Mecánica Física Momentos de Fuerza

Escuela de Educación Secundaria Técnica Nº 2 “Ing. César Cipolletti”, Bahía Blanca, Argentina

Resistencia y Ensayo de los Materiales Tecnicatura en Automotores ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Unidad 3.

MECÁNICA FÍSICA. MOMENTOS DE FUERZA. Momento de una fuerza El momento de una fuerza con respecto a un punto (o eje) proporciona una medida de la tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto (o eje).- Por ejemplo, considere la fuerza horizontal F, que actúa perpendicularmente al mango de la llave y está localizada a una distancia d del punto O. Se ve que esta fuerza tiende a girar el tubo alrededor del eje AA.- Entre mayor es la fuerza F o la distancia d, mayor es el efecto de rotación. A esta tendencia a la rotación causada por F ocasionalmente se le llama torque, pero más a menudo se la denomina momento de una fuerza o simplemente momento MF(o).- La recta AA es perpendicular al plano que contiene a la fuerza F y al punto O.- El momento MF(o) con respecto al punto O, o con respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular al plano, es una cantidad vectorial puesto que tiene magnitud y dirección específicas.- La magnitud de MF(o) es:

AAA

OO dFMFMF . )()( == donde dA es el brazo de momento o distancia perpendicular desde el eje del momento AA, en el centro del momento O, a la línea de acción de la fuerza. Las unidades de la magnitud del momento son el producto de la fuerza multiplicada por la distancia. En el S.I. esto es, N.m.-

El sentido del momento en un problema bidimensional se puede especificar mediante una flecha curva en torno al centro del momento O. Si la fuerza tiende a originar una rotación en sentido antihorario, se dice que el momento es positivo, por definición. Si la fuerza tendiera a originar una rotación en sentido horario, entonces el momento será negativo.-

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Resistencia y Ensayo de los Materiales Tecnicatura en Automotores ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo 1: Se aplican tres fuerzas a la barra representada en la figura. Determinar: a. El momento de la fuerza FA respecto al punto E. b. El momento de la fuerza FB respecto al punto A. c. El momento de la fuerza FD respecto al punto B.

Solución: El módulo de un momento respecto a un punto cualquiera O se puede determinar utilizando la ecuación:

( ) dFMF O .= por lo tanto:

a. NmmNdFMF EAAE

A 100010.100.)( −=−== ⊥

b. NmmNdFMF ABBA

B 240012.200.)( −=−== ⊥

c. NmmNdFMF BDDB

D 420014.300.)( +=+== ⊥ ----------------------------------------------------- Ejemplo 2: Se aplican cuatro fuerzas a una placa, en la forma indicada en la figura. Determinar: d. El momento de la fuerza FB respecto al punto A. e. El momento de la fuerza FC respecto al punto B. f. El momento de la fuerza FC respecto al punto A. Solución: Como en el ejemplo anterior, el módulo de un momento respecto a un punto cualquiera O se puede determinar utilizando la ecuación:

( ) dFMF O .=

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Resistencia y Ensayo de los Materiales Tecnicatura en Automotores ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- En este ejemplo, el problema es algo más complicado a causa de la geometría del mismo. Según la siguiente figura puede verse que las distancias de las fuerzas a

los centros de momento, son las siguientes:

mm 4,221º03sen . mm 250 º30 cos . mm 400

mm 4,364º03 cos . mm 400

mm 8,176º45sen . mm 250

==−=

==

==

⊥

⊥

⊥

AC

BC

AB

d

d

d

por lo tanto:

a. Nm 2652m 1768,0 . N 15000.)( −=−== ⊥ABBA

B dFMF

b. Nm 7288m 3644,0 . N 20000.)( −=−== ⊥BCCB

C dFMF

c. Nm 4428m 2214,0 . N 20000.)( −=−== ⊥ACCA

C dFMF

Principio de transmisibilidad. F tiene las propiedades de un vector deslizante y puede actuar, entonces, en cualquier punto a lo largo de su línea de acción, produciendo aún el mismo momento con respecto al punto O. Nos referimos a esto como el principio de transmisibilidad. Principio de los momentos. Teorema de Varignon. Este principio, aplicado a un sistema de fuerzas, establece que el momento M de la resultante R de un sistema de fuerzas respecto a cualquier eje o punto, es igual a la suma vectorial de los momentos de las distintas fuerzas del sistema respecto a dicho eje o punto.-

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Resistencia y Ensayo de los Materiales Tecnicatura en Automotores ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- La aplicación de este principio a dos fuerzas concurrentes se conoce con el nombre de Teorema de Varignon, ya que fue originalmente desarrollado por el matemático francés Varignon (1654-1722). Por este principio se puede establecer que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al mismo punto.- Este concepto tiene importantes aplicaciones en la resolución de problemas, ya que es a menudo más fácil determinar los momentos de las componentes de una fuerza, que el momento de la propia fuerza.- Ejemplo 1: Determinar el momento, respecto del punto O (en realidad, respecto al eje z que pasa por O), de la fuerza de 500 N representada en la figura:

Solución: Si se resuelve directamente, primero hay que calcular la distancia d, desde la recta de acción de la fuerza F hasta el punto O. Para ello, y según la siguiente figura, esta distancia será:

m 83,2º30sen . m 3 º30 cos . m5 =−=d Así, según la ecuación de momentos, resulta que:

( ) N.m 1415m 83,2 . N 500. +=+=+= dFMF O

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Resistencia y Ensayo de los Materiales Tecnicatura en Automotores ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- De otra manera, utilizando el Teorema de Varignon, el momento respecto al punto O se puede determinar tomando en cuenta las componentes rectangulares de la fuerza F:

( )

( )( )

N 1415m 3 . º30sen - m 5 . º30 cosN 500

. º30sen - . º30 cos . º30sen . - . º30 cos .

. - .

+===

===+=

=+=

xyFxFyF

xFyFMF yxO

------------------------------------------------------ Ejemplo 2: Aplicar el Teorema de Varignon para determinar el momento de la fuerza de 300 N, con respecto al punto B, según la siguiente figura:

Solución: Los valores de las componentes rectangulares de la fuerza de 300 N, son:

N 0,15030ºsen . N 30030ºsen . N 8,25930º cos . N 30030º cos .

======

FFFF

y

x

Una vez conocidas Fx y Fy, el momento buscado será:

( )

N.m 95m 0,20 . N 150,0 m 0,25 . N 259,8

x. Fy . y

+==++=

=++= xB FMF

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Resistencia y Ensayo de los Materiales Tecnicatura en Automotores ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Momento de un par de fuerzas Se dice que dos fuerzas F y –F, que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos, forman un “par de fuerzas” o “cupla”.- La suma de las componentes de las dos fuerzas, en cualquier dirección, es igual a cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Por lo tanto, aunque las dos fuerzas no originarán la traslación del cuerpo sobre el que están actuando, estas sí tenderán a hacerlo rotar.- Para ver cómo se calcula el momento de un par de fuerzas actuando en el plano, estudiemos un caso sencillo:

Aquí el momento del par con respecto al punto O, estará dado por la suma de los momentos de cada fuerza, con respecto al mismo punto.-

( ) ( ) ( ) ( )122121 ... ddFdFdFMFMFM OOO −=+−=+= ( ) dFM O .=

Pares equivalentes: Caso1: Tomemos el par de fuerzas del ejemplo anterior y traslademos cada una de las fuerzas a lo largo de su línea de acción. Como se puede ver, al calcular el momento total de este nuevo par, obtendremos el mismo resultado, sin importar el sentido ni la magnitud de la traslación.-

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Resistencia y Ensayo de los Materiales Tecnicatura en Automotores ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Caso 2: Si se realiza una traslación paralela a las líneas de acción de las fuerzas originales, conservando la distancia entre las mismas, el sistema también conservará el valor del par total.-

Caso 3: Si se realiza una rotación de las fuerzas componentes del par, de forma que las dos conserven su paralelismo y la distancia de separación entre ellas, entonces se obtendrá un par de fuerzas equivalente al original; es decir, conservarán el momento total.-

Para ver esto, calculemos el momento del nuevo par obtenido luego de la rotación. Gráficamente se puede ver que:

( ) ( ) ( ) ( )21221121 ... ddFdFdFMFMFM OOO +=+=+= ( ) dFM O .=

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Resistencia y Ensayo de los Materiales Tecnicatura en Automotores ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Caso 4: El caso más general de un par de fuerzas equivalente: primero el par se traslada en forma paralela, luego realiza una rotación y por último sus fuerzas se desplazan a lo largo de sus líneas de acción.-

En la siguiente figura se puede apreciar que los pares que actúan sobre la caja son equivalentes, a pesar de tener distintos puntos de aplicación. Para ello es indispensable que las fuerzas conserven su magnitud y la distancia de separación entre ellas.-

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