Lamedia ponderadaes unamedida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los dems datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderacin (peso) para luego sumarlos, obteniendo as unasuma ponderada;despus se divide sta entre la suma de los pesos, dando como resultado lamedia ponderada.Para una serie de datos no vaca:

a la que corresponden los pesos:

lamedia ponderadase calcula de la siguiente manera:

EjemploSe puede usar unamedia ponderadapara calcular la nota final de un curso escolar, en donde se asigna distinta importancia (peso) a los distintos exmenes que se realicen. Por ejemplo, los dos primeros exmenes tienen un peso o valor de 30% y 20% respectivamente, y el ltimo del 50%; las calificaciones respectivas son de 6.4, 9.2 y 8.1, entonces la nota final corresponde a la siguiente media ponderada:Datos:Pesos:Media Ponderada:AnalogaSi se consideranpuntos diferentes en el plano, con sus respectivas masas, es posible hallar un punto, que algunos llamanbaricentro, que representa la masa promedio.Enmatemticasyestadstica, lamedia geomtricade una cantidad arbitraria de nmeros (por decirnnmeros) es laraz n-simadel producto de todos los nmeros, es recomendada para datos de progresin geomtrica, para promediar razones, inters compuesto y nmeros ndices.

Por ejemplo, la media geomtrica de 2 y 18 es

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sera

Propiedades Ellogaritmode la media geomtrica es igual a lamedia aritmticade los logaritmos de los valores de la variable. La media geomtrica de un conjunto de nmeros positivos es siempre menor o igual que la media artimtica:

La igualdad slo se alcanza si.Ventajas considera todos los valores de la distribucin y es menos sensible que la media aritmtica a los valores extremos.Desventajas es de significado estadstico menos intuitivo que la media aritmtica, su clculo es ms difcil y en ocasiones no queda determinada; por ejemplo, si un valorentonces la media geomtrica se anula.Solo es relevante la media geomtrica si todos los nmeros son positivos. Como hemos visto, si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hubiera un nmero negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geomtrica sera o bien negativa, o bien inexistente en losnmeros reales.En muchas ocasiones se utiliza su trasformacin en el manejoestadsticode variables con distribucin nonormal.La media geomtrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.Media geomtrica ponderadaAl igual que en una media aritmtica pueden introducirse pesos como valores multiplicativos para cada uno de los valores con el fin de ponderar o hacer pesar ms en el resultado final ciertos valores, en la media geomtrica pueden introducirse pesos como exponentes:

Donde lasson los pesos.Caso ilustrativoUna cadena de expendedores de gasolina el ao pasado aument sus ingresos respecto al ao anterior en 21%; y han proyectado que este ao van a llegar a un aumento de 28% con respecto al ao pasado. Cunto es el promedio anual del aumento porcentual?Definitivamente no es (21% + 28%):2 = 24,5%.El monto de la produccin, al final de dos aos, es 100(1,21)(1,28)= 154,88. Si en cada ao se tuviera una tasa anual de aumento de i% resulta100 100(1+i) 100(1 +i)2.Entonces100(1 +i)2= 154,88(1 +i)2= 1,54881 + i ==1,244507i = 0,244507 = 24,451%1Lamedia armnica', denominadaH, de una cantidad finita de nmeros es igual alrecproco, o inverso, de lamedia aritmticade los recprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.As, dadosnnmerosx1, x2, ... , xnla media armnica ser igual a:

La media armnica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho ms grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho ms pequeos que el conjunto.La media armnica no est definida en el caso de que exista algn valor nulo.Propiedades1. La inversa de la media armnica es la media aritmtica de los inversos de los valores de la variable.2. Siempre se puede pasar de una media armnica a una media aritmtica transformando adecuadamente los datos.3. La media armnica siempre es menor o igual que la media aritmtica, ya que para cualesquiera nmeros reales positivos:

Ventaja Considera todos los valores de la distribucin y en ciertos casos, es ms representativa que la media aritmtica.Desventajas La influencia de los valores pequeos y el hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeos.Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.CuriosidadesLa media armnica surge de manera natural al calcular elndice de Paasche, uno de losnmeros ndicems comunes. Considrese una serie temporalque resulta de agregar el valor nominal de la produccin o el gastoenmercancas. Para aislar cambios en cantidades de cambios en precios el ndice de Laspeyres fija los precios del periodo anterior y compara el gasto hoy con los precios de ayer al gasto de ayer

Al dejar los precios fijos, se interpreta queslo refleja cambios en cantidades o reales. Tambin se puede observar que se trata de una media donde el cambio en la cantidad de la mercancaaparece ponderada por el peso del gasto en esta mercanca sobre el gasto total.El ndice de Paasche, al revs, procede a dejar fijos los precios de hoy: compara el gasto hoy con el gasto de ayer si hubieran prevalecido los precios de hoy.

De esta definicin no podemos obtener una media ponderada como antes. Sin embargo, si se considera la fmula invertida ocurre que

pero entonces

Esto es, el ndice de Paasche resulta ser la media armnica de los cambios en cantidades en cada una de las mercancas.Media geomtricaLa media geomtrica (MG), de un conjunto denmeros positivos se define como lan-del producto de losnmeros.Por tanto, la frmula para la media geomtrica es dada por

Existen dos usos principales de la media geomtrica:1. Para promediar porcentajes, indices y cifras relativas y2. Para determinar el incremento porcentual promedio en ventas, produccin u otras actividades o series econmicas de un periodo a otro.EjemploSupongase que las utilidades obtenidas por una compaa constructora en cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. Cal es la media geomtrica de las ganancias?.En este ejemploy asi la media geomtrica es determinada por

y as la media geomtrica de las utilidades es el 3.46%.La media aritmtica de los valores anteriores es 3.75%. Aunque el valor 6% no es muy grande, hace que la media aritmtica se incline hacia valores elevados. La media geomtrica no se ve tan afectada por valores extremos.MEDIA ARMNICALamedia armnica(H) de un conjunto de elementos no nulos (X1, X2,,XN) es el recproco de la suma de los recprocos (donde 1/Xies el recproco de Xi)) multiplicado por el nmero de elementos del conjunto (N).

La media armnica es la recproca de lamedia aritmtica. Loselementosdel conjunto deben ser necesariamenteno nulos. Esta media es poco sensible a los valores grandes, pero muy sensible a los valores prximos a cero, ya que los recprocos 1/Xison muy altos.Lamedia armnicano tiene un uso muy extenso en el mundo cientfico. Suele utilizarse principalmente para calcular la media de velocidades, tiempos o en electrnica.EjemploUn tren realiza un trayecto de 400km. La va tiene en mal estado que no permitan correr. Los primeros 100 km los recorre a 120km/h, los siguientes 100km la va est en mal estado y va a 20km/h, los terceros a 100km/h y los 100 ltimos a 130km/h. Para calcular el promedio de velocidades, calculamos lamedia armnica.

La media armnica es de H=52,61km/h.

Relacin entre mediasExiste unarelacin de ordenentre cuatro tipos de media. En esta relacin se excluye lamedia ponderadaporque depende de los pesos. Sean: Hlamedia armnica MGlamedia geomtrica xlamedia aritmtica RMSlamedia cuadrticaEntonces: