UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN INGENIERIA DE ,MATERIALES

álgebra lineal

guia de ejercicios

Tema: Teoría de matrices, determinantes e inversa de una matriz.Profesora: Judith Cruz Torres

1. Escriba explícitamente las siguientes matrices:

(a) A = [aij ]1x3 /aij = i2 − 2ij

(b) B = [bij ]3x4 /bij = min(i, j)−max(i, j)

(c) C = [cij ]3x3 /cij =

{−1 si i ≤ j3 si i > j

2. Sean las matrices A =[

2 13 4

], B =

[0 3 71 8 9

], C =

3 7 12 6 11 4 0

. Calcular P = ABC

3. Sean las matrices A =[x− 2y x

3 x− y

], B =

[2 y + 43 4

]y C =

[−2/3 −2−1 0

]. Si A=B, hallar A+3C.

4. Sean las matrices A =

2x+ 1 2 z − 1x+ 2 −1 2yy − 1 8 x− 2z

y B =

3− 2y 2 x+ yz + 3 −1 z − 2xz − 5 8 −1

. Si A-B=0, hallar el valor dex,y e z.

5. Si A =[−3 5−2 2

], B =

[2 34 5

]y C =

[−7 32 −1

], resolver las siguientes ecuaciones:

(a) 3(X − 2A) = 5(B − C) + 2(X −A+B)

(b) 3(X −A+B) = 2[X − 2(B + C)]− (X + C)

6. Determine la matriz X de las siguientes ecuaciones matriciales.

(a) 14 (X +A−B) = (B − C) + (C +B + 5A). Si A =

[1 −13 4

], B =

[2 10 1

], C = BAT .

(b) D =[

3 −11 1

]y E =

[3 00 1

]si (DE)T −X = 3

(BT +A

).

(c) A =

2 4 11 0 20 1 1

y A =

7 1 11 0 20 4 1

si la ecuación es 12 (X − 2A) =

(AT − 3B

)T +AT

7. Si A =

3 1 −2−7 1 48 3 6

, B =

6 7 −58 4 −2−1 9 1

y C =

6 3 −712 5 −6−1 14 10

resolver la ecuación 2(X − 2C) =

3X − C − 2(A+ 2B −X)

8. Dada la matriz A =[

1/3 2/31/3 2/3

]pruebe que : a) A es matriz idempotente, es decir que A2= A; b) el

sistema de ecuaciones lineales con 4 incógnitas obtenido a partir del siguiente producto matricial es incompatible:[a bc d

] [1/3 2/31/3 2/3

]=[

1 00 1

]

9. Sea A =

[1 0−1 1

]. Se pide:

(a) Demostrar que A2 = 2A = I , donde I es la matriz identidad 2Ö2

(b) Expresar A3 y A4 en función de A

1

(c) Calcular A100

10. ¾ Pueden existir matrices cuadradas de orden 2 Ö 2, A y B, tales que veri�quen la ecuación A·B = B·A = I ,donde I es la matriz identidad ?.

11. Sean las matrices A =[

2 −13 1

]y B =

[m 1n 5

]; si A y B son matrices conmutables , el valor de m+n es:

12. Si A =

1 23 40 1

, B =[

1 −1 00 1 2

], y C =

[1 02 3

]calcula, si es posible:

(a) A ·B(b) B ·A(c) Bt

·At

(d) C · (A+B)

(e) C · (At +B)

(f) (A+Bt) · C.

13. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande ypequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 4 soportes, en cualquierade los tres modelos.

(a) Representar esta información en dos matrices.

(b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diariade cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.

14. Un maestro preparó tres examenes a cinco estudiantes. Ha decidido considerar los primeros dos examenes a un30% cada uno, y el tercero a un 40%. El maestro desea calcular los promedios �nales para los cinco estudiantes

empleando la multiplicaión de matrices. La matriz de cali�cación es A =

75 82 8691 95 10065 70 6859 80 9975 76 74

.Los porcentajes

están indicados en la matriz �la: B =(

0.3 0.3 0.4). Combina estas matrices en tal forma que se pueda

calcular las puntuaciones promedios para los cinco estudiantes.

15. Un negocio tienen para la venta televisores LCD Sony Bravia de varios tamaños. Tienen 5 de 40 pulgadas; 8 de37 pulgadas; 4 de 32 pulgadas y 10 de 26 pulgadas. Los de 40 pulgadas se venden a $1395, los de 37 pulgadas a$999, los de 32 pulgadas a $795 y los de 26 pulgadas a $695. Expresa el total de venta de los televisores comoun producto de dos matrices e indca el ingreso total.

16. Una empresa fabrica tres tipos de artículos: A,B y C. Los precios de coste de cada unidad son 600, 920 y 1430dólares, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son 1800, 2800y 4000 dólares. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240 1625 y 842, respectivamente. Sabiendoque las matrices de costes e ingresos C e I son diagonales y que la matriz de ventas, V, es una matriz �la, sepide:

(a) Determinar las matrices C,I y V.

(b) Obtener, a partir de las matrices anteriores, la matriz de ingresos anuales correspondientes a los tresartículos, la matriz de gastis anuales y la matriz de bene�cios anuales.

17. La o�cina de estadística ha indagado los precios por tres leguminosas:lenteja, frejól y garbanzo entre tiendas A,By C. Los precios en este orden de los productos son: para la tienda A $1500, $2300, $2000; para la tienda B:$1200, $3000, $2000; para la tienda C: $1300, $2000, $1800. La o�cina quiere saber el costo total que una personatienen que pagar en cada tienda por la copra de 5 libras de lenteja, 3 libras de frejól y 4 libras de garbanzo.

18. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce delmodelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminaciónS. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas detaller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

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19. Una editorial lanza al mercado un nuevo libro del que hace tres ediciones: una en rústica, otra encuadernaday otra numerada. La editorial recibe pedidos de dos librerías A y B. La primera tiene por costumbre abonarel importe de los pedidos que realiza entregando inmediatamente el 50 % del total y aplazando el otro 50 % a90 días. En esta ocasión, la librería A solicita 50 ejemplares en rústica, 20 encuadernados y 5 numerados. Lalibrería B, que abona la cuarta parte al contado y aplaza el resto a 90 días, solicita 100, 10 y 10 ejemplaresrespectivamente. Expresar matricialmente el número de ejemplares de cada edición que la editorial cobra alcontado y el número de los que tienen el pago aplazado.

20. En una urbanizacion hay dos tipo de viviendas (N) normales y (L) lujosas. Cada vivienda N tiene dos ventanasgrandes, 9 medianas y 2 pequeñas. Cada vivienda L tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 pequeñas. Cadaventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras. Cada ventana mediana dos cristales 2 cristales y 4 bisagras. Cadaventana pequeña 1 cristal y 2 bisagras. Escribir una matriz que describa número y tamaño de las ventanas encada tipo de vivienda. Escribir una matriz que exprese el número de critales y bisagras en cada tipo de ventana.Calcular una matriz que exprese el número de crittales y de bisagras en cada tipo de vivienda.

21. En una comarca hay cuatro pueblos que enlaza una linea de autobuses. A las nueve de la mañana sale unautobus de A y hace la primera parada en B, la segunda en D, la terecera en C y, �nalmente vuelve a A. A las5 de la tarde hace el recorrido en sentido contrario, saliendo de nuevo de A, Si 1 representa la posibilidad dedesplazamiento y 0 lo contrario. a) Escriba la matriz que exprese si podemos desplazarnos, o no, de un puebloa otro distinto sin paradas intermedias. b) Escriba la matriz que exprese si podemos desplazarnos, o no, de unpueblo a otro distinto haciendo el autobus una parada intermedia en el trayecto.

22. Tres compañías de productos derivados del petróleo instalan estaciones de servicio. A la salida de una poblaciónhay un surtidor de cada una; un día determinado las tres han vendido la misma cantidad : 2.500 litros de gasolina

super y 890 litros de normal. La matriz de precios en pesetas, es:

super normalA 72 65B 70 65C 71 64

. Se pide:

(a) ¾ Cuáles fueron los ingresos de cada gasolinera ese día ?

(b) ¾ Cuál es el signi�cado del producto de la matriz (1/3 1/3 1/3) por la obtenida en el apartado a) ?.

23. Un cuadrado mágico de orden 2Ö2 es una matriz 2Ö2 de números enteros positivos tal que la suma de loselementos de las �las, columnas y diagonales coinciden.

(a) ¾ Existe algún cuadrado mágico de suma 1.995 ?

(b) ¾ Cuántos cuadrados mágicos existen de suma 3.992 ?

(c) Si un cuadrado es mágico, ¾ lo es también el que se obtiene al transponer la matriz ?

(d) ¾ Cuándo la suma, diferencia y producto de cuadrados mágicos es otro cuadrado mágico ?

24. Una fabrica produce 3 articulos y tiene 4 clientes. El resumen mensual de ventas se anota en una matriz, dondecada cliente dispone de un vector �la cuyas componentes indican las cantidades adquiridas de cada articulo. Se

E la matriz de ventas de enero:E =

9 5 23 8 00 0 06 7 −1

(a) Interpretar la matriz E, explicando como han sido las ventas.

(b) Durante el mes de febrero se han realizado las siguientes ventas: el pirmer cliente ha comprado 5 unidadesdel primer articulo, 2 del segundo y 3 del tercero; el segundo cliente, 6 unidades de cada uno; el tercero solo4 unidades del primer articulo y el cuarto no ha comprado nada. Construir la matriz de ventas del mes defebrero.

(c) Hallar las ventas conjuntas del mes de enero y febrero.

(d) Hallar la variacion de las ventas de febrero en relacion con las ventas del mes de enero.

(e) Si las ventas del mes de marzo han duplicado las de enero y las de abril han cuadruplicado las de marzo.¾Cual habra sido el total de ventas en el primer cuatrimestre?

25. Un constructor construye chalets de lujo (C.L.), chalets adosados (C.A.) y viviendas de protección o�cial (V.P.O.).Se sabe que cada C.L. tiene 3 cuartos de baño, 2 aseos y 2 cocinas, cada C.A. tiene 1 cuarto de baño, 1 aseo y1 cocina, y cada V.P.O. tiene 1 aseo y 1 cocina. Por otra parte, cada cuarto de baño tiene una ventana grandey una pequeña; cada aseo tiene una ventana pequeña y cada cocina tiene 2 grandes y 1 pequeña.

3

(a) Hallar la matriz A que expresa el número de habitáculos (cocinas, cuartos de baño y aseos) en función decada tipo de vivienda

(b) Hallar la matriz B que expresa el número de ventanas grandes y pequeñas en función el tipo de habitáculo

(c) Hallar la matriz C que expresa el número de ventanas grandes y pequeñas en función del tipo de vivienda.¾ Puede calcularse C como resultado de una operación matricial entre A y B ?

(d) Si al �nal del año ha construido 10 C.L.; 20 C.A. y 50 V.P.O., ¾ cuántas ventanas grandes y pequeñas haempleado en la construcción? . Si el número de ventanas grandes y pequeñas se expresa por medio de unamatriz D, ¾ cómo puede obtenerse esta a partir de la matriz C ?

(e) Sabiendo que el carpintero cobra 40.000 pts. por cada ventana grande y 20.000 pts. por cada pequeña, ¾cuánto dinero tendrá que pagar el constructor al carpintero ? . Si este resultado se expresa mediante unamatriz E, ¾ cómo puede obtenerse a partir de la matriz D ?.

26. Suponga que A y B son matrices de orden nxn con det(A) = 3 y det(B) = −2. Encuentre los determinantesindicados:

(a) det(A2)

(b) det(AB)

(c) det(B−1A)

(d) det(2A)

(e) det(3BT )

(f) det(AAT )

27. Si B es invertible, demuestre que det(B−1AB) = det(A)

28. Determine todos los valores de k para los cuales det(A) es nulo.

(a) A =

k −k 30 k + 1 1k −8 k − 1

(b) A =

k k 0k2 2 k0 k k

29. En los siguientes problemas evalúe el determinante de las siguientes matrices

(a) A =[

2 53 1

](b) B =

[4 01 6

]

(c) C =

3 0 −20 1 0−2 3 1

(d) D =

1 0 24 3 32 1 1

(e) E =

1 −3 1 40 −1 0 03 7 −1 2−2 −10 2 2

30. Halle la solución de las siguientes ecuaciones

(a)

∣∣∣∣∣∣1 1 11 x 11 1 x− 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

(b)

∣∣∣∣∣∣1 1 22 4 11 x 0

∣∣∣∣∣∣ = 0

4

(c)

∣∣∣∣∣∣x 3 43 6 2x+ 3

x− 3 2 5

∣∣∣∣∣∣ = 7

(d)

∣∣∣∣∣∣3 x −x2 −1 3

x+ 10 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

(e)

∣∣∣∣∣∣x x+ 1 x+ 2

x+ 3 x+ 4 x+ 5x+ 6 x+ 7 x+ 8

∣∣∣∣∣∣ = 0

(f)

∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 0 11 x 1 00 1 x −11 0 −1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

31. Calcular el valor del determinante

∣∣∣∣∣∣10 10 105a 5b 5ca2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣32. Indica si es cierta o no la siguiente iguald. Razona tu respuesta:

∣∣∣∣ x ya b

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2x 2ya2

b2

∣∣∣∣33. Calcula el valor del determinante

∣∣∣∣∣∣3x+ 3 3y 3z + 2x y z

x+ 1 y + 1 z + 1

∣∣∣∣∣∣ sabiendo que

∣∣∣∣∣∣x y z3 0 21 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 5

34. Demostrar que:

(a)

∣∣∣∣∣∣x y x+ yy x+ y x

x+ y x y

∣∣∣∣∣∣ = −2(x3 + y3

)

(b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 + x 1 1 1

1 1− x 1 11 1 1 + z 11 1 1 1− z

∣∣∣∣∣∣∣∣ = x2z2

35. Formar la matriz A−λI, luego determinar los valores de λ para los cuales el sistema homogeneo (A−λI)X = 0tiene solución no trivial.

(a) A =(

4 23 3

),

(b) A =

1 0 01 1 00 0 2

(c) A =

2 2 12 2 10 0 1

(d) A =

1 2 1−1 1 10 3 2

36. Calcular los siguientes determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 −3−2 3 2 13 −2 1 45 4 −3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 3 1 52 0 3 14 5 6 25 1 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣5

(c)

∣∣∣∣∣∣1 1 1

b+ c c+ a a+ bbc ac ab

∣∣∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣(e)

∣∣∣∣∣∣∣∣a 3 0 50 b 0 21 2 c 30 0 0 d

∣∣∣∣∣∣∣∣(f)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2 a2 0 b 03 c 4 5d 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣37. Si A =

4 −1 1 60 0 −3 34 1 0 144 1 3 2

. Calcule:

(a) Determinante de A.

(b) Matriz de los cofactores.

(c) Matriz Adjunta (matriz de los cofactores pero traspuesta).

38. Dadas las matrices

A =(

1 12 1

); B =

(5 22 1

);

C =(−1 12 −1

); D =

(1 −2−2 5

)Compruebese que:

(a) C = A=1.

(b) D = B=1.

(c) C +D 6= (A+B)=1.

39. Dada la matriz:

A =

1 2 43 8 −22 0 4

Se pide:

(a) Hallar la matriz Adj(A).

(b) Calcular |A|.

(c) Comprobar si se cumple que: A ·Adj(A)t = Adj(A)t ·A = |A| · I(d) Calcular A=1.

40. Determine si las siguientes matrices son invertibles y en caso a�rmativo calcule la matriz inversa por el métodode los adjuntos.

A =

1 1 11 1 00 0 0

, B =

1 1 11 1 01 0 0

, C =

1 2 01 2 40 1 1

,

6

D =

3 1 01 −1 21 1 1

, E =

1 0 20 4 −3−3 2 2

, F =

1 1 1 11 2 −1 21 −1 2 11 3 3 2

41. Determinar para que valores de a son invertibles las matrices:

A =

a 1 22 a 21 a 1

,B =

a 0 1 −11 2 0 20 −3 2 01 a 3 a

,

C =

a+ 1 −2 −2−2 a− 2 −23 6 a+ 6

, D =

a+ 1 1 11 a− 1 10 1 a+ 2

,

E =

2 0 00 a+ 1 −10 1 a− 3

,F =

a 3 −a1 0 52 −a 3

42. Hallar la matriz X en las siguientes ecuaciones matriciales:

(a) AX = B, si A =(

1 23 4

)y B =

(3 55 9

)(b) XA = B, si A =

(3 −25 −4

)y B =

(−1 2−5 6

)

(c) AX = B, si A =

5 3 11 −3 −2−5 2 1

y B =

−8 3 0−5 9 0−2 15 0

(d) (X − 2I)B + 3C = D, si B =

2 1 5−3 3 04 −2 4

, C =

1 2 13 −1 −45 3 1

y D =

4 8 3−1 2 −1012 7 5

(e) (AXt +A−1)t = 3A− I, si A =

(1 22 1

)

(f) ABX +Bt = A, si A =

2 3 4−1 1 −40 −1 2

y B =

2 1 12 1 23 2 −1

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