EL MÉTODO DE

DIFERENCIAS FINITAS

POR

GUILLERMO HERNÁNDEZ

GARCÍA

1. El Método de Diferencias Finitas

• El Método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de puntos seleccionados.

• Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados.

• El valor de los puntos seleccionados se convierten en las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operaciones aritméticas.

1.1. Flujo Estable

• Para mostrar este método vamos a considerar el caso de flujo bi-dimensional de un fluido en un acuífero homogéneo, isotrópico confinado, sin fuentes o sumideros. Para este, el flujo es descrito por la ecuación de Laplace:

• Esta ecuación debe ser satisfecha en todos los puntos del dominio R del acuífero considerado. En la frontera de R el nivel del agua, h, debe satisfacer ciertas condiciones de frontera. Vamos a asumir que las condiciones de frontera son:

0)1.1.1(2

2

2

2

y

h

x

h

fhenS 1)2.1.1(

0)3.1.1( 2

n

hTQSen n

1.1. Flujo Estable

• Una retícula de cuadrados es trazada sobre la región R(figura 1.1). El valor de la variable h en un punto nodal dela retícula, o nodo, es expresada como hi,j, donde i indica laposición de una línea vertical de la retícula (la columna), yj la línea horizontal de la retícula (el renglón).

1.1. Flujo Estable

• En general, la aproximación de la primera derivada con respecto a x de una función F(x,y), es dada por:

• (1.1.4)

• esta se dice que es la aproximación de diferencia finita hacia adelante de la derivada parcial.

• La diferencia finita hacia atrás es obtenida de la forma siguiente:

• (1.1.5)

x

yxFyxxF

x

F

,,

x

yxxFyxF

x

F

,,

1.1. Flujo Estable

• Existen pequeñas diferencias entre las dos

aproximaciones. La diferencia finita central es a

menudo más exacta:

• (1.1.6)

• La segunda derivada es la derivada de la primera

derivada; y si utilizamos una aproximación de

diferencia finita central, obtendremos:

• (1.1.7)

x

yxxFyxxF

x

F

,,21

21

2,1,,1

22

2

2

,),(2,

x

FFF

x

yxxFyxFyxxF

x

F

jijiji

1.1. Flujo Estable

• La fórmula se ilustra

en la figura 1.2,

donde la función

mostrada tiene

segunda derivada

positiva, por el

incremento de la

pendiente en la

dirección x.

1.1. Flujo Estable

• La aplicación de (1.1.7) a las derivadas parciales el (1.1.1) nos

da la aproximación del operador de Laplace. Si por razones de

simplicidad se asumen intervalos iguales en las direcciones de

x e y:

• (1.1.8)

• como la parte izquierda de la ecuación se reduce a cero según

lo indica la ecuación diferencial básica (1.1.1), se puede hacer

la aproximación requiriendo que:

• (1.1.9)

2,1,1,1,1,

2

2

2

2 4

jijijijiji hhhhh

y

h

x

h

jijijijiji hhhhh ,1,11,1,4

1,

1.1. Flujo Estable

• Los nodos en la frontera requieren atención especial para acomodar las condiciones de frontera. Una posible condición de frontera es la condición de Dirichlet (1.1.2), la cual establece que el nivel del agua subterránea sea el especificado a lo largo de parte de la frontera. En este caso ésta se prescribe a priori y ya no es una incógnita.

• En un nodo de una frontera impermeable, a lo largo de la cual una condición de frontera de Neumann (1.1.3) es aplicada, el nivel es una incógnita y la ecuación para ese nodo debe reflejar la condición de no flujo en la frontera.

1.1. Flujo Estable

• Para un nodo en una frontera vertical por la izquierda esto

puede ser expresado por la condición de que h i-1,j=h i+1,j.

La sustitución en el algoritmo general nos da:

• (1.1.10)

• Un ejemplo simple de una región rectangular es mostrada

en la figura 1.3. A lo largo del límite superior el nivel se

especifica como 100. En la esquina inferior izquierda es

especificado el nivel cero. La estimación inicial para los

nodos con valor desconocido se considera con el valor

promedio de 50.

jijijiji hhhh ,11,1,4

1, 2

1.1. Flujo Estable

• En la primera parte de la figura se muestran las condiciones iniciales. Estas no satisfacen la ecuación (1.1.9). Son corregidas aplicando la aproximación en una siguiente iteración o ciclo del programa, y el resultado se muestra en la parte central de la figura. Tampoco se satisface la ecuación (1.1.9).

• Después de un número dado de iteraciones, en cada una de las cuales todos los valores son actualizados, la solución correcta es obtenida y representada en la parte derecha de la figura.

• El método descrito es denominado de relajación, porque en cada paso los errores son relajados. En terminología matemática el método de relajación es también conocido como el método de Gauss-Seidel.

1.1. Flujo Estable

Figura 1.3 Ejemplo del método de diferencias finitas