Exposicin 1

Mtodo de Falsa PosicinErika Denisse Nevarez LlamasHermosillo, Sonora a 15 de Febrero 2011

Introducciny Aun cuando la biseccin es una tcnica perfectamente vlida para determinar races, su mtodo de aproximacin es relativamente ineficiente. y La falsa posicin es una alternativa basada en una visualizacin grfica. y El mtodo consiste en unir f(xl) y f(xu) con una lnea recta. La interseccin de esta lnea con el eje de las x representa una mejor aproximacin de la raz.

Representacin grfica del mtodo de la falsa posicin.

y Usando tringulos semejantes, la interseccin de la lnea recta con el eje de las x se estima mediante:

f xl f xu ! xr xl xr xuy Despejando xr se obtiene:

!

u

u u u

Ecuacin de Falsa Posicin

Ejemplo:y Planteamiento del problema. Con el mtodo de la falsa posicin determine la raz de667.38 f c ! e0.146843c 40 1 c

y Solucin. Se empieza el clculo con los valores iniciales

xl=12 y xu=16.

y Primera iteracin:

x x xr

12 16 16

x 6.0699 x 2.2688 2.2688 12 16 14.9113 6.0699 2.2688

y La cual tiene un error relativo verdadero de 0.89%

y Segunda iteracin:

f xl f xr ! 1.5426y Por lo tanto, la raz se encuentra en el primer subintervalo y xr se vuelve ahora el lmite superior para la siguiente interacin, xu=14.9113:

xl ! 12 x ! 14.9113

f xl ! 6.0699 f x ! .2543

12 .2543 14.9113 xr ! 14.9113 ! 4.7942 . 99 .2543

y El cual tiene errores relativo verdadero de 0.09% y aproximado de

0.79%. Es posible realizar interaciones adicionales para hacer una mejor aproximacin de las races.

Comparacin de los errores relativos de los mtodos de biseccin y de falsa posicin

Desventajas del mtodo de la falsa posiciny Planteamiento del problema. Con los mtodos de biseccin y de falsa posicin localice la raz de

f x ! x 110

entre

x ! 0 y 1.3

y Solucin. Usando biseccin, los resultados se resumen como sigue:Iteracin 1 2 3 4 5 xl 0 0.65 0.975 0.975 0.975 xu 1.3 1.3 1.3 1.1375 1.05625 xr 0.65 0.975 1.1375 1.05625 1.015625a(%) t(%)

100.0 33.3 14.3 7.7 4.0

35 2.5 13.8 5.6 1.6

y De esta manera, despus de cinco iteraciones, el error verdadero se reduce a menos del 2%. Con la falsa posicin se obtienen resultados muy diferentes:Iteracin 1 2 3 4 5 xl 0 0.09430 0.1 176 0.262 7 0.33 11 xu 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 xr 0.09430 0.1 176 0.262 7 0.33 11 0.407 4 .1 30.9 22.3 17.1a(%) t(%)

90.6 1. 73.7 66.2 59.2

y El error verdadero es 59% y se puede observar que

a< t.

Grfica de la funcin f(x)=x10-1

Mtodo de falsa posicin modificadoy Cosiste en elaborar un algoritmo que detecte cuando se

estanca uno de los lmites del intervalo.y Si ocurre esto, se divide a la mitad el valor de la funcin

en el punto de estancamiento .y La efectividad de este algoritmo se demuestra

aplicndolo al ejemplo anterior.

y Si se utiliza un criterio de terminacin de 0.01%, los mtodos convergen:Biseccin 14 Falsa Posicin 39 F. Posicin Mod. 12

y Se puede observar como el mtodo de falsa posicin modificado es mas eficiente que el de biseccin y muchsimo mejor que el mtodo de falsa posicin no modificado.