1. Matemticas Jornadas sobre el siglo XIX

2. En captulos anteriores ... Concepto de demostracin( paso a paso a travs de la LGICA)Necesidad de AXIOMAS (no se puede demostrar TODO) 3. 2000 aos despus DESCARTES (1637) GEOMETRA EUCLDEA (300 a.C) KANT(1724 - 1805) "Vemos las cosas, no como son, sino como somos nosotros." Pienso, luego existo 4. SIGLO XIX Gauss, el Prncipe de las Matemticas(1777 - 1855) I. Crisis de la Geometra de Euclides II. Crisis de los Fundamentos de las Matemticas 5. CAPTULO I DESMONTANDO A EUCLIDES En la teora de las paralelas no estamos hoy ms avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemticas... Carl Friedrich GAUSS (1813) 6. Los Axiomas de Euclides DEFINICIONES(abstracciones de la realidad fsica)

Unpuntoes lo que no tiene partes 7. Unalneaes una longitud sin anchura 8. Los extremos de una lnea son puntos 9. Unasuperficiees lo que slo tiene longitud y anchura. 10. Las extremidades de una superficie son lneas 11. Etc ...

NOCIONES COMUNES(a todas las ciencias) 1. Cosas iguales a la misma cosa son tambin iguales entre s 2. Si a iguales se aaden iguales, las sumas son iguales 3. Si de iguales quitamos iguales, los residuos son iguales 4. Dos objetos que coinciden el uno con el otro son iguales 5. El todo es mayor que la parte 12. Los Axiomas de Euclides I.Es posibletrazar una rectadesde cualquier punto a otro punto cualquiera II.Una lnea recta finita puedeprolongarse continuamenteen lnea recta III. Se puedetrazar una circunferencia , con un punto cualquiera como centro y cualquier distancia como radio IV. Todos losngulos rectosson iguales ... POSTULADOS(axiomas para la Geometra plana) 13. El quinto postulado de Euclides Si una recta corta a otras dos, formando ngulos internos, por el mismo lado, que suman menos de dos ngulos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortarn por ese lado en que los ngulos suman menos de dos rectos Mi sistema es COMPLETO, CONSISTENTE y NO REDUNDANTE! 14. Crculos viciosos (lo definido no debe entrar en la definicin)

Dados una lnea y un punto que no est en ella, es posible dibujar exacta-mente una lnea a travs del punto y que sea paralela a la lnea. 15. La suma de los ngulos de un tringulo es dos rectos (180)

16. El quinto postulado es una proposicin INDECIDIBLE

Una sola paralela 17. Ninguna paralela 18. Al menos dos paralelas ( infinitas)

19. Geometras no eucldeas ESFRICAu OBTUSA PSEUDOESFRICA o AGUDA (crculos mximos) (ramas hiperblicas) Riemann 1854 Saccheri, Lobachevsky, Bolyai y Gauss 20. Geometras no eucldeas ( y II) 21. Geometras no eucldeas ( y III) 22. CAPTULO II LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS Las propiedades de los conjuntos finitos se han extendidoalegrementea los conjuntos infinitos Brouwer Kronecker Dios cre los naturales ... lo dems es obra del Hombre 23. CAPTULO II LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS "No existir otra alegre y confiada maana" "Nadie podr expulsarnos del maravillosoparasoque Cantor ha creado para nosotros" Russell Hilbert 24. Construir las MATEMTICAS TODAS LAS MANZANASSON ROJAS (enunciado) EL CONJUNTO DE LAS MANZANAS EST INCLUIDO EN EL CONJUNTO DE LAS COSAS ROJAS (TEORA DE CONJUNTOS) SER MANZANA -> SER ROJO( LGICA ) 25. La paradoja del mentiroso TODOS LOS MATEMTICOS MENTIMOS SIEMPRE 26. La paradoja del mentiroso (y II) 27. La paradoja de Russell LOS CONJUNTOS QUENOSE CONTIENEN A S MISMOS El conjunto de las manzanas NO es una manzana El conjunto delas cosas que no son manzanasS esuna cosa que no es una manzana QU PASA CON EL CONJUNTO DE LOS CONJUNTOS QUE NO SE CONTIENEN A S MISMOS? SE CONTENDR A S MISMO? EH? BERTRAND RUSSELL (1872 - 1970) 28. El Hotel del Infinito 29. Los conjuntos infinitos Un conjunto infinito es aqul que posee un subconjunto con la misma cantidad de elementos Hay conjuntos infinitos que tienen MS elementos que otros

Demuestra que el conjunto de losnmeros realeses MAYOR que el de losnmeros naturales . 30. Demuestra que el conjunto detodos los subconjuntos de un conjuntodado es MAYOR que dichoconjunto .

GEORGE CANTOR (1845 - 1918) 31. La escalera de lefs Nmeros naturales Nmeros pares Escalera de lefs y la hiptesis del continuo (hoy sabemos que es como el quinto postulado) El conjunto de Russell es infinito Euclides: rectas y el todo mayor que la parte Nmeros enteros Nmeros racionales 1 Nmeros irracionales Nmeros reales Intervalo (0,1) Puntos de una recta Puntos de un segmento Puntos de un cuadrado Puntos de todo el Universo conocido 0 32. Los monstruos de la mente Las curvas patolgicas David HILBERT (1891) Helge von KOCH (1904) 33. NUEVO CONCEPTO DE CONJUNTO (no queremos conjuntos paradjicos) Cmo reconstruir las bases? CON EL INFINITO NO SE JUEGA (escapa a nuestra intuicin) El conjunto deRUSSELLes un conjunto infinito Uno de los Axiomas deEUCLIDESes incompatible con los conjuntos infinitos( El todo es mayor que la parte ) , y otro los emplea( Una lnea recta finita puede prolongarse continuamente en lnea recta ) 34. LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS 35. Brouwer Kronecker LOS INTUICIONISTAS LA EXISTENCIA DE UN OBJETO ES EQUIVALENTE A LA POSIBILIDAD DE SU CONSTRUCCIN NOaceptanLOS CONJUNTOS INFINITOSni las demostraciones porREDUCCIN AL ABSURDO 36. LOS LGICOS Russell AXIOMA DEL CRCULO VICIOSO LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO NO SE PUEDEN DEFINIR A PARTIR DE LOS RESTANTES ELEMENTOS DEL CONJUNTO Qu es eso del conjunto de todos los subconjuntos de s mismo? EH? 37. LOS FORMALISTAS LA VERDAD MATEMTICA ES LA AUSENCIA DE CONTRADICCIN Si no te gustan mis AXIOMAS ... tengo otros! Hilbert LaLGICAes laherramienta , el lenguaje EsINDEPENDIENTEdel significadoque pueda tener en elMUNDO FSICO 38. TEORAS MATEMTICAS TILES? SE MEJORAN Se pueden sustituir? SE RECHAZAN S NO NO S 39. MATEMTICAS Y REALIDAD 40.