc u le e l c o n ju n to s o lu c ió n d e :
1 ) 4 2 1 0 S o lu c ió n :
) U n a m a n e ra
1, 4 , 2 1
4
2
4 4 4 1 2 1
2 1
4 1 6 8 4
2
x x
a
a b c
b b a cx
a
x
x
+ - =
= = = -
- ± -=
- ± - -=
- ± +=
{ }
1 2
4 1 0 0
2
4 1 0
2
2 5
2 5 3, 2 5 7
s 7 , 3
x
x
x
x x
- ±=
- ±=
= - ±
= - + = = - - = -
= -
( ) ( )
{ }
2
) O tra fo rm a
4 2 1 0
7 3 0
7 0 7
7 , 3
3 0 3
b
x x
x x
x x
s
x x
+ - =
+ - =
+ = ® = -
Þ = -
- = ® =
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( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2 ) 6 4 0
S o lu c ió n :
1, 6 , 4
4
2
6 6 4 1 4
2 1
6 3 6 1 6
2
x x
a b c
b b a cx
a
x
x
- + =
= = - =
- ± -=
- - ± - -=
± -=
( )
( ) ( ){ }
1 2
6 2 0
2
6 4 5
2
6 4 5
2
6 2 5
2
3 5 3 5 , 3 5
s 3 5 , 3 5
x
x
x
x
x x x
±=
±=
±=
±=
= ± ® = + = -
= - +