Matrices 2013 (1)

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Licenciatura en Administracin Primer cuatrimestreAlgebra y Geometra Ao 2013

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MATRICES

Definicin:Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros. Los nmeros en el arreglo se denominan los elementos dela matriz.

Ejemplos:

Como se puede ver en estos ejemplos, las matrices varan en tamao u orden. El tamao u orden de unamatriz se describe especificando el nmero de filas o renglones (lneas horizontales) y columnas (lneasverticales) que aparecen en la matriz. La primera matriz del ejemplo tiene 3 filas y 2 columnas, por lo tantosu tamao u orden es de 3 por 2 y se escribe 3x2. El primer nmero siempre indica el nmero de filas y elsegundo el nmero de columnas. Por consiguiente, las matrices restantes del ejemplo anterior tienen lossiguientes rdenes: 1x4, 3x3, 3x1 y 1x1 respectivamente.El nmero de filas de una matriz puede ser menor, igual o mayor que el nmero de columnas.

Se usarn letras maysculas para denotar matrices y letras minsculas para denotar nmeros; por tanto, se

podr escribir: o

A los nmeros se los llamar escalares y sern nmeros reales.

Si A es una matriz, se emplear la notacin aij para denotar al elemento que est en la fila i y en la columnaj de A. Por consiguiente, la matriz general de orden 3x4 se escribe:

Otra forma de indicar a la matriz A es de la siguiente manera:

A = (aij) , i = 1,2,3 j = 1,2,3,4

Una matriz puede, en particular, tener una sola columna en cuyo caso se llama matriz columna; o una solafila en cuyo caso ser matriz fila.

Definicin:Si una matriz A tiene n filas y n columnas entonces se dice que es una matriz cuadrada de orden n y quelos elementos a11, a22, ... , ann estn en la diagonal principal de A.Esto es:

A=

Definiciones:

Una matriz cuadrada A = (aij) se dice:

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a) Triangular Superior si aij = 0 para i > j.

b) Triangular Inferior si aij = 0 para i < j.

c) Diagonal si aij = 0 para i j.

d) Escalar si es diagonal y a11 = a22 = .... = ann.

Reciben un inters especial aquellas matrices cuadradas que tienen nmeros 1 en la diagonal principal ytodos los dems elementos iguales a 0. Una matriz de esta clase recibe el nombre de matriz identidad y selo denota por I. Si es importante hacer nfasis en el orden, se escribir In para denotar la matriz identidadde orden nxn. Por ejemplo:

Las matrices cuyos elementos son todos iguales a cero se llaman matrices nulas y no necesariamente debenser matrices cuadradas.Por ejemplo, la matriz nula cuadrada de orden 3 y la matriz nula de orden 2x4 seran:

Definicin:Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los elementos correspondientes en las dosmatrices son iguales.

Simblicamente: sean A = (aij) y B = (bij) con i = 1, ... , mDiremos que A = B aij = bij , i j

Ejemplo:Sean las matrices

Podemos observar que: A B ya que no todos los elementos correspondientes son iguales: A C pues notienen el mismo orden y B C por la misma razn.

Forma escalonada y forma escalonada reducida de una matriz

Una matriz est en forma escalonada si cumple con las condiciones siguientes:

1) El primer nmero distinto de cero de cada rengln, de izquierda a derecha, es 1 Se denomina elementoprincipal.2) El elemento principal de cada rengln est a la derecha del elemento principal en el rengln inmediatoarriba de l.

3) Todos los renglones que constan totalmente de ceros estn en la parte inferior de la matriz.

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Si adems de las tres condiciones anteriores, todos los nmeros por arriba y por debajo de cada elementoprincipal son ceros, la matriz es escalonada reducida

Ejemplos :

Forma escalonada reducida Forma escalonada No est en la forma escalonada

Para transformar una matriz en otra escalonada reducida se realizan alguna de las siguientes operacioneselementales:Intercambiar el orden de las filasMultiplicar una fila por un escalar no nuloSumarle a una fila otra cualquiera de ellas, o bien el producto de una de ellas por un escalar distinto de ceroEjemplo:

Dada la matriz para transformarla en escalonada reducida procedemos de la siguiente

forma:

Como el elemento es 1, la primer fila se copia tal como se presenta en la matrizA la segunda fila le sumamos la primera multiplicada por -2, para obtenerA la tercer fila le sumamos la primera multiplicada por -5, para obtener

Para que el elemento se transforme en 1 se multiplica la segunda fila por -1

A la tercera fila le sumamos la segunda multiplicada por -11,para obtener =0,

Por ltimo transformamos el elemento en 1, para ello dividimos la tercer fila por 13

OPERACIONES.

Suma:Si A y B son dos matrices que tienen el mismo orden entonces se puede definir la suma de A y B como

la matriz que se obtiene al sumar los elementos correspondientes en las dos matrices y escribiremos A + B.Simblicamente: sean A = (aij) y B = (bij) de orden mxn, diremos que C = A + B con C = (cij) del mismoorden es tal que cij = aij + bij .

Producto de un escalar por una matriz:

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Si A es una matriz y k es un escalar, se define el producto k.A como la matriz que se obtiene almultiplicar cada elemento de la matriz A por el escalar k.Simblicamente: sea A = (aij) de orden mxn y k R C = k.A tal que cij = k.aij , i j .

Diferencia:

Si A y B son dos matrices que tienen el mismo orden entonces se define la diferencia de A y B como:A - B = A + (-B) = A + (-1).B

Ejemplos:Sean las matrices:

A= C =

Entonces:

Observemos que entre las matrices A y C B y C no podemos definir ni suma ni diferencia.

Producto de matrices:

Si A es una matriz de orden mxr y B es una matriz rxn, el producto A.B da la matriz de orden mxn cuyoselementos se determinan de la siguiente manera. Para encontrar el elemento que est en la fila i-sima y enla columna j-sima de AxB, se toma la fila i-sima de la matriz A, la columna j-sima de la matriz B, semultiplican los elementos correspondientes de la fila y la columna y despus se suman todos los productos.

Observemos que para poder definir A.B es necesario que el nmero de columnas de la primer matrizcoincida con el nmero de filas de la segunda matriz. El orden del producto est dado por: la cantidad defilas de la primer matriz por la cantidad de columnas de la segunda.Es decir que sea A = (aij) de orden mxr y B = (bij) de orden rxn C = AxB tal que C = (cij) deorden mxn y

Ejemplo:Sean las matrices

Como el orden de A es 2x3 y el orden de B es 3x4 entonces podemos definir A.B cuyo orden ser 2x4. Paradeterminar, por ejemplo, el elemento que est en la fila 2 y la columna 3 de A.B, se toma: la segunda fila deA, la tercer columna de B, se multiplican los elementos correspondientes y se suman todos los resultados. Esdecir:

donde 26 = 2.4 + 6.3 + 0.5

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El elemento a12 de A.B ser: 1.1 + 2.(-1) + 4.7 = 1 - 2 + 28 = 27El elemento a21 de A.B ser: 2.4 + 6.0 + 0.2 = 8 + 0 + 0 = 8Luego

Propiedades:Las siguientes propiedades son vlidas suponiendo que el orden de las matrices permite efectuar lasoperaciones indicadas.

1. A + B = B + A (Propiedad conmutativa para la suma)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (Propiedad asociativa para la suma)

3. A + 0 = 0 + A = A (Existencia de neutro para la suma)

4. A + (-A) = (-A) + A = 0 (Existencia de inverso aditivo)

5. A.(B.C) = (A.B).C (Propiedad asociativa para el producto)

6. A.In = Im . A = A (Existencia de neutro multiplicativo). A de orden mxn.

7. A .0 = 0 y 0. A = 0

8. A.(B C) = A.B A.C (Propiedad distributiva)

9. (B C).A = B.A C.A (Propiedad distributiva)

10. k. (A B) = k. A k.B

11. (k t) . A = k . A t . A

12. (k.t).A = k.(t.A)

13. k.(A.B) = (k.A).B = A.(k.B)

Observemos que no vale la propiedad conmutativa para el producto de matrices, es decir A.B y B.A noson necesariamente iguales. La igualdad puede fallar por varias razones: puede suceder que A.B estdefinido mientras que B.A no lo est, por ejemplo si A es de orden 2x3 y B es de orden 3x4; puede sucederque A.B y B.A estn definidos, pero que las matrices resultantes tengan distinto orden, por ejemplo si A es

orden 2x3 y B es de orden 3x2; y tambin puede suceder que A.B B.A cuando A.B y B.A estn definidosy tengan el mismo orden, por ejemplo:Sean las matrices

Multiplicando se obtiene:

Por lo que A.B B.A.

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Tampoco es vlida la propiedad cancelativa para la multiplicacin, es decir, si A.B = A.C no podemosasegurar que B = C, siendo A 0 , por ejemplo, si

resulta:

y B C.

Adems, en el producto de matrices puede ocurrir que A.D = 0 y que A 0 y D 0 . Por ejemplo: siA es la matriz anterior y

es: y A 0 , D 0

Definicin:Dada una matriz A de orden mxn de elementos (aij) , se llama matriz traspuesta de A y escribiremos A

t,

a la matriz de orden nxm de elementos (bij) tal que: bij = aji para todo par de ndices i , j ; 1 i n , 1j m. Es decir, la traspuesta de A es la matriz que se obtiene intercambiando filas por columnas.

Por ejemplo: Si entonces

Propiedades:

Las siguientes propiedades valen en general:

1. (At)t = A .

2. (A + B)t = At + Bt .

3. (A.B)t = Bt .At

4. (k.A)t = k.At ; k escalar.

Definicin:

Una matriz cuadrada A de orden n se dice matriz simtrica si A = At (aij = aji)

Por ejemplo:

Si entonces A es simtrica.

Definicin:Una matriz cuadrada A de orden n se dice matriz antisimtrica si A = -At (aij = -aji , aii = 0)

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Inversa de una Matriz

Si A es una matriz cuadrada y existe una matriz C tal que A.C =I, entonces C se llama inversa de A, y sedice que A es invertibleInversin de matrices aplicando el mtodo de Gauss.Sea A una matriz cuadrada de orden n no singular, a su derecha se escribe la matriz identidad del mismoorden que A, es decir:

A I

Se le aplica a la matriz A el mtodo de Gauss hasta lograr la matriz identidad y al mismo tiempo, se aplicanlas mismas operaciones a la matriz identidad quedando sta transformada en una matriz cuadrada de orden nque es la inversa de A. Esto es:

A II A

Si A no tiene inversa entonces no ser posible formar la matriz identidadEjemplos:Calculemos la inversa de:

1)

2)

Como no es posible transformar a C en la identidad entonces C no es invertible,

Si A es una matriz invertible, entonces la ecuacin matricial A.X =B tiene solucin nica X = A-1.B

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SISTEMAS DE m ECUACIONES LINEALES CON n INCGNITAS

Se llamasistema de m ecuaciones con n incgnitas x1, x2, xna un conjunto finito de m ecuaciones lineales.Esto es:

Donde los son nmeros reales que se los llama coeficientes y los tambin son nmeros reales llamadostrminos independientes

Si entonces el sistema se dice homogneo.

Ejemplos:

Sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, no homogneo

Sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas, homogneo

Sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas homogneo

Un sistema homogneo es siempre compatible porque por lo menos admite la solucin (0,0,,0) llamadasolucin trivial, porque es una solucin obvia para todos los sistemas homogneos

Resolver un sistema significa examinar si el mismo tiene o no soluciones, y en caso de tenerlas, hallar todaslas solucionesSe llamasolucin de un sistema de m ecuaciones con n incgnitas atoda n-pla, de nmeros reales que satisfacen simultneamente todas las ecuacionesSi el sistema tiene al menos una solucin se llama compatible, si carece de soluciones se llamaincompatible.Un sistema puede tener infinitas soluciones en ese caso es compatible indeterminado.

Sistemas equivalentesDos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucinDos sistemas pueden ser equivalentes sin que lo sean las ecuaciones que lo forman

Ejemplo:

son equivalentes dado que tienen el mismo conjunto solucin

Verificar

Dado un sistema de ecuaciones lineales, para transformarlo en otro equivalente se aplican las siguientes

operaciones elementales:

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Intercambiar dos ecuaciones del sistema

Multiplicar una ecuacin del sistema por un escalar k distinto de cero.

Reemplazar una ecuacin del sistema por la suma de ella ms otra cualquiera multiplicada por unescalar.

Ejemplos:

si intercambiamos las ecuaciones del sistema

la solucin no cambia sigue siendo verificar.

si multiplicamos una de las ecuaciones ,por ejemplo la segunda, por un

nmero distinto de cero, por ejemplo -2, obtenemos un sistema equivalente

verificar que el conjunto solucin sigue siendo

si reemplazamos, por ejemplo la primer ecuacin, por la suma de ella con la

segunda multiplicada por un nmero real distinto de cero, por ejemplo -4, obtenemos

este sistema tiene a como conjunto solucin, verificarlo.

Resolucin de sistemas de m ecuaciones con n incgnitasDado un sistema de ecuaciones lineales se plantean dos problemas:

i) Analizarlo: esto significa determinar si tiene solucin y el nmero de solucionesii) Hallar la solucin, esto es encontrar las n-plas, si las tiene, que satisfagan todas las ecuaciones del

sistema.

Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incgnitas es prctico armar una matriz con los coeficientes

y ampliarla con la matriz de los trminos independientes.

Dado el sistema la matriz de los coeficientes est formada por los coeficientes de

las incgnitas del sistema si a esta le agregamos una columna formada por los trminos

independientes del sistema obtenemos la matriz ampliada

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Interpretando la matriz ampliada como el sistema de ecuaciones, cualquiera de las operaciones elementales

sobre la matriz ampliada transforma el sistema en otro equivalente.

Mtodo de Gauss

El mtodo de Gauss consiste en transformar el sistema en otro equivalente, mediante la aplicacin de lasoperaciones elementales de tal manera que resulte escalonado, esto significa que la primera ecuacin tenga nincgnitas, la segunda n-1 y as sucesivamente hasta que la n-sima ecuacin tenga una incgnita.Se utiliza el valor conocido de la ltima incgnita y se va haciendo la sustitucin en la ecuacin anterior, esdecir, primero se conoce , luego y as hasta siempre que el sistema sea compatible.

Ejemplo:

A=

Rearmando el sistema se observa que el sistema tiene el mismo nmero de

ecuaciones que de incgnitas por lo tanto es compatible determinado.

Se obtiene inmediatamente el valor de z=

En la segunda ecuacin se sustituye z por el valor hallado para determinar el valor de y=-

Se reemplazan ambos valores en la primer ecuacin para determinar el valor de x=

Por lo tanto

Dado el sistema la matriz ampliada es

En este caso la matriz tiene toda una fila de ceros, tiene ms incgnitas que ecuaciones, por lo que

resulta compatible indeterminado.

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Rearmando el sistema obtenemos:

La solucin general es .

Asignndole valores a z se obtienen las soluciones particulares.

Por ejemplo si z=4 , determinar otras soluciones particulares.

Si al aplicar el mtodo de Gauss la matriz ampliada tiene una fila de ceros el sistema es compatible

indeterminado.

Ejemplo:

Dado el sistema la matriz ampliada es:

En este caso 0 .z=-2, por lo tanto no existen valores de z que satisfagan

esta ecuacin. Luego el sistema es incompatible.

Si despus de aplicar el mtodo de Gauss, la matriz escalonada tiene una fila del

tipo con b elsistema Incompatible

.

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