PROYECTO DE CAÑERIAS INDUSTRIALES CÁLCULO DE FLEXIBILIDAD POR EL MÉTODO DE LA VIGA EN VOLADIZO GUIADA

EL MÉTODO DE LA VIGA EN VOLADIZO GUIADA (GUIDED CANTILEVER METHOD) ES UN MÉTODO APROXIMADO QUE PUEDE SER APLICADO PARA CONFIGURACIONES PLANAS O ESPACIALES QUE SATISFAGAN LAS CONDICIONES SIGUIENTES: 1. Todos los lados rectos y paralelos a una de las tres direcciones ortogonales (consecuentemente todos los lados deben formar ángulos rectos entre si). 2. Todos los lados deben estar constituidos por caños del mismo material y el mismo momento de inercia (igual diámetro e igual espesor de pared). 4. El sistema debe estar soportado solamente en dos puntos situados en sus extremos y no debe tener ninguna restricción intermedia. I – HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS: 1. Todos los lados se deforman sin que haya deformaciones o rotaciones en las esquinas, que permanecen rectas con los lados paralelos. En el método se estima que los lados se deforman como se fuesen vigas en voladizo con los extremos guiados.

Ilustración del Piping Handbook:

2. La dilatación total se da en cada una de las direcciones ortogonales, lo que significa que la suma de los lados paralelos a esa dirección es totalmente absorbida por la flexión de los lados paralelos a las otras direcciones ortogonales. 3. No son consideradas las torciones que se producen en los diversos lados de una configuración tridimensional. II – RESULTADOS DEL MÉTODO LOS RESULTADOS OBTENIDOS SON GENERALMENTE CONSERVATIVOS (Los valores obtenidos generalmente son superiores a los valores efectivos) MOTIVOS: 1 – Siempre hay una flexibilidad adicional causada por las deformaciones en las esquinas. 2 – En los sistemas espaciales también tendremos la torsión de los diversos lados, la que contribuye para aumentar la flexibilidad.

3 – No siempre todos los lados se deforman como vigas en voladizos guiadas, algunos solamente se curvan, aumentando también la flexibilidad. III – CONFIGURACIÓN SIMPLE EN L CONSIDERANDO UNA CAÑERÍA SIMPLE EN L, ANCLADA EN LOS DOS EXTREMOS. COMO SE SUPONE QUE NO EXISTE DEFORMACIÓN EN LAS ESQUINAS, LA DILATACIÓN DE UN LADO VA A PRODUCIR UNA FLEXIÓN EN EL OTRO LADO, CUYA FLECHA SERÁ LA REFERIDA DILATACIÓN.

De esta manera, la flecha a la que estará sometido el lado L1 será a dilatación 2δ del lado L2 y viceversa. La expresión de la flecha en una viga en voladizo con la extremidad guiada es:

EI

PL

12

3

=δ (1)

Donde: P = fuerza aplicada en el extremo de la viga L = longitud del lado E = modulo de elasticidad del material I = momento de inercia del caño

Del diagrama de momentos mostrado en la figura de al lado, tenemos que:

2

PLM = (2)

Donde: M = momento flector máximo

PARA CAÑERÍAS, SIENDO J EL MÓDULO DE RESISTENCIA A LA FLEXIÓN, M EL MOMENTO FLECTOR Y D EL DIAMETRO EXTERIOR DEL CAÑO, LA TENSIÓN S DEL MATERIAL EN LAS FIBRAS EXTERNAS MÁS ALEJADAS DEL BARICENTRO DE LA SECCIÓN DEL CAÑO SERÁ:

J

MS = y

2

D

IJ = ; de donde tenemos:

I

MDS

2= (3) y

D

SIM

2= (4)

APLICANDO (2) Y (4) EN (1), TENEMOS:

EI

PL

12

3

=δ = EI

LPL

6

2

2

= EI

ML

6

2

= EID

SIL

6

2 2

ED

SL

3

2

=δ (5) O 2

3

L

EDS

δ= (6)

LA ECUACIÓN (6) DETERMINA LA TENSIÓN MÁXIMA S EN UN LADO DE LONGITUD L ,

CUANDO ESTÁ SOMETIDO A UNA FLECHA δ

COMO LA NORMAS ANSI/ASME B.31 ESTABLECEN QUE LOS CÁLCULOS DE LAS TENSIONES

SEAN HECHOS UTILIZANDO EL MÓDULO DE ELASTICIDAD CORRESPONDIENTE A LA TEMPERATURA MÍNIMA DEL CICLO TÉRMICO, TENEMOS:

2

3

L

DES C δ

= (6)

Las tensiones máximas 1S y 2S en los dos

lados 1L y 2L serán:

2

1

2

1

3

L

DES C δ

= 2

2

1

2

3

L

DES C δ

=

Donde las dilataciones 1δ y 2δ serán:

11 eL=δ 22 eL=δ Donde e es el coeficiente de dilatación unitario lineal del material para la variación de la temperatura analizada.

Luego:

2

1

2

1

3

L

DeLES C=

2

2

1

2

3

L

DeLES C=

Haciendo KDeEc =3 , tenemos:

2

1

21

L

KLS =

2

2

12

L

KLS =

LA CONSTANTE K TIENE LOS SIGUIENTES VALORES PRÁCTICOS:

610

3 DeEK c= para

S y cE en MPa

L en m

D y δ en mm

e en mm/m

410

3 DeEK c= para

S y cE en Kgf/cm2

L en m

D y δ en mm e en mm/m

48

DeEK c= para

S y cE en psi

L en pies

D e δ en pulg. e en pulg./pés

DETERMINACIÓN DE LAS REACCIONES 2PRx = (QUE ESTÁ FLEXIONANDO AL LADO 2L ) Y

1PRy = (QUE ESTÁ FLEXIONANDO AL LADO 1L ).

De la ecuación (2), tenemos que L

MP

2= , luego

2

2

2

L

MPR c

x == y 1

1

2

L

MPR a

y ==

c

h

aE

E

D

ISM 12

= 1CSM a =

c

h

E

E

D

IC

20=

M en m.N R en N I en cm4

La norma ANSI B.31 fija el cálculo de las

reacciones con cE C

E

E

D

I

c

h =10

2

M en m.Kgf R en Kgf I en cm4

c

h

cE

E

D

ISM 22

=

Haciendo

CE

E

D

I

c

h =2

resulta:

2CSM c =

Donde:

c

h

E

E

D

IC

6=

para

M en pie.lbf R en lbf I en pulg.4

IV – CONFIGURACIÓN EN U

FLECHAS: Lado 1L = 21δ

Lado 2L = 31 δδ − ( )31 LLe −⇒

Lado 3L = 23δ

DONDE: 22321 δδδ =+ y 22 eL=δ

(La distribución de la dilatación 2δ será según la

flexión del lado correspondiente, y es proporcional al cubo de su longitud)

LUEGO: 3

3

3

1

23

21

L

L=

δ

δ (7)

DE LA EXPRESIÓN (7) TENEMOS SUCESIVAMENTE:

3

3

3

1

3

12213

1

3

3

3

1

21

2

3

1

3

3

3

1

21

2321 LL

L

L

LL

L

LL

+=⇒

+=⇒

+=

+δδ

δ

δ

δ

δδ

3

3

3

1

3

1221

LL

LeL

+=⇒ δ (8)

DEL MISMO MODO TENEMOS: 3

3

3

1

3

3223

LL

LeL

+=δ (9)

(Las expresiones (8) e (9) dan la distribución da la dilatación del lado L2 sobre cada uno de los lados L1 y L3)

SUBSTITUYENDO LOS VALORES DE LAS FLECHAS EN LA EXPRESIÓN (6) TENDREMOS LAS TENSIONES MÁXIMAS DE CADA LADO:

Lado L1 3

3

3

1

12

3

3

3

1

12

2

1

21

1

33

LL

LLK

LL

LDeLE

L

DES cc

+=

+==

δ

Lado L2 ( ) ( )

2

2

31

2

2

31

2

2

31

2

33

L

LLK

L

LLDeE

L

DES cc −

=−

=−

=δδ

Lado L3 3

3

3

1

32

3

3

3

1

32

2

3

23

3

33

LL

LLK

LL

LDeLE

L

DES cc

+=

+==

δ

PARA QUE EL SISTEMA TENGA FLEXIBILIDAD LAS TENSIONES MÁXIMAS DEBEN SER INFERIORES A LA TENSIÓN ADMISIBLE aS .

CÁLCULO DE LOS MOMENTOS Y DE LAS FUERZAS DE REACCIÓN:

112

CSE

E

D

ISM

c

h

a == 1

1

2

L

MPR a

xa ==

3

32CS

E

E

D

ISM

c

h

d == 3

3

2

L

MPR d

xd == xdxa RR =

Las fuerzas de reacción Ry serán iguales, en valor absoluto, a las fuerzas que están flexionando al lado L2

2

22

L

CSRy =

V – CONFIGURACIÓN EN Z DEL MISMO MODO QUE LA CONFIGURACIÓN EN “U” LA DILATACIÓN DEL LADO L2 SERÁ DISTRIBUIDA EN LOS LADOS L1 Y L3, PERO, LA FLECHA IMPUESTA AL LADO L2 ES LA SUMA DE LAS DILATACIONES DE LOS L1 Y L3: 312 δδδ += .

LAS TENSIONES MÁXIMAS DE CADA LADO SERÁN:

LADO L1 3

3

3

1

121

LL

LLKS

+=

LADO L2 2

2

31

2L

LLKS

+=

LADO L3 3

3

3

1

32

3LL

LLKS

+=

MOMENTOS Y REACCIONES:

1CSM a =

3CSM d =

31

22

L

M

L

MR da

x ==

2

22

L

CSRy =

VI – EJEMPLO NUMÉRICO VERIFICAR LA FLEXIBILIDAD Y CALCULAR LAS REACCIONES DE LA CONFIGURACIÓN INDICADA AL LADO. (Considerar industria química)

DATOS:

• Caño: 6” sch 40 • Material: Acero carbono ASTM A-53 Gr.A • Norma: ANSI/ASME B31.3 • Temperatura de proyecto: 360°C

DE LAS TABLAS APROPIADAS TENEMOS: • Dilatación unitaria: e = 4,6 mm/m

ASME B31.3 Table C-1

• Módulo de Elasticidad: a 360 °C hE = 1,74 x 105 MPa

a 40 °C cE = 2 x 105 MPa

ASME B31.3 Table C-6

• Diámetro externo: D = 168,2 mm • Momento de inercia: I = 1170 cm4

ASME B36.10 (Calcular I)

• Tensión admisible: a 360 °C hS = 99,3 MPa

a 40 °C cS = 110,3 MPa

ASME B31.3 Table A-1

LA TENSIÓN ADMISIBLE SERÁ: ( )hca SSfS 25,025,1 += ⇒ ( ) 7,1623,9925,03,11025,10,1 =×+×=aS MPa

LAS CONSTANTES PARA EL CÁLCULO DE LAS TENSIONES Y DE LAS REACCIONES SERÁN:

610

3 DeEK c= ⇒ 2,464

10

6,42,16810236

5

=××××

=K

c

h

E

E

D

IC

20= ⇒ 121

102

1074,1

2,168

1170205

5

=×

××=C

CÁLCULO DE LAS TENSIONES MÁXIMAS

Lado L1 9,8536

65,72,464

333

3

3

1

121 =

+

×=

+=

LL

LLKS ⇒ 9,851 =S MPa

Lado L2 8,245,7

362,464

22

2

31

2 =−

=−

=L

LLKS ⇒ 8,242 =S MPa

Lado L3 95,4236

35,72,464

333

3

3

1

32

3 =+

×=

+=

LL

LLKS ⇒ 95,423 =S MPa

TODAS LAS TENSIONES MÁXIMAS SON INFERIORES A LA TENSIÓN ADMISIBLE aS , LO QUE

SIGNIFICA QUE EL SISTEMA TIENE LA FLEXIBILIDAD ADECUADA. CÁLCULO DE LOS MOMENTOS Y DE LAS FUERZAS DE REACCIÓN 103949,850,1211 =×== CSM a ⇒ 394.10=aM m.N

519795,420,1213 =×== CSM d ⇒ 197.5=dM m.N

34653

519722

6

394.1022

31

=×

==×

==L

M

L

MR da

x ⇒ 465.3=xR N

8005,7

8,240,12122

2

2 =××

==L

CSRy ⇒ 800=yR N

EJEMPLO DE UN FORMULÁRIO DONDE LAS DIVERSAS ETAPAS DEL CÁLCULO ESTÁN SISTEMATIZADAS:

G – CASO GENERAL PARA CUALQUIER CONFIGURACIÓN

y

δ

δny

nz

n

z

r

p

CADA LADO DEL SISTEMA ESTARÁ SOMETIDO SIMULTÁNEAMENTE A DOS FLEXIONES CUYAS FLECHAS SON PARALELAS A LAS DOS DIRECCIONES ORTOGONALES PERPENDICULARES A LA DIRECCIÓN DEL LADO CONSIDERADO. POR LO TANTO, UN LADO CUALQUIERA n

PARALELO A LA DIRECCIÓN x, ESTARÁ

SOMETIDO A DOS FLECHAS, UNA δny EN

LA DIRECCIÓN y Y OTRA δnz EN LA

DIRECCIÓN z. LAS FÓRMULAS QUE DAN LOS VALORES DE LAS FLECHAS SON:

LADO n ∑ ∑+

∆=

33

3

zx

yn

nyLL

Lδ y

∑ ∑+

∆=

33

3

yx

zn

nzLL

Lδ

LADO p ∑ ∑+

∆=

33

3

zy

xp

pxLL

Lδ y

∑ ∑+

∆=

33

3

zx

yp

pyLL

Lδ

LADO r ∑ ∑+

∆=

33

3

zy

xr

rxLL

Lδ y

∑ ∑+

∆=

33

3

yx

zr

rzLL

Lδ

∑3

xL

∑3

yL

∑3

zL

CORRESPONDEN A VALORES ABSOLUTOS DE LAS SUMATORIAS DE LOS CUBOS DE LAS LONGITUDES DE TODOS LOS LADOS PARALELOS A CADA UNA DE LAS DIRECCIONES, x, y Y z, RESPECTIVAMENTE.

x∆

y∆

z∆

CORRESPONDEN A LOS VALORES ABSOLUTOS DE LAS SUMAS ALGEBRAICAS DE LAS DILATACIONES LINEALES DE LOS LADOS PARALELOS A CADA UNA DE LAS DIRECCIONES, x, y Y z, COMBINADOS CON LA SUMA ALGEBRAICA DE LOS MOVIMIENTOS DE LOS PUNTOS EXTREMOS EN ESA MISMA DIRECCIÓN, EN CASO QUE EXISTAN. (La suma algebraica es elaborada comparando un sentido de flujo con el sentido fijado por las direcciones ortogonales)

SUBSTITUYENDO LOS VALORES DE LAS FLECHAS EN LA EXPRESIÓN (6), TENDREMOS LAS TENSIONES MÁXIMAS PARA CADA LADO:

LADO n

ny

zx

nyc

n

nyc

ny LKLL

LDE

L

DES =

+

∆==∑ ∑

332

33 δ

nz

yx

nzc

n

nzc

nz LKLL

LDE

L

DES =

+

∆==∑ ∑

332

33 δ

LADO p

py

zx

pyc

p

pyc

py LKLL

LDE

L

DES =

+

∆==∑ ∑

332

33 δ

px

zy

pxc

p

pxc

px LKLL

LDE

L

DES =

+

∆==∑ ∑

332

33 δ

LADO r

rx

zy

rxc

r

rxc

rx LKLL

LDE

L

DES =

+

∆==∑ ∑

332

33 δ

rz

yx

rzc

r

rzc

rz LKLL

LDE

L

DES =

+

∆==∑ ∑

332

33 δ

DONDE:

∑ ∑+

∆=

33

3

zy

xc

xLL

DEK

∑ ∑+

∆=

33

3

zx

yc

yLL

DEK

∑ ∑+

∆=

33

3

yx

zc

zLL

DEK

Para utilizar las constantes es necesario hacer una adecuación de las unidades, según mostrado en la página xxx de este apunte.

LA TENSIÓN MÁXIMA QUE ACTUA EN CADA LADO SERÁ LA RESULTANTE VECTORIAL DE LAS DOS TENSIONES REFERIDAS. POR LO TANTO, EN EL LADO n LA TENSIÓN RESULTANTE SERÁ:

22

nznyn SSS +=

EN LA PRÁCTICA NO SE CALCULA LA TENSIÓN RESULTANTE

PARA COMPENSAR EL EFECTO DE LA TORSIÓN Y DE LA FLEXIÓN EN LOS CAMBIOS DE DIRECCIÓN DE LAS CAÑERÍAS.

Las fórmulas de las configuraciones planas L, U y Z son casos particulares de estas últimas fórmulas H – EJEMPLO NUMÉRICO

y

z Fluxo

L =4,5m

Ancoragem

Bocal

1

L =3m2

L =

6m

3

L =5,5m

4

Cano: Ø 10 sch.40 Material: Acero carbono ASTM A-106 Gr. A Norma: ANSI/ASME. B.31.3 Temperatura de proyecto: 370°C De las tablas extraemos: Dilatación unitaria: 4,8 mm/m Diámetro externo: 273 mm Modulo de elasticidad: Ec=2 x 105 MPa Tensiones admisibles: Sh=99,3 MPa Sc=110,3 MPa Sa=162,7 MPa

Podemos montar la tabla siguiente:

Lado Dirección Sentido Longitud L

L3 Dilatación δδδδ = eL

L1 x + 4,5 m 91,1 m3 21,6 mm

L2 z - 3 m 27 m3 14,4 mm

L3 y + 6 m 216 m3 28,8 mm

L4 x + 5,5 m 166,4 m3 26,4 mm

Calcularemos en seguida:

33

4

3

1

3 5,2574,1661,91 mLLLx =+=+=∑

33

3

3 216mLLy ==∑

33

2

3 27mLLz ==∑

Que resultará: 333 5,473 mLL yx =+∑∑ 333 5,284 mLL zx =+∑∑

333 243mLL zy =+∑∑

Tendremos para las dilataciones totales:

mmx 484,266,21 =+=∆ mmy 8,28=∆ mmz 4,14=∆

Calculemos ahora las constantes xK , yK , zK :

( ) m

MPa K

LL

D∆EK x

zy

xc

x 36,3224310

482731023

10

36

5

336=

×

××××=⇒

+=

∑ ∑

( ) m

MPa K

LL

D∆EK y

zx

yc

y 58,165,28410

8,282731023

10

36

5

336=

×

××××=⇒

+=

∑ ∑

( ) m

MPa K

LL

D∆EK z

yx

zc

z 98,45,47310

4,142731023

10

36

5

336=

×

××××=⇒

+=

∑ ∑

Las tensiones máximas serán:

Lado L1: MPamm

MPaLKS yy 61,745,458,1611 =×==

MPamm

MPaLKS zz 41,225,498,411 =×==

Lado L2: MPamm

MPaLKS xx 08,97336,3222 =×==

MPamm

MPaLKS yy 74,49358,1622 =×==

Lado L3: MPamm

MPaLKS xx 16,194636,3233 =×==

MPamm

MPaLKS zz 88.29698,433 =×==

Lado L4: MPamm

MPaLKS yy 19,915,558,1644 =×==

MPamm

MPaLKS zz 39,275,598,444 =×==

Comparando estos resultados con el valor de la tensión admisible Sa, vemos que la tensión xS3 es

superior a Sa. Esto significa que el lado L3 está siendo sometido a un esfuerzo superior al admisible y que la configuración no tiene flexibilidad adecuada.

EN LA PRÁCTICA, NO HAY NECESIDAD DE CALCULAR TODAS LAS TENSIONES MÁXIMAS;

BASTA CALCULAR PARA CADA LADO LA TENSIÓN MAYOR, QUE SERÁ LA CORRESPONDIENTE AL MAYOR DE LOS DOS VALORES DE K RELATIVOS AL

LADO EN CUESTIÓN. Modificando la configuración de acuerdo a lo mostrado en la figura de al lado, tendremos un aumento del desarrollo de 19 m a 22 m. Repitiendo los cálculos tendremos:

Lado Dirección Sentido Longitud

L L3 Dilatación

δδδδ = eL

L1 x + 4,5 m 91,1 m3 21,6 mm

L2 y - 1,5 m 3,4 m3 7,2 mm

L3 z - 3 m 27 m3 14,4 mm

L4 y + 7,5 m 421,8 m3 36 mm

L5 x + 5,5 m 166,4 m3 26,4 mm

Calcularemos en seguida:

33

5

3

1

3 5,2574,1661,91 mLLLx =+=+=∑

33

4

3

2

3 2,4258,4214,3 mLLLy =+=+=∑

33

2

3 27mLLz ==∑

Que resultará: 333 7,682 mLL yx =+∑∑ 333 5,284 mLL zx =+∑∑ 333 2,452 mLL zy =+∑∑

Tendremos para las dilataciones totales:

mmx 484,266,21 =+=∆

mmy 8,28362,7 =+−=∆ mmz 4,14=∆

( ) m

MPa K

LL

D∆EK x

zy

xc

x 39,172,45210

482731023

10

36

5

336=

×

××××=⇒

+=

∑ ∑

( ) m

MPa K

LL

D∆EK y

zx

yc

y 58,165,28410

8,282731023

10

36

5

336=

×

××××=⇒

+=

∑ ∑

( ) m

MPa K

LL

D∆EK z

yx

zc

z 45,37,68210

4,142731023

10

36

5

336=

×

××××=⇒

+=

∑ ∑

Calculando la mayor tensión para cada lado, tendremos:

MPamm

MPaLKS yy 6,745,458,1611 =×==

MPamm

MPaLKS xx 1,265,139,1722 =×==

MPamm

MPaLKS xx 2,52339,1733 =×==

MPamm

MPaLKS xx 4,1305,739,1724 =×==

MPamm

MPaLKS xy 2,915,558,1635 =×==

Ahora tenemos todas las tensiones máximas inferiores a 162,7 MPa que es el valor de la tensión admisible Sa, de donde se concluye que la configuración tiene la flexibilidad adecuada.

El formulario siguiente muestra los cálculos de la configuración anterior con los valores en unidades del sistema ingles.

I – CÁLCULO DE LAS REACCIONES EN LOS EXTREMOS

Vamos a utilizar el ejemplo numérico resuelto anteriormente. EL CÁLCULO DE LAS REACCIONES POR EL MÉTODO DE LA VIGA EN VOLADIZO GUIADA ES MUY GROSERO, Y DEBE SER UTILIZADO COMO UNA INDICACIÓN APROXIMADA. Los momentos de reacción son calculados del mismo modo visto anteriormente, en función de las tensiones máximas desarrolladas en el primer y último lado.

De donde:

c

hz

yE

E

D

ISM 1

1

2=

c

hy

zE

E

D

ISM

1

1

2=

c

hx

yE

E

D

ISM 2

2

2=

zy CSM 11 =

yz CSM 11 = donde:

xy CSM 22 =

c

h

E

E

D

IC

20=

para M en m.N

R en N I en cm4

1

12

L

MR z

y =

⇒ 1

12

L

MR

y

z =

2

22

L

MR

y

x =

Considerando los datos del ejemplo numérico y las tablas, tenemos: Momento de Inércia: I = 6.692,9 cm4

Modulo de Elasticidad a 370°C: hE = 1,65 x 105 MPa

MPaS y 6,741 = ; MPaS z 5,151 = ; MPaS x 1,262 =

De donde tendremos:

5,404100,2

1065,1

273

9,692.6205

54

=×

××=

MPa

MPa

mm

cmC

NmCSM zy .62705,155,40411 =×==

NmCSM yz .301766,745,40411 =×==

NmCSM xy .105571,265,40422 =×==

NL

MR z

y 134125,4

3017622

1

1 =×

==

NL

MR

y

z 27875,4

627022

1

1=

×==

NL

MR

y

x 140765,1

1055722

2

2=

×==

Referencias: Antônio Clélio Ribeiro – Faculdade de Engenharia Química de Lorena – Curso de Tubulações Industriais. Pedro Carlos da Silva Telles – Tubulações Industriais – Cálculo – 9ª Edición. Mohinder Nayyar / Sabin Crocker – Piping Handbook – 7ª Edición. The M.W.Kellogg Company – Design of Piping Systems – 2ª Edición.