MecaFísica

CONTENIDO

CAPTULO 0: INTRODUCCIN .................................................................................... 1

0.1. Cantidades fsicas ........................................................................................................ 1

0.1.1. Anlisis dimensional ............................................................................................. 1

0.1.2. Unidades ................................................................................................................ 1

0.2. Vectores ....................................................................................................................... 3

0.2.1. Cantidades escalares ............................................................................................. 4

0.2.2. Cantidades vectoriales .......................................................................................... 4

0.2.3. Notacin vectorial ................................................................................................. 4

0.2.4. Representacin de un vector ................................................................................. 4

0.2.5. Direccin de un vector .......................................................................................... 4

0.2.6. Vectores iguales .................................................................................................... 5

0.2.7. Vectores iguales y opuestos .................................................................................. 5

0.2.8. Vectores unitarios ................................................................................................. 5

0.2.9. Suma o composicin de vectores .......................................................................... 5

0.2.10. Suma de vectores por el mtodo grfico ............................................................. 5

0.2.11. Componentes rectangulares de un vector ........................................................... 6

0.2.12. Suma de vectores por componentes rectangulares ............................................. 9

0.2.13. Producto entre vectores ..................................................................................... 10

0.2.14. Producto escalar o producto punto entre vectores ............................................ 10

0.2.15. Producto vectorial o producto cruz entre vectores ........................................... 12

0.2.16. Derivadas con vectores ..................................................................................... 14

0.3. Coordenadas polares ................................................................................................. 15

0.4. Pautas generales en la solucin de problemas .......................................................... 16

CAPTULO 1: CINEMTICA ........................................................................................ 19

1.1. Introduccin ............................................................................................................... 19

1.2. Sistemas de referencia ............................................................................................... 19

1.3. Concepto de partcula ................................................................................................ 22

1.4. Descripcin de la cinemtica de una partcula .......................................................... 22

1.4.1. Vector posicin () .............................................................................................. 22

1.4.2. Vector desplazamiento () ................................................................................ 23

1.4.3. Vector velocidad () ........................................................................................... 24

1.4.4. Vector velocidad media () ................................................................................ 24

1.4.5. Vector velocidad instantnea () ........................................................................ 26

1.4.6. Vector aceleracin () ......................................................................................... 28

1.4.7. Vector aceleracin media () .............................................................................. 28

1.4.8. Vector aceleracin instantnea ()...................................................................... 29

1.5. Movimiento rectilneo de una partcula .................................................................... 30

1.5.1. Velocidad en el movimiento rectilneo () ......................................................... 31

1.5.2. Movimiento rectilneo uniforme (MRU) ............................................................ 31

1.5.3. Aceleracin en el movimiento rectilneo ............................................................ 33

1.5.4. Movimiento acelerado ........................................................................................ 33

1.5.5. Movimiento rectilneo desacelerado o retardado ................................................ 33

1.5.6. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) ............................... 34

1.6. Movimiento curvilneo en un plano .......................................................................... 38

1.6.1. Movimiento curvilneo bajo aceleracin constante ............................................ 38

1.7. Movimiento general en un plano ............................................................................... 43

1.7.1. Vector posicin ................................................................................................... 43

1.7.2. Vector velocidad ................................................................................................. 43

1.7.3. Vector aceleracin............................................................................................... 44

1.8. Movimiento circular .................................................................................................. 47

1.8.1. Vector posicin () .............................................................................................. 48

1.8.2. Vector velocidad () ........................................................................................... 48

1.8.3. Vector aceleracin () ......................................................................................... 49

1.8.4. Movimiento circular uniforme ............................................................................ 49

1.8.5. Movimiento circular uniformemente acelerado .................................................. 51

1.8.6. Vector velocidad angular y vector aceleracin angular ...................................... 52

1.9. Velocidades altas y velocidades bajas ....................................................................... 52

Preguntas .......................................................................................................................... 53

CAPTULO 2: DINMICA DE UNA PARTCULA .................................................... 57

2.1. Introduccin ............................................................................................................... 57

2.2. Momento lineal o cantidad de movimiento () ........................................................ 58

2.2.1. Conservacin del momento lineal ....................................................................... 60

2.3. Leyes de Newton del movimiento ............................................................................. 61

2.3.1. Primera ley de Newton o ley de inercia .............................................................. 61

2.3.2. Segunda ley de Newton o ley de fuerza .............................................................. 63

2.3.3. Fuerza neta o resultante de un sistema de fuerzas concurrentes ......................... 65

2.3.4. Resultante de un sistema de fuerzas utilizando componentes rectangulares ...... 66

2.3.5. Tercera ley de Newton o ley de accin-reaccin ................................................ 66

2.3.6. Equilibrio de una partcula .................................................................................. 70

2.4. Fuerza de friccin entre superficies en contacto ....................................................... 72

2.5. Fuerza de friccin en fluidos ..................................................................................... 77

2.6. Fuerza elstica de un resorte ..................................................................................... 78

2.7. Dinmica del movimiento curvilneo ........................................................................ 80

2.7.1. Dinmica del movimiento circular ..................................................................... 81

2.7.2. Movimiento curvilneo en componentes rectangulares ...................................... 82

2.8. Vector momento angular de una partcula ................................................................ 83

2.8.1. Variacin del vector momento angular con el tiempo ........................................ 84

2.8.2. Conservacin del momento angular y fuerzas centrales .................................... 84

2.9. *Sistemas de masa variable ....................................................................................... 87

Preguntas .......................................................................................................................... 88

CAPTULO 3: TRABAJO Y ENERGA ........................................................................ 91 3.1. Introduccin ............................................................................................................... 91

3.2. Impulso () ................................................................................................................. 92

3.3. Trabajo () ............................................................................................................... 93

3.3.1. Casos particulares de la ecuacin (3.5) ............................................................... 93

3.3.2. Interpretacin geomtrica de la ecuacin (3.5) ................................................... 94

3.3.3. Trabajo de una fuerza en componentes rectangulares ........................................ 94

3.3.4. Trabajo realizado por la fuerza resultante ........................................................... 95

3.4. Potencia ..................................................................................................................... 97

3.5. Energa cintica () ............................................................................................... 98

3.5.1. Casos particulares del teorema del trabajo y la energa ...................................... 99

3.6. Fuerzas conservativas y energa potencial .............................................................. 101

3.6.1. Trabajo realizado por una fuerza constante ...................................................... 101

3.6.2. Trabajo realizado por la fuerza gravitacional ................................................... 101

3.6.3. Trabajo realizado por la fuerza elstica de un resorte ...................................... 102

3.7. Conservacin de la energa para una partcula ........................................................ 104

3.8. Fuerzas no conservativas ......................................................................................... 106

3.9. Derivada direccional y energa potencial ................................................................ 107

3.10. Movimiento rectilneo bajo fuerzas conservativas ................................................ 110

3.11. Curvas de energa potencial .................................................................................. 111

3.12. Colisiones .............................................................................................................. 114

3.13. Movimiento bajo fuerzas centrales conservativas ................................................ 117

Preguntas ........................................................................................................................ 118

CAPTULO 4: DINMICA DE UN CUERPO RGIDO ............................................ 121 4.1. Introduccin ............................................................................................................. 121

4.1.1. Movimiento de traslacin pura ......................................................................... 122

4.1.2. Movimiento de rotacin pura ............................................................................ 122

4.1.3. Movimiento combinado de traslacin y rotacin ............................................. 122

4.2. Torque de una fuerza respecto a un punto .............................................................. 123

4.3. Torque de un par de fuerzas o cupla ....................................................................... 127

4.3.1. Efectos de traslacin de un par de fuerzas ........................................................ 127

4.3.2. Efectos de rotacin de un par de fuerzas .......................................................... 127

4.4. Descomposicin de una fuerza en un sistema fuerza-par ....................................... 128

4.5. Resultante de un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo rgido ......................... 131

4.5.1. Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes ............................................ 131

4.5.2. Resultante de un sistema de fuerzas coplanares ............................................... 132

4.5.3. Resultante de un sistema de fuerzas paralelas .................................................. 133

4.6. Vector momento angular de un cuerpo rgido ........................................................ 135

4.7. Momento de inercia de un cuerpo rgido ................................................................ 137

4.8. Ejes principales de inercia ....................................................................................... 139

4.8.1. Ejes principales de inercia en un cuerpo esfrico ............................................. 139

4.8.2. Ejes principales de inercia en un cuerpo cilndrico .......................................... 139

4.8.3. Ejes principales de inercia en un cuerpo rectangular ........................................ 139

4.9. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos ............................................................. 140

4.10. Radio de giro de un cuerpo rgido ......................................................................... 140

4.11. Ecuacin de movimiento para la rotacin de un cuerpo rgido ............................ 141

4.11.1 Rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje principal de inercia ........... 142

4.11.2 Rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje no principal de inercia ...... 142

4.11.3 Movimiento combinado de traslacin y rotacin de un cuerpo rgido ............ 146

4.12. Energa de un cuerpo rgido .................................................................................. 148

4.12.1. Energa cintica de un cuerpo rgido .............................................................. 148

4.12.2. Energa cintica traslacional de un cuerpo rgido ........................................... 149

4.12.3. Energa cintica rotacional de un cuerpo rgido ............................................. 149

4.12.4. Energa cintica total de un cuerpo rgido ...................................................... 149

4.12.5. Energa total de un cuerpo rgido .................................................................... 152

4.13. Movimiento por rodadura de un cuerpo rgido ..................................................... 154

4.14. Equilibrio de un cuerpo rgido .............................................................................. 158

4.14.1. Equilibrio de un cuerpo rgido sometido slo a dos fuerzas ........................... 159

4.14.2. Equilibrio de un cuerpo rgido sometido slo a tres fuerzas .......................... 159

Preguntas ........................................................................................................................ 161

CAPTULO 5: MECNICA DE FLUIDOS ................................................................. 163 5.1. Introduccin ............................................................................................................. 163

5.2. Esttica de fluidos ................................................................................................... 164

5.3. Presin en un fluido ................................................................................................. 165

5.3.1. Principio de Pascal ............................................................................................ 166

5.3.2. Densidad ............................................................................................................ 167

5.3.3. Variacin de la presin con la profundidad ...................................................... 168

5.3.4. Presin en la interfase de dos fluidos ................................................................ 169

5.3.5. Medicin de la presin ...................................................................................... 171

5.3.6. Principio de Arqumedes ................................................................................... 172

5.4. Dinmica de fluidos ................................................................................................ 176

5.4.1. Lnea de flujo y lnea de corriente .................................................................... 177

5.4.2. Tubo de flujo ..................................................................................................... 178

5.5. Ecuacin de continuidad ......................................................................................... 178

5.6. Ecuacin de Bernoulli ............................................................................................. 180

5.6.1. Tubo o medidor de Venturi ............................................................................... 183

5.6.2. Aplicaciones de la ecuacin de Bernulli ........................................................... 184

Preguntas ........................................................................................................................ 187

CAPTULO 6: TERMODINMICA ............................................................................ 189 6.1. Introduccin ............................................................................................................. 189

6.2. Concepto de temperatura y ley cero de la termodinmica ...................................... 190

6.3. Expansin por temperatura o expansin trmica .................................................... 193

6.4. Calor ........................................................................................................................ 196

6.5. Capacidad calorfica y calor especfico ................................................................... 197

6.6. Equivalente mecnico del calor .............................................................................. 199

6.7. Capacidad calorfica molar ...................................................................................... 200

6.8. Cambios de fase macroscpicos .............................................................................. 201

6.9. Ecuaciones de estado ............................................................................................... 203

6.10. Gas ideal ................................................................................................................ 204

6.11. Calor y trabajo ....................................................................................................... 206

6.12. Trabajo en un proceso termodinmico .................................................................. 206

6.13. Flujo de calor en un proceso ................................................................................. 208

6.14. Energa interna y primera ley de la termodinmica .............................................. 209

6.15. Aplicaciones de la primera ley de la termodinmica ............................................ 211

6.15.1. Proceso adiabtico .......................................................................................... 211

6.15.2. Proceso isocoro ............................................................................................... 211

6.15.3. Proceso isotrmico .......................................................................................... 211

6.15.4. Proceso isobrico ............................................................................................ 212

6.15.5. Expansin libre ............................................................................................... 213

6.16. Capacidad calorfica de un gas ideal ..................................................................... 214

6.17. Proceso adiabtico de un gas ideal ........................................................................ 217

6.18. Procesos reversibles e irreversibles ....................................................................... 218

6.19. Ciclo de Carnot ...................................................................................................... 220

6.20. Segunda ley de la termodinmica y entropa ........................................................ 223

Preguntas ........................................................................................................................ 227

Captulo 0Introduccin

ObjetivosEn esta introduccin se busca

Mostrar la importancia del anlisis dimen-sional en la fsica.

Obtener las relaciones numricas entre losdiferentes sistemas de unidades que se em-plean en la fsica.

Distinguir entre una cantidad escalar y unacantidad vectorial.

Analizar las diferentes operaciones convectores

Mostrar las relaciones matemticas entrecoordenadas rectangulares y coordenadaspolares.

0.1. Cantidades fsicas

0.1.1. Anlisis dimensional

Los conceptos, leyes y principios de la fsica,se expresan mediante ecuaciones que contienendiferentes tipos de cantidades denominadascantidades fsicas. Desde el punto de vista di-mensional, estas cantidades fsicas se clasificanen dos grupos: fundamentales y derivadas. Unacantidad fundamental se define como aquella queno es posible expresar en funcin de ningunaotra; en cambio una cantidad derivada se definecomo aquella que se expresa en funcin de unao varias cantidades fundamentales. En fsica sereconocen cuatro cantidades fundamentales, a

partir de las cuales es posible expresar cualquierotra cantidad fsica. Estas son: la longitud cuyadimensin es L, la masa cuya dimensin es M,el tiempo cuya dimensin es T y la carga elctricacuya dimensin es C.

En lo que sigue, la dimensin de una canti-dad fsica se expresa encerrando la cantidad fsi-ca entre corchetes. Por ejemplo si A es un rea,su dimensin se expresa en la forma [A].

En el rea de la mecnica, slo es necesarioconsiderar las tres primeras cantidades funda-mentales, esto es, L, M y T, ya que se tratarntemas en los cuales no interviene la carga elc-trica. Por ello, se hace referencia nicamente alas que son de inters en los temas a tratar cuan-do se analiza el movimiento de los cuerpos.

Cualquier otra cantidad fsica se encuentradentro del grupo de las denominadas canti-dades derivadas, tales como: rea (A) con di-mensin [A] = L2, volumen (V) con dimensin[V] = L3, densidad () con dimensin [] =ML3, fuerza (F) con dimensin [F] = MLT2,velocidad (v) con dimensin [v] = LT1, etc.

0.1.2. Unidades

A cada una de las cantidades fundamentales sele asigna una unidad patrn, dependiendo delsistema de unidades a emplear. En la actualidadse tiene tres sistemas de unidades: El Sistema In-ternacional (SI), el Sistema Gaussiano y el SistemaIngls (SU).

El sistema de unidades ms utilizado en la ac-tualidad y que ser empleado en la mayora delos casos, es el SI. En este sistema de unidades

la dimensin L se expresa en metros (m), la di-mensin M se expresa en kilogramos (kg) y ladimensin T se expresa en segundos (s).

El sistema gaussiano es un sistema derivadodel anterior y en el cual las unidades de las di-mensiones L, M, T son, respectivamente, el cen-tmetro (cm), el gramo (g) y el segundo (s).

Los factores de conversin, entre los sistemasde unidades SI y gaussiano, estn dados por:

1m 102 cm y 1 kg 103 g.

El sistema de unidades SU es de poco uso en laactualidad. En este sistema las cantidades fun-damentales son la fuerza con dimensin F, lalongitud con dimensin L y el tiempo con di-mensin T y sus unidades patrn son, respec-tivamente, la libra (lb), el pi (p) y el segundo(s). Otra unidad utilizada en este sistema es lapulgada (in o pul), cuya relacin con el pi es

1 p 12 in.

Las relaciones entre las unidades del sistema SIy el sistema SU son:

1 lb 4.448N y 1p 0.3048m.

Como se ver, a medida que se traten los di-ferentes temas, un buen manejo de las dimen-siones y sus respectivas unidades, tanto de lascantidades fundamentales como derivadas, per-mitir detectar posibles errores cometidos en losclculos matemticos que se llevan a cabo en lasolucin de una situacin fsica planteada.

En la tabla 1 se muestran las cantidades fsi-cas que sern utilizadas en los temas que se con-siderarn en este curso. En ella se incluyen suscorrespondientes dimensiones y las unidadesrespectivas en el sistema SI, con el fin de iradquiriendo familiaridad desde ahora con ellas.

Tabla 1. Cantidades fsicas, dimensiones y unidades

Cantidad

fsicaSmbolo

Dimen-

sinUnidad

Longitud x, y, z L mMasa M,m M kg

Tiempo t T sPosicin r L mDespla-zamiento

r L m

Velocidad v L/T m/sAceleracin a L/T2 m/s2

Velocidadangular

1/T 1/s

Aceleracinangular

1/T2 1/s2

Momentolineal

p,P ML/T kgm/s

Fuerza F, f ML/T2 kgm/s2

Momentoangular

L ML2/T kgm2/s

Torque ML2/T2 kgm2/s2

Trabajo W ML2/T2 kgm2/s2

Energa E ML2/T2 kgm2/s2

Potencia P ML2/T3 kgm2/s3

Presin p M/LT2 kg/m s2

Algunas de ellas reciben los siguientes nombres

Fuerza: 1 kgms2 1N (Newton).

Trabajo y energa: 1kgm2 s2 1 J (Julio).

Potencia: 1 kgm2 s3 1W (Vatio).

Presin: 1Nm2 1 Pa (Pascal).

Ejemplo 1Determine las dimensiones y las unidades,en cada uno de los sistemas ante-riores, de k1, k2, k3 en la expresins = k1t

2 k2t + k3, sabiendo que s es unalongitud (L) y t es un tiempo (T).

2 CAPTULO 0. INTRODUCCIN

0.2. VECTORES 3

SolucinSi s es una longitud, cada uno de los tr-minos de esta expresin debe tener dimen-siones de longitud, es decir, para el primertrmino

[k1t

2]

= [k1][t2

]= [k1] T

2 = L,

as

[k1] =LT2

= LT2,

por consiguiente, sus unidades son: m s2

en el sistema SI, cm s2 en el sistema gau-ssiano y en el sistema ingls p s2, por loque de acuerdo con la tabla 1 k1 correspon-de a una aceleracin.

Para el segundo trmino

[k2t] = [k2] [t] = [k2] T = L,

de donde

[k2] =LT

= LT1,

en este caso las unidades son: m s1 en elsistema SI, cm s1 en el sistema gaussianoy p s1 en el sistema ingls, o sea que k2corresponde a una velocidad.

Para el tercer trmino

[k3] = L,

donde finalmente, las unidades de k3 son:m en el sistema SI, cm en el sistema gau-ssiano y p en el sistema ingls, ya que slotiene dimensiones de longitud.

Ejercicio 1Halle las dimensiones y unidades de laconstante G que aparece en la expresin

F = Gm1 m2r2

,

donde F es una fuerza, r es una longitud ytanto m1 como m2 son masas.

Ejercicio 2Teniendo en cuenta las dimensionesobtenidas para G en el ejercicio 1, deter-mine a qu cantidad fsica corresponde gen la expresin

g = Gm

r2.

Ejercicio 3

Encuentre las dimensiones y unidades encada una de las siguientes expresiones (a)

gR, (b) mgR, (c) mvR[cos

(vtR

)+ 1

]y

(d) 12mv2 + mgR(1 cos ). Donde g es

una aceleracin, R es una longitud, m esuna masa, v es una velocidad y t es untiempo. En cada caso, diga a cul cantidadfsica corresponde cada expresin.

Ejemplo 2La densidad de una sustancia es = 4.5 g cm3. Exprese esta densi-dad en el sistema SI de unidades.

SolucinUtilizando factores unitarios se tiene

= 4.5 g cm3

= 4.5 g cm3 1 kg

103 g

106 cm3

1m3,

as, luego de efectuar y simplificar se ob-tiene

= 4.5 103kgm3.

Ejercicio 4

Exprese en unidades SI y en unidadesgaussianas: (a) 50 kmh1. (b) 3.03 103 p s2. (c) 300 p lb s1.

0.2. Vectores

La fsica es una ciencia natural que tiene co-mo objetivo explicar los fenmenos fsicos queocurren en la naturaleza, tal como el movimien-to de los cuerpos.

Para poder explicar estos fenmenos sedispone de modelos fsicos, los cuales estn sus-tentados por leyes comprobadas experimental-mente y que se expresan en forma de ecuacionesmatemticas. Es decir, se toma la matemticacomo el medio ms adecuado para explicar losfenmenos de la naturaleza que estn directa-mente relacionados con la fsica, en otras pala-bras, la matemtica es el lenguaje de la fsica.

Por lo expuesto anteriormente, se hace nece-sario utilizar el lgebra, la trigonometra, lageometra euclidiana, la geometra vectorial yel clculo, ya que mediante estas ramas de la


matemtica, es posible llevar a cabo los proce-dimientos matemticos adecuados con las can-tidades fsicas que es necesario utilizar, para unbuen entendimiento de los fenmenos fsicosinvolucrados.

Lo anterior lleva a una clasificacin de lascantidades fsicas, dependiendo de la forma co-mo se expresan. De este modo, se clasifican encantidades escalares y cantidades vectoriales.

0.2.1. Cantidades escalares

Son aquellas cantidades fsicas que quedancompletamente determinadas por su magnitud,expresada en una unidad conveniente. Coneste tipo de cantidades se opera de acuerdocon las reglas de la aritmtica, el lgebra y elclculo. Cantidades fsicas de este tipo son elrea (A), el volumen (V), la masa (m), el tiempo(t), el trabajo (W), la potencia (P), el momentode inercia (I), la presin (p), la energa (E), latemperatura (T), la entropa (S ), etc.

Ejemplos: A = 10 cm2, V = 3m3, m = 5 kg,t = 3 s.

0.2.2. Cantidades vectoriales

Son aquellas cantidades fsicas que para sucompleta determinacin, se requiere aadir unadireccin adems de su magnitud y una unidadapropiada. A diferencia de las cantidades es-calares, con las cantidades vectoriales se operade acuerdo con las reglas de la geometra vecto-rial. Cantidades fsicas de este tipo son la veloci-dad (v), la aceleracin (a ), la velocidad angular( ), la aceleracin angular ( ), el momento li-neal (p ), la fuerza (F ), el torque ( ), el momen-to angular (L ), etc.

0.2.3. Notacin vectorial

Como se observa en lo anterior, para las can-tidades escalares y para las cantidades vecto-riales, se utilizan notaciones diferentes con elfin de poderlas distinguir dentro de un texto.En textos impresos, generalmente se utiliza letranegrilla para representar los vectores; por ejem-plo, la fuerza se expresa como F y en otros casos

como ~F. Igualmente, la magnitud del vector Ase representa como |A| = |~A| = A, que corres-ponde a un escalar.

En los temas que se tratarn de ac en ade-lante, es indispensable distinguir claramenteentre una cantidad escalar y una cantidad vec-torial.

0.2.4. Representacin de un vector

Un vector se representa grficamente medianteuna flecha cuya longitud, utilizando una escalaadecuada, corresponde a la magnitud del vec-tor. Igualmente, la direccin del vector est da-da por el sentido de la flecha, como se ilustraen la figura 1 para los vectores A, B, C y D, quetienen direcciones diferentes.

AB

C

D

Figura 1: Representacin de un vector.

0.2.5. Direccin de un vector

Como se ha dicho anteriormente, a un vectorse le debe asignar, adems de su magnitud,una direccin. Para que la direccin de un vec-tor quede completamente determinada, es nece-sario definir una direccin de referencia, respec-to a la cual se mide el ngulo que forma el vectorconsiderado. En la figura 2 se muestra la direc-cin de los vectores de la figura 1, donde se hatomado la horizontal como la direccin de refe-rencia.

Matemticamente, los vectores de la figura 2,se expresan en la forma:

A = A 45o

D =D 45o

B = B

C = C

0.2. VECTORES 5

A B

CD

45o

0o

90o

45o

Figura 2: Direccin de un vector.

0.2.6. Vectores iguales

Los vectores A y B son iguales si tienen la mis-ma magnitud y la misma direccin, como seilustra en la figura 3. Matemticamente, lo an-terior se expresa en la forma A = B.

A B

q

q

Figura 3: Vectores iguales.

0.2.7. Vectores iguales y opuestos

Dos vectores A y B son iguales y opuestos sitienen la misma magnitud pero sentidos opues-tos, como se ilustra en la figura 4. Por lo quematemticamente A = B.

A

B

q

q

Figura 4: Vectores iguales y opuestos.

0.2.8. Vectores unitarios

Un vector es unitario cuando su magnitud es launidad. Por ello se define el vector unitario ,que es paralelo al vector A, en la forma

A

A,

donde A es la magnitud del vector A.

De este modo, el vector A se puede expresaren la forma A = A, lo cual indica que un vec-tor unitario es adimensional, esto es, no tiene di-mensiones.

Para trabajar operacionalmente con vectores,a cada uno de los ejes coordenados se le asociaun vector unitario, como se ilustra en la figura5 donde al eje x se le asocia el vector unitarioi, al eje y el vector unitario j y al eje z el vectorunitario k.

x

y

z

Oi

jk

Figura 5: Vectores unitarios en coordenadas rectan-gulares.

0.2.9. Suma o composicin de vectores

Los vectores se pueden sumar grfica y analti-camente, como se describe a continuacin. Estaoperacin vectorial es de utilidad, por ejemplo,cuando se trata de hallar la fuerza neta o fuerzaresultante que acta sobre un cuerpo. En este ymuchos otros casos, es necesario sumar variosvectores con el fin de obtener el vector suma ovector resultante.

0.2.10. Suma de vectores por el mtodogrfico

Dentro de este mtodo existen dos maneras dehacerlo, por el mtodo del tringulo y por elmtodo del polgono, el cual incluye el mtododel paralelogramo.

Cuando se trata de sumar dos vectores es mstil hacerlo bien sea por el mtodo del tringuloo por el mtodo del paralelogramo, en la formaque se muestra en las figuras 6 y 7, donde seilustra grficamente la suma de los vectores A yB.

En el caso del mtodo del tringulo, se tomauno de los vectores y donde ste termina se


A

B

S=A+B

A

B

BA

S=B+A

Figura 6: Mtodo del tringulo.

traslada el otro vector, de este modo, el vec-tor suma est dado por el vector que va des-de donde empieza el primer vector hasta dondetermina el segundo como se ilustra en la figura6.

Al observar la figura 6, se encuentra que A +B = B + A, lo cual indica que la suma de vec-tores es conmutativa.

En el mtodo del paralelogramo, se trasladanlos dos vectores a un punto comn, se comple-ta el paralelogramo cuyos lados opuestos tienenvalores iguales a la magnitud del vector corres-pondiente. El vector suma est dado por la dia-gonal que parte del punto comn a los dos vec-tores, como se muestra en la figura 7.

A

B

S=A+B

A

B

Figura 7: Mtodo del paralelogramo.

Cuando se trata de sumar ms de dos vec-tores, se hace una generalizacin del mtodo deltringulo y en este caso se habla del mtodo del

polgono, el cual se ilustra en la figura 8, para lasuma de los vectores A, B, C y D.

A

B

S=A+D+B+C

A

B C

D

D

C

Figura 8: Mtodo del polgono.

Igual que para dos vectores, sigue siendo v-lida la conmutatividad en la suma de vectores,esto es, A + B + C + D = D + C + B + A =A + D + B + C.

Cuando se suman vectores grficamente, altrasladarlos, no se debe cambiar ni la magnitudni la direccin de ninguno de ellos, pues si estono ocurre se encontrara un vector suma dife-rente al buscado.

0.2.11. Componentes rectangulares de unvector

En la seccin 0.2.12, se considera el mtodoanaltico que permite sumar vectores. En dichomtodo se emplea el concepto de componentesrectangulares de un vector.

Con ayuda de los vectores unitarios asocia-dos a los ejes coordenados, siempre es posibleexpresar un vector en componentes rectangula-res, como se ilustra en la figura 9, para el vectorA.

En este caso se ha aplicado el mtodo grficopara la suma de vectores, con la condicin quelos vectores componentes son perpendicularesentre s, esto es, el vector A expresado en com-ponentes rectangulares est dado por

A = Axi + Ayj + Azk,

donde las componentes rectangulares Ax, Ayy Az pueden ser positivas o negativas, depen-diendo de la orientacin del vector respecto a

0.2. VECTORES 7

x

y

z

OAxi

Ay j

Azk A

Figura 9: Componentes rectangulares de un vector.

los sentidos positivos de los ejes rectangulares.En el caso de la figura 9, las tres componentesson positivas. La magnitud del vector A es-t relacionada con la magnitud de sus compo-nentes rectangulares, por medio de la expresin

A2 = A2x + A2y + A

2z .

En el caso de dos dimensiones, se procede deforma idntica, solo que nicamente aparecendos componentes rectangulares, como se mues-tra en la figura 10, para el vector A.

x

y

O Axi

Ay jA

q

b

Figura 10: Componentes rectangulares de un vector.

En este caso, aplicando de nuevo el mtodogrfico para la suma de vectores, se tiene que elvector A expresado en componentes rectangu-lares est dado por

A = Axi + Ayj,

donde igualmente las componentes rectangula-res Ax y Ay pueden ser positivas o negativas,dependiendo de la orientacin del vector res-pecto al sentido positivo de los ejes de coorde-nadas, esto es, del cuadrante donde se encuen-tre el vector. En la figura 10, las componentesson positivas.

En el caso particular de un vector en dos di-mensiones, como sus componentes rectangula-res son perpendiculares, el teorema de Pitgo-ras permite relacionar la magnitud del vectorcon la magnitud de sus componentes rectangu-lares, mediante la expresin

A2 = A2x + A2y ,

donde, conociendo las magnitudes de dos deellas, es posible conocer la magnitud de la otra.

Por otro lado, una vez que se conocen lasmagnitudes de las tres cantidades, la direccindel vector A se obtiene utilizando cualquiera delas definiciones de las funciones trigonomtri-cas, aunque es costumbre emplear la funcintrigonomtrica tangente, esto es,

tan =Ay

Ax, = tan1

Ay

Ax,

tan =AxAy

, = tan1AxAy

,

dependiendo de cual eje se tome como direccinde referencia, como se ilustra en la figura 10. Deeste modo, el vector A de la figura 10, matemti-camente se expresa en la forma

A = Aq

A = Ab

Ejemplo 3Encuentre las componentes rectangularesdel vector unitario paralelo a la lnea AB,apuntando en el sentido de A hacia B.

x

y

z

O

600 mm

510

mm

320 mm

A

B

SolucinSea un vector unitario paralelo al vectorAB, esto es

=

ABAB

.


De acuerdo con la siguiente figura, el vec-tor

AB tiene las componentes rectangula-

res

x

y

z

O

600 mm

510

mm

320 mm

A

B

l

AB = ( 0.6i + 0.32j 0.51k)m,

donde su magnitud est dada por

AB =

0.62 + 0.322 + 0.512 m

= 0.85m.

Por consiguiente el vector unitario para-lelo al vector

AB, expresado en compo-

nentes rectangulares, est dado por

=( 0.6 i + 0.32 j 0.51k)m

0.85m,

= 0.72 i + 0.38 j 0.6k.

O sea que las componentes rectangularesdel vector unitario son

x = 0.72, y = +0.38, z = 0.6.

Ejercicio 5

Encuentre las componentes rectangularesdel vector unitario paralelo a la lnea BA,apuntando en el sentido de B hacia A.Compare su resultado con el obtenido enel ejemplo 3.

x

y

z

O

600 mm

510

mm

320 mm

A

B

Ejemplo 4Con ayuda del mtodo grfico, halle el

A

B

q

vector suma de los vectores mostrados enla figura.SolucinTeniendo en cuenta el mtodo del trin-gulo, la magnitud y direccin del vectorsuma se obtiene como sigue.

A

B

q

S=A+B

a b

c

De la figura se cumple la igualdad

(ac)2 = (ab)2 + (bc)2, (1)

donde

ac = S, ab = A + B cos , bc = B sen .(2)

Reemplazando las expresiones de laecuacin (2) en la ecuacin (1), se obtiene

S2 = (A + B cos )2 + (B sen )2

= A2 + B2 + 2AB cos ,

donde mediante esta expresin, conocidacomo la ley del coseno, es posible conocerla magnitud del vector suma.

Para hallar la direccin del vectorsuma, con ayuda de la figura, se procedecomo sigue.

A

B

q

S

a b

c

b

g

d

e

cb = S sen = B sen ,S

sen =

B

sen ,

(3)

ed = A sen = B sen ,A

sen =

B

sen .

(4)Por las ecuaciones (3) y (4), se encuen-

traS

sen =

A

sen =

B

sen .

0.2. VECTORES 9

Expresin conocida como la ley del seno, y me-diante la cual es posible hallar el ngulo , cono-ciendo los valores de B, y S.

Ejercicio 6

Halle la magnitud y direccin del vec-tor suma, de los vectores mostrados en lafigura.

B=15 u57

o A=23 u

0.2.12. Suma de vectores por compo-nentes rectangulares

Para sumar dos o ms vectores por compo-nentes rectangulares, primero se expresa cadauno de los vectores en sus componentes rec-tangulares y luego se suman, por separado, lascomponentes rectangulares paralelas a cada ejecoordenado, es decir, al sumar los vectores A, B,C y D, se procede as

i) Se obtienen las componentes rectangularesde cada vector, como se ilustra grficamente enla figura 11.

x

y

O Axi

Ay jA

B

C

DBxi

By j Dxi

Dyj

Figura 11: Componentes rectangulares de cada vec-tor.

A = Ax i + Ay j,

B = Bx i + By j,

C = Cy j,

D = Dx i + Dy j,

donde,

- las componentes del vector A son positivas,ya que el vector se encuentra en el primercuadrante (Ax > 0, Ay > 0),

- la componente horizontal del vector B esnegativa, mientras que su componente ver-tical es positiva por estar ubicado el vectoren el segundo cuadrante (Bx < 0, By > 0),

- el vector C solo tiene componente verticalla cual es negativa por apuntar en sentidoopuesto a la direccin tomada como positi-va para el eje y (Cy < 0),

- la componente horizontal del vector D espositiva y su componente vertical negativa,ya que el vector se encuentra en el cuartocuadrante (Dx > 0, Dy < 0).

ii) Componentes rectangulares del vectorsuma

Sx = Ax + Bx + Dx,

Sy = Ay + By + Cy + Dy.

De este modo, el vector suma en componentesrectangulares, est dado por

S = Sxi + Syj.

iii) Magnitud del vector suma

x

y

O Sxi

Sy jS

q

b

Figura 12: Vector suma de varios vectores.

Como las componentes del vector suma sonperpendiculares entre s, de nuevo se utiliza elteorema de Pitgoras, esto es

S2 = S2x + S2y

iv) Direccin del vector suma

tan = SySx , = tan1 Sy

Sx,

tan = SxSy , = tan1 Sx

Sy


dependiendo del eje que se tome como referen-cia, como se muestra en la figura 12.

Ejemplo 5Halle el vector suma o vector resultante,de los cuatro vectores mostrados en lafigura.

x

y

O

37o

D = 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u

SolucinLuego de considerar las componentes rec-tangulares de cada vector, se encuentraque las componentes rectangulares delvector suma son

Sx = 5.77u y Sy = 17.75u.

De este modo, el vector suma expresadoen componentes rectangulares est dadopor

S = (5.77i 17.75j)u.

Finalmente, luego de hallar la magni-tud y direccin de este vector, se obtiene

S = 18.66 u 71.99o

Grficamente se tiene

x

y

O 71.99o

18.66 u

-17.75 u

5.77 u

Ejercicio 7

Encuentre los siguientes vectores, utilizan-do los cuatro vectores de la grfica. (a)

V1 = A (B C) + D, (b) V2 = (AB) + CD, (c) V3 = A + D (2C B) y(d) V4 = A BCD.

x

y

O

37o

D = 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u

0.2.13. Producto entre vectores

En fsica se definen cantidades, tales como eltrabajo realizado por una fuerza, el momen-to angular de un cuerpo o el torque de unafuerza, en funcin del producto entre dos vec-tores. Pero se debe tener cuidado al definirlas yaque existen dos tipos de producto, uno de ellosse conoce como producto escalar o producto puntoentre dos vectores y el otro como producto vecto-rial o producto cruz entre dos vectores, los cualestienen propiedades o caractersticas diferentescomo se muestra en lo que sigue.

0.2.14. Producto escalar o producto puntoentre vectores

El producto escalar entre dos vectores, ser degran utilidad en la definicin matemtica delconcepto de trabajo.

Se consideran los vectores A y B que formanentre s un ngulo , como se ilustra en la figura13. El producto escalar entre estos dos vectores,que se representa como A B, est definido por

A B AB cos ,

o sea que el producto escalar entre los vectoresA y B es igual al producto de sus magnitudespor el coseno del ngulo que forman.De acuerdo con esta definicin, se tiene que

el producto escalar entre dos vectores es un es-

0.2. VECTORES 11

A

q

B

Figura 13: Producto escalar de dos vectores.

calar, y que adicionalmente

A B = AB cos ,

B A = BA cos ,

lo cual indica que el producto escalar cumple lapropiedad de conmutatividad.Partiendo de esta definicin, es posible ob-

tener otras dos definiciones para el productoescalar, teniendo en cuenta la figura 14, comosigue.

A

q

B

A

q

BA cos q

B cos q

(a) (b)

Figura 14: Proyeccin de un vector sobre el otro.

En la figura 14(a), la proyeccin del vector Asobre el vector B est dada por A cos , lo cualpermite expresar la definicin de producto es-calar en la forma

A B (A cos )B,

esto es, el producto escalar de los vectores A yB tambin se puede definir como el producto dela componente del vector A paralela a B por lamagnitud de B.Anlogamente, al considerar la figura 14(b),

la proyeccin del vector B sobre el vector A es-t dada por B cos , por lo que la definicin deproducto escalar se puede escribir en la forma

A B A(B cos ),

o sea, el producto escalar de los vectores A y Bigualmente se puede definir como el producto

de la magnitud del vector A por la componentedel vector B paralela al vector A.Por otro lado, de la definicin de producto es-

calar entre los vectores A y B, se obtienen lassiguientes conclusiones

- Cuando los vectores son paralelos el pro-ducto punto es mximo, ya que en este casoel coseno adquiere su mximo valor.

- Cuando los vectores son antiparalelos elproducto punto es mnimo, ya que en estecaso el coseno adquiere su mnimo valor.

- Cuando los vectores son perpendiculares elproducto punto es nulo.

En sntesis, el producto punto entre los vectoresA y B adquiere valores comprendidos entre elintervalo AB A B +AB.Teniendo en cuenta lo anterior, para los vec-

tores unitarios i, j y k, que son linealmente in-dependientes por ser perpendiculares entre s,se satisfacen las siguientes igualdades

i i = j j = k k=1,

i j = j i = j k = k j = k i = i k = 0.

Por consiguiente, el producto escalar de los vec-tores A y B, teniendo en cuenta sus compo-nentes rectangulares, tambin se puede expre-sar en la forma

A B = AxBx + AyBy + AzBz.

Ejemplo 6Utilizando la definicin de producto pun-to, encuentre el ngulo que el vector A for-ma con cada uno de los vectores B, C y D,mostrados en la figura.

x

y

O

37o

D = 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u


SolucinInicialmente se expresa cada vector encomponentes rectangulares

A = (20 cos 37 i + 20 sen 37 j)u,

B = (15 cos 25 i + 15 sen 25 j)u,

C = (30j)u,

D = (7 sen 29 i 7 cos 29 j)u.

Ahora, empleando la definicin de pro-ducto escalar, entre los vectores A y B, setiene que el ngulo entre ellos est dadopor

cos =A B

AB.

Llevando a cabo las operaciones indicadasen la expresin anterior, para cada parejade vectores, se encuentra

Angulo entre los vectores A y B:1 = 118o.

Angulo entre los vectores A y C:2 = 127o.

Angulo entre los vectores A y D: 3 = 98o.

Resultados que estn de acuerdo conlos mostrados en la figura.

Ejercicio 8

Encuentre el ngulo entre los siguientesvectores (a) A + B y A C, (b) B C yAD, (c) B y AC y (d) DA y C + B,donde los vectores A, B, C y D, se mues-tran en la figura.

x

y

O

37o

D = 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u

0.2.15. Producto vectorial o productocruz entre vectores

Se consideran los vectores A y B que forman en-tre s un ngulo , como se ilustra en la figura 15.

El producto vectorial entre estos dos vectores,que se representa como A B, est definido detal forma que es igual a otro vector C perpendi-cular tanto al vector A como al vector B, esto es,el vector C = A B es un vector perpendicularal plano formado por los vectores A y B, dondesu magnitud est dada por

|C| = |A B|

= AB sen ,

A

q

B

C= A Bx

Figura 15: Producto vectorial entre vectores.

o sea que la magnitud del producto vectorialentre los vectores A y B es igual al producto desus magnitudes por el seno del ngulo que for-man.

Por otro lado, como consecuencia de la defini-cin del producto vectorial entre los vectores Ay B, se tienen las siguientes conclusiones

- Cuando los vectores son paralelos la mag-nitud del producto cruz es nula, ya que eneste caso el seno adquiere el valor cero.

- Cuando los vectores son antiparalelos lamagnitud del producto cruz es nula, ya queen este caso el seno adquiere el valor cero.

- Cuando los vectores son perpendiculares,formando entre s un ngulo de 90o, lamagnitud del producto cruz es mxima, yaque el seno adquiere su mximo valor, estoes AB.

- Cuando los vectores son perpendiculares,formando entre s un ngulo de 270o, lamagnitud del producto cruz es mnima, yaque el seno adquiere su mnimo valor, estoes AB.

En sntesis, el producto cruz entre los vectoresA y B adquiere valores comprendidos entre elintervalo AB |A B| +AB.

0.2. VECTORES 13

Teniendo en cuenta lo anterior, para los vec-tores unitarios i, j y k, que son linealmente in-dependientes por ser perpendiculares entre s,se satisfacen las siguientes igualdades

i i = j j = k k = 0,

i j = k, j i = k, j k = i,k j = i, k i = j, i k = j

Por consiguiente, el producto vectorial de losvectores A y B, teniendo en cuenta sus compo-nentes rectangulares, tambin se puede expre-sar en la forma

C = A B

= (Axi + Ayj + Azk) (Bxi + Byj + Bzk).

ConC = Cxi + Cyj + Czk,

se encuentra que

Cx = AyBz AzBy,

Cy = AzBx AxBz,

Cz = AxBy AyBx.

El resultado anterior tambin se puede obteneral resolver el determinante

A B =

i j k

Ax Ay AzBx By Bz

El producto vectorial entre vectores se utilizarpara definir, respecto a un punto determinado,el vector torque de una fuerza y el vectormomento angular de un cuerpo.

Ejemplo 7Considere los vectores P1 y P2 de la figu-ra. Efecte el producto vectorial entre es-tos dos vectores y utilice el resultado parademostrar la identidad trigonomtrica

sen(1 2) = sen 1 cos 2 cos 1 sen 2

SolucinPara hallar el producto vectorial de estos

P1 P

2

q

1

q

2

y

x

dos vectores, primero se debe expresar ca-da uno de ellos en componentes rectangu-lares, esto es

P1 = P1xi + P1yj

= P1 cos 1i + P1 sen 1j,

P2 = P2xi + P2yj

= P2 cos 2i + P2 sen 2j.

Por consiguiente, el producto vectorial delos vectores dados, que de acuerdo con laregla de la mano derecha apunta en la di-reccin negativa del eje z, est dado por

P1P2 = P1P2(sen1 cos 2 sen 2 cos 1)k,

por lo que su magnitud es

|P1 P2| = P1P2(sen1 cos 2 sen 2 cos 1).(1)

Por otro lado, considerando la definicinde producto vectorial, se tiene que la mag-nitud tambin est dada por

|P1 P2| = P1P2sen(1 2). (2)

Finalmente, igualando las ecuaciones (1) y(2), se obtiene

sen(1 2) = (sen1 cos 2 sen 2 cos 1).

Ejercicio 9Considere los vectores P1 y P2 de la figu-ra. Efecte el producto escalar entre es-tos dos vectores y utilice el resultado parademostrar la identidad trigonomtrica

cos(1 2) = cos 1 cos 2 + sen 1 sen 2

P1 P

2

q

1

q

2

y

x


Ejemplo 8Encuentre el ngulo que el vector A for-ma con cada uno de los vectores B, C y D,mostrados en la figura.

x

y

O

37o

D = 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u

SolucinInicialmente se expresa cada vector encomponentes rectangulares

A = (20 cos 37 i + 20 sen 37 j)u,

B = (15 cos 25 i + 15 sen 25 j)u,

C = (30 j)u,

D = (7 sen 29 i 7 cos 29 j)u.

Ahora, empleando la definicin de pro-ducto vectorial, entre los vectores A y B,se encuentra que el ngulo entre ellos estdado por

sen =|A B|

AB.

Llevando a cabo las operaciones indicadasen la expresin anterior, para cada parejade vectores, se encuentraAngulo entre los vectores A y B: 1 = 62o,que es el suplemento de 1 = 118o.Angulo entre los vectores A y C: 2 = 53o,que es el suplemento de 1 = 127o.Angulo entre los vectores A y D: 3 = 82o,que es el suplemento de 1 = 98o.Resultados que concuerdan con losobtenidos en el ejemplo 6, utilizando ladefinicin de producto escalar.

Ejercicio 10

Encuentre, empleando la definicin deproducto vectorial, el ngulo entre lossiguientes vectores (a) A + B y A C, (b)BC y AD, (c) B y AC y (d) DA yC + B, donde los vectores A, B, C y D, sonlos mostrados en la figura. Compare conlos resultados obtenidos en el ejercicio 8.

x

y

O

37o

D = 7u

A=

20u

25o

B =15u

29oC = 30u

0.2.16. Derivadas con vectores

En diferentes situaciones se hace necesarioderivar un vector, bien sea respecto a una delas coordenadas o respecto al tiempo, es decir,respecto a una cantidad escalar. Esta operacinse emplea al definir cantidades fsicas tales co-mo los vectores velocidad (v), aceleracin (a),fuerza (F) y torque de una fuerza respecto a unpunto (). En lo que sigue, t es un escalar res-pecto al cual se tomarn las derivadas de unvector o de un producto de vectores.Si el vector A est dado en componentes rec-

tangulares por A = Axi + Ayj + Azk, su deriva-da respecto al escalar t, viene dada por

dAdt

=ddt

(Axi + Ayj + Azk),

=dAxdt

i +dAydt

j +dAzdt

k,

donde se ha tenido en cuenta que los vectoresunitarios i , j y k tienen magnitud y direccinconstantes, es decir

didt

=djdt

=dkdt

= 0.

En algunas situaciones se hace necesario deter-minar la derivada de un producto escalar o deun producto vectorial. En este caso, se aplicanlas mismas reglas del clculo para la derivadade un producto.

De este modo, la derivada del escalar A = B C, est dada por

dAdt

=ddt

(B C)

=dBdt

C + B dCdt

.

0.3. COORDENADAS POLARES 15

De igual manera, la derivada del vector D =PQ, es

dDdt

=ddt

(PQ)

=dPdtQ + P

dQdt

.

En este caso se debe tener presente que elproducto cruz no es conmutativo, mientras queel producto punto s lo es.

Ejemplo 9Derivar los siguientes vectores respecto alescalar t. (a) A(t) = 3t2i + 2tj + 8k. (b)r(t) = [Acos(t)] i + [Asen(t)] j, donde es una constante.

Solucin(a)

dA(t)dt

= 6ti + 2j.

(b)

dr(t)dt

= [A sen(t)] i + [A cos(t)] j

= A{[ sen(t)] i + [cos(t)] j}.

Ejercicio 11

Halle la segunda derivada de los vec-tores dados en el ejemplo 9. Encuentre unarelacin entre el vector r(t) y su segundaderivada.

0.3. Coordenadas polares

Hasta este momento se han empleado coorde-nadas rectangulares para el trabajo con vec-tores. Como se ver ms adelante, se presentansituaciones fsicas en las que es ms adecuadoemplear otro sistema de coordenadas conocidocomo coordenadas polares r , en las que un pun-to del plano xy, con coordenadas rectangulares(x, y), se expresa en la forma (r, ) donde r esla longitud de la recta que va del origen al pun-to en consideracin y es el ngulo que la rectaforma con respecto a un eje de referencia, medi-do en sentido antihorario, como se ilustra en lafigura 16.

q

( , )r q

r

Figura 16: Coordenadas polares.

Mediante el sistema de coordenadas rectan-gulares es posible encontrar una relacin en-tre ambos sistemas de coordenadas, teniendo encuenta la figura 17.

q

( , )r q

r

x

y

( , )x y

Figura 17: Coordenadas polares y coordenadas rec-tangulares.

De la figura 17 se tiene

x = r cos y y = r sen .

Ejemplo 10Las coordenadas cartesianas de dospuntos en el plano xy, estn dadas por(2.0, 4.0)m y ( 3, 0, 3.0)m. Determine(a) La distancia entre estos puntos. (b) Suscoordenadas polares.

Solucin(a) Para determinar la distancia entre lospuntos A y B, se consideran los vectoresr1 y r2, cuyas componentes rectangularesestn dadas por

x (m)

y (m)

(2.00, -4.00)

(-3.00, 3.00)

O

A

B

r1

r2

q1

q2

D

r1 = (2i 4j)m y r2 = ( 3i+ 3j)m.


Ahora, la diferencia entre los vectores r1 yr2 es igual al vector D, esto es

D = r1 r2

= (5i 7j)m.

De este modo, la distancia entre los pun-tos A y B, corresponde a la magnitud delvector diferencia, es decir

D =

52 + 72 8.6m.

(b) Coordenadas polares de cada puntoPara el punto A sus coordenadas po-

lares son (r1 ,1), cuyos valores estn da-dos por

r1 =

22 + 42

= 4.47m,

1 = 360 tan1 4

2= 296.57o.

Para el punto B las coordenadas polaresson (r2 ,2), con valores

r2 =

32 + 32

= 4.24m,

1 = 180 tan1 3

3= 135o.

Ejercicio 12

Dos puntos en el plano tienen coordena-das polares (2.5m, 30.0o) y (3.8m, 120.0o).Determine (a) Las coordenadas carte-sianas de estos puntos. (b) La distancia en-tre ellos.

0.4. Pautas generales en la solu-

cin de problemas

Los diferentes temas que se tratan en un cursode fsica, corresponden a situaciones que se pre-sentan en la naturaleza, tal como el movimientode los cuerpos. Estos temas se analizan primerode una manera general y luego se aplican losconceptos involucrados en el anlisis y solucinde situaciones fsicas particulares, ms conoci-dos como problemas. A continuacin, se consi-deran las pautas generales que se deben seguiren la solucin de problemas.

1. Mientras no se entienda con toda claridadla situacin fsica planteada en un proble-ma particular, no es posible llegar a unasolucin que tenga sentido fsico real. Porello es indispensable leer detenida y cuida-dosamente el enunciado propuesto. No en-tender el enunciado es quiz el origen demuchas salidas en falso, que pueden llevara soluciones sin ningn significado.

2. Una vez que se ha logrado cumplir el pa-so anterior, es posible trazar un diagramao esquema de la situacin planteada en elenunciado. Con esto se logra una mejor vi-sualizacin del caso que se describe.

3. Con ayuda del diagrama anterior, general-mente, se escriben las cantidades dadas ylas cantidades conocidas. Igualmente, sedebe estar seguro de cules cantidadesdebe determinar, es decir, cules son las in-cgnitas del problema.

4. En la solucin de un problema, por lo gene-ral, slo se aplican pocos principios o con-ceptos fsicos. En esta etapa es indispen-sable analizar cules principios o concep-tos se deben emplear, teniendo en cuenta larelacin entre las cantidades a determinary las cantidades conocidas.

5. Teniendo en cuenta que la matemtica esel lenguaje de la fsica, se expresan losprincipios o conceptos en funcin de lascantidades fsicas que intervienen en elproblema particular. En esta parte se debetener mucho cuidado de utilizar expre-siones matemticas que sean vlidas en lasituacin que se est tratando. Tenga pre-sente que algunas expresiones no son devalidez general, sino que slo son aplica-bles en ciertos casos. Como algunas vecesse obtienen varias ecuaciones simultneasque es necesario resolver, se debe contar elnmero de ecuaciones y de incgnitas conel fin de saber si es posible obtener unasolucin en funcin de las cantidades cono-cidas o no. En cada caso particular, utiliceel mtodo ms adecuado que le permita re-

0.4. PAUTAS GENERALES EN LA SOLUCIN DE PROBLEMAS 17

solver de la forma ms sencilla posible, elsistema de ecuaciones simultneas.

6. Hasta donde sea posible, trabaje en for-ma literal, es decir, utilice los smbolos delas cantidades fsicas conocidas en lugarde hacer los reemplazos numricos desdeun comienzo. As es posible expresar lite-ralmente las incgnitas en funcin de lascantidades dadas en el enunciado, y de es-ta forma se tiene la posibilidad de hacerun anlisis fsico y dimensional de los re-sultados obtenidos, permitiendo detectarposibles errores. Espere hasta el final parareemplazar los valores numricos con susrespectivas unidades. Es importante incluirunidades, porque la respuesta se debe ex-presar en funcin de ellas y porque se ten-dr una comprobacin adicional al simpli-ficar las unidades en forma adecuada.

7. Cuando se obtengan respuestas numri-cas, es necesario hacer un anlisis de ellasrespondiendo a la pregunta tiene senti-do fsico el valor encontrado? Por ejem-plo, si se encuentra que la velocidad de unauto es mayor que la velocidad de la luz(3 108m s1), o que un cuerpo, tal comoun baln, tiene una masa igual a la de latierra (5.98 1024 kg) o a la de un elec-trn (9.1 1031 kg), es porque existe unerror en la solucin del problema, ya queson respuestas o resultados que no estn deacuerdo con la realidad.

8. Por ltimo, se deben utilizar "todas" lascomprobaciones posibles de los resultados.

Captulo1Cinemtica

ObjetivosEn esta unidad se busca

Identificar y definir las cantidades fsi-cas relacionadas con el movimiento de loscuerpos.

Analizar el modelo fsico-matemtico, quepermite obtener las herramientas nece-sarias para describir el movimiento de loscuerpos tratados bajo el modelo de partcu-la.

Aplicar los conceptos de la cinemtica asituaciones fsicas particulares.

En esta unidad de cinemtica, se definirn lossiguientes conceptos que son bsicos en el estu-dio del movimiento de los cuerpos: Sistema dereferencia, concepto de partcula, vector posi-cin ( r), vector desplazamiento ( r), vector ve-locidad (v), vector aceleracin ( a), vector veloci-dad angular (), vector aceleracin angular ().

1.1. Introduccin

La parte de la fsica que analiza el movimien-to de los cuerpos, se conoce con el nombre demecnica. La mecnica, a su vez, se divide encinemtica y dinmica. En esta unidad, se bus-ca analizar los mtodos matemticos que des-criben el movimiento de los cuerpos, los cualescorresponden a la cinemtica. El estudio de ladinmica, se inicia en la segunda unidad.

1.2. Sistemas de referencia

La frase traer el cuerpo A que se encuentra a unadistancia de 2 m , es una frase incompleta, porquecomo se ilustra en la figura 1.1, puede habermuchos cuerpos a una distancia de 2 m entre s.Esto lleva a la pregunta: 2 m a partir de qu orespecto a quin? Lo anterior muestra la necesi-dad de especificar un punto u observador de re-ferencia respecto al cual se miden los 2 m. Porello es ms correcto decir: "Traer el cuerpo Aque se encuentra a una distancia de 2 m respec-to al observador B".

2 m

2 m 2 m2 m

Figura 1.1: Cuerpos separados entre s por una dis-tancia de 2 m.

La frase anterior, aunque es menos ambigua,tampoco est completa ya que hay un conjuntomuy grande de puntos ubicados a una distan-cia de 2 m respecto al observador B. Al unir esteconjunto de puntos se obtiene una esfera de ra-dio 2 m en el espacio tridimensional, y una cir-cunferencia de radio 2 m en el plano como semuestra en la figura 1.2 para el caso bidimen-sional.

Para definir con toda claridad la posicin delcuerpo, se puede hacer la afirmacin: Traer el

CONCEPTOS BSICOS

BFigura 1.2: Cuerpos a una distancia de 2 m respectoa B.

cuerpo A que se encuentra a una distancia de 2 mrespecto a un observador B, de tal manera que la rec-ta que une a B con A forma un ngulo con el eje x,tomado horizontalmente. Esto equivale a decir quese ha adicionado un sistema de coordenadas alobservador B, como se muestra en la figura 1.3,donde lo que realmente se ha definido es unsistema de referencia, que consiste en un obser-vador al que se le ha asignado o ligado un sis-tema de coordenadas.

Bx

y

A

q

2 m

Figura 1.3: Posicin de A respecto a B.

En la figura 1.3, debe quedar claro que sepuede emplear bien sea el sistema de coorde-nadas cartesianas xy o el sistema de coorde-nadas polares r, , teniendo en cuenta las rela-ciones existentes entre ellas, como se vi en launidad de vectores.

Por lo anterior, se puede concluir que paraconocer con certeza la posicin de un cuerpoes indispensable definir un punto de referen-cia, esto es, un sistema de referencia, ya que delo contrario no tendra sentido la ubicacin del

cuerpo en consideracin. Como se indica msadelante, para dar una descripcin completa delmovimiento de un cuerpo, se debe disponer deun cronmetro o reloj con el fin de poder cono-cer los instantes de tiempo en los que ocupa lasdiferentes posiciones.

Lo discutido anteriormente slo es vlidopara el observador B, ya que si se cambia de ob-servador, o lo que es equivalente, de sistema dereferencia, necesariamente la posicin del cuer-po sera completamente diferente.

De esta forma, el movimiento de un cuerpopuede definirse como un cambio continuo desu posicin respecto a otro cuerpo, es decir, elmovimiento de un cuerpo dado slo puede ex-presarse en funcin de un sistema de referen-cia. Adems, el movimiento del cuerpo A, res-pecto al cuerpo B, puede ser muy diferente almovimiento del cuerpo A respecto a otro cuer-po C.

MovimientoA

CB

x

y

Figura 1.4: A y C se mueven respecto a B.

Suponga que un auto y su conductor, en re-poso entre s, se mueven sobre una pista rectahacia la derecha. Esta situacin real, se mode-lar de tal forma que en la figura 1.4, el conduc-tor es el cuerpo A, el auto el cuerpo C y un postefijo al lado de la va es el cuerpo B.

Los cuerpos A y C en reposo uno respectoal otro, se encuentran en movimiento hacia laderecha respecto al cuerpo B, como en la figu-ra 1.4. Pero una situacin diferente se presen-ta cuando se toma un sistema de referencia conorigen en el cuerpo C, como se indica en la figu-ra 1.5.

En este caso, el cuerpo A est en reposo res-pecto al cuerpo C y el cuerpo B en movimientohacia la izquierda respecto al cuerpo C.

De acuerdo con lo anterior, cuando se quiereanalizar el estado cinemtico de un cuerpo, es

CAPTULO 1. CINEMTICA20

MovimientoA

C

x '

y '

B

Figura 1.5: B se mueve respecto a C, A no se mueverespecto a C.

necesario definir con toda claridad cul es el sis-tema de referencia a utilizar, ya que como en lasituacin de la figura 1.4, el movimiento de A yC es hacia la derecha respecto al cuerpo B, mien-tras que para la situacin de la figura 1.5, A esten reposo y B en movimiento hacia la izquierdarespecto al cuerpo C.

Para obtener informacin completa sobre laforma como cambia la posicin de un cuerporespecto a otro, es necesario medir tiempos, osea, que el observador debe disponer de un relojo cronmetro, adems del sistema de coorde-nadas.

De la situacin anterior tambin se puedeconcluir que reposo y movimiento son concep-tos relativos, ya que ambos dependen del sis-tema de referencia en consideracin. Si un cuer-po est en movimiento respecto a algunos sis-temas de referencia, simultneamente puede es-tar en reposo respecto a otros sistemas de refe-rencia, esto es, el movimiento es relativo.

En lo que sigue, se supone que se tiene un sis-tema de referencia bien definido. Los sistemasde referencia que se emplearn en adelante, sesupone que estn en reposo respecto a la tie-rra. Estos sistemas reciben el nombre de sis-temas de referencia inerciales. En la unidad 2,se define de forma ms concisa este tipo de sis-temas de referencia, donde tambin se incluyenotros sistemas de referencia, que aunque estnen movimiento respecto a la tierra, cumplen lacondicin de ser inerciales.

Lo expuesto anteriormente para una dimen-sin, tambin es vlido en el caso de dos y tresdimensiones.

Pregunta :

Por la ventana de un autobs, en

movimiento respecto a una va recta, un

pasajero deja caer un cuerpo. Cul ser

el camino seguido por el cuerpo, respecto

al pasajero? Cul ser el camino seguido

por el cuerpo, respecto a una persona que

se encuentra sobre la va?

A diario se observan cuerpos en movimien-to, bien sobre la superficie de la tierra o a deter-minada altura respecto ella. El movimiento deestos cuerpos ocurre dentro de un gran mar deaire llamado atmsfera. El aire, el ms comnde los gases de la tierra, es una mezcla de gasesconocidos, tales como: nitrgeno, oxgeno, bi-xido de carbono, hidrgeno, etc.

Cuando se analiza el movimiento de un cuer-po, respecto a la superficie de la tierra, se ob-tienen los mismos resultados si este anlisis selleva a cabo respecto a un globo esttico que seencuentra a determinada altura sobre la tierra.

La igualdad en los resultados, al tomarcualquiera de los sistemas de referencia ante-riores, se debe a que la atmsfera terrestre es-t esttica respecto a la tierra, es decir, que lagran masa de aire es arrastrada por la tierra ensu movimiento de rotacin. O sea, que cuandoun cuerpo se eleva en el aire sigue sin separar-se de la tierra ya que se mantiene ligado a sucapa gaseosa la cual tambin toma parte en elmovimiento de rotacin de la tierra alrededorde su eje.

Debido a que el sistema tierra-aire gira comoun todo, hace que arrastre consigo todo lo queen l se encuentra: las nubes, los aeroplanos,las aves en vuelo, etc. Si esto no ocurriera, loscuerpos en todo momento estaran sometidos afuertes vientos. Situacin que se puede presen-tar pero por razones fsicas muy diferentes.

Necesariamente, cuando un cuerpo se mueverespecto a la tierra, bien sea sobre ella o a una al-tura determinada dentro de la atmsfera, estarsometido a los efectos del aire. Esta situacin sepercibe cuando se viaja en un auto con las ven-tanillas abiertas o cuando se deja caer vertical-mente una hoja de papel. En ambos casos loscuerpos tienen un movimiento respecto al sis-tema aire.

En esta unidad, no se consideran los efectos

20

1.2. SISTEMAS DE REFERENCIA 21

del aire sobre el movimiento de los cuerpos. Elanlisis de esta situacin se hace en la unidad 2.

1.3. Concepto de partcula

Se considera la siguiente situacin: Un bloquese desliza o traslada sobre una superficie hori-zontal sin cambiar su orientacin ni su formageomtrica, es decir, se mueve como un todo deuna posicin a otra. En este caso, como se indicaen la figura 1.6, los puntos A y B, pertenecientesal bloque, se mueven la misma distancia d.

A

B

x

x

A

B

x

x

d

d

Figura 1.6: Traslacin pura de un cuerpo.

Aunque slo se han considerado los puntos Ay B, es cierto que todos los puntos del bloque semueven la misma distancia d.

Esto permite analizar el movimiento de soloun punto del bloque, ya que el comportamientode l es idntico al comportamiento de todos losdems puntos. Cuando es posible hacer la sim-plificacin anterior, se dice que el cuerpo se hareducido al modelo de una partcula. Posterior-mente, se dar una definicin ms completa delconcepto partcula.

En esta unidad se considera slo elmovimiento de traslacin de los cuerpos,bien sea en lnea recta o a lo largo de unacurva; por ello el movimiento de los cuerpos sedescribe mediante el modelo de partcula.

1.4. Descripcin de la cinemtica

de una partcula

1.4.1. Vector posicin (r)

Para el caso de dos dimensiones, un cuerpotratado bajo el modelo de partcula, se muevea lo largo de un camino, tambin conocido co-mo trayectoria. La posicin de la partcula, enun instante determinado y respecto al sistema

de referencia mostrado en la figura 1.7, est da-da por el vector posicin r trazado desde el ori-gen del sistema de referencia hasta la posicindonde se encuentre la partcula.

x

y

O i

j

r( )t

A( , )x y

Trayectoria

q

Figura 1.7: Vector posicin r de la partcula.

Si el vector posicin en componentes rectan-gulares est dado por r = x i+ yj , se tiene quesu magnitud y direccin estn dadas, respecti-vamente, por

r =

x2 + y2 y = tan1y

x. (1.1)

La forma de las expresiones dadas por laecuacin (1.1) son vlidas, en general, paraobtener la magnitud y direccin de cualquiervector, si se conocen sus componentes rectangu-lares.

En la figura 1.7 se observa que el vector posi-cin r vara con el tiempo tanto en magnitud co-mo en direccin, mientras la partcula se muevea lo largo de su trayectoria.

Ejemplo 1.1.El vector posicin de una partcula quese mueve en el plano xy, est dado porr(t) = (t 3)i (t2 15)j, donde r estdado en m y t en s. Cuando tA = 2.50 s lapartcula pasa por el punto A. Determine:a) Las coordenadas de la partcula en elpunto A. b) La magnitud y direccin delvector posicin en dicho instante.

Solucina) Reemplazando tA = 2.50 s en la expre-sin dada, se encuentra que el vector posi-cin en componentes rectangulares, cuan-do la partcula pasa por el punto A, estdado por

rA = ( 0.50 m)i+ (8.75 m)j.


Como en el plano el vector posicin en ge-neral se expresa en la forma r = xi+ yj, alcomparar con la igualdad anterior se tieneque

xA = 0.50 m y yA = 8.75 m,que son las coordenadas de la partculacuando pasa por el punto A.

b) Utilizando las ecuaciones (1.1), seencuentra que la magnitud y direccin delvector posicin estn dadas por

rA = 8.76 m y A = 86.73o.

As, el vector posicin se puede expresaren la forma

rA

= 8.76 m 86.73o

El siguiente diagrama es una represen-

tacin grfica de los resultados obtenidos.

A

x (m)

y (m)

i

j

rA

8.75

-0.50 O

qA

Ejercicio 1.1.

El vector posicin de una partcula que

se mueve en el plano xy, est dado por

r(t) = (t 3)i (t2 15)j donde r est da-do en m y t en s. a) Encuentre la ecuacin

de la trayectoria seguida por la partcula.

De acuerdo con su resultado, qu trayec-

toria describe la partcula? b) Halle el ins-

tante en que la partcula pasa por el eje x

y el instante en que pasa por el eje y . c)

Obtenga el vector posicin de la partcula

en el instante t = 0.

Ejercicio 1.2.

El vector posicin de una partcula que

se mueve en el plano xy, est dado por

r = (2t2 1)i (t3 + 2)j donde r est da-do en m y t en s. Cuando tA = 2.50 s la

partcula pasa por el punto A. Determine:

a) Las coordenadas de la partcula en el

punto A. b) La magnitud y direccin del

vector posicin en dicho instante.

1.4.2. Vector desplazamiento (r)

Como se indica en la figura 1.8, se considera unapartcula que en el instante tA pasa por el puntoA, definido por el vector posicin rA . Si en uncierto tiempo posterior tB (tB > tA ) la partculapasa por el punto B, definido mediante el vec-tor posicin rB, el vector desplazamiento, que des-cribe el cambio de posicin de la partcula con-forme se mueve de A a B, es dado por

r = rB rA= (xB xA)i+ (yB yA)j. (1.2)

x

y

O ij

A( , )x yA A

B( , )x yB B

Dr

rB

rA

Figura 1.8: Vector desplazamiento r entre A y B.

Ejemplo 1.2.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r(t) = (t 3)i (t2 15)j seencuentra en el punto A en tA = 2.50 s.Si en el tiempo tB = 4.00 s pasa por elpunto B, calcule la magnitud y direccindel vector desplazamiento entre A y B.

SolucinAl reemplazar tA = 2.50 s y tB = 4.00 sen la expresin dada, se encuentra que losvectores posicin de la partcula, en com-ponentes rectangulares, respectivamenteestn dados por

rA = ( 0.50 m)i+ (8.75 m)j,rB = (1.00 m)i (1.00 m)j.

1.4 DESCRIPCIN DE LA CINEMTICA DE UNA PARTCULA 23

Ahora, utilizando la ecuacin (1.2), paraeste caso se tiene que el vector desplaza-miento, entre A y B, en componentes rec-tangulares est dado por

r = (1.50 m)i (9.75 m)j.

Por ltimo, utilizando las ecuaciones.(1.1),se encuentra que la magnitud y direccindel vector desplazamiento estn dadaspor

r = 9.86 m y = 81.25o,

Es decir

rA

= 9.86 m 81.25o

En el diagrama siguiente se muestra,

tanto el vector desplazamiento como el n-

gulo que forma con la horizontal.

x

y

O

b

rA

rB

D r

Ejercicio 1.3.

Una partcula cuyo vector posicin est

dado por r = (2t2 1)i (t3 + 2)j , donder est dado en m y t en s, se encuentra en

el punto A en tA = 2.50 s . Si en el tiempo

tB = 4.00 s pasa por el punto B, calcule la

magnitud y direccin del vector desplaza-

miento entre A y B.

1.4.3. Vector velocidad (v)

Cuando la posicin de una partcula cambia conrespecto al tiempo, se dice que la partcula haadquirido una velocidad. En general, la veloci-dad de una partcula se define como la rapi-dez con que cambia de posicin al transcurrirel tiempo.

1.4.4. Vector velocidad media (v)

De acuerdo con la figura 1.9, se considera unapartcula que en el instante tA pasa por el pun-to A, determinado por el vector posicin rA. Sien un tiempo posterior tB (tB > tA ) la partculapasa por el punto B, determinado por el vectorposicin rB, la velocidad media durante el inter-valo de tiempo t = tB tA , se define comoel desplazamiento dividido entre el intervalo detiempo correspondiente, es decir

v rt

=rB rAtB tA

=(xB xA)i+ (yB yA)j

tB tA= vxi+ vyj.

(1.3)

x

y

O i

j

A( , )x yA A

B( , )x yB B

v

rA

rB

D r

Figura 1.9: Vector velocidad media entre A y B.

Dimensiones y unidades del vector velocidad

media

De acuerdo con la ecuacin (1.3), las dimen-siones del vector velocidad media y en generalde la velocidad, son LT1 . Por consiguiente, lasunidades son m.s1 en el sistema SI, cm.s1 enel sistema gaussiano, p.s1 en el sistema Ingls;y en general, cualquier unidad de longituddividida por una unidad de tiempo, tal comokm.h1.

La definicin (1.3) muestra que la velocidadmedia, v , es un vector ya que se obtiene al di-vidir el vector r entre el escalar t, por lo tanto,la velocidad media incluye tanto magnitud co-mo direccin. Donde su magnitud est dada por|r/t| y su direccin por por la direccin delvector desplazamiento r. Esta cantidad es una


velocidad media, ya que la expresin no dice c-mo fue el movimiento entre A y B. La trayecto-ria pudo haber sido curva o recta, el movimien-to pudo haber sido continuo o variable.

La siguiente es una situacin en la que el vec-tor velocidad media es nulo. En la figura 1.10,un auto parte del punto A y pasando por elpunto B regresa al punto A, luego de un tiem-po t . En este caso, la velocidad media es ceroya que el desplazamiento de la partcula es cero,aunque la distancia recorrida es diferente decero.

x

y

O

A

B

Figura 1.10: Vector desplazamiento nulo.

Ejemplo 1.3.Una partcula cuyo vector posicin estdado por r(t) = (t 3)i (t2 15)j, seencuentra en el punto A en tA = 2.50 s. Sien el tiempo tB = 4.00 s pasa por el puntoB, determine la magnitud y direccin dela velocidad media entre A y B.

SolucinObteniendo el vector desplazamiento ry sabiendo que t = 1.5 s, mediante laecuacin (1.3), se encuentra que la veloci-dad media en componentes rectangularesest dada por

v = (1.00 m s1)i (6.5 m s1)j.

Mediante las ecuaciones (1.1), para este ca-so se encuentra que la magnitud y direc-cin del vector velocidad media, corres-pondientes, son

v = 6.58 m s1 y = 81.25o

o sea que es la misma direccin del vector

desplazamiento r , como se esperaba.

v = 6.58 ms-1

81.25o

Ejercicio 1.4.


dado por r(t) = (t 3)i (t2 15)j, se en-cuentra en el punto A en el instante tA. Si

en el tiempo tB pasa por el punto B, de-

muestre que la velocidad media cuando la

partcula pasa del punto A al punto B, est

dada por v = i (tB + tA)j.

Ejercicio 1.5.


dado por r = (2t2 1)i (t3 + 2)j, se en-cuentra en el punto A en tA = 2.50 s. Si en

el tiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B,

calcule la magnitud y direccin del vector

desplazamiento entre A y B.

Ejemplo 1.4.La velocidad media cuando una partculapasa del punto A al punto B, est dadapor v = i (tB + tA)j . Obtenga la mag-nitud y direccin de la velocidad media,cuando la partcula se mueve durantelos intervalos de tiempo mostrados en latercera columna de la tabla 1.1.

SolucinEn la tabla 1.1 se muestran los valoresobtenidos para la magnitud ( v) y la di-reccin () del vector velocidad media, endiferentes intervalos de tiempo ( t) contB = 3.0 s.

tA(s) tB(s) t(s) v(m/s) (o)

2.980000 3.0 0.020000 6.060000 80.50000

2.990000 3.0 0.010000 6.070000 80.52000

2.995000 3.0 0.005000 6.078000 80.53000

2.998000 3.0 0.002000 6.081000 80.53400

2.999000 3.0 0.001000 6.082000 80.53600

2.999500 3.0 0.000500 6.082300 80.53690

2.999800 3.0 0.000200 6.082600 80.53740

2.999900 3.0 0.000100 6.082700 80.53750

2.999990 3.0 0.000010 6.082750 80.53766

2.999995 3.0 0.000005 6.082758 80.53767

Pregunta

Qu puede concluir al observar los valo-

1.4 DESCRIPCIN DE LA CINEMTICA DE UNA PARTCULA 25

res de las tres ltimas columnas de la tabla

1.1?

Ejercicio 1.6.

Para una partcula, el vector posicin en

funcin del tiempo est dado por r =

(2t2 1)i (t3 + 2)j , donde r est dadoen m y t en s. a) Si la partcula pasa por el

punto A en el instante tA y por el punto

B en el instante tB , halle el vector veloci-

dad media en sus componentes rectangu-

lares. b) Obtenga la magnitud y direccin

de la velocidad media, cuando la partcula

se mueve durante los intervalos de tiem-

po mostrados en la tercera columna de la

tabla 1.1.

1.4.5. Vector velocidad instantnea (v)

Es la velocidad de una partcula en un instan-te dado cualquiera. La velocidad, respecto a deter-minado sistema de referencia, puede variar bien seaporque cambia slo su magnitud slo su direccin simultneamente cambian tanto su magnitud comosu direccin.

Para el movimiento de una partcula, repre-sentado en la figura 1.11, cmo se puede deter-minar su velocidad en el punto A?

x

y

O i

j

A

B

v

B '

B ''Dr''

Dr'Dr

rA

rB

Figura 1.11: Vector velocidad instantnea.

Al considerar las posiciones intermedias de lapartcula en t,2 , t

,,2 , t

,,,2 , determinadas por los

vectores posicin r,2 , r,,2 , r

,,,2 , se observa que los

vectores desplazamiento r,,r,, , r,,, , cambiantanto en magnitud como en direccin, o sea quela velocidad media vara tanto en magnitud co-mo en direccin al tener en cuenta los puntosentre A y B.

Igualmente, los intervalos de tiempo corres-pondientes t = t2 t1, t, = t,2 t,1, t,, =t,,2 t,,1, t,,, = t,,,2 t,,,1 , cada vez se hacen mspequeos.

Si se contina este proceso haciendo que B seaproxime al punto A, el vector desplazamientose hace cada vez ms pequeo hasta que tiendea una direccin lmite, que corresponde a la dela tangente a la trayectoria de la partcula en elpunto A. Este valor lmite de r/t se conocecomo velocidad instantnea en el punto A, o sea,la velocidad de la partcula en el instante detiempo tA .

Si r es el desplazamiento en un pequeo in-tervalo de tiempo t , a partir de un tiempo to,la velocidad en un tiempo posterior t , es el va-lor al que tiende r/t cuando tanto r comot, tienden a cero, es decir,

v = lmt0

r

t. (1.4)

La ecuacin (1.4) no es ms que la definicin dederivada, esto es

v =dr

dt. (1.5)

Por la ecuacin (1.5), se concluye que la ve-locidad instantnea es tangente a la trayectoriaseguida por la partcula. La magnitud de la ve-locidad se llama rapidez y es igual a

v = |v| =drdt

.Como r = xi+ yj , se tiene que en componentesrectangulares

v =dr

dt

=dx

dti+

dy

dtj

= vxi+ vyj.

Si en la figura 1.12, se conocen las componentesrectangulares, se tiene que su magnitud y direc-cin estn dadas por

v =

v2x + v2y y = tan

1 vyvx

.


De acuerdo con la definicin del vector velocidad ins-tantnea, se tiene que sus dimensiones y unidadesson las mismas del vector velocidad media.

En adelante, siempre que se hable de veloci-dad, se hace referencia a la velocidad instant-nea.

x

y

O i

j

r( )t

q

vy

vx

v

Figura 1.12: Componentes rectangulares del vectorvelocidad.

Partiendo de la definicin del vector veloci-dad, es posible conocer el vector posicin deuna partcula si se conoce la forma como varael vector velocidad con el tiempo.

De la ecuacin (1.5) se obtiene que

r = ro +

tto

v(t)dt. (1.6)

Mientras no se conozca la forma como vara elvector velocidad (v(t)) con el tiempo, no es posi-ble resolver la integral de la ecuacin (1.6).

Un caso particular se presenta cuando el vec-tor velocidad permanece constante en magni-tud y direccin. Cuando ello ocurre, la ecuacin(1.6) se transforma en

r = ro + v(t to). (1.7)La ecuacin (1.7) corresponde a un movimien-to conocido como movimiento rectilneo uni-forme, ya que al no cambiar la direccin de lavelocidad, la trayectoria es rectilnea y al nocambiar la magnitud de la velocidad su rapidezes constante. Este caso particular de movimien-to se considerar ms adelante.

Ejemplo 1.5.El vector posicin de una partcula quese mueve en el plano xy, est dado por

r(t) = (t 3)i (t2 15)j, donde r estdado en m y t en s. Determine la velocidadde la partcula, magnitud y direccin, enel instante t = 3 s.

SolucinEmpleando la ecuacin (1.5) se tiene que lavelocidad en cualquier instante de tiempot est dada por

v = i 2tj.Reemp

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