Medidas coherentes de riesgo y funciones de

distorsi¶on

Silvia Mayoral

Servicio de Estudios, Banco de Espa~na

21 de Septiembre, 2005

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Contenido:

1. Resumen y motivaci¶on

2. Valor en Riesgo

3. Medidas coherentes de riesgo

4. Propiedades de las medidas de riesgo: falta de consenso

5. Medidas de riesgo basadas en distorsiones

6. M¶as all¶a de la coherencia.

7. Conclusiones.

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1. Resumen

Importancia de las medidas de riesgo

• Necesidad de cuanti¯car el riesgo asumido

• Las entidades ¯nancieras han fomentado la gesti¶on del riesgo

en los ¶ultimos a~nos

• Estudio PricewaterhouseCoopers: 82% de los directivos de

empresas ¯nancieras indican que el conocimiento del riesgo

es un tema prioritario en sus organizaciones

• 73% piensan que sus organizaciones de¯nen su nivel de aceptaci¶on

al riesgo de forma m¶as clara.

• Acuerdo de Basilea II.

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• Existen muchas medidas de riesgo.

• No existe consenso en la literatura sobre qu¶e medida de riesgo

es la m¶as adecuada.

• >Qu¶e propiedades debe tener? ⇔ No hay acuerdo

• La medida CV aR puede llevar a toma de decisiones incorrec-

tas.

Principales objetivos:

• >Por qu¶e el CVaR funciona mal?.

• De¯nir propiedades \m¶³nimas".

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2.Valor en Riesgo

• La medida m¶as utilizada en la pr¶actica: Valor en Riesgo

(VaR)

• Du±e y Pan (1997), el Valor en Riesgo se puede de¯nir

como:

Dado un horizonte temporal T y un nivel de con¯anza

100α%, el Valor en Riesgo es la p¶erdida en el valor

de mercado sobre el horizonte temporal T que s¶olo es

superada con una probabilidad 1 − α.

• El VaR responde a >C¶ual es la m¶³nima p¶erdida en que incur-

rimos en los 100(1 − α)% peores casos de la cartera?

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• Ejemplo: α = 0.99, T = 7 d¶³as V aR = 1.000.000: la p¶erdida

de la posici¶on no deber¶³a ser superior a un mill¶on de d¶olares

en 99 de 100 casos a lo largo de los siete d¶³as.

• Si X indica las p¶erdidas-bene¯cios de la cartera.X ≥ 0 in-

dicar¶a p¶erdidas y X ≤ 0 indicar¶an bene¯cios.

V aRα = inf{x ∈ R | P (X ≤ x) ≥ α} .

• Valor en Riesgo: p¶erdida asociada con el percentil α de la

distribuci¶on de p¶erdidas de la cartera.

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• Las ventajas del VaR:

1. Se expresa siempre en \dinero perdido"

2. Simplicidad

3. Universalidad

• Paradoja

{ Cartera A: Valor 100 euros, p¶erdida 100 euros en los peo-

res 5% casos.

{ Cartera B: Valor 100 euros, posici¶on en futuros con p¶erdidas

no acotadas.

{ Se puede escoger B de tal forma que el V aR(B) = 100.

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Problemas que presenta el VaR:

• Si la distribuci¶on de p¶erdidas tiene una cola pesada nos pode-

mos encontrar con dos carteras con igual VaR pero con

p¶erdidas superiores al VaR muy diferentes.

• Medida no subaditiva: diversi¯caci¶on puede aumentar el riesgo

• Dif¶³cil de optimizar

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3. Medidas coherentes de riesgo

Artzner y otros (1997) intentan resolver estos problemas de¯niendo

las medidas coherentes

1. Sub-aditiva: ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ),

2. Positiva homog¶enea: ρ(λX) = λρ(X).

3. Invariante por traslaci¶on: ρ(X + a) = ρ(X) + a, a ∈ R

4. Mon¶otona: Si X ≤ Y entonces ρ(X) ≤ ρ(Y ).

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• Artzner y otros (1999): Caracterizaci¶on de estas medidas.

• Ejemplo de medida coherente: Valor en Riesgo condicionado

(CVaR)

• CVaR responde: >C¶ual es la p¶erdida esperada incurrida en

los (1− α)% peores casos de una posici¶on?

CV aRα(X) = EP [X | X ≥ V aRα], α ∈ (0,1).

• Por de¯nici¶on: CV aRα ≥ V aRα.

• Propiedades m¶as atractivas: subaditiva y convexa.

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4. Propiedades de las medidas de riesgo: Falta de consenso

Se de¯nen muchos conjuntos de medidas: medidas convexas,

espectrales, medidas de desviaci¶on, acotadas en media, etc..

Medidas convexas de riesgo:

Follmer y Schied (2002) sugieren que el riesgo puede crecer de

forma no lineal respecto al tama~no de la posici¶on.

Relajan las condiciones positiva homog¶enea y subaditiva por con-

vexidad:

Convexidad:: ρ((1−λ)Y +λX) ≤ (1−λ)ρ(Y )+λρ(X) para todo

λ ∈ [0,1].

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Medidas espectrales de riesgo:

Acerbi (2002) de¯ne las medidas espectrales:

Mφ(X) =

∫ 1

0φ(p)F−

X(p)dp , (1)

donde φ es una funci¶on real sobre el intervalo [0,1] y F−X(p) =

inf{x ∈ R | P [X ≤ x] ≥ p}.

Kusuoka (2001) demuestra que las medidas espectrales son me-

didas coherentes que satisfacen las propiedades de invariante por

ley y aditividad comon¶otona.

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Rockafellar y otros (2002) de¯nen dos conjuntos diferentes de

medidas de riesgo: medidas de desviaci¶on y medidas acotadas

en media. Estas medidas no son coherentes.

No existe consenso sobre las propiedades que las medidas de

riesgo deben poseer.

Goovaerts y otros (2003) son bastante cr¶³ticos sobre las condi-

ciones de coherencia: sub{aditividad, invariante por traslaci¶on y

positiva homog¶enea.

Las propiedades deseables di¯eren cuando una medida de riesgo

se utiliza para requerimientos de capital, para comparar primas

de riesgo o para prop¶ositos de regulaci¶on.

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5. Medidas de riesgo basadas en distorsiones

Medida de riesgo: Valor esperado de las p¶erdidas bajo una pro-

babilidad distorsionada (Integral de Choquet).

ρg(Y ) = EP ∗[X] =

∫∞

0g(S(y))dy −

∫∞

0[1− g(S(−y))]dy . (2)

donde g es una funci¶on de distorsi¶on.

De¯nici¶on Una funci¶on de distorsi¶on, g : [0,1] → [0,1], es una

funci¶on no-decreciente que cumple g(0) = 0 y g(1) = 1.

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Propiedades de las medidas basadas en distorsiones

1. Monoton¶³a

2. Homog¶enea positiva

3. Invariante por traslaci¶on

4. Aditiva comon¶otona

5. Subaditiva si g es c¶oncava y superaditiva si g es convexa.

6. Non-exceding loading: ρ(X) ≤ max(X)

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• Valor esperado de una nueva funci¶on de distribuci¶on incor-

porando las expectativas o la aversi¶on al riesgo del individuo.

• Una funci¶on de distorsi¶on repondera las probabilidades que

asigna la funci¶on de distribuci¶on real de p¶erdidas.

• Medidas coherentes basadas en distorsiones: repondera de

forma que la distribuci¶on distorsionada tiene una cola m¶as

pesada que la inicial.

• Las medidas m¶as utilizadas est¶an basadas en distorsiones.

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6. M¶as all¶a de la coherencia

• Medidas basadas en distorsiones son coherentes ⇔ la dis-

torsi¶on es c¶oncava.

• No todas las medidas de riesgo coherentes son medidas basadas

en distorsiones (aunque \si las m¶as importantes").

Valor en Riesgo

g(y) =

0 if y < 1− α

1 if y ≥ 1− α(3)

Funci¶on de distorsi¶on de¯nida a trozos y no{c¶oncava (no coher-

ente).

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Valor en Riesgo Condicionado

g(y) =

y

1−αsi y < 1− α

1 si y ≥ 1− α. (4)

Funci¶on de distorsi¶on de¯nida a trozos, continua y c¶oncava (me-

dida coherente).

Ejemplo (CVaR inconsistente)

P¶erdida A B

0 0.600 0.600

1 0.375 0.390

5 0.025 |

11 | 0.010

Tabla 1.:Distribuci¶on de las p¶erdidas de las carteras A y B.

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Se puede calcular la distribuci¶on distorsionada de las carteras A

y B.

P¶erdida SA(x) S∗A(x)

X < 0 1 1

0 ≤ X < 1 0.4 1

1 ≤ X < 5 0.025 0.5

5 ≤ X 0 0

Tabla 2.: Distribuci¶on distorsionada de la cartera A

El CV aRα(XA), a nivel α = 0.95, viene dado por:

CV aR0.95(XA) =

∫ 1

0dx+

∫ 5

10.5dx = 3 = CV aR0.95(XB).

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Problema de la medida CVaR: no utiliza toda la informaci¶on

de la distribuci¶on inicial.

Ejemplo Supongamos que tenemos la siguiente funci¶on de dis-

torsi¶on:

g1(x) =

50x si 0 ≤ x < 0.01

0.5 si 0.01 ≤ x < 0.5

x si 0.5 < x ≤ 1

g es una funci¶on de distorsi¶on continua y constante en el intervalo

[0.01,0.5].

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Consideramos dos carteras A y B:

P¶erdida A B

0 0.600 0.600

1 | 0.390

10 0.375 |

11 0.025 0.010

Tabla 3. Distribuci¶on de p¶erdidas de las carteras A y B

La medida de riesgo generada por g1 asigna el mismo valor (5.5)

a ambas carteras.

Problema: La funci¶on de distorsi¶on no utiliza toda la infor-

maci¶on inicial.

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Se puede comprobar que da probabilidad cero a un conjunto de

sucesos

P¶erdida P(A) P ∗(A)

0 0.600 0.5

10 0.375 0

11 0.025 0.5

Tabla 4.: Probabilidad distorsionada de la cartera A

Soluci¶on: La medida de riesgo debe utilizar toda la informaci¶on

de la distribuci¶on inicial.

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De¯nici¶on: Consideramos un riesgo X y una medida de distorsi¶on

ρ, i.e. ρ(X) = EP ∗(X). La medida de riesgo ρ se dice que es

completa si:

S(x1) = S(x2) ⇔ S∗(x1) = S∗(x2), ∀ x1, x2 ∈ [0,1], (5)

donde S∗ es la funci¶on de supervivencia de la probabilidad dis-

torsionada, P ∗.

Las medidas VaR y CVaR no son completas.

Soluci¶on: La funci¶on de distorsi¶on que genera la medida de riesgo

no puede ser constante.

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No utilizar la informaci¶on inicial es equivalente a realizar una

reponderaci¶on igual a cero.

El coe¯ciente de reponderaci¶on se puede aproximar por la derivada

de la funci¶on de distorsi¶on.

Teorema: Las siguientes condiciones son equivalentes

1. S(x1) = S(x2) ⇔ S∗(x1) = S∗(x2), for all x1, x2 ∈ [0,1],

2. g es una funci¶on de distorsi¶on estrictamente creciente.

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Si estamos interesados en medidas coherentes (concavidad de la

funci¶on de distorsi¶on) de¯nimos la propiedad de exhautividad.

De¯nici¶on: Una medida de riesgo basada en una distorsi¶on es

exhaustiva si es coherente y completa.

La diferencia entre medidas de distorsi¶on convexas y c¶oncavas

es que generan medidas super-aditivas o sub-aditivas, respecti-

vamente.

Caracterizaci¶on de las medidas exhaustivas en funci¶on de la derivada

de la funci¶on de distorsi¶on.

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• La coherencia no es sufuciente para evitar inconsistencias.

Las medidas deben ser completas.

• Las funciones c¶oncavas reponderan las p¶erdidas bajas por un

coe¯ciente < 1 y las p¶erdidas extremas por un coe¯ciente

> 1.

• Existe un punto donde la reponderaci¶on cambia y el inversor

decide asignar m¶as importancia a p¶erdidas superiores a ese

valor que aquellas inferiores.

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7. Conclusiones

• No existe consenso sobre que propiedades deben tener las

medidas de riesgo.

• Se observan inconsistencias en las medidas de riesgo m¶as

utilizadas en la pr¶actica: VaR y CVaR.

• Las inconsistencias son debidas a que la funci¶on de distorsi¶on

que de¯nen dichas medidas son constantes.

• El problema aparece al reponderar por cero las probabilidades

iniciales.

• Se de¯nen propiedades para evitar dichas inconsitencias: Com-

pletitud y exhaustividad.

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