MA_U3_A1_

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Matemáticas AdministrativasCuadernillo de ejercicios

CUADERNILLO DE EJERCICIOS: La derivada y las funciones marginales.

CARRERA: CUATRIMESTRE: DosASIGNATURA:

Matemáticas Administrativas ELABORÓ/REVISÓ:Nalleli Guadalupe María Acosta Topete / Alicia Pérez Godínez

UNIDAD: Cálculo Diferencial y sus Aplicaciones

Fórmulas básicasFórmula / Símbolo Descripción Fórmula / Símbolo Descripción

Ley de signos para multiplicación

Menor queMayor que

Menor o igual queMayor o igual que

Aproximadamente igualAproximadamenteDiferente que (a)

Igual que (a)Infinito

Incremento, gradiente, cambioQue tiende a… /que se aproxima

a…Porciento

Raíz cuadradaRaíz cúbica

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Sociales y Administrativas

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Fórmulas unidad 3.

Fórmula / Símbolo Descripción Fórmula / Símbolo Descripción

Donde:

1. y : incrementos de las

variables

respectivamente.

2. , representa a la

razón o tasa promedio de

cambio de con respecto a

x en el intervalo , esto

es que tanto varía el valor de

por cada unidad de cambio

en .

3. , se

interpreta como la razón o tasa instantánea de

Derivada de con respecto a


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Fórmulas unidad 3.


cambio de con respecto a

, en el punto .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Regla de la

cadena.

Fórmulas y reglas de derivación

Consideraciones para el uso de las fórmulas y reglas de derivación:

1. : son funciones cuya

variable independiente es x.

2. : son números

constantes.

3. ...

4. es el logaritmo natural

de u, en donde .

5. Para la Regla de la cadena: “Calcular la derivada de la función en el interior del paréntesis y multiplicarla por la derivada del exterior”

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Fórmulas y reglas de derivación

Consideraciones para el uso de las fórmulas y reglas de derivación:

1. : son funciones cuya

variable independiente es x.

2. : son números

constantes.

3. ...

4. es el logaritmo

natural de u, en donde

.


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Fórmulas unidad 3.


Razón o tasa promedio de cambio

Razón o tasa instantánea de cambio

La primera derivada se representa o denota como:

o

La segunda derivada se representa o denota como:

o

La tercera derivada se representa o denota como:

o

Y así sucesivamente hasta llegar a la n-sima derivada de una función.

Derivadas de orden superior

Ingreso marginal: corresponde a la derivada de la función de ingreso.

Costo Marginal: es la derivada de la función de costo.

Costo promedio o medio marginal: es la derivada de la función de costo promedio

Utilidad Marginal: es la derivada de la función de utilidad


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Fórmulas unidad 3.


Elasticidad de la demanda.

Precio.

Demanda.

Cambio de la demanda en

función del precio de venta y/o producción.

Cambio o incremento de una variable

Cambio o incremento de una función

1. Si cuando

, entonces f es

una función creciente en

.

2. Si cuando

, entonces f es

una función decreciente en

.

3. Si cuando

, entonces f es

una función constante en

.

Criterio de la primera derivada:

Los pasos a seguir para evaluar una función con el criterio de la primera derivada son:

1. Obtener la derivada de la función.

2. Determinar los valores críticos, esto es los valores de x en la derivada de la función cuando .

3. Se marcan los valores críticos en la recta numérica y se escoge un valor cualquiera entre cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la derivada, con lo que se

1. Si cuando

, entonces f es una función

cóncava hacia arriba en

.

2. Si cuando

, entonces f es una función

cóncava hacia abajo en

.

Criterio de la segunda derivada.

Los pasos a seguir para evaluar una función con el criterio de la segunda derivada son:

1. Obtener la segunda derivada de la función.

2. Determinar los puntos de inflexión, esto es los valores de x en la segunda derivada de la función cuando .

3. Se marcan los puntos de inflexión en la recta numérica y se escoge un valor cualquiera entre cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la


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Fórmulas unidad 3.

Fórmula / Símbolo Descripción Fórmula / Símbolo Descripcióndeterminará el signo de la derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y después del valor crítico.

4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el siguiente criterio:a. S

i los signos son , se

tiene un máximo local.b. S

i los signos son , se

tiene un mínimo local.c. S

i los signos son o

, no hay extremo

local.

segunda derivada, con lo que se determinará el signo de la segunda derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y después de los puntos de inflexión.

4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el siguiente criterio:

a. Si , entonces la

función es cóncava hacia arriba en ese intervalo.

b. Si , entonces la

función es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

Diferencial de una función

1.

2.

3.

Leyes logarítmicas


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Ejemplo: En un restaurante se determinó que los costos por la elaboración de su platillo principal están dados por la siguiente

función:

En miles de pesos, y que los ingresos la venta del platillo mensualmente sigue la función:

Si hasta el momento mensualmente se han vendido 1000 platillos principales, determina cuales serán las utilidades

aproximadas de elaborar y vender el platillo 1001.

Solución: para determinar las utilidades por las ventas del platillo 1001, se utiliza la función de utilidad marginal, es decir:

Por lo que primero se determina la función de utilidad marginal:

Ahora se obtiene la función de utilidad marginal:

Así el valor aproximado de la utilidad al elaborar y vender el platillo 1001, estará dado por:

Y como la función está dada en miles de pesos, mensualmente las utilidades por vender el platillo 1001 serán

aproximadamente de:


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Ejercicio 1 Velocidad en el cambio en los costos

Se determinó que en una fábrica de ropa la cantidad de tela que se tiene que comprar por semana sigue la siguiente función:

Donde C representa la cantidad de tela en cientos de metros y t es el tiempo en que se tarda en hacer el pedido de tela en

SEMANAS. Determina la función que representa la velocidad con la que se compra la tela para hacer ropa por semana.

Respuesta: 1.4 *t*e^(0.002*t^2-3)

Solución:

c(t)=350*e^(0.002*t^2-3)

Se debe derivar con respecto al tiempo, empleando la regla de la cadena

dc(t)/dt=350*e^(0.002*t^2-3)*(0.004*t)

dc(t)/dt=1.4*t*e^(0.002*t^2-3)

Conclusión: Con esta función obtuvimos la velocidad para comprar la tela que se comprara a la semana de esta forma

obtenemos mayor productividad.


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Ejercicio 2. Criterio de la primera y segunda derivada.

De acuerdo con los criterios de la primera y segunda derivada completa la siguiente tabla.

IntervaloCrece/

DecreceIntervalo

Cóncava hacia arriba o hacia

abajo

-∞, -5 + Crece -∞, -1 - Abajo

-5, 0 - Decrece -1, 0 - Abajo

0, 5 - Decrece 0, ∞ + Arriba

5, ∞ + Crece -∞, -1 +Arriba

Calificaciones: Muy bien


http://207.249.20.70/GAP20132/mod/data/report.php?id=99219

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