Metodo Cholesky
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CV00-845 Mtodos numricos en ingeniera civil
Mtodo Cholesky
Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no nulos puede ser escrita como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U; esto recibe el nombre de factorizacin LU sin embargo, si A es simtrica y definida positiva, se puede escoger los factores tales que U es la transpuesta de L, y esto se llama descomposicin o factorizacin de Cholesky. Tanto la descomposicin LU como la descomposicin de Cholesky son usadas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Cuando es aplicable, la descomposicin de Cholesky es dos veces ms eficiente que la descomposicin LU.
Problema:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el mtodo de Cholesky
A =
y C=
Solucin:
En el mtodo de Cholesky el primer paso es encontrar la matriz L usando las frmulas
y
La primera ecuacin se usa para elementos fuera de la diagonal y la segunda para elementos en la diagonal principal.
Entonces.
= 2.4495
= 6.1237
= 22.454
Ya sabemos que l12 = 0
= 4.1833
= 20.916
De igual forma l13 = l23 = 0 y
= 6.1106
La matriz L es igual a
En el mtodo de Cholesky U = LT
El siguiente paso es encontrar el vector D de la misma manera que en el mtodo de descomposicin de LU
=40.8246
=-23.9045
=-51.826
Finalmente se calcula el vector de incgnitas comenzando por la ltima x.
=-8.481
= [-23.9045-(20.916)(-8.481)]/4.1833 = 36.690
= [40.8246 ((6.1237)(36.69)+(22.454)(-8.481))]/2.4495 = 2.685
El resultado se puede comprobar multiplicando A por X y el resultado debe ser igual a C.
_1145257239.unknown
_1145257836.unknown
_1145262567.unknown
_1145262780.unknown
_1145262862.unknown
_1145263465.unknown
_1145262762.unknown
_1145258935.unknown
_1145259288.unknown
_1145258857.unknown
_1145257542.unknown
_1145257705.unknown
_1145257376.unknown
_1145256809.unknown
_1145257019.unknown
_1145257139.unknown
_1145256986.unknown
_1145256548.unknown
_1145256724.unknown
_1145256467.unknown