Materia: ANALISIS NMERICO - Tema: MTODO DE INTERPOLACIN.

1. MTODO DE INTERPOLACIN

El mtodo de interpolacin es un mtodo cientfico lgico que consiste en determinar cada una de las variables en las formas en las que se pueden reproducir y cmo afectan al resultado. Pero no slo basndose en su relacin estadstica sino tambin en su causalidad. Esto constituye las reglas que se utilizan para llegar a una nueva conclusin, siempre de forma aproximada. Es decir, se considera todas las situaciones posibles y sus repercusiones y las interpolamos a la nueva situacin por analoga o induccin.Utilizado para buscar la solucin a un problema (lgica) o de ensear la misma (pedagoga), lo convierte en una herramienta muy utilizada en el marco profesional y de enseanza. Esta va no excluye necesariamente la del mtodo de extrapolacin y mucho menos pueden considerarse como nicas.En Pedagoga viene asociado al mtodo global para el aprendizaje. Por ejemplo, para ensear la lectura, las letras slo se pueden entender en sus contextos (las palabras), las palabras slo pueden entenderse en sus contextos (las frases), etc. Igualmente, en la enseanza del kata ste se ensea en etapas, se comienza el aprendizaje con katas relativamente menos complejos para luego ir incrementando la complejidad de las tcnicas y la velocidad de ejecucin.En numerosos fenmenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenmeno en situaciones que no hemos medido directamente.

La interpolacin consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

1.1 INTERPOLACIN LINEAL

Interpolar significa encontrar un valor intermedio entre dos o ms puntos base conocidos, los cuales se pueden aproximar mediante polinomios.

Sea en el sistema de coordenadas de la grfica anterior, las ecuaciones F(x) y G(x) en cuyo espacio a, b se pueden interpolar determinados valores.

Tipos de interpolacin1. interpolacin con espacios equidistantes2. interpolacin con espacios no equidistantes

1.2 INTERPOLACIN CON ESPACIOS EQUIDISTANTES O INTERPOLACION DE NEWTON

DIFERENCIAS PROGRESIVAS: Son llamadas diferencias hacia delante y se definen como:

primeras diferencias(1)Yi = Yi+1 - Yii=0,1,2,3...n

segundas diferencias(2) 2Yi = Yi+1 - Yii=0,1,2,3...n

terceras diferencias(3) 3Yi = 2Yi+1 - 2Yii=0,1,2,3...n

k- cimas diferenciasi=0,1,2,3...n (4) kYi = kk-1Yi+1 - k-1Yik=0,1,2,3...n

Donde: es el operador de diferencias progresivas

Para i=0 en la ecuacin (1)

Para i=1 en la ecuacin (1)

Para i=0 en la ecuacin (2)

Sustituyendo las ecuaciones (7) y (5) en (6)Y2 = Y1 + Y1Y2 = (Y0 + Y0) + ( 2Y0 + Y0)

De las ecuaciones (5) y (8)

Entonces para Y3

Generalizando, tendremos:

El Segundo miembro de la ecuacin (10) corresponde al Binomio de Newton Elevado al exponente k, el cual puede desarrollarse del siguiente modo:

Para: K= 1,2,3, ...n

Para: K= 1,2,3, ...n

Si se toma un valor j cualquiera menor que k y si las j-esimas diferencias son constantes, entonces todas las diferencias de orden superior a j sern cero, por lo que la ecuacin (11) queda:

Dnde:

Es un polinomio en K de grado j de la forma :

Si consideramos la funcin tabular con espaciamiento hconstante

Dnde:

X1-X0 = hX2-X0 =2h

XK-X0 = KhXn-X0 = nh

Donde queda la expresin:

Sustituyendo (15) en (14)

Se llama Polinomio de Newton con espaciamiento constante.

1.3 INTERPOLACION CON ESPACIOS NO EQUIDISTANTES O INTERPOLACION DE LAGRANGE

Si se presenta una funcin tabulada de la forma:

Entonces el polinomio:

O bien:

Los coeficientes a0, a1, a2 , ........ an , se determinan de tal modo que el polinomio pase por todos y cada uno de los puntos conocidos de la funcin, entonces si se evala la funcin anterior para x= x0 se tiene:

Sustituyendo en la ecuacin de Lagrange

O simplemente:

1.4 APROXIMACIN LINEAL

Si tenemos una nube de puntos, a los cuales queremos aproximar a una lnea recta, esta se obtiene mediante frmulas.

Sea la funcin genrica:

Dnde:

1.5 ELECCIN DE LOS PUNTOS DE INTERPOLACIN

El polinomio interpolador puede presentar comportamientos patolgicos, en el sentido de que, cuando aumentamos el nmero de puntos de interpolacin en un intervalo, la desviacin mxima entre el polinomio y la funcin en dicho intervalo aumente con el grado del polinomio. Esto pasa con las funciones de Bernstein, B(x) = |x|, y Runge.

en el intervalo [1,1]. Cuando aumentamos el grado del polinomio interpolador de estas funciones con puntos igualmente espaciados, sucede que

Podemos preguntarnos cul es la mejor eleccin de los puntos de interpolacin, en caso de que tengamos libertad para elegirlos. La respuesta es que el error se minimiza si se eligen los puntos de interpolacin como los ceros de los polinomios de Chebychev, definidos por

De su definicin, es obvio que lox Tn(x) slo toman valores en el intervalo [1,1], pues fuera de este intervalo la funcin arc cos(x) no est definida. Como sus ceros estn en el intervalo [1,1], para una funcin f (x) definida en un intervalo [a,b] tenemos que realizar un cambio de variables a la variable t definida por

de forma que f (t) toma valores en [-1,1]. Los valores de los ceros de los polinomios de Chebychev vienen dados por los valore de x que satisfacen

Donde

Tenemos por lo tanto

Por lo que los ceros xn de Tn(x) vienen dados por la expresin:

Los polinomios de Chebychev satisfacen la relacin de recurrencia.

con T0(x) = 1 y T1(x) = x. Esta relacin se puede demostrar fcilmente a partir de las relaciones trigonomtricas.

Sumando ambas igualdades, y poniendo

Tenemos

Que da la anterior relacin de recurrencia, teniendo en cuenta la definicin de Tn(x). De la relacin de recurrencia se obtiene que el coeficiente del trmino principal de Tn(x) es 2n1.

La razn de la idoneidad de los ceros de los polinomios de Chebychev como puntos de interpolacin radica en que los polinomios de Chebychev son los polinomios con coeficiente principal 2n1 con un menor valor mximo en [-1,1]. Esta afirmacin es fcil de demostrar. Los polinomios de Chebychev alcanzan su valor mximo (+1 o -1), en x = 1, x = 1, y en los puntos que anulan sus derivadas (T(x) = 0). Estos puntos vienen dados po:

con k=1,2,. . . ,n1, por lo que tenemos que alcanzan su mximo valor absoluto en n+1 puntos, en los que alternan el signo. Si suponemos que un polinomio Qn(x), con el mismo coeficiente del trmino principal, es siempre menor en mdulo que Tn(x), entonces la diferencia Tn(x)Qn(x), que es un polinomio de grado n1 (los trminos de grado n de ambos polinomios son iguales), debe de tomar valores con signos opuestos en todos los mximos (en valor absoluto) de Tn(x), o sea en n+1 puntos. Como esta diferencia es una funcin continua, debe de anularse en n puntos. Pero un polinomio de grado n1 que se anula en n puntos debe ser idnticamente nulo. Por lo tanto, no existe un polinomio de coeficiente principal 2n1 que sea menor que Tn(x) en [-1,1].Consideremos ahora el trmino del error del polinomio interpolador

El trmino

Cuando los x j se toman como los ceros de Tn(x), ya que tiene los mismos ceros que Tn+1(x) y debe coincidir con l, salvo una constante multiplicativa, y esta constante debe ser 2n para que el coeficiente del trmino principal sea 1. Por lo tanto, si se toman los puntos de interpolacin en los ceros de los polinomios de Chebychev, el error de

Pn(x) viene dado por

Por lo tanto, el trmino de error tiene la propiedad de Tn+1(x) de tomar el menor valor absoluto posible, en [-1,1], si despreciamos las variaciones debidas a f (n+1)(a) (a) depende del punto x en el que se calcula el error). Cuando se interpolan las funciones de Bernstein y Runge en los ceros de los polinomios de Chebychev se obtiene que:

Aunque la convergencia es lenta, en comparacin con la que se obtiene para funciones de comportamiento normal.

1.6 INTERPOLACIN POR SPLINES

La interpolacin polinomial tiene el inconveniente de que el polinomio interpolador puede oscilar fuertemente entre los puntos interpolados, como hemos visto en el apartado anterior. Para muchas aplicaciones prcticas interesa un algoritmo que proporcione una funcin interpoladora que se comporte suavemente. El modelo ms sencillo es una interpolacin lineal a tramos, constituida por rectas que unen los puntos interpolados. Sin embargo, este tipo de aproximacin tiene una derivada discontinua en lo puntos de interpolacin. Para muchas aplicaciones prcticas, en las que se incluyen la resolucin de ecuaciones diferenciales en las que intervienen funciones medidas experimentalmente, interesa una funcin aproximadora que tenga derivadas continuas hasta un orden dado, aparte de ser continua. El mtodo de splines se basa en encontrar funciones que cumplan estas caractersticas. Se define un spline de orden m en una serie de n+1 puntos de interpolacin {(x0,y0), . . . (xn,yn)} como un conjunto de n funciones Sk(x) (frecuentemente polinomios de orden m) definidas en el intervalo [xk,xk+1] , que satisfacen.

Como veremos ms abajo, hay que introducir en general condiciones de contorno adicionales en los extremos x0 y xn para que las funciones Sk(x) estn unvocamente definidas. Los splines ms utilizados son los cbicos, debido a que son los ms sencillos con derivada segunda continua, y por lo tanto son adecuados para aproximar funciones que intervienen en ecuaciones diferencialesde segundo orden. Si escribimos

las dos primeras derivadas vienen dadas por

La condicin de que los splines pasen por los puntos de interpolacin da Sk(xk)=ak =yk, que nos dice que los coeficientes ak son los valores de la funcin interpolada en los nodos. El significado de los otros coeficientes es obviamente Sk(xk) = bk, S(xk) = 2ck y S(xk) = 6dk. Tenemos que las ecuaciones de continuidad de las funciones Sk(x) y sus derivadas primera y segunda en los n1 puntos de interpolacin intermedios xk+1, k = 0,,n2 (las condiciones de continuidad no se aplican a los extremos) dan

que constituyen un sistema de 3(n1) ecuaciones para determinar los 3n coeficientes bk,ck y dk. Una condicin adicional es que el ltimo spline pase por el ltimo punto: Sn1(xn) = yn. Necesitaremos por lo tanto dos condiciones adicionales para poder determinar todos los coeficientes. Daremos ms adelante estas condiciones. Para simplificar la notacin, introducimos la definicin hk = xk+1xk. Podemos escribir las ecuaciones de continuidad anteriores como

De las posibles formas de resolver el sistema de ecuaciones anterior, la ms comoda es despejar los coeficientes dk y bk de forma que obtengamos un sistema de ecuaciones para los coeficientes ck. Si despejamos

en la ltima ecuacin y lo introducimos en la segunda ecuacin, obtenemos

Necesitamos otra expresin independiente de bk+1 bk para obtener una ecuacin para los ck. En la primera de las ecuaciones 5.1 podemos despejar bk:

y cambiando k por k+1 obtenemos

Restando estas dos ecuaciones queda

Igualando esta expresin con la ecuacin 5.2, obtenemos finalmente una relacin entre los ck:

Estas ecuaciones forman un sistema tridiagonal. Si definimos

Tenemos que el sistema tridiagonal queda como

Cuya forma matricial es:

Que es un sistema de n2 ecuaciones para n incgnitas. Necesitamos dos ecuaciones adicionales para determinar los ck. Estas dos ecuaciones se proporcionan mediante dos condiciones en cierta forma arbitrarias, pero de las que depende la calidad del ajuste. Las dos formas ms usuales de proporcionar estas condiciones adicionales son:

1. La condicin denominada splines naturales, que impone derivada nula en los extremos:

1. La condicin de splines sujetos (clamped), que fija la derivada en los extremos

La condicin de splines naturales implica c0 = cn = 0. El coeficiente cn no pertenece a ninguno de los splines en [x0,xn], sino a un spline arbitrario que comienza en el extremo xn, pero la introduccin de Sn(x) permite extender las ecuaciones para los coeficientes ck con una ecuacin adicional

La condicin c0 = 0 nos permite eliminar la primera columna de la matriz del sistema 5.4. Con estas dos modificaciones, el sistema de ecuaciones queda de la forma:

que es un sistema de n1 ecuaciones con n1 incgnitas. Este sistema se puede resolver fcilmente por eliminacin de Gauss. Cada paso de eliminacin se aplica solamente a la fila inmediatamente inferior, ya que los elementos inferiores de la columna son nulos. El factor de eliminacin de la segunda fila es

Despus de la eliminacin, la subdiagonal inferior se anula. El trmino en la diagonal toma un nuevo valor u2 dado por

Los elementos uk de la diagonal a partir de la segunda fila, despus de la reduccin, vienen dados por

Y los trminos independientes quedan como,

El sistema de ecuaciones, despus de la reduccin de Gauss, toma la forma:

Este sistema se resuelve fcilmente por sustitucin hacia atrs,

Con lo que determinamos todos los coeficientes ck. A partir de los ck, determinamos los coeficientes dk mediante la relacin

Los coeficientes bk se obtienen de la relacin de recurrencia

Con el valor inicial de b0 determinado por la ecuacin de continuidad de S0 y S1en el primer nodox1:

Donde hemos tenido en cuenta que c0 = 0.En el caso de splines sujetos, damos como datos adicionales los valores de f0 y fn (o estimaciones de los mismos). Tenemos por lo tanto

S0 (x0) = b0 = f0 y Sn1(xn) = bn1+2cn1hn1+ 3dn1h2n 1 = fn

La ecuacin de continuidad en x1d

La anterior expresin, introduciendo d0 en funcin de c0 y c1, queda como

Anlogamente, en el punto xn imponemos la condicin de que la derivada de Sn1(x) valga f (xn):

De la condicin de que el spline Sn1 pase por el extremo xn obtenemos

Restando ambas ecuaciones eliminamos bn1 con lo que obtenemos la relacin,

Poniendo dn1 en funcin de los ck,

Obtenemos finalmente la ecuacin adicional para cn buscada:

Aadiendo al sistema de ecuaciones que determina los ck las dos ecuaciones adicionales en los extremos inicial y final, tenemos que los ck vienen dados por la solucin de un sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incgnitas:

Para los otros valores de k, vk viene dado por la misma expresin que en el caso de splines naturales:

Por lo tanto, en el caso de splines sujetos obtenemos un sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incgnitas, que se resuelve como en el caso de splines naturales. La primera etapa de eliminacin de Gauss da el sistema reducido

BIBLIOGRAFIA

Prawda Witenberg, Juan, Mtodos y Modelos de Investigacin de Operaciones, Edit. Limusa, 1976

Steven C. Chapra, Mtodos Numricos para Ingenieros,6 ed., Mc Graw Hill.

Burden, Richard L.; J. Douglas, Faires (2004). Numerical Analysis. Belmont. Brooks/Cole.

Spitzbart, A., A Generalization of Hermite's Interpolation Formula. American Mathematical Monthly. 1960