Método de fukuhei takabeya

La principal ventaja a comparación con la del método de Kani es el tiempo, ya que este método es realmente corto aún para un problema complicado, y cuyo método consiste en encontrar, por aproximaciones sucesivas, los giros de los nudos y los desplazamientos de los pisos, en lugar de los momentos debidos a ellos, con lo cual se disminuye considerablemente el número de operaciones. Esto lo hace sumamente útil. Una vez obtenida la convergencia de giros y desplazamientos, se procede a evaluar los momentos definitivos mediante las ecuaciones de ángulos de giro y deflexión.

1. Para estructuras no desplazables:

Consideremos una viga del marco mostrado en el esquema sometida a la acción de cargas horizontales y verticales.

El extremo “a” de la viga ha girado un ángulo θa y el extremo “b” otro θb. El momento final en el nodo “a” de la viga vendrá expresado por:

M (ab )=K (ab ) (2ma+mb )−ME(ab) en el cual :

K (ab )=K (ab)K

Ma:momento devido al giro θa

Mb:momento devido al giro θb

ME:momento de emprotramiento

De forma analogo se obtendra:

M (ac )=K (ac ) (2ma+mc )+ME (ac)

M (ad )=K (ad ) (2ma+md )+ME (ad )

M (ae )=K (ae ) (2ma+me )−ME (ae )

La condicion de equilibrio establece que:

M (ab )+M (ae )+M (ad )+M (ae )=0o∑Ma=0

Y el momento de desequilibrio será:

MD=mdK (ad )++meK (ae )ma2∑ K+mcK (ac )

+mbK (ab )

En el cual:

K (ae )2(K (ad )+K (ab ))

K (ac )=2∑ K

De la ecuacion anterior tenemos:

Ma= MD2∑ K

+[−FD (ae ) ]me

md [−FD (ad ) ]+[−FD (ab ) ]mb[−FD (ac ) ]mc

Que se denomina como ecuacion del momento de diro interno en el nodo .

Donde:

−FD= K2∑ K

y FDa= 12∑ K

¿

En el primer ciclo se inicia el análisis suponiendo que:

mb=me=md=mc=0 y teniendo :

ma=1adistribucion dema= MD2∑ K

En el segundo ciclo se sustituyen los valores de “m” en la ecuación que termina el

momento de giro interno del nodo, por los valores hallados para 1am (primera

distribución).

1am= MD2∑ K

+[−FD (ae )]1ame

1amd [−FD (ad ) ]+[−FD (ab )]1amb[−FD (ac )]1amc

En la practica basa repetir tres o cuatro veces estos ciclos para obtener resultados lo bastante aproximados a los momentos de diseño.

Por ultimo, supongamos que los momentos finales obtenidos despues de cuatro ciclos no satisfagacen la condicion de equilibrio :

∑ ma=0

De ahí se deduce que existirá una diferencia cuyo valor llamamos ±Cm, con lo que se tiene:

∑Ma=±Cm

A continuación se compensa este momento de desequilibrio con otro momento igual y de sentido contrario, que se distribuye de acuerdo a:

∑M (ab)=∑M (ab)±Cm(K (ab)

K (ab )+K (ac )+K (ad )+K (ae ))

∑M (ac )=∑M (ac)±Cm (K (ac )

∑ K)

∑M (ad)=∑ M (ad )±Cm(K (ad)

∑ K)

∑M (ae )=∑M (ae)±Cm(K (ae)

∑ K)

2. EN ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS.

Evalúense los coeficientes de giro μij, los desplazamientos ɣ ij y los momentos de

empotramiento M ijF.

Calcúlense los giros relativos iniciales de cada nudo φ i0 mediante la ecuación

φ i0=−¿¿ y los desplazamientos relativos iniciales de cada piso δ n

0 con la ecuación

δ n0=¿¿ llévense estos valores a un esquema adecuado.

Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos que facilite la sistematización de los cálculos.

Aplíquese a cada nudo la ecuación φ i=¿φ i0+∑

( i)

μij(¿φ i+σ ij)¿ ¿y escríbanse en el diagrama

los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo los valores de φ i. estos valores corresponden a los φ j al pasar a los nudos opuestos.

Una vez recorridos todos los nudos procédase a evaluar todos los

desplazamientos de piso con la ecuación δ n=δ n0+∑

(n)ɣ (ij )(φ i+φ j) Hecho esto, se

habrá concluido un ciclo.

Repítase los pasos 4 y 5 hasta obtener convergencia de φ ien todos los nudos y de δ j en todos los pisos.

Finalmente aplíquense las ecuaciones

M ij=M ijF+K ij (2φi+φ j+δ ij ) y M ij=M ij

F+K ij(2φ j+φ i+δij ) a todos los elementos para

obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones y

desplazamientos de piso verdaderos φ i y ∆n se pueden despejar de las ecuaciones

φ i=2ECθ i y δ ij=6 EC∆ijhij