Mcdi u1 ea_lula
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Cálculo diferencial Luis López Acosta Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
Evidencia de aprendizaje. Modelado de funciones
Instrucciones: Resuelve los siguientes planteamientos que se presentan a continuación,
tomando en cuenta los axiomas de los números reales, desigualdades y funciones.
1. Dado x la función x se define como el número entero menor o igual a x .
Resolver:
a. Graficar la función ( )f x x en el intervalo 5,5 .
Se analiza el entero de 2 enteros consecutivos por medio de las definiciones
mencionadas tales que:
K ≤ x<k+1
Para que implique los intervalos de esta forma la función es constante del intervalo 5,5
comprobando de donde los valores más cercanos del intervalo dado entonces
si
K ≤ x<k+1
Para k= -5
-5 ≤ x < -4 ⟦𝑥⟧ = -5
Para k= -4
-4 ≤ x < -3 ⟦𝑥⟧ = -4
Para k = -3
-3 ≤ x < -2 ⟦𝑥⟧ = -3
Para k=-2
-2 ≤ x < -1 ⟦𝑥⟧ = -2
Para k=-1
-1 ≤ x < 0 ⟦𝑥⟧ = -1
Para k=0
0 ≤ x < 1 ⟦𝑥⟧ = 0
Para k=1
1 ≤ x < 2 ⟦𝑥⟧ = 1
Para k=2
2 ≤ x < 3 ⟦𝑥⟧ = 2
Para k=3
3 ≤ x < 4 ⟦𝑥⟧ = 3
Para k=4
4 ≤ x < 5 ⟦𝑥⟧ = 4
Para k=5
5 ≤ x < 6 ⟦𝑥⟧ = 5
Cálculo diferencial Luis López Acosta Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
b. Graficar la función ( ) 2f x x en el intervalo 5,5 .
Se analiza el entero de 2 enteros consecutivos por medio de las definiciones
mencionadas tales que:
k ≤ 2x<k+1 k ≤ k < k+1
2 2
Para que implique los intervalos de esta forma la función es constante del
intervalo 5,5 comprobando de donde los valores más cercanos del intervalo
dado entonces si
k ≤ k < k+1 k ≤ 2x < k + 1
2 2
Para k= -5
−5
2 ≤ x < -2 -5 ≤ 2x < - 4 ⟦2𝑥⟧= -5
Para k= -4
-2 ≤ x < −3
2 -4 ≤ 2x < - 3 ⟦2𝑥⟧= -4
Para k= -3
-−3
2 ≤ x < -1 - 3 ≤ 2x < - 2 ⟦2𝑥⟧= -3
Para k= -2
-1 ≤ x <−1
2 - -2 ≤ 2x < - 1 ⟦2𝑥⟧= -2
Cálculo diferencial Luis López Acosta Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
Para k= -1
−1
2 ≤ x < 0 -1 ≤ 2x < 0 ⟦2𝑥⟧= -1
Para k= 0
0 ≤ x < 1
2 0 ≤ 2x < 1 ⟦2𝑥⟧= 0
Para k= 1
1
2 ≤ x < 1 1 ≤ 2x < 2 ⟦2𝑥⟧= 1
Para k= 2
1 ≤ x < 3
2 2 ≤ 2x < 3 ⟦2𝑥⟧= 2
Para k= 3
3
2 ≤ x < 2 3 ≤ 2x < 4 ⟦2𝑥⟧= 3
Para k= 4
2 ≤ x < 5
2 4 ≤ 2x < 5 ⟦2𝑥⟧= 4
Para k= 5
5
2 ≤ x < 3 5 ≤ 2x < 6 ⟦2𝑥⟧= 5
Gráfica
Cálculo diferencial Luis López Acosta Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
c. Graficar la función ( )2
xf x en el intervalo 5,5 .
Se analiza el entero de 2 enteros consecutivos por medio de las definiciones
mencionadas tales que:
K ≤ 𝑥
2 < k +1 2k ≤ x < 2k +2
Para que implique los intervalos de esta forma la función es constante del
intervalo 5,5 comprobando de donde los valores más cercanos del intervalo
dado entonces si
2 k ≤ x < 2k +2 k ≤ 𝑥
2 < k +1
Para k= -5
-10 ≤ x < -8 -5 ≤ 𝑥
2 < - 4 ⟦
𝑥
2⟧ = - 5
Para k = - 4
-10 ≤ x < -6 - 4 ≤ 𝑥
2 < - 3 ⟦
𝑥
2⟧ = - 4
Para k = - 3
-6 ≤ x < - 4 -3 ≤ 𝑥
2 < - 2 ⟦
𝑥
2⟧ = - 3
Para k = - 2
-4 ≤ x < - 2 -2 ≤ 𝑥
2 < - 1 ⟦
𝑥
2⟧ = - 2
Para k = - 1
-2 ≤ x < - 0 -2 ≤ 𝑥
2 < - 0 ⟦
𝑥
2⟧ = - 1
Para k = 0
0 ≤ x < 2 - 0 ≤ 𝑥
2 < 1 ⟦
𝑥
2⟧ = 0
Para k = 1
2 ≤ x < 4 1 ≤ 𝑥
2 < 2 ⟦
𝑥
2⟧ = 1
Para k = 2
4 ≤ x < 6 2 ≤ 𝑥
2 < 3 ⟦
𝑥
2⟧ = 2
Cálculo diferencial Luis López Acosta Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
Para k = 3
6 ≤ x < 8 3 ≤ 𝑥
2 < 4 ⟦
𝑥
2⟧ = 3
Para k = 4
8 ≤ x < 10 4 ≤ 𝑥
2 < 5 ⟦
𝑥
2⟧ = 4
Para k = 5
10 ≤ x < 12 5 ≤ 𝑥
2 < 6 ⟦
𝑥
2⟧ = 5
Gráfica
2. Se construyen rectángulos con la condición de que un lado es 3 cm más grande que
el otro, resolver:
a. Expresar el área del rectángulo ( )A l como función de uno de los lados l donde
l es el lado más pequeño el cual está dado en centímetros.
El área de un rectángulo es la base por la altura A = xh
Consideremos llamar x = l el lado más pequeño, entonces el grande medirá respecto a los
datos que es h = l + 3 y el área será
A (L) = l (L + 3) = L2 + 3L
b. Calcular (5)A .
Sustituimos L = 5
A (5) = 52 + 5 (5) = 25 + 15 = 40 cm2
Cálculo diferencial Luis López Acosta Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
c. Hallar el valor de l que satisface 228 cm .
El área es A(L) = L2 + 3L y si A(L) = 28 cm2 esto implica que:
L2 + 3L = 28 L2 + 3L – 28 = 0
Resolviendo por formula general queda
L=−3±√32−4(1)(28)
2(1) =
−3±√9−4(28)
2 = L=
−3±√121)
2 =
−3±11
2
La solución de la ecuación cuadrática es
L1 = −3+11
2 =
8
2 = 2
L2 = −3− 11
2 =
−14
2 = -7
El resultado negativo no cumple la condición por ser longitud negativa y el resultado
positivo si lo cumple
Entonces
L = 4
3. Al dejarse caer una piedra su altura con respecto al suelo está dada por la función 2( ) 50 4 4.9h t t t , donde t está en segundos, resolver:
a. ¿a qué altura esta la piedra al comenzar el movimiento?
Basados en la ley de movimiento parabólica de la ley de mecánica clásica El
movimiento comienza en el instante t= 0
Su altura será
h(0) = 50 - 4 (0) – 4.9 (0)2 = 50 m
b. ¿en cuánto tiempo llega la piedra al suelo?
Llegará al suelo cuando su altura sea cero es decir h(t) = 0 implica que:
0 = 50 – 4t – 4.9 t2 4.9 t2 + 4t – 50 = 0
Resolviendo por formula general queda
t =−4±√16−4(4.9)(50)
2(4.9) =
−4±√16 + 980
9.8 =
−4±√16 + 980
9.8 =
−4±√996
9.8
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Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:
t1 = −4+√996
9.8 = 2.81219
t2 = −4− √996
9.8 = -3.6285
El resultado negativo no tiene sentido y el resultado positivo es el importante
Entonces t= 2.8 seg.
c. ¿Cuánto recorre la piedra después de 2 seg?
Calcularemos la altura en 2 seg y la diferencia con la altura inicial será el espacio
recorrido
Primero
h(2) = 50 – 4(2) – 4.9 (2)2 = 50 – 8 – 19.6 = 22.4
Luego y finalmente calcularemos la distancia recorrida
Distancia recorrida = 50 – h(2) = 50 – 22.4 = 27.6 m