Nota: La presente asignación fue elaborada por Arturo Arosemena.

Asignación # 2 Cinemática de fluidos

Fecha de la asignación: semana del 4 al 8 de mayo.

Fecha de entrega: próxima clase de laboratorio.

En la mecánica de sólidos generalmente se trabaja con un sistema (también llamado sistema cerrado), el cual se caracteriza porque mantiene su cantidad de materia constante, pudiendo variar solo en forma y tamaño.

Ahora bien, en el caso de la dinámica de fluidos, es más común trabajar con un volumen de control (también llamado sistema abierto). Este volumen de control es una región en el espacio seleccionada para su estudio, que permite la entrada y salida de flujo a través de sus fronteras.

Muchos de los principios de la mecánica de fluidos son adoptados de la mecánica de sólidos donde las leyes físicas tratan con las ratas de cambio de propiedades extensivas expresadas para sistemas cerrados. En la mecánica de fluidos, usualmente es más conveniente trabajar con volúmenes de control, por lo que existe la necesidad de relacionar los cambios en un volumen de control con los cambios en un sistema. Esta relación entre ratas de cambio de una propiedad extensiva para un sistema y para un volumen de control es expresada por el teorema de transporte de Reynolds.

Su libro de texto presenta una deducción del teorema de transporte de Reynolds bastante detallada. También es posible realizar la derivación del teorema de transporte de Reynolds a partir del teorema de Leibnitz.

En el caso unidimensional, el teorema de Leibnitz puede ser expresado como:

� 𝑥= ( )� � � 𝜕 ( ,� � 𝑡) �� ��∫ �( ,� 𝑡)�� = ∫ �� + �( ,� 𝑡) −�( ,� 𝑡)𝑡� 𝑥= ( )� � � 𝜕𝑡 𝑡� 𝑡� (1)

En el caso tridimensional, el teorema de Leibnitz puede ser expresado como:

� 𝜕 ( ,� � ,� ,� 𝑡)𝑡 � ∫ �( ,� ,� ,� 𝑡) 𝑉� = ∫ 𝜕𝑡 𝑉� + ∫ ( ,� � ,� ,� 𝑡)𝑣⃗�𝐴 ∙ �����(2)

Donde 𝑉(𝑡) es un volumen que se mueve y/o se está deformando, (𝑡� ) es su superficie o frontera, 𝑣⃗�𝐴 es la velocidad absoluta de esta superficie y ��� es el vector unitario normal a la superficie. Sí tomamos que = 𝜌 � � podemos obtener una expresión del teorema de Leibnitz alser este aplicado a un volumen material (sistema de identidad fija que se mueve con el flujo) encualquier instante 𝑡. Aquí 𝜌 es la densidad, � cualquier propiedad intensiva, y � la correspondiente propiedad extensiva.

Nota: La presente asignación fue elaborada por Arturo Arosemena.

� �� 𝑖 𝑒𝑚� �� � 𝜕𝑡 �

∫ 𝜌 𝑉�� = 𝑡�= ∫ 𝜕𝑡 (𝜌 ) 𝑉� � + ∫ 𝜌 𝑣⃗�� 𝐴 ∙ �����

(3)

Definiremos nuestro volumen de control de forma tal, que este y el sistema ocupen elmismo espacio durante un instante 𝑡. Un tiempo después, 𝑡 + ∆𝑡, el sistema se ha movido y deformado con el flujo, en tanto que el volumen de control se puede haber movido y deformadopero de forma diferente; como se observa en la figura 1.

Figura 1. El volumen material (sistema) y el volumen de control ocupan el mismo espacioen un tiempo 𝑡, pero se mueven y deforman diferente en un tiempo 𝑡 + ∆𝑡. Por tanto, no son coincidentes en este tiempo posterior.

De lo anterior, lo importante es el hecho de que en un tiempo 𝑡 el sistema y el volumen de control son iguales. De esta manera es posible re escribir la ecuación anterior, al evaluar en untiempo 𝑡, tanto la integral de volumen sobre el volumen de control (𝑉�) como la integral de superficie sobre la superficie de control (𝑆�).

� �� 𝑖 𝑒𝑚� �� � 𝜕𝑡 �

∫ 𝜌 𝑉�� = 𝑡�= ∫ 𝜕𝑡 (𝜌 ) 𝑉� � + ∫ 𝜌 𝑣⃗�� 𝐴 ∙ �����

(4)

⁄⁄⁄

Nota: La presente asignación fue elaborada por Arturo Arosemena.

Problemas.

1. Obtenga (𝑡) � al derivar con respecto al tiempo la integral desde 𝑡� hasta 𝑡 � de ��−𝑥�. Compruebe que la expresión obtenida para (𝑡)� también puede ser derivada a partir del teoremade Leibnitz en su forma unidimensional.

�(𝑡) =�

𝑡�

��∫ ��−𝑥� ��

��2. Consideré el teorema de transporte de Reynolds y realice lo siguiente:a. Exprese

�� 𝑖 𝑒𝑚 � �� � 𝑡 � cuando la propiedad extensiva del sistema (� 𝑖 𝑒𝑚� �� �) es la masa (�). Recuerde que la masa de un sistema es constante.

b. Exprese �� 𝑖 𝑒𝑚 � �� � 𝑡 � cuando la propiedad extensiva del sistema (� 𝑖 𝑒𝑚� �� �) es el

producto dela masa y de la velocidad (�𝑉��).c. Exprese

�� 𝑖 𝑒𝑚 � �� � 𝑡 � cuando la propiedad extensiva del sistema (� 𝑖 𝑒𝑚� �� �) es la

energía total

(𝐸).

**Asignación individual.

**Se entregará engrapada en la esquina superior izquierda.

Referencia:1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y

Aplicaciones, McGraw-Hill.