Método de Parámetros
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![Page 1: Método de Parámetros](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022082405/563dbb9e550346aa9aaec79b/html5/thumbnails/1.jpg)
MÉTODO DE PARÁMETROS
Este método de parámetros es utilizado al igual que el método " OPERADORES DIFERENCIALES " y " COEFICIENTES INDETERMINADOS " para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas de orden superior con coeficientes constantes , que son de la forma :
ab´´ + by´+ cy = g(x)
que de la forma estándar es :
y´´ + P(x)y´+ q(x)y = g(x)
donde :
"g(x)" con los métodos anteriores debía ser : * Exponencial * Suma de senos o cosenos ; o exponencial por senos y cosenos * Exponencial por polinomios
p(x) y q(x) Son constantes Al ser estos constantes se puede encontrar la solución y} rsub {h ¿" ( solución homogénea )
La diferencia de este método con los demás es que este método es de una manera más general , por lo tanto nos permite encontrar la solución particular y general de cualquier ecuación de orden superior sin importar la naturaleza del "g(x)" .
Es decir tenemos para dicho método:
y´´ + P(x)y´+ q(x)y = g(x)
donde( gracias a que p(x) y q(x) ,se puede encontrar y} rsub {h ¿" ):
¿ yh = C1 em1x + C2 em2x …. + Cn emnx
*Con este tenemos la HIPOTESIS que y p ( lo que siempre se va a encontrar ) es :
y p = u1(x) y1 + u2(x) y2 ….. + un(x) yn
En este caso es una combinación lineal de y1 , y2….yn , a diferencia método de reducción donde
y = u(x) y1 , lo cual es muy parecido
y1 y2 yn
SOLUCIÓN HOMGÉNEA
![Page 2: Método de Parámetros](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022082405/563dbb9e550346aa9aaec79b/html5/thumbnails/2.jpg)
Ya teniendo "yh " y "y p" se suman y se halla la ecuación general que es :
y = yh + y p
MÉTODO DE SOLUCIÓN :
1. Se calcula forma estándar de la ecuación diferencial, para que el coeficiente de "y’’ sea uno :
y´´ + P(x)y´+ q(x)y = g(x)
donde encontramos yh y y p
2. Del y} rsub {p¿ "calculamos las " u(x)"
un(x ) = ∫W n
W
esa notación "W" hace referencia al Wronskiano , para así poder encontrar la "u(x)" :
W(y1 , y2) = y1 y2 …… yn
y´ 1 y ´ 2
yn−11 yn−2
2 yn−13
W 1 = 0 y2 …… yn
0 y ´ 2
g(x ) yn−22 yn−1
3
W 2= y1 0 …… yn
y´ 1 0
yn−11 g(x ) yn−1
3
![Page 3: Método de Parámetros](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022082405/563dbb9e550346aa9aaec79b/html5/thumbnails/3.jpg)
y así con los demás Wronskianos
3. Después de haber encontrado la "u(x)" la reemplazamos en y} rsub {p¿ " , la cual sumamos "yh "
4. Así se obtiene la solución general que es :
y = yh + y p
EJ.: 1. 2y´´´ - 6 y´´ = x2 y´´´ - 3y´´= x2
2
Sol.: * m3 - 3m2 = 0
m2 ( m - 3 ) = 0
m1 = 0 , m2 = 0 , m3 = 0
yh = C1 + C2X + C3e3x
y1=1 y2=X y3= e3x
* Encontramos las " u(x) " :
y p = u1(x) y1 + u2(x) y2 + u3(x) y3
W( 1,x, e3x ) = 1 x e3 x
0 1 3e3x = 9e3x = W
0 0 9e3x
W 1 = 0 x e3x
0 1 3e3x = x2
2 ( 3xe3x - e3x ) = W 1
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x2
2 0 9e3x
W 2 = 1 0 e3x
0 0 3e3x = - 3x2 e3 x
2 = W 2
0 x2
2 9e3x
W 3 = 1 x 0
0 1 0 = x2
2 = W 3
0 0 x2
2
u1 = ∫x2
2(3 xe3x−e3 x)
9 e3x dx = ∫
x2
2e3 x(3 x−1)
9e3 x dx
= ∫x2
2(3 x−1)
9dx = = ∫ x2(3x−1)
18 dx
= 1
18 ∫ x2(3 x−1) dx = 1
18 (3 x4
4− x
3
3 ) = u1
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u2 = ∫−3x2 e3 x
29e3x
dx = ∫−3 x2e3x
18 e3 x dx
= ∫−x2
6dx = −x
3
18 dx = u2
u3 = ∫x2
29e3x
dx = ∫ x2
18e3x dx
= 1
18 ∫ x2
e3x dx = 1
18 ∫ x2 e−3x dx
=1
18 (−x2e−3 x
3−2 xe−3x
9−2e3 x
27 )= u3
* y p = u1(x) y1 + u2(x) y2 + u3(x) y3
y p = 1
18 (3 x4
4− x
3
3 ) + −x3
18(x) + ⟦ 1
18 (−x2 e−3 x
3−2 xe−3 x
9−2e3 x
27 )⟧e3 x
* y = yh + y p
y = C1 + C2X + C3e3x +
118 (3 x4
4− x
3
3 ) + −x3
18(x) + ⟦ 1
18 (−x2 e−3 x
3−2 xe−3 x
9−2e3 x
27 )⟧e3 x
RESPUESTA
EJ.: 2. 10y´´´ - 5 y´´ = x
Sol.: m3 - 12m2 = 0
m2 ( m - 12 ) = 0
Y’’’ −12y ' '=
x10
![Page 6: Método de Parámetros](https://reader036.fdocuments.co/reader036/viewer/2022082405/563dbb9e550346aa9aaec79b/html5/thumbnails/6.jpg)
m1 = 12 , m2 = 0 , m3 = 0
* Encontramos las " u(x) " :
y p = u1(x) y1 + u2(x) y2 + u3(x) y3
W(e12 x, 1,x,) = e
12 x 1 x
12e
12 x 0 1 = 1
4e
12 x = W(e
12 x, 1,x,)
14e
12 x 0 0
W 1 = 0 1 x
0 0 1 = x= W 1
x 0 0
W 2 = e12 x 0 x
12e
12 x 0 1 = −x e
12x+x2e
12 x
2 = W 2
14e
12 x x 0
W 3 = e12 x 1 0
12e
12 x 0 0 = xe
12 x
2 = W 3
yh = C1e12 x + C2+C 3X
y1=e12 x y2=1 y3=X
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14e
12 x 0 X
u1 = ∫ X
14e
12xdx = ∫ 4 x e
−12 x dx
dv = e−12 x ; v = -2e
−12 x
u = 4x ; du = 4
-8xe−12 x
−∫−8e−1
2 x
−8 xe−12 x
+8∫ e−12 x
u1=−8 xe−12 x
−16 xe−12 x
u2 = ∫−x e
12x+x2e
12 x
214e
12x
dx = ∫−4 x+2x2
= −2 x2 + 23x3= u2
u3 = ∫xe
12 x
214e
12x dx = ∫2 x dx
=x2=u3
É
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* y p = u1(x) y1 + u2(x) y2 + u3(x) y3
y p = xe12 x + x3 + (−2 x2 +
23x3)
* y = yh + y p
y = C1e12 x + C2 + C3 x + xe
12 x + x3 + (−2 x2 + 23
x3)
RESPUESTA