MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS

I. INTRODUCCIÓN

Para resolver los problemas de cálculo estructural necesitamos una seri de herramientas como son los Principios, los Teoremas, los Métodos y

los Procedimientos.

La teoría de estructuras, al igual que la resistencia de materiales y la elasticidad se asienta sobre una serie de principios.

Utilizando los principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a un conjunto de Métodos.

A su vez el desarrollo operativo de los Métodos se concreta en una serie de procedimientos.

Pasamos por tanto a establecer una secuencia de mayor generalidad a mayor concreción, que sería: Principio-> Teorema-> Método ->

Procedimiento.

A continuación desarrollaremos el método de los Tres momentos; que nos permite también encontrar al igual que los métodos anteriores ya

mencionados el cálculo de la pendiente y flechas de la estructuras.

En este caso aplicando el Método de los Tres Momentos nos será fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo, aplicado para vigas

continuas.

OBJETIVOS

Ø Análisis de vigas estáticamente indeterminadas ó hiperestáticas por medio de la ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS, método particular de

flexibilidad, cuyas incógnitas son las fuerzas, en este caso, los momentos flectores en los apoyos.

Ø Calculo de desplazamientos y rotaciones en vigas aplicando dicho método.

Ø Desarrollar en el estudiante la capacidad de analizar el tipo de problemas de deflexión en vigas aplicando el método de los tres

momentos.GLOSARIO:

Viga

La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del elemento mediante la

resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte.

Vigas ContinuasLas vigas continuas son vigas que tienen más de dos apoyos.

Normalmente se utilizan cuando los vanos a cubrir son grandes.

Métodos para determinar la deformación en vigasSe utilizan varios métodos para determinar la deformación en vigas

(doble integración, superposición, área de momentos, viga conjugada, rigidez directa, elementos finitos etc.…), todos están basados en los

mismos principios pero difieren en su técnica y objetivos.

SuperposiciónComo método alternativo para la evaluación de pendientes y ordenadas de la elástica se pueden utilizar los resultados de algunos tipos sencillos

de cargas, para obtener por suma de efectos, las soluciones correspondientes a cargas más complicadas. Este procedimiento

llamado superposición, determina la pendiente y deflexión en un punto mediante la suma de las pendientes o deflexiones producidas en ese

mismo punto, por cada una de las cargas cuando actúan por separado (Singer y Pytel, 1982).

Diseño por rigidez en vigas de aceroPara las estructuras de acero, la deflexión es un estado límite de

servicio, no de resistencia, por lo que las deflexiones deben siempre calcularse con cargas de servicio. Para el cálculo de la flecha se emplea el módulo de elasticidad del acero y el momento de inercia del perfil, la flecha máxima se compara con los valores admisibles para estructuras

de acero.

Fuerza cortantePara mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga, se debe incluir

la fuerza V, que actúa perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las fuerzas

verticales que actúan en la porción aislada ubicada en el lado izquierdo.

Momento flectorAsí como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, también se

debe establecer un equilibrio en los momentos hasta la sección evaluada de las fuerzas aplicadas sobre la viga en el segmento

analizado. Este momento interno se denomina momento flector y la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la sección de corte,

producidos por las fuerzas aplicadas en la porción de la izquierda.

II. GENERALIDADES

En 1857, Clapeyron presentó a la Academia Francesa su “Teorema de los tres Momentos” para el análisis de las vigas continuas, en la misma forma que BERTOT la había publicado dos años antes en las Memorias de la Sociedad de Ingenieros Civiles de Francia, pero sin darle crédito

alguno. Puede decirse que a partir de este momento se inicia el desarrollo de una verdadera “Teoría de las Estructuras”.

Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionantes en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en

la viga.

JUSTIFICACION

La ecuación de los tres momentos expresan una relación entre los momentos flectores en tres puntos cuales quiera de una viga cualquiera.

III. MARCO TEÓRICO

Concepto:Es un método muy operativo e interesante por la forma de aplicación del

principio de superposición así como por la introducción de las condiciones de continuidad en la tangente de la elástica, desarrollado

por Clapeyron para el cálculo de las vigas continuas.

ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOSEste método toma como incógnitas hiperestáticas los momentos

flectores: M2, M3, Mm-1 que actúan en las secciones transversales correspondientes a los m-2 apoyos intermedios.

Método de cálculo: se sustituye la viga continua por m-1 vigas isostáticas equivalentes, simplemente apoyadas, en cuyos extremos se

sitúan las ligaduras internas con los tramos contiguos de los que las hemos liberado, es decir, las resultantes y los momentos resultantes de las cargas que quedan a un lado de dichos extremos.: F2, M2, F3, M3,

Desarrollemos pues a continuación estas ecuaciones de deformación y para ello tomemos dos vigas isostáticas equivalentes, correspondientes

a dos tramos consecutivos n y n+1 de la viga continua:

Calculemos a continuación cada uno de estos valores:

La ecuación se irá aplicando cada tres apoyos sucesivos de la viga

continua.

EJERCICIOS

CONCLUSIONES:

Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son

tomadas de la elástica de la viga.

Cuando exista un empotramiento en el extremo de una viga continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se añade un tramo ficticio

sin carga y sin longitud en ese extremo, de manera que pueda plantearse una nueva ecuación para resolver ese momento de

empotramiento.

ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se estudia las vigas con tres o mas apoyos, dos o

mas tramos, y que, por tanto, disponen de uno o mas apoyos redundantes

en los que las reacciones no pueden determinarse por las ecuaciones de la

Estática. En el método de los tres momentos se comienza obteniendo una

relación de tipo general entre los momentos flexionantes en tres secciones

cualesquiera de la viga, relación que se llama Ecuación de los tres

momentos, y que se escribe fácilmente aplicando los teoremas de las áreas

de momentos. La Ecuación de los tres momentos fue desarrollada por el

ingeniero francés Clapeyron en 1857. Esta ecuación relaciona los

momentos internos de una viga continua en tres puntos de soporte con las

cargas que actúan en los soportes. Por aplicación sucesiva de esta ecuación

a segmentos de la viga se obtiene un conjunto de ecuaciones que pueden

resolverse simultáneamente para los momentos internos desconocidos en

los soportes. Las aplicaciones de esta ecuación son numerosas, como

determinar las deformaciones y reacciones redundantes en cualquier tipo

de vigas, en particular en las vigas continuas. Se terminará el presente con

algunos ejercicios de aplicación para la teoría expuesta.

GENERALIDADES.-

Objetivos:

- Determinar la ecuación de tres momentos. - Conocer las aplicaciones de

esta ecuación. - Resolver problemas de aplicación para el siguiente método.

Limitaciones:

- Solo aplicación del método en vigas continúas.

Glosario de Términos:

- Se darán en el desarrollo del Marco teórico del trabajo.

MARCO TEÓRICO.-

ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

Sea una viga sometida a una carga cualquiera que soporte en forma

arbitraria.

A esta viga la hemos cortado en 3 puntos cualesquiera 1, 2,3, además

hemos reemplazados los efectos de cargas y fuerzas a la derecha o

izquierda de cada sección de corte por la fuerza cortante y el momento

flector. La longitud de los tramos serán y los momentos flectores serán las

fuerzas cortantes acompañan a la misma teniendo en cuenta que cada

extremo se encuentra perfectamente en equilibrio De esta manera hemos

transformado a cada uno de estos tramos en una viga solamente apoyada

con 2 estados de cargas que sabremos distinguir, por un lado las cargas

reales en un tramo y por otro los pares aplicados en sus extremos

En el esquema se presenta en forma genérica los diagramas de momentos

debido a las cargas cortantes en cada tramo y debido a los momentos

generados en los extremos de cada corte.

La tangente trazada a la elástica en el punto 2 determina la desviación

tangencial 1/2 y 3/2 respectivamente y la recta trazada por dos paralelas a

la posición inicial a la viga que por comodidad supondremos que la

horizontal determina la altura de los puntos 1 y 3 respecto al punto 2.

Como se puede observar el

diagrama de momento flector se le ha descompuesto en el área y áreas

triangulares en que se descomponen el área trapezoidal producida por los 2

pares extremos. Lo mismo sucede en el área de donde podemos concluir

que la desviación 12 esta dado por cada uno con su mismo brazo.

Regla de Signos: En la

deducción de la Ecuación General de los Tres Momentos se ha hecho la

hipótesis de que los momentos flexionantes en los tres puntos son positivos

y que los puntos 1 y 3 estaban situados por encima del punto 2. Si el

momento flexionante en cualquiera de los puntos es negativo habrá que

considerarlo con signo menos al sustituir su valor en la ecuación.

Recíprocamente, si al resolver la ecuación sale un valor negativo para

cualquiera de los momentos, es que en realidad es negativo. Las alturas h1

y h3 son positivas si los puntos si los puntos 1 y 3 quedan por encima del 2,

y son negativos, o se obtendrán con signo menos, si el punto 1 o el 3 están

por debajo del punto 2.

Vigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no

pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es

aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado

también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser

expresada de la siguiente manera:

Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más

complejos, sumándose o restándose. Si se va a trabajar con más de dos

tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de

tramos consecutivos. Por ejemplo:

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y

M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las

ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos

en estos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes

criterios: 1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo

será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación

adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los

valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que

el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación

de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen

cero:

3º Si tenemos un

voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el

momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los

productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos

flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente

sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por

ejemplo:

Practica Domiciliaria: Deformaciones Angulares

Método de área momento

De la ecuación general de flexión tenemos:

EI

M

dx

d

Integrando: dx

EI

Md

B

A

AB dxEI

M)(

tengamos presente que 1

EI

M

curvatura de un elemento viga.

Teorema 1:

El área bajo el diagrama de curvatura EIM

entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

Se puede usar para vigas con EI variable.

BA : ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.Se mide en radianes.Áreas positivas indican que la pendiente crece.

Teorema 2:

W Diagrama de momentos sobre EI= curvatura

M/EI

A B

B

(+)

(-)

A A/C

A

B B

A

AB dxEI

M

C DXC/A

A/D

XD/A

B

Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:

CAACAC Xd /// * , si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical

entre las tangentes en A y B.

B

AA

BBA dxEI

MX/

momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de EIM

entre A Y B.El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente

prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva EIM

entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por aarticulaciones.Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.

Ejemplo: Determinar las flechas en los puntos B y C y la pendiente elástica en el punto B.E, I constantes.

Pasos a realizar:1. Encontrar el diagrama de momentos. 2. Dividir M por EI y trazar la curva elástica tentativa. 3. Para encontrar fijar un punto inicial al cual se le conozca la pendiente e integrar el diagrama de

curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido. Cambio en = área bajo M/EI

4. Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su flecha, preferiblemente un apoyo. El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del área bajo el diagrama de M/EI con

respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexión. ( X *Área bajo la curva de M/EI

midiendo X desde el punto al que se le va a hallar la deflexión).5. Signos, un cambio de pendiente positivo osea áreas positivas de M/EI indican qque la pendiente

crece.

Ejercicio Para la siguiente viga determinar la deflexión y rotación en el punto C en función de EI.

03*20AA MM

mtfM A 60

20tB CA

3m3m

0.20

0.30

02060 xMM XX

306020 xxM X

630 xM X

42

2

**2

*1803*60

mm

tEI

mt

EIárea

adimensional (radianes)

0A condición de apoyo

?B

EIEI BAB

90

2

180

Flecha = momento de primer orden con respecto a B

EI

m

EIAB

180)3(*

3

2*

90/

si 0 A positivo

EIB

180

EI

m

EIAC

4503

3

3*2*

90/

BC por no existir momento en ese tramo.

Ejercicio

0A

Determinar D y max

Curva elástica tentativa

A=0 CX

C

B

B

B

20t

M=60t-m

3m3m

20t-60

3mA C

B

x

5 10

15

4m 2m

3mDA C

dxEI

MD

A

AD /

EIEIEIAD

5.22

2

45

2

3*15

EIAD

5.22

3

3*

2

3*15/

3

2*2*

2

2*202

3

4*

2

4*20/

AC

EIAC

160

3

480

3

80

3

2*200/

DESVIACIÓN POSITIVA

EIEI

LAC

A

67.26

6

160

/

NEGATIVA

EIEID

01.803*

67.26

EIEIEIYD

51.575.2201.80

remplazando en 1:

EID

17.4

EIEIAC

40

2*

4*20/

EIAB

40

EIB

67.66

EI

X

EI

XAm

22

*2

5

*4*2

20*

EI

X

EI

2

*2

567.26

27.3X

Busquemos el punto de tangencia cero, 0 , punto de max

EIEIAm

14.29

3

27.3*

4

20*

2

27.3/

21.8727.3*67.26

* EI

xm A

EIYm

1.58

Viga conjugada:

M/EI 20/EI

θD/A ∆D/A∆C/A

YD

Recordando las relaciones entre carga, cortante y momento tenemos:

Wdx

Md

2

2

Vdx

dM W

dx

dV

la pendiente del diagrama de momentos es el cortante dxVdM *

la pendiente del diagrama de cortante es la carga dxWdV *

Variación del momento = área bajo la curva de cortantePara hallar el momento se integra la curva de cortante

acdecurvalabajoáreaV argV = para hallar el cortante se integra la curva de carga

Si una viga la cargamos con una carga ficticia W igual a la curva del diagrama de momentos dividido EI, entonces podemos decir:

EI

M

dx

yd

2

2

EI

M

dx

d

y : área bajo el diagrama de cortante de la viga cargada con: EI

MW

y: diagrama de momentos de la viga conjugada

: área bajo el diagrama EI

M

: diagrama de corte de la viga conjugada

Análogas con las vigas

= 0

0

V 0

0

0

=0

= 0

= =0

0

M=0

V=0

M=0=

=0=V

Viga conjugada=

=

Ejercicios método del área momento

5kN12.5kN-m

2I

4I I

5m

5m

2.5m5kN

12.5

12.5

12.5

12.5

(-)

(+)(+) 5

(+)5

(+)

B

CB

A

05.2*2

5.125.2*

2

5.12/

AB

0B

041.263

1*5.2*

2

5.2*25.6

3

2*5.25.2*

2

5.2*25.6/

AB

EAB

041.26

desplazamiento para debajo de la viga.

625.155*125.3

/ EBC 625.15C

0325.392

5*625.15/ BC

063.395.2*625.15*/ LCCD 10.65x063.39y

Cambio de temperatura

Despreciar deformaciones axiales, sólo por curvatura.

h

t

EI

M

*1

F

110*5.6 6

mhviga 25.0

EIh

tM

*

12.5

6.25 3.125

6.25

(-)

(+)(+)

=15.6°1.83m

0.61m

1.83m

DC

BA =15.6°+35.6°

Cacero /10*12 6 Cconcreto /10*10 6

para aumento de temperatura en la fibra superior concavidad

mm

mAB 5.1042

83.1**

4.62 22

/

192.11483.1**4.62/ AB

192.11483.1**4.62/ BC

005616.0384.228 C

mBC3

2

/ 10*57.25.1142

83.1**4.62

310*4257.361.0**384.228 my mytotal 310*6

97.20883.1**192.114 xmx 310*71.7

Ejemplos

Le marco de acero de la figura se somete a una carga constante de temperatura en el mismo miembro superior.

Despreciando la deformación axial calcule Aenhorizontal

F 110*5.6 6

y

-62.4 +

-62.4

60°F

200°F

2lg30000

pu

kLbE

F 110*5.6 6

FT 140

h

T

*1

lg

110*6875.5

16

140*10*5.61 56

pu

01365.012*20*lg

1*106875.5 5

/

puBC

20ft

h=16pulg

200°F

60°F

25ft

10ft

CB

A

CB

A

5.6875*10-5 (1/plug)

BCBC /

310875.601365.0 C310*825.6 C

lg819.006825.0 pupiesxC lg8665.2 puA

ftft CB 10**25*

2

12*20*

lg

1*10*6875.5

25

/ puBD

lg638.1/ puBD

radB310*825.6

12*20

638.1

h

t

EI

M

*1

Cacero /10*12 6 Cconcreto /10*10 6

F

110*5.6 6

F

110*4590.2 5

mhviga 25.0

EIh

tM

*

cte1

0.61m1.83m

1.83m

DC

BA

t=15.6°

1/=62.4

½=62.4Curva elástica tentativa

tB/tA

B

ByAentremomentosdediagramadeláreaAB /

EImh

tEIAB 192.11483.1*

**/

EIm

h

tEIy tAtBB 49.104

2

83.1*83.1*

*** /