1

Prof. Rosa N. llanos Vargas

1.1 MATRICES

Definición.- Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de nùmeros ( reales o

complejos) aij , llamados elementos dispuestos en m lineas horizontales , llamadas filas

y en n lineas verticales llamadas columnas ; de la forma :

mxn

Las matrices se nombran con letras mayùsculas A , B , C , … . En forma abreviada la

matriz anterior puede escribirse en la forma A = ( aij ) mxn con i = 1, 2 , 3 , …, m ;

j = 1,2,3, ,… n , o Amxn . Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la

matriz , el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ) . Por ejemplo el

elemento a 25 se ubica en la segunda fila y quinta columna de la matriz .

La dimensiòn de una matriz es el nùmero mxn de elementos que tiene la matriz .

MATRICES IGUALES.-Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensiòn

y cuando los elementos que ocupan los mismos lugares son iguales ., Si A =( a ij ) mxn

y B = ( b ij ) mxn , entonces A = B si y solo si a ij = b ij para cada valor de i , j

Las siguientes matrices no son iguales

1 01 2 3

2 50 5 6

3 6

A B

Orden 2x3 Orden 3x2

Dimensiòn 6 Dimensiòn 6

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES :

1.MATRIZ CUADRADA.- es aquella que tiene el mismo nùmero de filas que de

columnas , es decir m = n , y se dice que la matriz cuadrada es de orden n .

La Diagonal Principal de una matriz cuadrada es el conjunto formado por los

elementos a 11 , a 22 , a 33 , a 44 ,…… a n n y la traza de la matriz cuadrada es el

nùmero dado por la suma de los elementos de la diagonal principal , es decir :

Traza ( A ) = a 11 + a 22 + a 33 + a 44 +……+ a n n

11 12 1

21 22 2

31 32 3

1 2

....

....

....

.........................

.........................

....

n

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a aA

a a a

2

2. MATRIZ RECTANGULAR .- es toda matriz en la que m n

3.MATRIZ FILA - es una matriz de orden 1 x n :

11 12 13 1... nA a a a a

4. MATRIZ COLUMNA .- es una matriz de orden m x 1 :

11

21

31

1m

a

a

A a

a

5. MATRIZ NULA- es la matriz que tiene todos sus elementos nulos

0 =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

6. MATRIZ DIAGONAL es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que

no pertenecen a la diagonal principal son nulos

B=

11

22

33

0 0 0

0 0 0

0 0 0

...........................

............................

0 0 0 nn

a

a

a

a

Ejemplo 1 .

B =

5 0 0

0 2 0

0 0 7

7. MATRIZ ESCALAR.- es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la

diagonal principal son iguales a una constante

B=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

...........................

............................

0 0 0

k

k

k

k

3

8. MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD.- es la matriz escalar en la que k = 1

B=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

............................

0 0 0 1n xn

= I n

9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR .- es la matriz cuadrada que tiene todos

sus elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal nulos, es

decir a ij = 0 , para todo i > j .

A =

11 12 13 14

22 23 24

33 34

44

0

0 0

0 0 0

a a a a

a a a

a a

a

10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.- es la matriz cuadrada que tiene todos

sus elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal nulos, es

decir a ij = 0 , para todo i > j .

A =

11

21 22

31 32 33

41 42 43 44

0 0 0

0 0

0

a

a a

a a a

a a a a

11. MATRIZ TRASPUESTA .- es la matriz que se obtiene de la matriz A = ( aij )mxn

intercambiando las filas por columnas se denota A t = (aji )nxm

A =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

41 42 43 4 3x

a a a

a a a

a a a

a a a

At = 11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43 3 4x

a a a a

a a a a

a a a a

Ejemplo 2 Si

1 51 3 2

entonces A 3 65 6 7

2 7

tA

12. MATRIZ SIMETRICA .- es toda matriz tal que A = At

A =

1 0 1 1 0 1

0 2 4 , 0 2 4

1 4 3 1 4 3

tA

4

13. MATRIZ ANTISIMETRICA .- es toda matriz tal que A = - At

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

t tA A A A

1.2 OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES

Si A = ( aij )mxn y B = ( bij )mxn son dos matrices del mismo orden , entonces se define

la suma A + B como la matriz de orden mxn , C = ( cij )mxn tal que

cij = aij + bij .

Ejemplo 3 Si

3 2 1 9 8 6 6 6 7

entonces A+B=4 7 5 7 1 2 11 8 7

A y B

PROPIEDADES

Si A , B y C son matrices de orden mxn , se cumple :

1. A + B = B + A

2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

3. A + 0 = 0 + A

4. Existe la matriz opuesta de la matriz A , denotada por – A , que se obtiene

cambiando los signos de todos los elementos de A , tal que A + ( - A ) = 0

DIFERENCIA DE MATRICES La diferencia de las matrices A y B , de orden mxn,

se define como la matriz D = A + ( - B ) . es decir D = ( d ij ) mxn tal que

d ij = a ij - b ij

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ . Dado el nùmero real k y la

matriz A mxn , el producto k.A es otra matriz del mismo orden , que resulta de

multiplicar cada elemento de A por k .

11 12 1

21 22 2

31 32 3

1 2

....

....

..... .

.........................

.........................

....

n

n

n

m m mn mxn

a a a

a a a

a a ak A K

a a a

11 12 1

21 22 2

31 32 3

1 2

....

....

....

.........................

.........................

....

n

n

n

m m mn mxn

ka ka ka

ka ka ka

ka ka ka

ka ka ka

5

PROPIEDADES:

, ,ij ijmxn mxny A a B b , se cumple :

1. ( . ) A = ( )A

2. . .A A

3. .( ) . .A B A B

4. .( ) . .A A A

PRODUCTO DE MATRICES .- Dadas dos matrices m x n n x pA y B ellas son

compatibles para la multiplicación de A por B, si el nùmero de columnas de A es igual

al nùmero de filas de B .

EL producto A. B es la matriz C de orden m x p , tal que los elementos cij de C es

cij = ik kj

k

a b para cada i , j

Ejemplo 4 Dadas las matrices A y B, hallar AB

6 41 6 3

1 3 5 10 7

5 2

Solucion

El número de columnas de A , n = 2 , es igual número de filas de B entonces existe AB, además:

6 1 4 5 6 6 4 ( 10) 6 3 4 ( 7)AB=

( 1) 1 3 5 ( 1) 6 3 ( 10) 5 3

A B

x x x x x x

x x x x x

3 3

3 3

26 4 8

( 2) ( 7) 14 36 29

26 4 8

14 36 29

x

x

x

AB

PROPIEDADES

1. A. ( B . C ) = ( A. B ) . C

2. A . ( B + C ) = A . B + A . C

3. El producto de matrices no siempre es conmutativo A. B B.A

4. Si A . B = 0 no implica que A = 0 ò B = 0

5. Si A.B = A . C no implica necesariamente que B = C

6. . ;t tA A R

7. . .t t tA B B A

6

PRACTICA

1. Los contratistas A, B y C hacen licitaciones para las obras p, q y r como se

indica en la matriz de costos (en unidades de 100 000 dólares) ¿Qué asignación

minimiza el costo total si a) Sin ninguna condición b) A cada contratista solo se

le puede asignar una sola obra.

26 18 7

32 12 14

41 12 10

A B C

2. Si un obrero W puede realizar el trabajo jA en ija horas, según se indica en la

matriz A y si cada obrero solo deberá realizar un solo trabajo ¿Qué asignación

minimizará el tiempo total del trabajo?

3. Suponiendo que el estado del uso del suelo de una ciudad de 50 millas cuadradas

de superficie, no baldia, en 1993 fue:

I. Uso residencial 30% , II. Uso comercial 20%, III. Uso industrial 50%.

Encontrar los estados en los años 1998, 2003 y 2008, suponiendo que las

probabilidades de transición para intervalos de 5 años están dadas por la

siguiente matriz:

0,8 0,1 0,1

0,1 0,7 0, 2

0,0 0,1 0,9

AI AII AII

NOTA.- Una matriz cuadrada con elementos no negativos, si la suma de

los elementos de cada una de sus filas es igual a 1, se llama matriz

estocástica

4. Sean las matrices

1 4 52 3

2 3 7 1 2 0 45 2

5 0 6 9 1 3 52 1

0 6 7

A B C

Encontrar aquellas matrices que se encuentren definidas

a) AB b) CA c) BtAt d) BC e) CtB

5. Dadas las matrices :

a)A= 5 2

0 3

b)B= Cos Sen

Sen Cos

c)C=

1 3 1

2 4 5

2 0 3

7

d)D=

5 1 8

15 3 6

10 4 2

f)F=

2 8 0 0

9 4 0 0

0 0 7 1

0 0 6 2

g)G=

6 4 5 6

2 7 2 1

1 7 2 4

7 4 5 7

h)H=

4 3 9 9

8 3 5 4

8 0 2 8

16 6 14 5

i)I=

2 0 1 3 4

9 0 4 0 0

0 0 7 1 0

0 2 1 3 0

0 0 1 1 1

Hallar a) A+B , b) B²- A² , c) 2C-3D , d) Ft – 2Gt , e) 3G – G² f) H- H t

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

Definición:

A toda matriz cuadrada nA le asociamos un número llamado determinante, A ,

simbolizado de la forma:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

Dicho número es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. Según el

orden y tipos de determinantes estudiaremos ciertos métodos para hallar el

determinante.

Propiedades: a) Si los elementos de una fila o columna son nulos el valor del determinante es 0.

b) Un determinante con dos filas o columnas paralelas iguales es nulo.

c) Si un determinante tiene dos dilas o columnas proporcionales su valor es nulo.

d) Si cambiamos dos filas o columnas el determinante cambia de signo.

e) Para multiplicar un número por un determinante se multiplica el número por los

elementos de una fila o columna cualquiera. (En un determinante se puede sacar

el factor común, siempre que exista un número que multiplique a todos los

elementos de una fila o columna)

f) tA A

1

) . .

) . .

1)

ng A A

h A B A B

i AA

8

Calculo de un determinante:

I) Método de Sarrus

Cuando el determinante es de orden dos o tres se usa la regla de Sarrus, que

consiste en sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar dos o tres

elementos de la matriz de todas las formas posibles, con la condición de que en cada

producto exista un elemento de cada fila y uno de cada columna, con sus signos

correspondientes y para ello se utiliza el esquema que sigue:

Para un determinante de orden 2:

11 12

11 22 12 12

21 22

. .a a

a a a aa a

Para un determinante de orden 3:

11 12 13

21 22 23

31 32 33 11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33

11 12 13

21 22 23

. . . . . . . . . . . .

a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a

Ejemplo 1.

Calcular los determinantes

2 1 12 3

, 0 1 21 1

2 0 3

2 3

2 1 3 1 51 1

2 1 1

0 1 2 2 1 3 1 0 0 1 2 2 1 1 2 2 0 2 1 0 3

2 0 3

6 0 4 2 0 0 0

II. Cálculo del determinante de orden n, por los adjuntos:

Cuando el orden de los determinantes es superior a 3 la regla de Sarrus no es

fácilmente aplicable y entonces utilizamos el método de los adjuntos, que reduce el

orden en una unidad cada vez que le utilizamos.

Para ello vamos a definir dos nuevos conceptos:

Menor complementario: Dada una matriz nA se llama menor complementario de un

elemento ija al determinante de la matriz, que resulta de suprimir la fila i y la columna j

en la matriz nA : se llama ijm .

9

Cofactor de un elemento ( o adjunto): Al producto de 1i j

por el menor

complementario ijm de

ija se llama COFACTOR ( o adjunto) del elemento ija y se

escribe ijA .

1i j

ij ijA m

A partir de estas definiciones obtenemos otra forma de calcular un determinante:

el valor de un determinante de orden n es igual a la suma de los productos de los

elementos de una fila o columna por sus respectivos cofactores.

1 1 2 2 3 3

1

1 1 2 2 3 3

n

ij ij i i i i i i in in

i o j

j j j j j j nj nj

A a x A a A a A a A a A

a A a A a A a A

Ejemplo 2.

Calcular el valor del determinante

1 0 2 0

1 2 0 1

1 1 4 1

3 1 3 2

Elegimos la primera fila ya que tiene dos elementos nulos y eso va a simplificar el

cálculo:

11 12 13 14

1 0 2 0

1 2 0 11 0 2 0

1 1 4 1

3 1 3 2

A A A A

1 1 1 3

12 14

2 0 1 1 2 1

1 1 1 4 1 0 2 1 1 1 1 0

1 3 2 3 1 2

m m

Cuando llegamos a un determinante de orden tres, podemos aplicar Sarrus:

1 16 3 4 6 2 2 1 6 3 1 4 51

III. Método del pivote o de Chio

Si a los elementos de una fila o columna se suman los correspondientes de otras

paralelas multiplicados por un número , el valor del determinante no varía. (Suma de

una combinación lineal de otras filas o columnas)

Basándose en esta propiedad, podemos obtener un determinante igual, pero con

una fila o columna todos nulos salvo uno, que al aplicar el método anterior, se reduce su

cálculo a un solo determinante de orden menor.

10

Ejemplo 3.Calcular por el método del pivote el determinante

1 2 1 2 1

0 0 1 1 1

1 1 0 0 0

0 0 1 1 2

1 2 2 1 1

1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

3 fila 1 fila1 1 0 0 0 0 1 1 2 1

0 0 1 1 2 0 0 1 1 2

1 2 2 1 1 1 2 2 1 1

a a

5 1

1 2 1 2 1

0 0 1 1 1

0 1 1 2 1

0 0 1 1 2

1 2 2 1 1

F F

Desarrollamos el último determinante por la 1a columna:

1 1

11

0 1 1 1 0 1 1 1

1 1 2 1 1 1 2 11 1 1

0 1 1 2 0 1 1 2

0 1 1 0 0 1 1 0

A

Repetimos el proceso desarrollando el determinante por la 2 a fila:

2 1

21

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2 1 1 2 2

1 1 0 1 1 0

A

IV. Método triangularizante

Cuando calculamos el determinante de matrices triangulares o diagonales

observamos que verifica que el resultado coincide con el producto de los

elementos de la diagonal principal.

Con las propiedades anteriores podemos llegar a obtener un determinante que

sea triangular y aplicar seguidamente el contenido expresado arriba:

11

Ejemplo 4.Calcular el determinante

1 2 1 2 1

0 0 1 1 1

1 1 0 0 0

0 0 1 1 1

1 2 2 1 1

3 1 5 1

1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1

0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2

1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 0

F F F F

cambiamos las filas 2a y 3a ( cambia el signo)

4 3

1 2 1 2 1 1 2 1 2 1

0 1 1 2 1 0 1 1 2 1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

0 0 1 1 2 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

F F

5 4

1 2 1 2 1

0 1 1 2 1

0 0 1 1 1

0 0 0 0 1

0 0 0 2 1

F F

cambiamos 4a y 5a fila para dejarle triangular (el determinante cambia de signo):

4 5

1 2 1 2 1

0 1 1 2 1

1 1 1 2 1 20 0 1 1 1

0 0 0 2 1

0 0 0 0 1

F F

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA DADA

Matriz Adjunta Dada una matriz cuadrada nA se llama matriz adjunta, nAdj A a

la matriz que resulta de sustituir cada uno de los elementos de la matriz nA por sus

cofactores o adjuntos respectivos.

12

Ejemplo 1.Hallar la matriz adjunta de

1 2 1

1 2 3

3 1 1

A

2 3 1 3 1 2

1 1 3 1 3 11 10 7

2 1 1 1 1 21 4 7

1 1 3 1 3 14 2 0

2 1 1 1 1 2

2 3 1 3 1 2

Adj A

Matriz Inversa

Si A es una matriz de orden n cuyo determinante es no nulo, la matriz inversa de A es la

matriz de orden n denotada por A-1 tal que A. A-1 = I , donde I es la matriz identidad de

orden n.

Cálculo de la matriz inversa por el método del adjunto:

Ejemplo 2.

Calcular la matriz inversa de

1 1 3

2 2 1

1 3 1

|A| = -14 ,

MATRICES ELEMENTALES

Definición 1:

Sobre una matriz nxmA decimos que efectuamos una operación elemental sobre la fila o

columna, cuando realizamos cualquiera de estas transformaciones:

Una matriz tiene inversa si solo si 0A

13

i) Cambiar entre sí dos filas o columnas: ijC

ii) Multiplicar una fila o columna por un número real 0 : ( )i jk F k ó C k

iii) Sumar a la fila o columna i la fila o columna j multiplicada por un número

real 0 : ( )ij ijk F k ó C k

Definición 2:

Se llama matriz elemental a una matriz cuadrada, que resulta de efectuar una

operación elemental sobre una fila o columna en la matriz identidad.

Ejemplo 3.

1.2 12

1 0 0 1

0 1 1 0F C

Cambiar dos filas

2 2

1 0 0 1 0 0

0 1 0 3 0 3 0 ( 3)

0 0 1 0 0 1

C F

Multiplicar la 2a columna por 3

3.2

1 0 0 1 0 0

0 1 0 2 0 1 0

0 0 1 0 2 1

F

Sumar a la 3a fila el doble de la 2a

2.1

1 0 1 55

0 1 0 1C

Sumar a la 2a columna la 1a por -5

Según el orden de la matriz unidad obtenemos una matriz elemental del mismo orden.

Teorema .- Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por filas, la matriz

que obtenemos es F A , donde F es la matriz elemental resultante de efectuar la misma

operación elemental.

Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por columnas la matriz que

obtenemos es C.A, donde C es la matriz elemental resultante de efectuar la misma

operación elemental.

Ejemplo 4

Sea

2 1 0 1

1 2 1 2

3 1 0 1

A

Por filas:

2,1

2 1 0 1 2 1 0 1

1 2 1 2 2 3 4 1 0

3 1 0 1 3 1 0 1

F

=AF

Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación:

14

2,1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 2 2 1 0

0 0 1 0 0 1

F F

Producto de F.A:

1 0 0 2 1 0 1 2 1 0 1

2 1 0 1 2 1 2 3 4 1 0

0 0 1 3 1 0 1 3 1 0 1

F A A

Por columnas:

2,1

2 1 0 1 2 3 0 1

1 2 1 2 2 1 4 1 2

3 1 0 1 3 7 0 1

C

= AC

Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación:

2,1

1 0 0 0 1 2 0 0

0 1 0 0 0 1 0 02

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

C C

Producto de A.C

1 2 0 02 1 0 1 2 3 0 1

0 1 0 01 2 1 2 1 4 1 2

0 0 1 03 1 0 1 3 7 0 1

0 0 0 1

= AC

Operaciones elementales inversas.

Se llama operación elemental inversa aquella operación que nos anula la acción de

cada operación elemental.

Ejemplo 5. Sean las matrices elementales obtenidas como resultado de las siguientes operaciones

elementales:

3 13 1

1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 0

I F E

3 2 2

1 0 0 1 0 1

0 1 0 2 0 2 0

0 0 1 0 0 1

I F E

A partir de ahora, sólo consideraremos las matrices elementales

resultado de efectuar operaciones elementales sobre las filas

15

3 2,3 3

1 0 0 1 0 0

0 1 0 3 0 1 3

0 0 1 0 0 1

I F E

Existen otras operaciones sobre estas matrices elementales que nos anulan las

operaciones anteriores y volvemos al punto de partida o sea a 3I .

1 3,1 3

0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

E F I

2 2 3

1 0 0 1 0 01

0 2 0 0 1 02

0 0 1 0 0 1

E F I

3 2,3 3

1 0 0 1 0 0

0 1 3 3 0 1 0

0 0 1 0 0 1

E F I

Estas operaciones se llaman operaciones inversas de las hechas en primer termino.

Resumiendo:

OPERACIÇON ELEMENTAL OPERACIÓN INVERSA

Cambiar la fila i por la j Cambiar la fila j por la i

Multiplicar una fila por 0k Multiplicar una fila por

10

k

Sumar a la fila i, la j por 0k Sumar a la fila i, la j por 0k

Matrices elementales inversas

Cuando en la matriz nI efectuamos una operación elemental obtenemos una matriz

elemental E.

Cuando en la matriz nI efectuamos la operación elemental inversa obtenemos la matriz

elemental inversa de la matriz elemental 1,E E .

Luego toda matriz elemental tiene inversa y es una matriz elemental.

En efecto, cuando hacemos una operación elemental, obtenemos E y si

efectuamos la operación elemental inversa sobre E al punto de partida nI , luego se

verifica:

0 Operación elemental Operación inversa n nI E E I

0 0n mE E I E E I

0 0n mE E I E E I

Luego 0E es la inversa de E .

16

Ejemplo 6 Dadas las matrices elementales que se obtienen de realizar las operaciones elementales:

i) Cambiar las filas 1 y 3

ii) Multiplicar la 2a fila por 2

iii) Sumar a la 2a fila la 3a por -3

Hallar sus matrices inversas.

i) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental F13

1

3 13 1 3 3,1 1

1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0

I F E I F E

ii) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental 2 2F

1

3 2 2 3 2 2

1 0 01 0 0 1 0 0 1 0 0

1 10 1 0 2 0 2 0 0 1 0 0 0

2 20 0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 0

I F E I F E

iii) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental 2,3 3F

1

3 13 1 3 3,1 1

1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0

I F E I F E

1

1 4 1 4

10 0

2 0 0 21

2 0 1 3 0 1 32

0 0 1 0 0 1

F E F E

iv) 1 1 1 1

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1E E A I E E A A I A E E I A E E A

1

11

1 1 2

0 1 10

2

A

Matrices equivalentes por filas

Si partiendo de una matriz A podemos llegar a otra B efectuando un número finito de

operaciones elementales sobre las filas y, de la misma manera, podemos volver a A

desde B, realizando las operaciones inversas y en orden inverso, se dice que A y B son

equivalentes por filas.

17

Ejemplo 7 Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas.

2 0 1 1 2 3

1 2 3 y 2 0 1

5 2 1 4 4 2

A B

1,2 3,1

2 0 1 1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 0 1 1 2 0 1

5 2 1 5 2 1 4 4 2

A F F B

3 1,2 1

1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

I F E

3 3,1 2

1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 1 0 1

I F E

2 1

1 0 0 0 1 0 2 0 1 1 2 3

0 1 0 1 0 0 1 2 3 2 0 1

1 0 1 0 0 1 5 2 1 4 4 2

E E A B

Cálculo de la matriz inversa por operaciones elementales

Si A es equivalente a la matriz In entonces A tiene inversa

En efecto: si A es equivalente por filas a In:

1 2 1k k nE E E E A I 1

Multiplicando por 1A por la derecha los dos miembros obtenemos:

1 1 1

1 2 1 1 2 1k k k k nE E E E A A E E E E I A A

2

Luego 1A viene como producto de matrices elementales.

El método para el cálculo de 1A sale de observar 1 y 2

1 2 1k k nE E E E A I

1 2 1k k nE E E E I A

18

Las operaciones elementales que nos sirven para convertir A en la matriz unidad,

efectuadas sobre la matriz unidad nos da la matriz inversa de A .

Ejemplo 8 Hallar la matriz inversa de

1 1 1

0 1 0

1 0 1

A

utilizando operaciones

elementales

Solución

1 3,1

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1

F F

3,2 1,2

1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 0

2 2 2 2 2 2

1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1

2 2 2 2 2 2

F F

luego 1

1 1 1

2 2 2

0 1 0

1 1 1

2 2 2

A

1.9. FORMAS ESCALONADA Y REDUCIDA DE UNA MATRIZ

Formas escalonada

Se llama forma escalonada por filas de una mxnA a aquella matriz que se obtiene a partir

de A mediante operaciones elementales y que verifica:

i) Si tiene filas cuyos elementos son todo nulos, están en filas inferiores.

ii) El primer elemento distinto de cero de una fila (empezando por la izquierda), se

llama elemento pivote y a su columna, columna pivotal.

iii) Dadas dos filas sucesivas, el elemento pivote de la 2a fila está más a la derecha

que el elemento pivote de la 1a fila.

Ejemplo 9.

Formas escalonadas:

1 0 4 5 2 5 61 2 2 3 5 0

; 0 3 1 2 ; ; 0 1 40 3 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 3

19

Formas no escalonadas:

1 4 51 0 6 7

2 5 6 0 2 30 0 0 0 2 4 8

; 0 0 0 ; ;0 0 10 2 1 0 0 1 3

0 0 7 0 0 20 0 5 2

0 0 0

Forma reducida

Se llama forma reducida por filas de una matriz mxnA a toda matriz escalonada con los

pivotes unidad y los demás elementos de la columna del pivote, nulos.

Ejemplo 10.

1 0 3 1 3 0 01 2 0 3

0 1 2 ; 0 0 1 0 ;0 0 1 4

0 0 0 0 0 0 1

Obtención de una forma escalonada

El algoritmo para obtención de una forma escalonada se llama eliminación de Gauss o

gaussiana y consta de los siguientes pasos:

1° Partiendo de la izquierda, buscamos en la 1a columna un elemento distinto de

cero que llevaremos a la 1a fila, si no le hay en la 1a fila, (mediante operaciones

elementales) y será el 1er pivote. Seguidamente con las operaciones elementales

haremos ceros debajo del pivote.

2° Siguiendo a la derecha, buscamos en la 2a columna un elemento distinto de cero

en la 2a fila o siguientes filas. Se opera para tener un 2a pivote en la 2a fila, si

está en las siguientes filas. Seguidamente con las operaciones elementales

haremos ceros debajo del 2a pivote.

3° Seguimos sucesivamente moviéndonos hacia la derecha hasta no encontrar más

pivotes.

Evidentemente, dependiendo de la manera de operar y el orden de actuación,

obtendremos diferentes formas escalonadas (hay infinitas), mientras que la forma

reducida solo hay una.

Ejemplo 11.

Hallar la forma escalonada de la matriz

1 2 1 2 1 0

1 2 4 1 4 3

2 4 5 1 5 2

1 3 1 2 6 0

A

20

2,1

3,1

4,1

1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 01

1 2 4 1 4 3 0 0 3 3 3 32

2 4 5 1 5 2 0 0 3 3 3 2

1 3 1 2 6 0 0 1 0 0 5 0

F

F

F

4,2 4,3

1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 0

0 0 3 3 3 3 0 1 0 0 5 01

0 0 3 3 3 2 0 0 3 3 3 2

0 1 0 0 5 0 0 0 3 3 3 3

F F

1 2 1 2 1 0

0 1 0 0 5 0

0 0 3 3 3 2

0 0 0 0 0 5

Rango de una matriz

Llamaremos rango de una matriz el número de filas con algún elemento distinto de cero

que hay en cualquier forma escalonada por filas o también el número de columnas

pivotales que tiene.

Número de vectores filas linealmente independientes = número de columnas

tRango A Rang A

Ejemplo 12.

1 01 2 1 1

1 1 0 52; 0 1 4 3 2 ; 2

0 3 0 00 0 0 0

0 0

rg rg rg

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1

n n

n n

m m mn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Donde ij ij jmxnA a y A h a b llamada matriz aumentada

21

1) El sistema tiene solución si y solo si Rang A Rang A h y se llama

compatible.

2) Si Rang A r n , entonces el sistema tiene una única solución, el sistema es

determinado.

3) Si r n , entonces existen infinitas soluciones, el sistema es indeterminado no

existe solución si r n y algún 0bj

4) Si existen soluciones todas se obtienen por el método de eliminación de Gauss.

Sistema Homogéneo: 0Ax , tiene solución 0x y su Rang x n entonces existen

soluciones no triviales linealmente dependientes.

Descipción del método de eliminación Gaussiana

Considerando el sistema

2 4 6 18

4 5 6 24 1

3 2 4

x y z

x y z

x y z

El sistema (1) puede ser escrito en forma matricial como se observa en la columna de la

derecha omitiendo las variables.

2 4 6 18 2 4 6 18

4 5 6 24 1 4 5 6 24 2

3 2 4 3 1 2 4

x y z

x y z

x y z

La matriz (2) se denomina matriz ampliada del sistema (1). Ahora, las operaciones que

realizaríamos sobre las ecuaciones del sistema (1) se realizarán con las filas de la matriz

(2). Cada fila (ecuación) de la matriz se denotará por if donde 1,2 3i ò .

El objetivo es obtener, a través de la suma de filas o la multiplicación de una fila por un

número distinto de cero, nuevas filas pero que correspondan a un sistema equivalente al

dado inicialmente.

La matriz (2) deberá convertirse, si fuera posible, en una matriz de la forma:

1 ? ? ?

0 1 ? ?

0 0 1 ?

Para conseguirlo, sigamos el siguiente procedimiento:

1°Para conseguir un 1 en la primera posición, se multiplica la primera ecuación por 1

2:

22

1 1

1 2 3 91

: 4 5 6 242

3 1 2 4

f f

2° Luego, para obtener 0 en la primera columna de las filas 2 y 3, restamos a la

segunda ecuación la primera ecuación multiplicada por 4; un proceso similar se

realizará con la tercera fila o ecuación:

2 2 1

3 3 1

1 2 3 9

4 : 0 3 6 12

3 1 2 4

1 2 3 9

3 : 0 3 6 12

0 5 11 23

f f f

f f f

Los pasos realizados equivalen a eliminar la variable x en la segunda u tercera

ecuación.

3° Ahora multiplicaremos la segunda ecuación por 1

3 :

2 2

1 2 3 91

: 0 1 2 43

0 5 11 23

f f

4° Para obtener 0 en la segunda columna de la tercera fila (ecuación), se debe

multiplicar por 5 la segunda fila y sumar la tercera fila con la nueva segunda fila.

3 3 2

1 2 3 9

5 : 0 1 2 4

0 0 1 3

f f f

5° Finalmente, para obtener 1 en la tercera columna de la tercera fila:

3 3

1 2 3 9

1 : 0 1 2 4

0 0 1 3

f f

6° Si expresamos la matriz anterior en términos de las ecuaciones, obtendríamos:

2 3 9

2 4

3

x y z

y z

z

23

Entonces , si la tercera fila se obtiene: 3z y sustituyendo este valor en la

segunda ecuación se obtiene: 2y ; luego 4x . Por lo tanto, este sistema de

ecuaciones tiene sólo una solución: 4; 2;3 .

Ejemplo 1. Resolver el sistema

x + 2y + 3z + 4w = 5

2x + y + 2z + 3w = 1

3x + 2y + z + 2w = 1

4x + 3y + 2z + w = -5

Solución

1 2 3 4 5

2 1 2 3 1

3 2 1 2 1

4 3 2 1 5

A

,

5

1,

1

5

x

yX H

z

w

21 31 41

1 2 3 4 5

2 1 2 3 1( 2), ( 3), ( 4)

3 2 1 2 1

4 3 2 1 5

F F F

1 2 3 4 5

0 3 4 5 9

0 4 8 10 14

0 5 10 15 25

4 421( ),

5F F =

1 2 3 4 5

0 1 2 3 5

0 4 8 10 14

0 3 4 5 9

32 42(4), (3)F F =

1 2 3 4 5

0 1 2 3 5

0 0 0 2 6

0 0 2 4 6

4 3 34

1 2 3 4 5

0 1 2 3 5(1/ 2), (1/ 2),

0 0 1 2 3

0 0 0 1 3

F F F

De donde

w = 3

z+2w = 3

y + 2z + 3w = 5

x + 2y + 3z + 4w = 5

En consecuencia el conjunto solución es CS = { ( -2 , 2 , -3 , 3 ) }

24

Ejemplo 2. Resolver

3x + 2 y + z= 3

2x + y + z = 0

6x + 2y + 4z = 6

Solución

31 21

1

3

12

3

0 2 2 0

3 2 1 33 2 1 3

22 1 1 0 ( 2), ( ) 03

6 2 4 6

A H F F

32

1 12

3 3

0 0 0 12

3 2 1 3

( 6) 0F

De donde 0z = 12 , es decir 0 = 12 ( Contradicción)

el sistema es incompatible.

Ejemplo 3. Resolver

x - 2 y + 3z= 5

2x + y -4 z = 0

3x + 4y -11z = -5

Solución

31 21 10 10

0 10 20 20

1 2 3 5 1 2 3 5

2 1 4 0 ( 3), ( 2) 0 5

3 4 11 5

A H F F

32

1 2 3 5

( 2) 0 5 10 10

0 0 0 0

F

Luego

5y – 10 z = - 10

x – 2y + 3z = 5

25

Despejando y de la primera ecuación se tiene y = 2z – 2

Se obtienen infinitas soluciones asignando valores a z

Además

2 3 5

2 2 2 3 5

1

x y z

x z z

x z

En general si entonces entonces 2 2 1z t y t x t

Luego CS 1 , 2 2, ,t t t t R

26

PRACTICA

1. Hallar la inversa de la matriz

a)

1 1 3

1 2 1

1 3 1

A

b)

1 0 2 0

1 2 0 1

1 1 4 1

3 1 3 2

A

c)

1 3 2 2

2 4 0 1

1 5 2 2

2 1 2 1

A

2. Dadas las matrices

1 2 3 2 0 1 1 2 3

2 0 1 , 1 2 3 , 6 0 3

5 2 1 5 2 1 5 2 1

A B C

Hallar las matrices elementales 1 2 3, ,E E E tales que

a) 1E A B b)

2E A C c) 2 1E E A C

3. Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas

2 0 1 1 2 3

1 2 3 2 0 1

5 2 1 7 2 7

A y B

4. Hallar la forma escalonada de cada matriz y determinar el rango de dicha matriz:

1 2 1 2 1 03 2 3 1 1 2

1 2 4 1 4 34 3 1 , 2 0 4 ,

2 4 5 1 5 21 5 1 3 5 3

1 3 1 2 6 0

A B C

5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 2 3 8 1x y z b) 1 2 3 42 2x x x x

2 3 4

5 3 13

z y z

z y z

1 3 4

2 3 4

1 3 4

3 2 2 8

4 1

5 3 3

x x x

x x x

x x x

c) 1 2 3 42 3 3x x x x d)

1 2 3 4 52 2 1x x x x x

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 4 3 0

3 6 8 10

x x x x

x x x x

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 2 1

4 10 5 5 7 1

2 14 7 7 11 1

x x x x x

x x x x x

x x x x x

27

e)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 5 5

3 4 1

3 6 2 5

2 2 2 3 5

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

f)

12 5 5

3 4 1

3 6 2 8

2 2 2 3 2

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

g)

2 4

2 3 3 2

3 3 2 3 3

2 5

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

h)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

27 9 3 112

2

4

8 4 2 13

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

6. ¿Para qué valores de k R el sistema

1

1 2

4

x y k z k

k x y z k

kx ky k

( a ) tiene solución única

( b ) tiene infinitas soluciones

( c ) es incompatible

7. Dado el sistema de ecuaciones

2

3 5 2 3

5

x y t b

x ay z t

x z at b

Señale el valor de a b que corresponde al caso en que el sistema es compatible

indeterminado y tiene el mayor número posible de parámetros.

8. Resolver el sistema

a)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 1

2 2 1

3

2 3 5

x x x

x x x

x x x

x x x

9. Resolver el sistema

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 0

2 0

7 5 5 5 0

3 2 0

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

28

( a ) Tiene solución única

( b ) Tiene infinitas soluciones. Expresar dichas soluciones en términos de

parámetros.

( c ) Es incompatible.

10. Dado el sistema de ecuaciones

1 1

2 2 2

1 2

a x y z

x ay z

x y a z

¿Para qué valores de a

( a ) El sistema tiene solución única

( b ) El sistema tiene infinitas soluciones. Halle tales soluciones.

( c ) El sistema es incompatible

11. Usando el método de Gauss, resolver según los valores de a R el siguiente

sistema de ecuaciones

2 3

3 1

5 3 2 4

2 2

x y w

x y z w

x y z w a

x y z w

12. La Texas Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras:

1, 2 y 3. Como parte del proceso de elaboración, estos productos pasan por la

planta técnica y por la planta de ensamblaje. Los tiempo empleados por unidad

en cada una de estas plantas se muestran en la siguiente tabla:

Modelo Planta Técnica Planta de ensamblaje

1 30 minutos 0,5 hora

2 12 minutos 2 horas

3 36 minutos 2 horas

Tiempo total empleado en

un mes en cada planta

116 horas 370 horas

Cuantas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo una utilidad

mensual de 37 500 dólares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de

los modelos 1, 2 y 3 fueron de 200, 50 y 100 dólares por unidad,

respectivamente? Asumir que se vendió toda la producción.

13. Micaela desea cubrir sus requerimientos vitamínicos semanales de exactamente

13 unidades de vitamina A, 22 de vitamina B y 31 de vitamina C.

Existen disponibles tres marcas de cápsulas vitamínicas en el mercado. La marca

I contiene 1 unidad de cada una de las vitaminas A, B y C por cápsula; la marca

29

II contiene 1 unidad de vitaminas A, 2 de B y 3 de C, y la marca III contiene 4

unidades de A, 7 de B y 10 de C.

Si las cápsulas de la marca I cuestan 50 céntimos cada una, las de la marca II

cuestan 70 céntimos cada una y las de la marca III, 2 soles cada una,

a) ¿qué combinación de cápsulas de las marcas I, II y III producirá exactamente

las unidades de vitaminas deseadas?

b) ¿Cuál de esas combinaciones le ocasionará menor gasto semanal a Micaela?

14. La siguiente tabla muestra los porcentajes de albúmina, carbohidrato y lípido en

cada uno de los alimentos A, B y C.

A B C

Albúmina 30% 50% 20%

Carbohidrato 30% 30% 70%

Lípido 40% 20% 10%

a) ¿Es posible obtener 1kg de comida que contenga solo esos tres alimentos en

un porcentaje de 47% de albúmina, 35% de carbohidrato y 18% de lípido? Si

la respuesta es afirmativa, explicar qué cantidades en gramos se requeriría de

cada uno de ellos y si es negativa, justificar por qué no se podría.

b) Y si pidiera combinar los tres alimentos para obtener una comida con 40%

de albúmina, 40% de carbohidrato y 20% de lípido, ¿cambiaría la respuesta

anterior? Justificar.

15. Una fábrica de muebles posee tres aserraderos: A, B y C, en los cuales se corta

madera a razón de 60m3, 45m3 y 30m3, por día, respectivamente. La madera se

distribuye a 2 fábricas de muebles M y N que necesitan 65m3 y 70m3 por día,

respectivamente. Los costos de transporte en dólares por metro cúbico desde los

aserraderos hasta las fábricas se muestran en la siguiente tabla:

Desde el aserradero Hasta la fábrica M Hasta la fábrica N

A 1,5 3,0

B 3,5 2,0

C 2,9 1,9

Considere que:

Toda la madera cortada por día en los aserraderos se debe emplear para

satisfacer la demanda diaria de las fábricas.

Los costos de transporte de la madera recibida por la fábrica M desde el

aserradero A son iguales a los costos de transporte de la madera recibida por

la fábrica N desde el aserradero B, por día.

Los costos totales de transporte de la madera desde los aserraderos a las

fábricas ascienden a 242 dólares por día.

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Hallar las cantidades de madera transportadas desde los aserraderos A, B y C a

las fábricas M y N.

16. La compañía Realistic Picture Frame puede fabricar cuatro tipos diferentes de

marcos para pinturas: rústico, modernistas, francés y romano. Cada marco

requiere de las siguientes cantidades de recursos en madera, mano de obra y

tiempo de maquina, como se indica en el siguiente cuadro de tecnología de

producción:

Recursos

Recursos utilizados por unidad producida

Rústico Modernista Francés Romano

Madera (en pies) 1,0 1,5 2,0 2,0

Mano de obra (en horas) 1,0 0,9 0,6 0,6

Maquinas (en horas) 0,3 0,3 0,1 0,1

Por el momento se dispone de 1000 pies de madera, 460 horas de mano de obra

y 120 horas de tiempo de máquina y se emplearán todos los recursos disponibles.

a) Con la información dada ¿se puede determinar el número de marcos rústicos,

modernistas, franceses y romanos que se deben producir? Emplear el método

de Gauss.

b) Si además se sabe que las ganancias obtenidas por unidad de cada tipo de

marco son:

Rústico $ 1,50

Modernista $ 1,25

Francés $ 0,95

Romano $ 0,60

Determinar el número de marcos de cada tipo que se deben producir para

obtener la mayor ganancia posible.

17. Un ciclista se desplaza por tres tipos de terreno: cuesta arriba, llano cuesta abajo.

En cada uno de ellos emplea una velocidad constante. Como desea determinar

dichas velocidades, elabora la siguiente tabla de datos acerca de sus tres últimos

recorridos:

Recorrido

Tiempo empleado (en horas) Distancia total

(en km) Cuesta arriba Terreno llano Cuesta abajo

I 0,25 1 0,25 22

II 0,75 0,6 0,05 16

III 1 0,2 0,4 19

a) Especificar las variables que se deben determinar, indicando qué representan

y en qué unidades se miden.

b) Hallar las velocidades del ciclista en cada tipo de terreno. Emplear el método

de eliminación gaussiana.

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c) Empleando la solución encontrada en b), determinar qué tiempo emplearía el

ciclista en una ruta de 4km. Cuesta arriba, 15 km. En terreno llano y 10 km.

Cuesta abajo.

18. Suponga que una industria de hidrocarburos puede mezclar cuatro tipos de

petróleo para abastecer sus pedidos. En la siguiente tabla se muestran las

características de cada tipo de petróleo:

Tipo de

petróleo

Total de galones

por barril

Promedio de galones de compuestos

ligeros (que se evaporan con el

calentamiento) por barril

Ligero 75 3

Mediano 60 2,5

Pesado 60 3

Extrapesado 45 2

Dicha industria debe abastecer un pedido de 20 barriles de petróleo que contenga

en total 1 350 galones de petróleo y un promedio de 56 galones de compuestos

ligeros. Usando el método de eliminación gaussiana, contestar las siguientes

preguntas:

a) Con información dada ¿se puede determinar un único número de barriles

de petróleo de cada tipo que deben mezclarse para abastecer tal pedido?

b) Suponga que la compañía no tiene ningún galón de petróleo del tipo

Extrapesado. ¿Cuántos barriles de petróleo de cada tipo se requerirá?

c) Modificar uno de los coeficientes del sistema planteado en la parte b)

para que el problema no tenga solución. Muestre el nuevo sistema,

justificando su respuesta.

TAREA. Proponer cinco problemas relacionados con su especialidad