MECANICA DE SUELOS II

15
PRÁCTICA Nº5 ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO Problema 1.- un perfil de suelo se muestra en la figura 5.27. Calcule los valores de σ,uyσ ' en los puntos A, B, C y D. grafique la variación de σ,uyσ ' con la profundidad. Se dan los valores en la tabla. Solución: Problema 2.- un perfil de suelo se muestra en la figura 5.27. Calcule los valores de σ,uyσ ' en los puntos A, B, C y D. grafique la variación de σ,uyσ ' con la profundidad. Se dan los valores en la tabla. Punto A σ =0 u=0 σ ' =0 PuntoB σ =4 m 17,3 kN m 3 =69,20 kN m 2 u=0 σ ' =σ u=69,20 kN m 2 PuntoD σ =( 4 17,3 ) + ( 5 18,9) +( 6 19,7 )=281,90 kN m 2 u=( 5 9,81 ) +( 6 9,81)= 107,91 kN m 2 kN PuntoC σ = ( 4 m 17,3 kN m 3 ) + ( 5 m 18,9 kN m 3 ) =163,70 kN m 2 u=5 m 9,81 kN m 3 =49,05 kN m 2 kN kN kN Resumiendoen unatabla Estrat o Nº Espesor (m) Peso Específico ( kN / m 3 ) I H 1 =4 γ d =17.3 II H 2 =5 γ sat =18.9 III H 2 =6 γ sat =19.7 Esfuerzo s Punt o A Punt o B Punto C Punto D σ ( kN / m 2 ) 0 69.2 163.7 0 281.9 0 u ( kN / m 2 ) 0 0 49.05 107.9 1 σ ' ( kN/ m 2 ) 0 69.2 114.6 5 173.9 9

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CONSOLIDACION DE SUELOS

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Page 1: MECANICA DE SUELOS II

PRÁCTICA Nº5

ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

Problema 1.- un perfil de suelo se muestra en la figura 5.27. Calcule los valores de σ ,u y σ ' en los puntos A, B, C y D. grafique la variación de σ ,u y σ ' con la profundidad. Se dan los valores en la tabla.

Solución:

0 50 100 150 200 250 300

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Presión de AguaEsfuerzo EfectivoEsfuerzo Total

Prof

undi

dad

Punto Aσ=0u=0σ '=0

Punto B

σ=4m⋅17,3 kNm3

=69,20 kNm2

u=0

σ '=σ−u=69,20 kNm2

PuntoC

σ=(4m ⋅17,3 kNm3 )+(5m⋅18,9 kNm3 )=163,70 kNm2u=5m⋅9,81 kN

m3=49,05 kN

m2

σ '=σ−u=163,70 kNm2

−49,05 kNm2

=114,65 kNm2

PuntoD

σ=(4 ⋅17,3 )+(5 ⋅18,9 )+(6 ⋅19,7)=281,90 kNm2

u=(5⋅ 9,81 )+(6 ⋅ 9,81)=107,91 kNm2

σ '=σ−u=281,90−107,91=173,99 kNm2

Resumiendoenuna tabla

Estrato Nº

Espesor (m)

Peso Específico (kN /m3)

I H 1=4 γ d=17.3II H 2=5 γ sat=18.9III H 2=6 γ sat=19.7

EsfuerzosPunto

APunto

BPunto

CPunto

D

σ (kN /m2) 0 69.2163.7

0281.90

u(kN /m2) 0 0 49.05 107.91

σ '(kN /m2) 0 69.2114.6

5173.99

Page 2: MECANICA DE SUELOS II

Problema 2.- un perfil de suelo se muestra en la figura 5.27. Calcule los valores de σ ,u y σ ' en los puntos A, B, C y D. grafique la variación de σ ,u y σ ' con la profundidad. Se dan los valores en la tabla.

Solución:

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Esfuerzo TotalPresión de AguaEsfuerzo Efectivo

Prof

undi

dad

Punto Aσ=0u=0σ '=0

Punto B

σ=4,5m ⋅15 kNm3

=67,50 kNm2

u=0

σ '=σ−u=67,50 kNm2

PuntoC

σ=(4,5m⋅15 kNm3 )+(10m ⋅18 kNm3 )=247,50 kNm2u=10m⋅9,81 kN

m3=98,10 kN

m2

σ '=σ−u=247,50 kNm2

−98,10 kNm2

=149,40 kNm2PuntoD

σ=(4,5 ⋅15 )+ (10 ⋅18 )+(8,5 ⋅19)=409,00 kNm2

u=(10⋅ 9,81 )+(8,5 ⋅ 9,81)=181,49 kNm2

σ '=σ−u=409,00−181,49=227,52 kNm2

Resumiendoenuna tabla

Estrato Nº

Espesor (m)

Peso Específico (kN /m3)

I H 1=4.5 γ d=15II H 2=10 γ sat=18III H 2=8.5 γ sat=19

EsfuerzosPunto

APunto

BPunto

CPunto

D

σ (kN /m2) 0 67.5247.5

0409.00

u(kN /m2) 0 0 98.10 181.49

σ '(kN /m2) 0 67.5149.4

0227.52

Page 3: MECANICA DE SUELOS II

Problema 3.- Un perfil de suelo se muestra en la figura 5.27. Calcule los valores de σ ,u y σ ' en los puntos A, B, C y D. grafique la variación de σ ,u y σ ' con la profundidad. Se dan los valores en la tabla.

Solución:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Esfuerzo TotalPresión de AguaEsfuerzo Efectivo

Prof

undi

dad

Punto Aσ=0u=0σ '=0

Punto B

σ=3m⋅18,36 kNm3

=55,08 kNm2

u=0

σ '=σ−u=55,08 kNm2

PuntoC

σ=(3m⋅18,36 kNm3 )+(4m⋅20,11 kNm3 )=135,52 kNm2u=4m ⋅9,81 kN

m3=39,24 kN

m2

σ '=σ−u=135,52 kNm2

−39,24 kNm2

=96,28 kNm2

Resumiendoenuna tabla

PuntoD

σ=(3 ⋅18,36 )+(4 ⋅20,11)+(2 ⋅19,19)=173,90 kNm2

u=(4 ⋅ 9,81 )+(2 ⋅9,81)=58,86 kNm2

σ '=σ−u=173,90−58,86=115,04 kNm2

Cálculosauxiliares

γ d=( G s

1+e )⋅γω=( 2,621+0,4 )⋅9,81=18,36 kNm3γ sat=(Gs+e

1+e )⋅γω=(2,68+0,601+0,60 )⋅9,81=20,11 kNm3γ sat=(Gs+e

1+e )⋅γω=(2,73+0,811+0,81 )⋅9,81=19,19 kNm3

Resumiendo :

Estrato Nº

Espesor (m)

Parámetros de suelo

I H 1=3 e=0.4 Gs=2.62II H 2=4 e=0.60 Gs=2.68III H 2=2 e=0.81 Gs=2.73

EsfuerzosPunto

APunto

BPunto

CPunto

D

σ (kN /m2) 0 55.08 135.52 173.90

u(kN /m2) 0 0 39.24 58.86

σ '(kN /m2) 0 55.08 96.28 115.04

Nº de estrat

oγ d(kN /m3) γ sat (kN /m3)

I 18.36 -II - 20.11III - 19.19

Page 4: MECANICA DE SUELOS II

Problema 4.- Grafique la variación del σ ,u y σ ' con la profundidad para los estratos de arena y arcilla mostrados en la figura.

Solución:

Punto Aσ=0u=0σ '=0

Punto B

σ=4m⋅16,93 kNm3

=67,72 kNm2

u=0

σ '=σ−u=67,72 kNm2

PuntoC

σ=(4m⋅16,93 )+(3m⋅18,39 kNm3 )=122.89 kNm2u=3m⋅9,81 kN

m3=29,43 kN

m2

σ '=σ−u=122,89 kNm2

−29,43 kNm2

=93,46 kNm2

Resumiendoenuna tabla

Cálculosauxiliares

γ d=( G s

1+e )⋅γω=( 2,641+0,53 )⋅ 9,81=16,93 kNm3

γ sat=(Gs+e1+e )⋅γω=(2,75+1,01+1,0 )⋅9,81=18,39 kNm3

Resumiendo :

Estrato Nº

Espesor (m)

Parámetros de suelo

I H 1=4 e=0.53 Gs=2.64II H 2=3 e=1.0 Gs=2.75

EsfuerzosPunto

APunto

BPunto

C

σ (kN /m2) 0 67.72 122.89

u(kN /m2) 0 0 29.43

σ '(kN /m2) 0 67.72 93.46

Nº de estrat

oγ d(kN /m3) γ sat (kN /m3)

I 16.93 -II - 18.39

Page 5: MECANICA DE SUELOS II

0 20 40 60 80 100 120 140

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Esfuerzo TotalPresión de AguaEsfuerzo Efectivo

Prof

undi

dad

Problema 5.- Un perfil de suelo se muestra en la figura.

a) Calcule el σ ,u y σ ' en los puntos A, B y C.b) ¿Cuánto debe ascender el nivel de agua freática para que el Esfuerzo Efectivo en

el punto C sea de σ c'=104kN /m2?.

Solución:

Punto Aσ=0u=0σ '=0

Punto B

σ=4m⋅16,21 kNm3

=64,84 kNm2

u=0

σ '=σ−u=64,84 kNm2

PuntoC

σ=(4m⋅16,21 )+(5m⋅20,88 kNm3 )=169,24 kNm2u=549,05m⋅9,81 kN

m3=49.05 kN

m2

σ '=σ−u=169.24 kNm2

−49.05 kNm2

=120,19 kNm2Resumiendoenuna tabla

Cálculosauxiliares

γ d=( G s

1+e )⋅γω=( 2,661+0,61 )⋅ 9,81=16,21 kNm3

γ sat=(Gs+e1+e )⋅γω=(2,67+0,481+0,48 )⋅9,81=20,88 kNm3

Resumiendo :

Datos :

a¿

h

4−hN . freático

Estrato Nº

Espesor (m)

Parámetros de suelo

I H 1=4 e=0.61 Gs=2.66II H 2=5 e=0.48 Gs=2.67

EsfuerzosPunto

APunto

BPunto

C

σ (kN /m2) 0 64.84 169.24

u(kN /m2) 0 0 49.05

σ '(kN /m2) 0 64.84 120.19Nº de estrato γ d(kN /m3) γ sat (kN /m3)

I 16.21 -II - 20.88

Page 6: MECANICA DE SUELOS II

Ver figura.

Problema 6.- Una arena tiene Gs=2.66. Calcule el gradiente hidráulico que causara inestabilidad por ebullición para los siguientes datos, además dibuje una gráfica para icr versus e.

Solución:

e γ sat (kN /m3) icr

0.35 21.87 1.23

0.45 21.04 1.14

0.55 20.32 1.07

0.7 19.39 0.98

0.8 18.86 0.92

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

𝐆𝐫á _ 𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐢 𝐜𝐫 𝐯𝐬 𝐞

rela

ción

de v

acío

s

Problema 7.- Un estrato de 10m de espesor de arcilla firme saturada descansa sobre un estrato de arena, la cual está sometida a presión artesiana. Calcule la profundidad máxima de corte H que puede hacer en la arcilla.

b¿

(4−h )⋅ γ d (A .seca )+ (h ) ⋅γ sat (A .seca )+(5 )⋅ γ sat (arcilla )−(5+h )⋅ γω=σc'

(4−h )⋅16,21+ (h )19,92+ (5 )⋅20,88−(5+h )⋅9,81=104

120,19−6,10h=104

h=2,65m

Cálculosauxiliares

γ sat=(Gs+e1+e )⋅γω=(2,66+0,611+0,61 )⋅9,81=19,92 kNm3

Cálculosauxiliares

γ sat=(Gs+e1+e )⋅γω=(2,66+0,351+0,35 )⋅9,81=21.87 kNm3

icr=γ sat−γωγω

=21.87−9,819,81

=1,23

Resumiendoenuna tabla

Page 7: MECANICA DE SUELOS II

Solución:

Problema 8.- Se hace un corte en una arcilla firme saturada que descansa sobre un estrato de arena. ¿Cuál debe ser la altura h del agua en el corte, de manera que no se pierda la estabilidad de la arcilla saturada?

Solución: (Ver figura)

- Infiltración hacia arriba, por tanto el σ A

' debe ser nulo, para que no se pierda la estabilidad.

El desnivel es

(2−h)

Problema 9.- Refiérase a la figura. Dado P=30 kN , determine el incremento del esfuerzo vertical en un punto con x=5m , y=4m y z=6m. Use la solución de Boussinesq.

Considere : σ A=σ=0

(10−H )⋅ γ sat (arcilla )−(6 )⋅ γω=0

(10−H )⋅19−(6 ) ⋅9,81=0

H¿6,90m

icr=γ '

γωóρsat (arcilla)ρω

−1…….(1)

2,8

2

2−h

icr=2−h2

……….(2)

(2 ) en(1)

2−h2

=19251000

−1h=0,15m

Page 8: MECANICA DE SUELOS II

Solución:

Datos:

Problema 10.- Refiérase a la figura. La magnitud de la carga de línea q es de 50 KN/m. Calcule y grafique la variación del incremento del esfuerzo vertical Δ σ , entre los límites x=−8m , x=+8m ,dado z=3m.

Solución:

Empleando la ecuación (5,15)

P=5 kNx=5m , y=4m y z=6m

De laecuación (5,12 )tenemos :

Δ σ x=

3 P2π

∗z3

(r 2+z2 )5 /2

Donde :r2=x2+ y2

Reemplazando valorestenemos :

Δσ x=

3∗30 kN2π

∗63

(52+42+62 )52

Δσ x=0,06kN /m2

El esfuerzototal enel punto A es iguala :

Para x=0 y z=3m

Δσ= 2∗50∗33

π (02+32 )2

Δσ= 2∗q∗z3

π ( x2+z2 )2

Δσ=10.61kN /m2

Resumiendoenuna tabla

Page 9: MECANICA DE SUELOS II

8 7 6 5 4 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 80

2

4

6

8

10

12 𝐆𝐫á 𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐝𝐞 𝚫𝛔 𝐯𝐬 𝐱

Problema 11.- Refiérase a la figura. Suponga q=65kN /m, en el punto A esta localizado a una profundidad de 1.5m bajo la superficie del terreno. Debido a la aplicación de la carga puntual, el esfuerzo vertical en el punto A se incrementa en 24 kN /m2. ¿Cuál es la distancia horizontal entre la carga de línea y el punto A?

Solución:

Datos.

Δ σ=24 kN /m2 , z=1.5m Determinar x=?? ?

Empleando la ecuación (5.15) tenemos:

24= 2∗65∗1.53

π (x2+1.52)2……… .. x2=0.162m2

Problema 12.- Refiérase a la figura (5.32). Determine el incremento del esfuerzo vertical, Δ σ, en el punto A, con los siguientes valores: q1=60kN /m, x1=1.5m, z=1.5m yq2=0 , x2=0.5m.

Solución:

x=0,40m

El esfuerzototal enel punto A es iguala :

Δσ=Δσ1+Δσ 2

Δσ= 6∗60∗1,53

π (22+1,52 )2+ 2∗0∗1,53

π (0,52+1,52 )2

Δσ=3,30kN /m2

z (m) x (m) Δ σ (kN /m2)3 8 0.163 7 0.263 6 0.423 5 0.743 4 1.383 3 2.653 2 5.093 1 8.593 0 10.61

Page 10: MECANICA DE SUELOS II

Problema 13.- Resuelva el problema 12 con los siguientes datos: q1=15kN /m, x1=8m, z=4m y q2=9 , x2=3m.

Solución:

Tenemos dos campos de línea sobre la superficie, entonces el esfuerzo en el punto A es:

Problema 14.- Refiérase a la fig. (5.12) , se dan:B=4m ,q=20 kN /m2 , x=1.5m y z=2m; determine el incremento del esfuerzo vertical, Δ σ, en el punto A.

Solución:

Empleando la ecuación (5.17)

Problema 15.- resuelva el problema 14 para:

Solución:

a) Empleando la ecuación (5.17) b) haciendo uso de la tabla (5.4)

Con estos valores recurrimos a la tabla 5.4 y determinamos la variación de:

El esfuerzototal enel punto A es iguala :

Δσ=Δσ1+Δσ 2

Δσ= 2∗15∗43

π (82+42 )2+ 2∗9∗43

π (32+42 )2Δσ=0,68 kN /m2

Δσ=2qπ

∗z3 ∫−B /2

B /21

[ (1,5−x )2+22 ]2dx

Δσ=2∗20π

∗23∗(0,12)

Δσ=12,49kN /m2

q=600kN /m2

x=1,5mz=3m

Δσ=2qπ

∗z3 ∫−3 /2

3 /21

[ (1,5−x )2+32 ]2dx

Δσ=2∗600π

∗33∗(0,02)

Δσ=245,49kN /m2

Determinamos lo siguiente :2∗xB

y2∗zB

2∗1,53

=1 y 2∗33

=2

Δσq

=0,409 Luego tenemos : Δσ=600 kNm20,409 Δσ=245,40 kN /m2

Page 11: MECANICA DE SUELOS II

Problema 16.- Considere un área flexible circularmente cargada sobre la superficie del terreno. Dado el radio del área circular, R=2m, y la carga uniformemente distribuida, q=170kN /m2, calcule el incremento del esfuerzo vertical,∆ σ , en el punto localizado a 1.5m debajo de la superficie del terreno (inmediatamente abajo del centro del área circular).

Solución: Empleando la ecuación (5.21) tenemos:

Problema 17.- Resuelva el problema 16 con: R=3m,q=250kN /m2 y z=2.5m.

Solución:

Procediendo de la misma forma que el anterior ejercicio tenemos:

Empleando la ecuación (5.21) tenemos:

Problema 18.- La planta de un área rectangular flexible cargada se muestra en la figura (5.33). La carga uniformemente distribuida sobre el área flexible, si q=85kN /m2. Determine el incremento del esfuerzo vertical, ∆ σ , a una profundidad z=5m, debajo de los siguientes puntos:

a) Punto Ab) Punto Bc) Punto C

Solución:

- Determinando el ∆ σ, en el punto A, causado por el área cargada se determina con la ecuación (2.25),

entonces tenemos:

a) Punto A

Datos :R=2mq=170kN /m2

z=1,5m

∆ σ=q {1− 1

[ (R /z )2+1 ]3 /2 }Reemplazando valores :

∆ σ=170 {1− 1

[ (2/1,5 )2+1 ]3 /2 } Δσ=133,28kN /m2

Datos :R=3mq=250kN /m2

z=2,5m∆ σ=q {1− 1

[ (R /z )2+1 ]3 /2 }Reemplazando valores :

∆ σ=250 {1− 1

[ (3/2,5 )2+1 ]3 /2 } Δσ=184,41kN /m2

Punto A :z=5mB=5mL=10m

Variacionde I 2 conm y n .

m= Bz=55=1

n=Lz=105

=2

I 2=14 π [ 2mn√m2+n2+1m2+n2+m2n2+1 (m

2+n2+2m2+n2+1 )+ tan−1( 2mn√m

2+n2+1m2+n2−m2n2+1 )]

(1)

(3)

(2)

(4)

Page 12: MECANICA DE SUELOS II

De la ecuación (5.24), tenemos:

b) Punto B

Se tiene el efecto de cuatro rectángulos como se muestra en la figura, por consiguiente obtenemos la siguiente relación:

Datos (1) (2) (3) (4)

z(m) 5 5 5 5

B(m) 3 3 2 2

L(m) 6 4 4 6

Datos (1) (2) (3) (4)I 2(parcial) 1.143 0.125 0.093 0.03

c) Punto C

Esta fuera del área rectangular cargado, solo recibe esfuerzo vertical causado por una carga en línea, empleando la ecuación (5.15) tenemos:

Problema 19.- Resuelva el problema 18. Use la carta de influencia de Newmark para la distribución de presiones verticales.

Reemplazando valorestenemos :

I 2=14 π [ 2∗1∗2√12+22+112+22+12∗22+1 ( 12+22+212+22+1 )+ tan−1( 2∗1∗2√12+22+112+22−12∗22+1 )] I 2=0,20

∆ σ=q ¿ I 2 Reemplazando valores :

∆ σ=85 kNm2

∗0,20 Δσ=17 kN /m2

∆ σ=∆σ1+∆ σ2+∆σ3+∆σ4

Resumiendoenuna tabla

Reemplazando valorestenemos :

I 2(1)=14 π [ 2∗0.6∗1.2√0.62+22+10.62+1.22+0.62∗1.22+1 ( 0.62+1.22+20.62+1.22+1 )+ tan−1( 2∗0.6∗1.2√0.6

2+22+10.62+1.22−0.62∗1.22+1 )]

I 2(2)=14 π [ 2∗0.6∗0.8√0.62+0.82+10.62+0.82+0.62∗0.82+1 ( 0.62+0.82+20.62+0.82+1 )+ tan−1( 2∗0.6∗0.8√0.62+0.82+10.62+0.82−0.62∗0.82+1 )]

I 2(3)=14 π [ 2∗0.4∗0.8 √0.42+0.82+1

0.42+0.82+0.42∗0.82+1 ( 0.42+0.82+20.42+0.82+1 )+ tan−1( 2∗0.4∗0.8√0.42+0.82+10.42+0.82−0.42∗0.82+1 )]I 2(4)=

14 π [ 2∗0.1∗1.2√0.12+1.22+10.12+1.22+0.12∗1.22+1 ( 0.12+1.22+20.12+1.22+1 )+tan−1(2∗0.1∗1.2√0.12+1.22+10.12+1.22−0.12∗1.22+1 )]

Resumiendoenuna tabla Finalmente tenemos∆ σ=q ( I1+ I 2+ I 3+ I 4 )∆ σ=85 (0,143+0,125+0,093+0,03 )

Δσ=33,24 kN /m2

Δσ= 2∗q∗z3

π ( x2+z2 )2Reemplazando valores :

Δσ= 2∗85∗53

π (32+52 )2Δσ=5,85kN /m2

Nº de rectángul

o(1) (2) (3) (4)

m= BL

0.6 0.6 0.4 0.1

n=Lz

1.2 0.8 0.8 1.2

Page 13: MECANICA DE SUELOS II

Solución:

Problema 20.- Refiérase a la fig. (5.34). El área circular flexible esta uniformemente cargada. Dada q=250kN /m2, y usando la carta de Newmark, determine el incremento del esfuerzo vertical, ∆ σ , en el punto A

Solución:

AB C

Valor de influencia=0,005

Punto A :Elnúmero deelementos dentrodel contorno esaproximadamente26 , por lotanto tenemos :

∆ σ=( IV )∗qM=0,005∗85∗26

Δσ=11,05 kN /m2

Punto B:Elnúmero deelementos dentrodel contorno esaproximadamente37,5 , por lo tanto tenemos :

∆ σ=( IV )∗qM=0,005∗85∗37.5

Δσ=15,94 kN /m2

PuntoC :Elnúmero deelementos dentrodel contorno esaproximadamente17 , por lotanto tenemos :

∆ σ=( IV )∗qM=0,005∗85∗17

Δσ=7,23kN /m2

Page 14: MECANICA DE SUELOS II

Punto A :

Elnúmero deelemen tos dentrodel contorno es

aproximadamente35 , por lo tanto tenemos :

∆ σ=( IV )∗qM=0,005∗85∗35

Δσ=43,75kN /m2

Valor de influencia=0,005