MATERIALES FERROMAGNETICOSLos materiales ferromagnticos, compuestos de hierro y sus aleaciones con cobalto, tungsteno, nquel, aluminio y otros metales, son los materiales magnticos ms comunes y se utilizan para el diseo y constitucin de ncleos de los transformadores y maquinas elctricas. En un transformador se usan para maximizar el acoplamiento entre los devanados, as como para disminuir la corriente de excitacin necesaria para la operacin del transformador. En las maquinas elctricas se usan los materiales ferromagnticos para dar forma a los campos, de modo que se logren hacer mximas las caractersticas de produccin de par.Estos materiales han evolucionado mucho con el paso del tiempo lo que implica mas eficiencia, reduccin de volmenes y costo, en el diseo de transformadores y maquinas elctricas.Los materiales ferromagnticos poseen las siguientes propiedades y caractersticas que se detallan a continuacin.Propiedades de los materiales ferromagneticos. Aparece una gran induccin magntica al aplicarle un campo magntico. Permiten concentrar con facilidad lneas de campo magntico, acumulando densidad de flujo magntico elevado. Se utilizan estos materiales para delimitar y dirigir a los campos magnticos en trayectorias bien definidas. Permite que las maquinas elctricas tengan volmenes razonables y costos menos excesivos. Caractersticas de los materiales ferromgneticos.Los materiales ferromgneticos se caracterizan por uno o varios de los siguientes atributos: Pueden imanarse mucho ms fcilmente que los dems materiales. Esta caracterstica viene indicada por una gran permeabilidad relativa / r. Tienen una induccin magntica intrnseca mxima Bmax muy elevada. Se imanan con una facilidad muy diferente segn sea el valor del campo magntico. Este atributo lleva una relacin no lineal entre los mdulos de induccin magntica(B) y campo magntico. Un aumento del campo magntico les origina una variacin de flujo diferente de la variacin que originaria una disminucin igual de campo magntico. Este atributo indica que las relaciones que expresan la induccin magntica y la permeabilidad ( ) como funciones del campo magntico, no son lineales ni uniformes. Conservan la imanacin cuando se suprime el campo. Tienden a oponerse a la inversin del sentido de la imanacin una vez imanados. Materiales ferromagnticos para transformadores:La aleacin ferromagntica ms utilizada para el diseo de ncleos de transformadores es la aleacin hierro-silicio, esta aleacin es la producida en mayor cantidad y esta compuesta por hierro esencialmente puro con 1-6% de silicio, dependiendo este porcentaje del fin a que se destine el material. Dando a esta aleacin un tratamiento trmico adecuado, se obtiene un material que comparado con el hierro, tiene mejores propiedades magnticas para campos magnticos dbiles, una resistividad mayor y sufren perdidas totales menores en el ncleo. Esta aleacin se lamina en chapas y flejes, principalmente de espesores comprendidos entre 0,35 y 0,635 mm recocidos; en el lenguaje corriente se le conoce con el nombre de acero al silicio o Chapa magntica.Las chapas de mejor calidad presentan mayor contenido en silicio, entre el 4 y el 5. El silicio eleva la dureza del material, por lo que su porcentaje se determina segn el empleo al que se designa la chapa. Para maquinas rotatorias el limite superior es aproximadamente del 4%, teniendo en cuenta el peligro de la fragilidad. Tambin se prefieren chapas de menor contenido de silicio cuando las densidades de funcionamiento son elevadas o cuando se desea una elevada conductividad calorfica. Las perdidas en el ncleo y el coeficiente de envejecimiento aumentan al disminuir el contenido de silicio.La fabricacin de la chapa magntica ha llegado a estar normalizada en considerable extensin por lo que los datos magnticos publicados por diversos fabricantes no se diferencian, calidad por calidad, excesivamente.Aislamiento interlaminarEl aislamiento interlaminar se consigue formando una capa de xido natural sobre la superficie de la chapa magntica laminada plana o aplicando un revestimiento superficial. Evidentemente este tratamiento no reduce las corrientes parsitas en el interior de las chapas. Generalmente se consigue una mejora en la resistencia entre chapas recociendo la chapa bajo condiciones ligeramente oxidantes que aumentan el espesor del xido superficial y cortando entonces las formas acabadas para los ncleos.Los revestimientos o acabados de aislamiento pueden clasificarse ampliamente en orgnicos o inorgnicos:a) El aislamiento orgnico consiste, en general, en esmaltes o barnices que se aplican a la superficie del acero para proporcionar una resistencia interlaminar.La chapa magntica laminada plana con revestimiento de tipo orgnico no puede recibir un recocido de distensin sin perjudicar el valor aislante de la capa. Esta, sin embargo, resiste las temperaturas de funcionamiento normales. Algunos aislamientos orgnicos son apropiados slo en ncleos refrigerados por aire, mientras que otros pueden ser apropiados para ncleos de transformadores tanto del tipo refrigerado por aire como los de bao de aceite. El espesor de este tipo de aislamiento es de aproximadamente de 2,5 m.b) El aislamiento inorgnico se caracteriza, en general, por una elevada resistencia y por la capacidad de resistir las temperaturas necesarias para el recocido de distensin. Esta ideado para ncleos de transformadores refrigerados por aire o en bao de aceite.CAMPO MAGNETICOLa corriente elctrica va siempre acompaada de fenmenos magnticos. Este efecto de la corriente elctrica desempea una funcin importante en casi todos los aparatos y mquinas elctricas.El espacio en que actan fuerzas magnticas se denomina campo magntico. Este se forma, por ejemplo, entre los extremos de un imn recto o entre los brazos de un imn en forma de herradura.Al igual que, los campos elctricos, tambin es posible visualizar los campos magnticos. Si por encima de un imn se coloca un papel tensado en un marco y se esparcen sobre l limaduras de hierro stas se ordenan como consecuencia de la fuerza que acta sobre ellas, formando lneas. Por este motivo, se habla de las lneas de fuerza o del campo magntico. Hay que imaginarse el espacio alrededor del imn atravesado por lneas de fuerza.1. Cmo se representa el campo magntico alrededor de un imn recto? R1: El espacio alrededor del imn se considera atravesado por lneas de fuerza.Las lneas a trazos indican el recorrido de las lneas de fuerza. Basta dibujar algunas de ellas para representar el campo magntico.Las lneas de fuerza no slo existen fuera del imn sino que tambin recorren su interior. De ello se deduce la siguiente regla:"Las lneas de fuerza de un campo magntico son cerradas". Todas las lneas de fuerza de un campo constituyen el flujo magntico.2. De que hecho puede deducirse que tambin tiene que haber lneas de fuerza en el interior de imn? R2: Del hecho de que al dividir un imn resultan nuevos imanes, o de que un imn est formado por imanes moleculares.Densidad de flujo magnticoLos campo magntico ejercen fuerzas que son ms intensas cuanto mayor sea el nmero de lneas de fuerza que contiene el campo correspondiente, es decir, cuantos ms juntas estn dichas lneas de fuerza.La fuerza que acta entre 2 imanes rectos alcanza su valor mximo e los polos (repulsin o atraccin), porque el flujo magntico tiene en ellos su densidad mxima."La densidad de flujo magntico expresa el efecto del campo. Tambin se denomina induccin magntica".La densidad de flujo indica el valor de la intensidad del flujo magntico que atraviesa perpendicularmente la unidad de superficie (cm2 o m2).3. Cmo varia la densidad del flujo magntico en el exterior de un imn recto a medida que aumenta la distancia con respecto a los polos? R3: La densidad del flujo magntico se reduce a medida que aumenta la distancia.Corriente elctrica y Campo magntico.Para que se forme un campo magntico no es indispensable la existencia de materiales magnticos. Al circular corriente elctrica por un conductor se forma un campo magntico, sin que se precise para ello un material ferromagntico.Distribucin de un campo alrededor de un conductor.Las lneas de divisin de un conductor recto por el que circula una corriente elctrica, son crculos cuyo centro comn se encuentra en el conductor.Como el campo magntico se extiende a lo largo de todo el conductor, hay que imaginarse las lneas de fuerza muy juntas, casi formando tubos alrededor del conductor.La densidad del flujo magntico alcanza su valor mximo en la superficie del conductor y disminuye a medida que aumenta la distancia con respecto a ste, siendo indiferente que el alambre sea con aislante o no, pues en los materiales que no son magnticos se forma el campo magntico de forma aproximadamente igual a como ocurre en el aire.4. Qu propiedad de las lneas de fuerza se deduce de la representacin del campo magntico de un imn o de un conductor por el que circula una corriente elctrica? R4: La representacin del campo magntico indica que las lneas de fuerza son cerradas.Sentido del campo magntico.Si se desplaza la aguja de una brjula en una rbita circular alrededor del conductor por el que circula una corriente elctrica de intensidad suficiente, dicha aguja se colocar siempre perpendicularmente al radio, indicando as el sentido de las lneas de fuerza.Por convenio se ha fijado que el polo norte de la aguja de una brjula seala en el sentido de las lneas de fuerza.5. Cmo se puede determinar el sentido de un campo magntico mediante la aguja de una brjula? R5: El polo norte de la aguja seala en el sentido del campo magntico.MAGNETISMO EN CORRIENTE CONTINUA1.- LEYES FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS MAGNTICOSa) Ley de Ampere:Es la ley bsica que rige la produccin de campo magntico por medio de una corriente y su ecuacin es H * dl = InetaDonde H: Intensidad de campo producida por Ineta.Para entender mejor el significado de la ecuacin anterior es til aplicarla al ejemplo en que un ncleo de hierro u otro material ferromagntico, tiene un bobinado de alambre de N vueltas en torno a una columna del ncleo como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Ncleo magntico sencillo

Por lo tanto todo el campo magntico producido por la corriente permanecer esencialmente dentro del ncleo, de tal modo que el recorrido de integracin de la ley de Ampere ser lc. La corriente que pasa dentro del recorrido de integracin Ineta es entonces, N * i, puesto que la bobina abraza el recorrido de integracin N veces, mientras conduce la corriente i. La ley de amper se vuelve entoncesH * lc = N * iPor consiguiente la magnitud de intensidad de campo magntico en el ncleo, debido a la corriente aplicada esH = (N * i) / lcb) Densidad de campo magntico (B):La densidad de flujo magntico producido en un material est dada, por el producto de dos terminos. Su relacin es la siguiente:B =* HDonde:H: Intensidad de campo magntico: que representa el esfuerzo que ejerce la corriente para establecer un campo magntico. Su unidad es (Amper* vuelta) / metro (A*V/m) : Permeabilidad magntica del material: que representa el esfuerzo que realiza la corriente para establecer un campo magntico en un material dado.Su unidad es Henrio/metro (H/m)B: Densidad de flujo magntico. Su unidad es Weber/metro, Tessla (T)c) Permeabilidad relativa ( r):Es la permeabilidad de cualquier otro material comparada con la permeabilidad del espacio libre. r = 0Donde: o: Permeabilidad del espacio libre 0 = 4 Para el ncleo de la figura la magnitud de la densidad de flujo esB = * H = ( * N * i) / lcd) Flujo total ( ):El flujo total de un rea dada se determina por = B* dADonde: dA: Unidad de diferencia de rea.Por lo tanto si el vector de densidad de flujo es perpendicular a un plano de rea A, y si la densidad de flujo es constante en toda el rea, entonces, la ecuacin se reduce a:= B* APara el ncleo de la figura el flujo total debido a la corriente i en el bobinado es = B * A = ( * N * i * A) / lmDonde A: Area de corte transversal del ncleo.e) Enlace de flujo ( ):Es una forma de medir el magnetismo en una bobina, y su ecuacin es = N *2.- CIRCUITOS MAGNETICOSSe entender por circuito magntico a una estructura ferromagntica acompaada de fuerzas magnetomotrices con la finalidad de canalizar lneas de fuerza magnticas. Esta estructura puede contener espacios de aires atravesados por lneas de fuerza, estos espacios se conocen como entrehierros.Es posible determinar un circuito magntico debido a que su comportamiento esta regido por ecuaciones anlogas a aquellas de un circuito elctrico. El modelo de circuito magntico se usa a menudo en el diseo de maquinas elctricas y transformadores para simplificar el, de otro modo, muy complejo proceso de diseo.En un sencillo circuito elctrico, como el ilustrado en la figura 2.a, la fuente de voltaje V, en causa una corriente I alrededor del circuito, a travs de una resistencia R. La relacin entre cantidades se obtiene mediante la ley de Ohm.V = I* RAnalogas entre circuito elctrico y circuito magntico:

Figura 2. a) Un circuito electrico simple. b) El circuito magntico analogo a un ncleo de transformador. En un circuito elctrico, el voltaje o fuerza electromotriz es la que impulsa el flujo, en un circuito magntico se llama fuerza magnetomotriz (f.m.m), y se expresa por la siguiente ecuacin F = N * iDonde:F: Fuerza magnetomotriz, y su unidad es amper por vuelta (a*V).N: Numero de vueltas del bobinado.I: Corriente aplicada, su unidad es el Ampere. En un circuito elctrico, el voltaje aplicado causa el flujo de una corriente I. De modo semejante, en un circuito magntico la fuerza magnetomotriz aplicada causa la produccin de un flujo magntico . La relacin entre voltaje y corriente en un circuito elctrico es la ley de ohm (V= I* R); de manera semejante, la relacin entre fuerza magnetomotriz y flujo es: F =Donde : Flujo magntico en weber. : Reluctancia del circuito. La reluctancia en un circuito magntico es la contraparte de la resistencia elctrica y su unidad es amper-vuelta por weber (A*vuelta / weber) As como en un circuito elctrico la conductancia es la reciproca de la resistencia, en un circuito magntico la permanencia es la reciproca de su reluctancia. = 1 / = F * Bajo ciertas circunstancias es ms fcil trabajar con la permanencia de un circuito magntico que con su reluctancia. La reluctancias en un circuito magntico obedecen las mismas reglas a que obedecen en un circuito elctrico. La reluctancia equivalente en un circuito serie es :Req = R1+ R2+ R3+.......La reluctancia en un circuito paralelo es: 1/ Req = (1/ R1)+ (1/ R2)+ (1/ R3)+.........La permanencia en un circuito serie o paralelo obedecen las mismas reglas que las conductancias elctricas. Precisin de los circuitos magnticosLos clculos de flujo en el ncleo utilizando los conceptos de circuitos magnticos, siempres son aproximados; a lo sumo tienen una precisin cercana a un 5% de la respuesta real. Hay una serie de razones para esta inexactitud inherente:a. El concepto de circuito magntico supone que todo el flujo esta confinado dentro del ncleo magntico, esto no es totalmente cierto. La permeabilidad de un ncleo ferromagntico es de 2000 a 60000 veces la del aire, pero una pequea fraccin del flujo escapa hacia el poco permeable aire circundante. Este flujo fuera del ncleo se llama flujo de dispersin y cumple un papel importante en el diseo de la maquina elctrica. b. El clculo de la reluctancia supone cierta longitud de trayecto medio y un rea de la seccin transversal del ncleo. Estos supuestos no son totalmente acertados, especialmente en las esquinas. c. En los materiales ferromagnticos, la permeabilidad varia con la cantidad del flujo ya contenido en el material. Ello agrega todava otra fuente de error al anlisis de circuitos magnticos, puesto que las reluctancias usadas en los clculos de los circuitos magnticos dependen de la permeabilidad del material. d. Si hay entrehierros de aire en el recorrido del flujo en el ncleo, el rea efectiva del corte transversal del entrehierro de air ser mayor que el rea del corte transversal del ncleo de hierro en ambos lados (ver siguiente figura 3).

Figura 3. Efecto de borde de un campo magntico en un entrehierro. Ntese el incremento del rea efectiva en el entrehierro, comparada con el rea de la seccin transversal del metal. Parcialmente es posible corregir estas fuentes de error utilizando una longitud de trayecto medio o efectivo y el rea del corte transversal en lugar de la longitud fsica o del rea real, en los clculos.Hay muchas limitaciones inherentes al concepto de un circuito magntico, pero ello es todava, la mejor herramienta disponible para calcular los flujos en el diseo de maquinas practicas. Los clculos exactos, usando las ecuaciones de Maxwell, son muy difciles y en todo caso muy poco necesarios, puesto que es preferible obtener resultados satisfactorios con el mtodo aproximado.3.- CURVAS DE MAGNETIZACIONDefinicin: La curva de magnetizacin de un material ferromagnetico es aquella que representa el magnetismo en el material como funcin de la fuerza magnetizante.MagnetismoFuerza magnetizante

N * i

i

BH

Estas curvas se obtienes debido a que la permeabilidad de los materiales ferromagnticos no es constante, entonces, para ilustrar el comportamiento de la permeabilidad de un material ferromagntico se aplica una corriente continua al ncleo que se ilustra en la figura 1, iniciando con 0 A y subindola lentamente hasta la mxima corriente permitida. Cuando el flujo producido en el ncleo se pone en contra de la fuerza magnetomotriz que lo produce, el plano resultante luce como la figura 4a. Este tipo grfico se llama curva de saturacin o curva de magnetizacin.

Figura.4. a) Esquema de una curva de magnetizacin de cc para un ncleo ferromagntico, expresada en terminos de flujo magntico (f) y fuerza magnetomotriz (F). b) Curva de magnetizacin expresada en terminos de densidad de flujo e intensidad de magnetizacin. c) Curva de magnetizacin expresada en terminos de enlace de flujo (l ) e intensidad de corriente.De la grfica se observa queAl principio un pequeo aumento en la fuerza magnetomotriz produce un enorme aumento en el flujo resultante.Despus de cierto punto, los subsiguientes aumentos en la fuerza magnetomotriz, producen relativamente poco aumento en el flujo.Finalmente, un aumento en la fuerza magnetomotriz casi no produce cambio alguno.La regin de la curva de magnetizacin en que la curva se aplana se llama regin de saturacin y se dice, entonces que el ncleo esta saturado. En contraste, la regin donde el flujo cambia muy rpidamente se llama regin no saturada de la curva y se dice que el ncleo no esta saturado. La zona de transicin entre la regin no saturada y la saturada, en ocasiones se llama la "rodilla" de la curva. En la figura 4b y 4c se muestran otros grficos estrechamente relacionados con el anterior. El grfico 4b ilustra un grafico de densidad de flujo magntico B contra intensidad magntica H. El 4c ilustra un grfico de enlace de flujo contra intensidad de corriente i.El ncleo debe hacerse funcionar en la regin no saturada de la curva de magnetizacin debido a que el flujo resultante debe ser proporcional, o aproximadamente proporcional, a la fuerza magnetomotriz aplicadaInterpretacin de la pendiente de la curva de magnetizacin:Las tres curvas de magnetizacin anteriores son proporcionales (B - H ; - F; - i) y sus pendientes tienen la siguiente interpretacin. Curva de magnetizacin v/s i: La pendiente de esta curva corresponde a la inductancia de la bobinaL = / i Curva de magnetizacin B v/s H: La pendiente de esta curva corresponde a la permeabilidad magntica del material = B / H Curva de magnetizacin v/s N * i La pendiente de esta curva corresponde a la permanencia magntica del material. =/ (N * i)MAGNETISMO EN CORRIENTE ALTERNAEn lugar de aplicar una corriente continua a los bobinados del ncleo, ahora vamos a aplicar una corriente alterna y observar lo que sucede. En la figura 1. Esto es bsicamente la curva de saturacin. Sin embargo, cuando la corriente disminuye nuevamente, el flujo sigue una ruta diferente de la seguida cuando la corriente se aument. Cuando la corriente disminuye, el flujo en el ncleo sigue la ruta bcd y luego cuando la corriente aumenta nuevamente, el flujo sigue la ruta deb. Ntese que la cantidad de flujo presente en el ncleo depende no solamente de la cantidad de corriente aplicada a su embobinado, sino tambin de la historia previa del flujo en el ncleo. Esta dependencia de la historia precedente del flujo y la falla resultante para volver sobre el trazo de la trayectoria del flujo se llama histresis. La trayectoria bcdeb trazada en la figura 1, mientras la corriente aplicada cambia, se llama curva de histresis.

Figura 1: La curva de hstresis trazada por el flujo en un ncleo cuando se le aplica la corriente i(t).Ntese que si una fuerza magnetomotriz grande se aplica primero al ncleo y luego se elimina, la trayectoria del flujo en el ncleo ser abc. Cuando la fuerza magnetomotriz se elimina, el flujo en el ncleo no llega a cero. En lugar de esto, un campo magntico permanece en l. Este campo magntico se denomina flujo remanente en el ncleo. Es precisamente en esta forma como se producen los imanes. Para llevar el flujo hasta cero, una cantidad de fuerza magnetomotriz, conocida como la fuerza coercitiva magnetomotriz Fc, se debe aplicar al ncleo en la direccin opuesta.Por qu ocurre la histresis? Para entender el comportamiento de los materiales ferromagnticos es necesario conocer algo relativo a su estructura. Los tomos de hierro y de metales similares (cobalto, nquel y algunas de sus aleaciones) tienden a tener sus campos magnticos estrechamente alineados entre s. Dentro del metal hay pequeas regiones llamadas dominios. En cada dominio los tomos estn alineados con sus campos magnticos sealando en la misma direccin, de tal manera que cada dominio dentro del material acta como un pequeo imn permanente. La razn por la cual un bloque entero de hierro puede parecer sin flujo es que estos numerosos y diminutos dominios se orientan desordenadamente dentro del material. Cuando a este bloque de hierro se le aplica un campo magntico externo, produce dominios que sealan la direccin del campo y que crecen a expensas de dominios que sealan otras direcciones. Los dominios que sealan la direccin del campo magntico crecen puesto que los tomos en sus lmites cambian fsicamente su orientacin para alinearse con el campo magntico. Los tomos extras alineados con el campo aumentan el flujo magntico en el hierro, que a su vez causa el cambio de orientacin de otros tomos, aumentando en consecuencia la fuerza del campo magntico. Este efecto positivo de retroalimentacin, es lo que causa que el hierro tenga una permeabilidad mucho mayor que la del aire.Como la fuerza del campo magntico externo contina en aumento, la totalidad de los dominios que estn alineados en la direccin equivocada, eventualmente, se reorientarn como una sola unidad para alinearse con aqul. Finalmente, cuando casi todos los tomos y dominios del hierro se alinean con el campo externo, cualquier aumento posterior en la fuerza magnetomotriz puede causar solamente el mismo aumento de flujo que causara en el espacio libre. (Una vez que todo se alinea, no puede haber ms efecto de retroalimentacin que fortalezca el campo). En este punto el hierro est saturado con el flujo. La causa para la histresis es que cuando el campo magntico externo se suspende, los dominios no se desordenan por completo nuevamente. Por qu algunos dominios permanecen alineados? Porque reorientar los tomos en ellos requiere energa. Originalmente, la energa la suministr el campo magntico externo para lograr el alineamiento; cuando el campo se suspende, no hay fuente de energa que impulse los dominios a reorientarse. El trozo de hierro es ahora un imn permanente.Una vez los dominios estn alineados, algunos de ellos permanecern as hasta que una fuente de energa externa les sea aplicada para cambiarlos. Ejemplos de fuentes de energa externa que puedan cambiar los lmites entre dominios entre los alineamientos de los dominios son la fuerza magnetomotriz aplicada en otra direccin, un choque mecnico fuerte y el calentamiento. Cualquiera de estos hechos puede suministrar energa a los dominios y posibilitar el cambio de su alineamiento. (Por esta razn un imn permanente puede perder su magnetismo si se cae, se golpea con un martillo o se calienta).El hecho de que reorientar los dominios en el hierro requiera energa lleva a un cierto tipo de prdida de ella en todas las mquinas y transformadores. La prdida por histresis en un ncleo de hierro es la energa necesaria para lograr la reorientacin de los dominios durante cada ciclo de la corriente alterna aplicada a un ncleo. Se puede mostrar que el rea encerrada en la curva de histresis, formada por la aplicacin de una corriente alterna al ncleo, es directamente proporcional a la prdida de energa en un ciclo dado de ca. Entre ms pequeo sea el recorrido de la fuerza magnetomotrz aplicada en el ncleo, ms pequea es el rea de la curva de histresis y en la misma forma, ms pequeas las prdidas resultantes. Otra clase de prdida debe mencionarse en este punto, puesto que tambin la causan campos magnticos variables en un ncleo de hierro. Esta perdida es la llamada prdida por corriente parsita. El mecanismo de las perdidas por corriente parsita se explicar ms adelante, despus de presentar la ley de Faraday. Ambas prdidas, por histresis y por corrientes parsitas, causan recalentamiento en el material del ncleo y debern tenerse en cuenta en el diseo de cualquier mquina o transformador. Puesto que las dos ocurren dentro del metal del ncleo, generalmente se agrupan y se llaman prdidas del ncleo.LEY DE FARADAY. VOLTAJE INDUCIDO POR UN CAMPO MAGNTICO VARIABLE EN EL TIEMPOHasta ahora se ha prestado atencin a la produccin de un campo magntico y a sus propiedades. Ya es tiempo de examinar los diferentes modos cmo un campo magntico puede afectar sus alrededores.El primero y principal efecto que vamos a considerar se llama la ley de Faraday y es la base de la manera de operar los transformadores. La ley de Faraday establece que si un flujo pasa por una vuelta de una bobina de alambre, se inducir un voltaje en la vuelta de alambre, proporcional a la tasa de cambio en el flujo con relacin al tiempo. En forma de ecuacin,eind = -d / dt en donde eind es el voltaje inducido en la vuelta de la bobina y es el flujo que pasa por la vuelta. Si una bobina tiene N nmero de vueltas y el mismo flujo pasa por todas ellas, entonces el voltaje inducido a travs de toda la bobina se expresa por:eind = -N d / dt en donde: eind = voltaje inducido en la bobinaN = nmero de vueltas en la bobina de alambre = flujo que pasa a travs de la bobinaEl signo menos de la ecuacin es una expresin de la ley de Lenz. Esta establece que la direccin del voltaje inducido en la bobina es tal que si sus extremos se pusieran en corto circuito, producira una corriente que causara un flujo para oponerse al cambio de flujo original. Puesto que el voltaje inducido se opone al cambio que lo causa, se incluye un signo menos en la ecuacin . VOLTAJE INDUCIDO SOBRE UN CONDUCTOR MVIL EN UN CAMPO MAGNTICOHay una tercera forma principal en la cual un campo magntico interacta con sus alrededores. Si un alambre con una orientacin apropiada se mueve a travs de un campo magntico, se obtiene la induccin de un voltaje en dicho alambre. El voltaje inducido en el alambre se expresa por:eind = (v x B) 1 en dondev = velocidad del alambre.B = densidad de flujo magntico.1 = longitud del conductor en el campo magntico.El vector 1 seala a lo largo de la direccin del alambre hacia el extremo que se supone positivo. Cul de los dos extremos se supone positivo es completamente arbitrario. Si la suposicin inicial resulta equivocada, entonces el valor del voltaje calculado resultante ser negativo e indicar equivocada la seleccin de referencia.El voltaje en el conductor se formar de tal manera que el extremo positivo est en la direccin del vector v x B.

ntroduccinLas propiedades magnticas no estn limitadas a las sustancias ferromagnticas, sino que las presentan tambin todas las sustancias, aunque en mucho menor escala. En esta categora entran dos tipos de sustancias las paramagnticas y las diamagnticas.Una muestra de sustancia paramagntica situada en un campo magntico es atrada hacia la regin donde el campo es ms intenso, al contrario de lo que le ocurre a una sustancia diamagntica que es atrada hacia la regin donde el campo es ms dbil.El paramagnetismo se produce cuando las molculas de una sustancia tienen un momento magntico permanente. El campo magntico externo produce un momento que tiende a alinear los dipolos magnticos en la direccin del campo. La agitacin trmica aumenta con la temperatura y tiende a compensar el alineamiento del campo magntico. En las sustancias paramagnticas la susceptibilidad magntica es muy pequea comparada con la unidad.En este programa, experimentaremos con un modelo de sustancia paramagntica consistente en un nmero pequeo, pero suficiente de iones. Distinguiremos entre el comportamiento individual de cada ion y el comportamiento de la muestra en su conjunto.Los materiales ferromagnticos son materiales que pueden ser magnetizados permanentemente por la aplicacin de un campo magntico externo. Este campo externo puede ser tanto un imn natural o un electroimn. Son los principales materiales magnticos, el hierro, el nquel, el cobalto y aleaciones de estos.Los materiales paramagnticos son materiales atrados por imanes, pero no se convierten en materiales permanentemente magnetizados.Los materiales diamagnticos no son atrados por imanes, son repelidos y no se convierten en imanes permanentes.Si la temperatura de un material ferromagntico es aumentada hasta un cierto punto llamado temperatura de Curie, el material pierde abruptamente su magnetismo permanente y se vuelve paramagnticoLos materiales ferromagnticos estn caracterizados por curvas de magnetizacin y curvas de histresis.Considerar un material ferromagntico que en principio no este magnetizado (lo cual seria difcil, pues por lo menos fue sometido al campo magntico terrestre. Se le aplica un campo externo que va aumentando paulatinamente su intensidad. La magnetizacin de l material va aumentando, pero no de forma lineal, hasta llegar a un punto, en que por mas que aumente mucho la intensidad aplicada, la induccin del material prcticamente no cambia. A esta curva original se le suele llamar curva de magnetizacin.

Ahora, si el campo H es reducido, la induccin tambin se reduce, pero no sigue la curva de imanacin anterior, sino que el material retiene una cierta magnetizacin residual llamada magnetizacin remanente Mr. Eventualmente, si se sigue reduciendo el campo H (en realidad, se cambia el sentido del campo H aplicado), la induccin remanente disminuir a cero, pero a costa de la existencia de una magnitud Hc, llamada coercitividad. El producto Mr.Hc se suele llamar fuerza del imn. Siguiendo con el proceso, se repite el mismo fenmeno (pero de signo contrario) y se va formando la curva que muestra el siguiente grafico.La lnea azul corresponde a la curva de magnetizacin y la lnea roja a la curva de histresis.En el caso de grabaciones magnticas, el medio o soporte magntico, no suele ser llevado al punto de saturacin completa(bordea angulosos en el primer y tercer cuadrante de la figura. Los campos aplicados se mantiene por debajo del valor de saturacin y la induccin permanente es menor que el valor Mr antes visto.Las propiedades magnticas no estn limitadas a las sustancias ferromagnticas, sino que las presentan tambin todas las sustancias, aunque en mucho menor escala. En esta categora entran dos tipos de sustancias las paramagnticas y las diamagnticas.Una muestra de sustancia paramagntica situada en un campo magntico es atrada hacia la regin donde el campo es ms intenso, al contrario de lo que le ocurre a una sustancia diamagntica que es atrada hacia la regin donde el campo es ms dbil.El paramagnetismo se produce cuando las molculas de una sustancia tienen un momento magntico permanente. El campo magntico externo produce un momento que tiende a alinear los dipolos magnticos en la direccin del campo. La agitacin trmica aumenta con la temperatura y tiende a compensar el alineamiento del campo magntico. En las sustancias paramagnticas la susceptibilidad magntica es muy pequea comparada con la unidad.Descripcin

Un tomo o un ion de momento magntico en un campo magntico H tiene una energa . El momento magntico es proporcional al momento angular . Donde 0 es el magnetn de Bohr y g es un factor del orden de dos. Si H apunta en la direccin del eje Z, la energa del dipolo vale

En la descripcin mecnico-cuntica los valores de Sz son discretos, y van desde -S a +S, en total 2S+1 valores. Por tanto, las componentes del momento magntico a lo largo de la direccin del campo tienen 2S+1 valores.Utilizando la imagen de la descripcin clsica, esta restriccin nos viene a decir que todas las orientaciones del momento magntico no son posibles, solamente aquellas tales que sus componentes a lo largo de la direccin del campo tienen el valor dado por la frmula anterior.Tenemos un sistema de iones paramagnticos a una temperatura T, que pueden ocupar 2S+1 niveles de energa. La estadstica clsica nos dice que la probabilidad de que una partcula ocupe un nivel de energa U es proporcional a exp(-U/kT).El valor medio de la componente del momento magntico a lo largo de la direccin del campo vale.

donde la suma se extiende a los 2S+1 posibles valores de Sz.Casos particulares:Cuando u1, es decir, para grandes valores del campo o bajas temperaturas = g0Sla mayor parte de los momentos magnticos estn orientados segn el campo, el valor medio de la componente del momento magntico tiende hacia un valor constante que es su valor mximo.Para explicar el paramagnetismo hemos supuesto que los espines de los tomos no interaccionaban entre s. Para explicar el ferromagnetismo hemos de suponer que un espn dado interacciona con sus vecinos ms prximos. En el modelo de Weiss el efecto medio de los tomos vecinos a uno dado se reemplaza por la accin de un campo magntico molecular o internoDebido a la interaccin entre espines, el estado de menor energa se consigue cuando todos los espines apuntan en la misma direccin. A medida que se incrementa la temperatura ms espines tienden a cambiar su orientacin disminuyendo el momento magntico medio, hasta que se anula a una determinada temperatura Tc, denominada temperatura crtica. Por encima de dicha temperatura, el sistema de espines se comporta como un material paramagntico.Se ha de tener en cuenta que aunque se representa los espines en una regin rectangular, la geometra adoptada en la simulacin es toroidal en el sentido de que la fila superior es contigua a la fila inferior y la columna ms a la izquierda es contigua a la columna situada en el extremo derecho.Para producir la simulacin se ha empleado el algoritmo de Metrpolis que se puede resumir en los siguientes pasos: Se establece la configuracin inicial Se hace un cambio al azar de la configuracin inicial. Por ejemplo, se escoge un espn al azar y se intenta cambiar su orientacin. Se calcula el cambio E de energa del sistema debido al intento de cambio en la orientacin del espn seleccionado. Si E es menor o igual que cero, se acepta la nueva configuracin y se va al paso 8. Si E es positiva, se calcula la probabilidad de transicin Se genera un nmero al azar r en el intervalo [0, 1) Si r P, se acepta la nueva configuracin, de otro modo se mantiene la configuracin previa, es decir, el espn no cambiara de orientacin. Se determina el valor de las magnitudes fsicas de inters. Se repite los pasos del 2 al 8 para obtener el suficiente nmero de configuraciones Se calculan promedios de las distintas configuraciones que son estadsticamente independientes una de otra. Para el caso del Diamagnetismo; si aplicamos un campo magntico externo a una sustancia de este tipo (diamagntica), como Bismuto o Plata, un momento de dipolo magntico dbil se induce en la direccin opuesta al campo aplicado. Si bien el efecto del diamagnetismo est presente en toda la materia, es dbil comparado con el paramagnetismo o el ferromagnetismo.Podemos obtener cierta comprensin del diamagnetismo, considerando dos electrones de un tomo orbitando el ncleo en direcciones opuestas pero con la misma velocidad. Los electrones permanecen en estas orbitas circulares debido a la fuerza electrosttica atractiva (la fuerza centrpeta) del nucleo cargado positivamente. Debido a que los momentos magnticos de los dos electrones son iguales en magnitud y opuestos en direccin, se cancelan entre si y el momento del dipolo del tomo es cero. Cuando se aplica un campo magntico externo, los electrones experimentan una fuerza adicional qv x B. Esta fuerza agregada modifica la fuerza centrpeta hasta aumentar la velocidad orbital del electrn cuyo momento magntico es antiparalelo al campo. Como consecuencia, los momentos magnticos de los electrones ya no se cancelan, y la sustancia adquiere un momento de dipolo neto que se opone al campo aplicado.

Medida de un campo magntico no uniformeEs posible medir un campo magntico no uniforme mediante una bobina conectada a un galvanmetro balstico.

Cuando una pequea bobina exploradora formada por N espiras de rea S, se saca de una regin en la que hay un campo magntico uniforme B hacia una regin en la que no hay campo magntico, se produce una fem en la bobina.El flujo cambia de =BNS a =0 en un intervalo de tiempo pequeo t. Aplicando la ley de Faraday, la fem inducida ser

Si se conecta la bobina exploradora a un galvanmetro balstico. La corriente inducida que circula por el circuito formado por la bobina exploradora y el galvanmetro es i=V /RDonde R es la resistencia del circuito. La carga total q que pasa por el galvanmetro se obtiene integrando la intensidad de la corriente inducida

Como el galvanmetro balstico nos mide la carga q, conociendo los datos relativos a la bobina exploradora (rea S y nmero de espiras N) podemos despejar el valor de la intensidad del campo magntico B en la regin considerada.Medida de un campo magntico uniformeUn campo magntico uniforme se puede medir girando rpidamente media vuelta una bobina exploradora. La carga que pasa a travs de la bobina se mide mediante un galvanmetro cuyo periodo de oscilacin es mucho mayor que el tiempo que tarda la bobina en girar media vuelta.

El flujo en la situacin inicial de la bobina es =NSB, y en la situacin final es =-NSB.El flujo cambia en =-2NSB en un pequeo intervalo de tiempo t. Aplicando la ley de Faraday, la fem vale

Si la resistencia total del circuito es R. La carga que pasa por el galvanmetro se obtiene integrando la intensidad de la corriente inducida i=V /R.

Como el galvanmetro balstico nos mide la carga q, conociendo los datos relativos a la bobina exploradora (rea S y nmero de espiras N) podemos despejar el valor de la intensidad del campo magntico B.Medida de la componente horizontal delcampo magntico terrestreEn la figura, se muestra un modelo simplificado del campo magntico terrestre, que en una primera aproximacin, es el mismo que el de una esfera imantada uniformemente. Los polos geogrfico y magntico de la Tierra no coinciden, e incluso a lo largo de la historia se han producido inversiones de los polos magnticos.

Como puede apreciarse en la parte derecha de la figura, la componente horizontal (local) del campo magntico terrestre BH se dirige siempre hacia el polo Norte.Para medir esta componente, se pueden realizar distintos experimentos. Primer mtodoLlamemos eje X a la direccin horizontal Norte-Sur. Producimos un campo magntico B, en la direccin del eje Y, cuya intensidad calculamos. Una brjula que se orientar en la direccin del campo magntico resultante. Midiendo el ngulo que forma el campo resultante con el eje X, obtenemos el valor de la componente horizontal BH del campo magntico terrestre.

El valor que se ha medido de esta componente en Espaa es del orden de 0.2510-4 T =0.25 gauss.Segundo mtodoEl segundo mtodo se basa en la ley de Faraday.Disponemos de una bobina rectangular formada por N espiras de rea S Colocamos el eje de la bobina en la direccin Norte-Sur, y la giramos rpidamente 180. La carga total producida por la fem inducida se puede medir mediante un galvanmetro balstico tal como se ha descrito en el aparatado anterior. Ahora bien, el osciloscopio es un instrumento presente en un laboratorio que se puede conectar a la bobina y as, se puede observar de forma directa el fenmeno de la induccin electromagntica.

La traza que se observa en la pantalla del osciloscopio es la representacin grfica de la fem en funcin del tiempo. La ley de Faraday es

Integramos respecto del tiempo entre los instantes t=0, y t. Siendo t el tiempo que tarda la espira en girar 180, tal como se indica en la figura.

El primer miembro es el rea bajo la curva V, en funcin del tiempo, el segundo es la diferencia entre el flujo inicial y el finali- f=NBHScos0-(NBHScos180)=2NBHSSiendo N el nmero de espiras, y S=ab el rea de cada una de ellas. Despejamos la componente horizontal del campo magntico BH

El rea bajo la curva, fem en funcin del tiempo, se puede medir de varias maneras:Ajustando la curva a una funcin del tipo seno, se mide en el osciloscopio el tiempo t, y el mximo Vm. La ecuacin de la curva es

Integrando obtenemos el rea

En la experiencia real, la bobina no tiene por que moverse con velocidad angular uniforme. En este caso, el rea bajo la curva se puede obtener de forma aproximada poniendo una rejilla transparente encima de la representacin grfica de la funcin. Cuanto ms fina sea la rejilla con mejor aproximacin obtendremos el rea bajo la curva.En el osciloscopio que se ha simulado, podemos elegir una rejilla gruesa, en la que se han establecido las siguientes divisiones: 0.1 s horizontalmente 1.0 milivoltios verticalmente. Seleccionando la rejilla fina, los valores anteriores se dividen por dos, de este modo podemos aproximarnos mucho mejor al valor exacto del rea encerrada por la curva y el eje horizontal.( http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/medida_campo/medida_campo.htm)

ENSAYO N 03COMPORTAMIENTO MAGNETICO DE LOS MATERIALES FERROMAGNETICOS OBJETIVOS.0. Estudiar las propiedades magnticas de la materiales ferromagnticos.0. Verificacin de la forma de onda de corriente de magnetizacin (corriente de vacio). MATERIAL UTILIZADO.0. 01 Autotransformador de 0 - 260 V.0. 01 Transformador de 1 KVA, 220/110 V.0. 01 Voltmetro de 0 - 750 V.0. 01 Ampermetro de 0 - 10 A.0. 02 Resistencias de 15 y 60 K.0. 01 Osciloscopio de precisin.0. 01 Condensador de 20 F - 250 V.0. 01 Multmetro Sanwa.0. Conductores y conectores. RESUMEN TERICO.MATERIALES FERROMAGNCTICOS.Las propiedades de los materiales magnticos se explican a travs del momento magntico atmico que poseen las cargas en el movimiento de su orbita y de los espines.Los materiales ferromagnticos esta compuesto de hierro aleado con cobalto, tungsteno, nquel, aluminio y otros metales tratados o no trmicamente y cierto porcentaje de silicio. La finalidad de uso de ncleos ferromagnticos son: obtener altas densidades con bajas fmm y delimitar o dirigir a los campos en trayectorias bien definidas.CARACTERISITICAS BH DE LOS MATERIALES FERROMAGNTICOS.

1. Densidad de Flujo remanente (Br), si se magnetiza el material de hierro desde O, esta se incrementa hasta llegar a un punto cercano a la saturacin; pero cuando se reduce a cero la H, el ncleo no retorna totalmente la energa que ha sido aplicada, es decir retiene cierta densidad residual.1. Fuerza Coercitiva (Hc), para reducir el magnetismo remanente (Br tiende a 0) a cero es necesario aplicar fuerza de magnetizacin inversa, conocida como fuerza coercitiva.1. Lazo de histresis, cuando llega a cero (B=0) y con el incremento de la fuerza de magnetizacin, se incrementa B rpidamente en sentido negativo a la densidad mxima. Si nuevamente se elimina la Br negativa y se incrementa la fuerza en sentido positivo se cierra la caracterstica BH, formando un lazo (o ciclo) llamado lazo de Histresis. La histresis se refiere a un atraso de B respecto a H.1. Curva de Magnetizacin de dc o normal, La excitacin cclica de amplitudes menores de B y H; se exhibe lazos menores de Histresis, la unin de los puntos vrtices mximos, obtiene una curva conocida como la curva de magnetizacin del material, muy utilizado para los clculos de ingeniera de diseo de maquinas elctricas.

1. La permeabilidad diferencial (d) del material, es la relacin de B y H que vara con las variaciones de los puntos B y H.1. Materiales ferromagnticos suaves y duros, son los materiales que tienen bajo valor de Hc y su magnetizacin es fcil. En cambio cuando tiene un valor alto de Hc su magnetizacin es dura. Existen mtodos de aleaciones para obtener materiales ferromagnticos propiedades magnticas mejoradas.

EXCITACIN DE ESTRUCTRAS FERROMAGNTICAS CON CA.Los materiales ferromagnticos usados en el diseo de transformadores maquinas elctricas de C.A. son los conocidos como blandos que tengan alta permeabilidad y baja coercitividad con la finalidad de obtener prdidas moderadas debido al proceso de magnetizacin de esta estructura con corriente de excitacin de C.A. Estas prdidas en el hierro son debido al fenmeno de la histresis y a las corrientes parsitas de eddy inducidas en el ncleo.PRDIDAS POR HISTRESIS.Las prdidas referidas a la histresis son por el movimiento de los dominios durante los ciclos de magnetizacin y fue deducido por Steinmetz, y se puede analizar de la siguiente expresin:

De la ecuacin representa el rea del lazo de Histresis.Si la expresin es peridica a una razn de f por segundos, las prdidas se pueden expresar en forma prctica por la formula de Steinmetz.

n = (1.5 - 2.5) - exponente de Steinmetz)Kh = cosntante de Steinmetz que dependen del material ferromagntico.PRDIDAS POR CORRIENTES PARSITAS (DE EDDY).Cuando el ncleo se expone a campos magnticos variables en el tiempo, se induce voltajes C.A. y al mismo tiempo corrientes conocidas como las corrientes de Eddy, llamadas tambin corrientes parsitas o corrientes de remolino, se producen como efecto de la induccin electromagntica.Forma de la corriente de excitacin de un bobinado con ncleo de hierro.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL. Montar el circuito de la figura N 01

Utilizar el osciloscopio en la configuracin de barrido horizontal externo. Ajuste la ganancia horizontal y vertical adecuadamente. Vari la tensin de salida de la fuente a 30, 60, 90 y 110 volt. Medir los voltajes en las entradas vertical y horizontal del osciloscopio con el multimetro. Tomar los datos del ampermetro y voltmetro instalados. CUESTIONARIO.1. Explique: Qu son las prdidas por Histresis?1. Justifique los aspectos de las formas de onda de la corriente de vaci encontradas.1. Trazar las curva V - I, justifique la tendencia del grfico.1. Realice un bosquejo de la figura con los voltajes de las entradas vertical y horizontal, en papel milimetrado para cada caso y discuta sus resultados en forma resumida.1. Plantee si es posible un mtodo para calcular las prdidas de Foucault que se originan en el ncleo.1. Explique Ud. Cmo y porque se logra obtener el Ciclo de Histresis en la pantalla del osciloscopio?, Qu principio se utiliza para lograrlo?1. Realice las conclusiones, observaciones y sugerencias respectivas. http://html.rincondelvago.com/comportamiento-magnetico-de-los-materiales-ferromagneticos.html

Ferromagnetismo e Histresis Como se ha indicado, los materiales ferromagnticos afectan drsticamente las caractersticas de los sistemas en los que se los usa. Los materiales ferromagnticos no son `lineales'. Esto significa que las relaciones entre y (o entre y ) no corresponden a lneas rectas. En realidad, lo que ocurre es ms complicado e interesante; la relacin entre y presenta el fenmeno de histresis. Esto significa que, cuando se somete al meterial a un ciclo de operacin, la magnetizacin (relacin B-H) sigue una curva complicada. En general, se considera que el campo excitante es H (pues est directamente relacionado a la corriente). Puede entonces ocurrir que H=0, y tanto B como M sean distintos de cero: esto es lo que se conoce corrientemente como un imn. Los materiales ferromagnticos son el Hierro, Niquel, Cobalto, y algunas aleaciones. Desde el punto de vista tecnolgico son muy importantes para aplicaciones en generacin de energa, motores elctricos, almacenamiento de informacin (cintas y discos magnticos), etc. Para entender el fenmeno, se considera una muestra de material ferromagntico, inicialmente desmagnetizada. Se considera que el parmetro de control experimental es el campo , pues ste est directamente relacionado a la corriente elctrica (por la ley de Ampre). Si el campo se incrementa, desde cero, la magnetizacin del material crecer montonamente, describiendo una curva como la de la figura7.4. Si uno definiera , el valor de sera una funcin de H con un rango de variariacin de varios rdenes de magnitud. Se observa, en primer lugar la existencia de una saturacin; esto es, que si el campo H alcanza un valor suficientemente elevado, la magnetizacin M alcanza un valor mximo, que depende del material. Este resultado experimental puede entenderse simplemente, pues significa que en una muestra saturada todos los dipolos magnticos elementales se han alineado con el campo H.

Figure 7.1: Curva de magnetizacin y permeabilidad relativa del hierro comercial (recocido).

Imagnese ahora la muestra ya magnetizada, y en presencia de un campo . Si ahora se disminuye , la relacin B-H no describe la curva inicial de la figura anterior7.4, sino que regresa por una nueva curva, como la de la figura7.4 siguiente, llegando hasta el punto , en que H=0, pero . Si ahora se contina aumentando H en sentido inverso al original, la muestra adquiere una magnetizacin invertida, pasando por el punto , en que B=0, pero . Si ahora se hace aumentar H, entonces B regresa por la parte inferior de la curva B-H. Se observa que la curva para H creciente es distinta a aquella para H decreciente. Este fenmeno se denomina histresis, y la figura7.4 es la llamada curva de histresis del material.

Figure 7.2: Curva de histresis para un material ferromagntico.

Se observa que la curva de histresis depende del material, pero adems del valor mximo de H al cual se encuentra sometido el material. Si el valor de Hmax es suficientemente intenso, la forma de la curva no cambia al aumentar Hmax, como se observa en la figura7.4 que sigue.

Figure 7.3: Curvas de histresis de un material, para varios valores de Hmax. La lnea punteada muestra la saturacin de la curva B-H.

Las aplicacines ms frecuentes de los materiales ferromagnticos son (1) para aumentar el flujo en circuitos de corriente (motores, generadores), (2) como fuentes de campo magntico (imanes) y (3) en almacenamiento magntico de informacin. Cuando una muestra de material ferromagntico se utiliza como imn, primero se le magnetiza hasta su saturacin, y luego se elimina el campo H. El campo magntico remanente B=r se llama retentividad. Para ilustrar la gran variedad de comportamiento magntico entre los materiales ferromagnticos, mostramos las curvas de histresis para dos materiales distintos, el fierro comercial y un acero al tungsteno, en la Figura7.4.

Figure 7.4: Curvas de histresis para hierro comercial y acero al tungsteno.

http://cabierta.uchile.cl/libros/c-utreras/node104.html