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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2014 (1S)

LECCIÓN 2 – FRANJA 1 GUAYAQUIL, MAYO 05 DE 2014

S O L U C I Ó N y R Ú B R I C A

TEMA 1 (25 puntos) Dada el siguiente razonamiento: “Ningún futbolista juega bien. Algunos profesionales son futbolistas. Algunos que juegan bien son profesionales. Robert es profesional.” Utilizando TEORÍA DE CONJUNTOS, identifique cuál de las siguientes conclusiones hace válido el razonamiento: a) Robert juega bien. b) Todos los profesionales que juegan bien no son futbolistas. c) Algunos que juegan bien son futbolistas. d) Robert no es futbolista. e) Todos los que no son futbolistas, ni juegan bien ni son profesionales. Solución: Se define un conjunto referencial:

Re = x / x !es!persona{ } Se identifican los predicados:

𝑓 𝑥 : x es futbolista. 𝑗 𝑥 : x juega bien. 𝑝 𝑥 : x es profesional.

También se observa que Robert es un elemento que forma parte del conjunto de verdad del predicado p(x), es decir:

𝑅𝑜𝑏𝑒𝑟𝑡 ∈ 𝐴𝑝(𝑥) ó 𝑝(𝑅𝑜𝑏𝑒𝑟𝑡) ≡ 1 Se identifican las cuatro hipótesis del razonamiento y se las traduce al lenguaje formal:

H1 : !∀x ∈Re f x( )→¬j x( )$% &'

H2 : !∃x ∈ Re p x( )∧ f x( )$% &'

H3 : !∃x ∈ Re j x( )∧ p x( )$% &'

H4 : !p Robert( ) ≡1

Se utiliza la teoría de conjuntos para las hipótesis planteadas:

H1: Af x( )⊆ Ac j x( ) H 2: Ap x( )∩Af x( ) ≠∅

H 3: Aj x( )∩Ap x( ) ≠∅

H 4: 𝑅𝑜𝑏𝑒𝑟𝑡 ∈ 𝐴𝑝(𝑥)


Se elabora un diagrama de Venn para analizar cada literal con las condiciones encontradas para los conjuntos y la conclusión que se plantea: a) Robert juega bien.

Su traducción al lenguaje formal es: j Robert( ) ≡1 ⇔ Robert ∈ Aj x( ) El diagrama de Venn cumple con las hipótesis planteadas, pero Robert ∉ Aj x( ) . ∴ Con esta conclusión, el razonamiento

NO ES VÁLIDO.

b) Todos los profesionales que juegan bien no son futbolistas.

Su traducción al lenguaje formal es:

∀x p x( )∧ j x( )( )→¬f x( )$% &' ⇔ Ap x( )∩Aj x( )( )⊆ Ac f x( )

Se considera el mismo diagrama de Venn del literal anterior, porque si Af x( )⊆ Ac j x( ) se cumple que

Aj x( )⊆ Ac f x( ) y que Ap x( )∩Aj x( )( )⊆ Ac f x( ) , entonces la conclusión se infiere a partir de las premisas. ∴ Con esa conclusión, el razonamiento

SÍ ES VÁLIDO.

c) Algunos que juegan bien son futbolistas.


∃x j x( )∧ f x( )#$ %& ⇔ Aj x( )∩Af x( ) ≠∅

Se considera el mismo diagrama de Venn, porque si no se contradice con la hipótesis H1 , esto es,

Aj x( )∩Af x( ) =∅ .

∴ Con esa conclusión, el razonamiento

NO ES VÁLIDO.

Re

Af(x) Ap(x) Aj(x)

Robert


d) Robert no es futbolista.

Su traducción al lenguaje formal es: f Robert( ) ≡ 0 ⇔ Robert ∉ Af x( ) El diagrama de Venn cumple con las hipótesis planteadas, pero Robert ∈ Af x( ) . ∴ Con esta conclusión, el razonamiento

NO ES VÁLIDO.

e) Todos los que no son futbolistas, ni juegan bien ni son profesionales.


∀x ¬f x( )→ ¬j x( )∧¬p x( )( )$% &' ⇔ Ac f x( )⊆ Acp x( )∩Ac j x( )( ) Aplicando propiedades de las operaciones entre conjuntos, se puede observar que

Acp x( )∩Ac j x( )( ) = Ap x( )∪Aj x( )( )c.

∴ Con esta conclusión, el razonamiento

NO ES VÁLIDO.

Rúbrica: Define el conjunto referencial y los predicados adecuados. Traduce al lenguaje formal cada hipótesis usando cuantificadores, operadores lógicos y los predicados previamente definidos. Utiliza la teoría de conjuntos para especificar las proposiciones con predicados y cuantificadores. a) Realiza un diagrama de Venn, analiza la conclusión (previamente traducida) y

concluye que el razonamiento no es válido. b) Realiza un diagrama de Venn, analiza la conclusión (previamente traducida) y

concluye que el razonamiento sí es válido. c) Realiza un diagrama de Venn, analiza la conclusión (previamente traducida) y

concluye que el razonamiento no es válido. d) Realiza un diagrama de Venn, analiza la conclusión (previamente traducida) y

concluye que el razonamiento no es válido. e) Realiza un diagrama de Venn, analiza la conclusión (previamente traducida) y

concluye que el razonamiento no es válido.

2 puntos 4 puntos

4 puntos

3 puntos

3 puntos

3 puntos

3 puntos

3 puntos

Re

Af(x) Ap(x) Aj(x)

Robert


TEMA 2 (25 puntos) Sean los conjuntos A = 1,2{ } , B = 3, 4{ } , C = 5,6, 7{ } . a) Tabule cada producto cartesiano: A×C ,

B×C , A×B×C

b) Justificando su respuesta, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

i. 5, 4( )∈ B×C#$ %&∨ N A×C( ) = 5#$ %&

ii. 1,3, 4( )∈ A×B×C#$ %&∧¬ 1,3, 6( )∈ A×B×C#$ %&

Solución:

a) A×C = 1,5( ), 1, 6( ), 1, 7( ), 2, 5( ), 2, 6( ), 2, 7( ){ } B×C = 3,5( ), 3, 6( ), 3, 7( ), 4, 5( ), 4, 6( ), 4, 7( ){ }

A×B×C =1,3, 5( ), 1,3, 6( ), 1,3, 7( ), 1, 4, 5( ), 1, 4, 6( ), 1, 4, 7( ),2,3, 5( ), 2,3, 6( ), 2,3, 7( ), 2, 4, 5( ), 2, 4, 6( ), 2, 4, 7( )

"#$

%$

&'$

($

b)

i. Se identifican los valores de verdad de las proposiciones simples:

5, 4( )∈ B×C#$ %&≡ 0 , porque el elemento 5, 4( ) pertenece a C ×B .

N A×C( ) = 5"# $%≡ 0 , porque el elemento N A×C( ) = 6 .

5, 4( )∈ B×C#$ %&0

! "## $##∨ N A×C( ) = 5#$ %&

0! "## $##

≡ 0

∴ La proposición 5, 4( )∈ B×C#$ %&∨ N A×C( ) = 5#$ %& es FALSA.

ii. 1,3, 4( )∈ A×B×C#$ %&≡ 0 , porque el elemento 1,3, 4( ) pertenece a A×B×B .

1,3, 6( )∈ A×B×C#$ %&≡1

1,3, 4( )∈ A×B×C#$ %&0

! "### $###∧¬ 1,3, 6( )∈ A×B×C#$ %&

1! "### $###

≡ 0∧¬1≡ 0∧0 ≡ 0

∴ La proposición 1,3, 4( )∈ A×B×C#$ %&∧¬ 1,3, 6( )∈ A×B×C#$ %& es FALSA.

Rúbrica: a) Tabula cada producto cartesiano especificado en el literal a).

• A×C • B×C • A×B×C

b) Determina los valores de verdad de cada proposición simple en b.i). Determina el valor de verdad de la proposición compuesta en b.I). Determina los valores de verdad de cada proposición simple en b.ii). Determina el valor de verdad de la proposición compuesta en b.ii).

3 puntos 3 puntos 7 puntos 4 puntos 2 puntos 4 puntos 2 puntos


TEMA 3 (25 puntos) Sean los conjuntos A = 1,2,3, 4{ } y B = a,b,c{ } y las relaciones R1 : A! B y

R2 : A! B tales que:

R1 = 1,a( ), 3,a( ), 2,c( ), 3,c( ), 4,b( ){ } y R2 = 4,c( ), 2,c( ), 1,a( ), 3,a( ){ }

Justificando su respuesta, determine los valores de verdad de las siguientes proposiciones: a) R1 y R2 son funciones. b) N R1∩R2( ) = 2 c) R1 − R2( )

no es una función

d) Si Re = A×B , entonces R2∩R1

c = R2 e) R1∪R2 = A×B Solución: a) Se puede notar que en R1 el elemento “3” del dominio tiene dos imágenes, es decir, se encuentra

relacionado con más de un elemento del rango, por lo tanto R1 NO es función. Mientras que R2 SÍ es función, pues cada elemento del conjunto de partida tiene su correspondiente en el conjunto de llegada y se encuentra relacionado solamente una vez. ∴ La proposición “R1 y R2 son funciones“ es FALSA.

b) Se observa que: R1∩R2 = 1,a( ), 3,a( ), 2,c( ){ } , esto es, N R1∩R2( ) = 3 . ∴ La proposición “N R1∩R2( ) = 2 “ es FALSA.

c) La nueva relación es: R1 − R2 = 3,c( ), 4,b( ){ } ,

∴ La proposición “R1 − R2 no es una función“ es VERDADERA.

d) Se obtienene los pares ordenados de R1

c :

R1

c = 1,b( ), 1,c( ), 2.a( ), 2,b( ), 3,b( ), 4,a( ), 4,c( ){ }

Por lo que: R2∩R1

c = 4,c( ){ }

∴ La proposición “Si Re = A×B , entonces R2∩R1

c = R2 “ es FALSA.

e) R1∪R2 = 1,a( ), 2,c( ), 3,a( ), 3,c( ), 4,b( ), 4,c( ){ } A×B = 1,a( ), 1,b( ), 1,c( ), 2,a( ), 2,b( ), 2,c( ), 3,a( ), 3,b( ), 3,c( ), 4,a( ), 4,b( ), 4,c( ){ } Se puede notar que ambas relaciones no son iguales. ∴ La proposición “R1∪R2 = A×B “ es FALSA.


Rúbrica: a) Realiza el análisis y la argumentación necesaria para indicar que la proposición del

literal a) es falsa. b) Realiza el análisis y la argumentación necesaria para indicar que la proposición del

literal b) es falsa. c) Realiza el análisis y la argumentación necesaria para indicar que la proposición del

literal c) es verdadera. d) Realiza el análisis y la argumentación necesaria para indicar que la proposición del

literal d) es falsa. e) Realiza el análisis y la argumentación necesaria para indicar que la proposición del

literal e) es falsa.

5 puntos

5 puntos

5 puntos

5 puntos

5 puntos

TEMA 4 (25 puntos) Sean los conjuntos A = 1,2,3{ } y B = a,b,c,d{ } y las funciones f : A! B y

g :B! A tales que:

Justificando su respuesta, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) f es inyectiva o g es sobreyectiva b) rg f ⊆ A

c) Si g es sobreyectiva, entonces f es inyectiva d) rg g⊆ B

e) f es biyectiva o g es biyectiva Solución: Se realizan los diagramas sagitales para observar mejor la estructura de las funciones e inferir los valores de verdad de cada opción:

1

2

3

a

b

c

d

fA B

a

b

c

d

1

2

3

gB A

f 1( ) = a, f 2( ) = b, f 3( ) = c


Ahora se analiza cada literal: a) VERDADERO; ya que efectivamente f es inyectiva, y al utilizar una disyunción, basta que esta proposición

simple sea verdadera para que la disyunción de proposiciones sea verdadera. b) FALSO; ya que nada tiene que ver el rango de f con el conjunto A, no existe elemento alguno del rango de f

que sea parte del conjunto A. c) VERDADERO; ya que para dicho condicional su antecedente es falso, pues la función g no es sobreyectiva, y

basta que el antecedente sea falso, para que la condicional de proposiciones sea verdadera. d) FALSO; ya que nada tiene que ver el rango de g con el conjunto B, no existe elemento alguno del rango de

g que sea parte del conjunto B. e) FALSO; ya que ninguna de las 2 funciones son biyectivas, y por ello la disyunción de ambas proposiciones

simples es falsa. Rúbrica: a) Realiza el análisis y la argumentación necesaria para indicar que la proposición del

literal a) es verdadera. b) Realiza el análisis y la argumentación necesaria para indicar que la proposición del

literal b) es falsa. c) Realiza el análisis y la argumentación necesaria para indicar que la proposición del

literal c) es verdadera. d) Realiza el análisis y la argumentación necesaria para indicar que la proposición del

literal d) es falsa. e) Realiza el análisis y la argumentación necesaria para indicar que la proposición del

literal e) es falsa.

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