MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

ANDRES DIAZ

ALBEIRO GONZALEZ

JONATHAN ZAMUDIO

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central, también conocidas con la denominación de promedios, son

medidas que tratan de caracterizar a todos los elementos estudiados, resumiendo todas las

observaciones en un solo valor. Existen diferentes promedios, de los cuales solo consideraremos seis. La media aritmética es el promedio más

utilizado de ellos, por su facilidad de cálculo, sin embargo deben considerarse los otros, pues no

siempre la media aritmética es un promedio adecuado.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Entre las medidas de tendencia central tenemos:

-MEDIA ARITMETICA -MEDIA PONDERADA-MEDIA GEOMETRICA-MEDIA ARMONICA -MEDIANA-MODA

LA MEDIA ARITMETICA

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

es el símbolo de la media aritmética.

Ejemplo:

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Ejemplo para datos no agrupadosEn un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

xi fi xi · fi

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

42 1 820

LA MEDIA PONDERADA

Es una Medida de Tendencia Central o Medida de Posición Central, que se determina en un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de

los números por un valor particular para cada uno de ellos, llamado su peso, y obteniendo a continuación

la media aritmética del conjunto formado por los productos anteriores. Se utiliza la media ponderada cuando no todos los elementos componentes de los

que se pretende obtener la media tienen la misma importancia.

Para una serie de datos

  a la que corresponden los pesos

  la media ponderada se calcula como:

  

MEDIA GEOMÉTRICALa media geométrica de un conjunto de valores se

define como la raíz n-ésima del producto de los valores, generalmente se simboliza por X o G.

Cuando los datos ya se encuentren ordenados en una tabla de distribución de frecuencias, la media

geométrica se define como:

-Por ejemplo, la media geométrica de 1, 3 Y 9 seria

PROPIEDADES1.En su cálculo intervienen todos los valores que toma la 

variable.

2.Es un promedio que se afecta menos que la media aritmética por valores extremos de la variable.

3.No se puede utilizar cuando la variable toma el valor cero o negativos.

4.Es el promedio más adecuado para promediar cantidades que tienen forma de progresión geométrica. Por ejemplo, los

siguientes valores forman una progresión geométrica : 2, 6, 18,54,162,486 En este caso el promedio más adecuado es la media geométrica  No se requiere que los valores constituyan exactamente una progresión geométrica, sólo es necesario que 

adopten una forma similar.

5.La media geométrica es el promedio que debe ser utilizado para promediar tasas de crecimiento o variables que presentan 

variación a través del tiempo. 

Ventajas -considera todos los valores de la distribución y es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.

Desventajas-Es de significado estadístico menos intuitivo que la

media aritmética, su cálculo es más difícil y en ocasiones no queda determinada; por ejemplo, si un valor

x=0 entonces la media geométrica se anula.-Solo es relevante la media geométrica si todos los

números son positivos. Como hemos visto, si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hubiera un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la

media geométrica sería o bien negativa, o bien inexistente en los números reales.

La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.

MEDIA ARMONICALa media armónica, denominada H, de una cantidad finita

de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores

Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el

conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

PROPIEDADES1.La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la

variable.2.Siempre se puede pasar de una media armónica a

una media aritmética transformando adecuadamente los datos.

3.La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualesquiera números

reales positivos :

Ventaja-Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media

aritmética.-Se suele utilizar para promediar velocidades,

tiempos, rendimientos, etc.

Desventajas-La influencia de los valores pequeños y

El hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por

eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños.

MEDIANA

la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados la mediana, representa el valor dado. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y 

los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos 

de la muestra

Las propiedades de la mediana son:

•Es única, sólo existe una mediana para un conjunto de datos.•No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños.•Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la medina no se encuentra en una clase de tal extremo.•Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal(excepto para el nominal).

VENTAJAS•ESTABLECE A LOS VALORES EXTREMOS

•ES RECOMENDABLE EN DISTRIBUCIONES MUY ASIMETRICAS

DESVENTAJAS•NO REPRESENTA TODO EL RIGOR MATEMATICO•SE EMPLEA SOLO EN VARIABLES CUANTITATIVAS

DATOS NO AGRUPADOS

Se ordenan de mayor a menor o del sentido contrario

Ejem: 3 4 56 8 8 9

mediana

3 4 5 6 7 8

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

ME = NJ – 1 + C (n/2 – fa)Fa-1

ME= 32+6 (30/2)-10 =42

3

Xi1  -x i F Fr Fa Fra. xi Xi . F Xi ² . f14 20 1 0.03 1 0.03 17 17 289

1 26 2 0.06 3 0.09 23 46 1058

26  32 7 0.23 10 0.32 29 203 5887

1 38 8 0.26 18 0.58 35 280 9800

1 44 7 0.23 25 0.81 41 287 11767

44 50 5 0.16 30 0.97 47 235 11045

∑ 30 1 1 1068 39846

MODA

VENTAJAS•ES RECOMENDABLE PARA VARIABLES EXTREMAS•ES RECOMENDABLE PARA VARIBLES EXTREMAS

DESVENTAJAS•PUEDE QUE NO SE PRESENTE

•PUEDE EXISTIRMAS DE UNA MODA•CARECE DE RIGOR MATEMATICO

•EN DISTRIBUCION MUY ASIMETRICO SUELE SER UN DATO MUY POCO REPRESENTATIVO