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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez1
MEDIDAS DE POSICIÓN
de una distribución de frecuencias
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez2
Medidas Descriptivas Numéricas:
• Medidas de posición:
- central
- no central
• Medidas de dispersión
• Medidas de forma:
- simetría
- curtosis
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez3
Las medidas de posición nos ayudan a saber dónde están
localizados los datos, pero sin saber cómo están distribuidos.
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez4
Medidas de posición central:
• La media aritmética:
- pretende representar un valor central del conjunto de datos observados
- para ello se busca un valor k que haga mínima la distancia del mismo a cada una de las observaciones: d(xi, k) mínima
- la fórmula de cálculo es: ∑=
=
=ni
iixn
x1
1
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez5
La media aritmética: ejemplo
• Las observaciones que surgen de tirar 6 veces un dado son las siguientes:
1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 6
Si calculamos:
(1 – k) + (1 – k) + (2 – k) + (3 – k) + (5 – k) + (6 – k) = 18 – 6 x k , por lo que k = 3.
Si observamos las distancias (con signo) al valor k obtenido: -2 + -2 + -1 + 0 + 2 + 3 = 0
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez6
La media es el “pivote” de los valores observados
11
2 3 5 6
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez7
La media, cálculo con datos agrupados:
)y...yy....y...yy(n1
xn1
x kkk111
ni
1ii ++++++==
=
=∑
∑kj
1jjjkk2211 ynn
1)yn...ynyn(n
1x
=
==+++=
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez8
La media: ejemplo de cálculo con datos agrupados
Se dispone del peso de diez cerdos de entre 4 y 5
meses de edad (en kg.):
…queremos calcular la media de esos pesos.
xi fi
54 2
59 3
63 4
64 1
N = 10
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez9
La media: ejemplo de cálculo con datos agrupados
Calculamos entonces:
Por lo que la media resulta ser de 60,1 kg.
xi fi xi * fi
54 2 108
59 3 177
63 4 252
64 1 64
N = 10 601
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez10
La media aritmética: propiedades
baXY += bxay +=⇒
Linealidad:
“Sensibilidad”, en caso de valores extremos:
- supongamos queremos la media de edades del siguiente conjunto de observaciones (un hogar):
1 – 2 – 4 – 29 – 34 , ésta es 70 / 5 = 14
- ahora, por algún motivo, la persona de 29 años se va de casa con los niños, y pasa a vivir con su madre que tiene 64 años. La media ahora es: 100 / 5 = 20
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez11
La media aritmética: aclaración
El valor promedio de las observaciones
no es necesariamente
uno de los datos observados
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez12
La media aritmética: inconvenientes
• No se puede calcular para variables categóricas
• En el caso de variables continuas discretas, su resultado puede ser chocante: la media de hijos por familia puede ser 2,1 hijos.
• No es robusta: es muy sensible a valores extremos.
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez13
La media recortada (α-podada)
Para evitar problemas de “sensibilidad” a valores extremos, se ordena la muestra y se
eliminan (por ejemplo) el 10% de los valores extremos. Entonces, se calcula la
media artimética de los valores (centrales) restantes.
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez14
La media ponderada
A veces es necesario darle mayor importancia a determinados datos observados que a otros.
Un ejemplo usual, es la media de calificaciones de los alumnos en secundaria: hay porcentajes asignados a participación oral, escrita y a pruebas especiales.
∑
∑=
=
=
== ni
ii
ni
iii
w
xwx
1
1
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Medidas de posición central:
• La moda:
- datos sin agrupar: es el valor más frecuente en el conjunto de observaciones
- datos agrupados: es el intervalo o clase que tiene mayor número de observaciones por unidad de longitud (es el de mayor valor de la densidad empírica f* )
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez16
La moda: aclaración
La moda de las observaciones
es necesariamente
uno de los datos observados
En el ejemplo de los pesos, la moda es 63
(es el valor observado más frecuente)
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez17
La moda y sus dificultades
• Para el caso de variables cuantitativas continuas sin agrupar, siendo muy raras las repeticiones, no tiene mucho sentido.
• Al agrupar datos continuos, ya no podemos hablar de una moda sino de un intervalo modal: tomamos la marca de clase como valor de la moda.
• Al cambiar la forma de agrupar datos continuos, el intervalo modal varía.
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez18
Medidas de posición central:
• La mediana: - pretende representar al conjunto de datos
observados.- para ello se ordenan las observaciones (de
menor a mayor) y se elige el valor observado que ocupa el lugar central (o bien el promedio de los dos datos centrales).
- la mediana es el valor que alcanza o supera el 50% de las observaciones, cuando éstas están ordenadas en forma creciente.
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez19
La mediana: datos agrupados
• Al agrupar datos, todos los valores de cada clase (intervalo) son posibles, por lo que se puede definir siempre el valor que acumula exactamente el 50% de las observaciones como:
mf
jcLx +=50.0
[ )''150.0 ;∈ ii xxxsi
L: límite inferior de la clase donde está la mediana
c: amplitud de la clase
j: cantidad de observaciones que faltan adicionar para llegar a n/2
fm: frecuencia absoluta de la clase donde está la mediana
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez20
La mediana: propiedades
• Se puede establecer aún en variables cualitativas, si son ordinales.
• Su valor es uno de los valores observados.• No es necesarios considerar los valores de
las observaciones para calcularla.• Es robusta. En el ejemplo de las edades, en
los dos casos: 1 – 2 – 4 – 29 – 34 y 1 – 2 – 4 – 29 – 64 la mediana es 4.
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez21
Medidas Descriptivas Numéricas:
• Medidas de posición:
- central
- no central
• Medidas de dispersión
• Medidas de forma:
- simetría
- curtosis
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez22
Los cuantiles:
• Son aquellos valores observados que, ordenados de menor a mayor, dividen a la función de distribución empírica en partes iguales.
• Los cuartiles: la dividen en cuatro partes, cada una de ellas engloba el 25% de las observaciones. Q1 es el primer cuartil (valor que alcanza o supera el 25% de los datos observados), Q3 es el tercer cuartil (alcanza o supera el 75% de los datos observados), Q2 = Mediana.
• Los más comunes: deciles, percentiles.
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez23
Dependiendo del estudio que queramos realizar, será la
medida de posición que adoptaremos.
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez24
Cambios de origen y de escala
• Cambios de origen: es cuando sumamos (restamos) una cantidad constante a todos los datos observados.
• Cambio de escala: es cuando afectamos a todos los datos observados de un mismo factor.
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1er semestre 2012 UDE Fac. CC. Agrarias Celina Gutiérrez25
Los cambios de origen y de escala afectan a todas las medidas de posición por igual: éstas cambiarán en el mismo sentido e
intensidad que lo hicieron los datos analizados.