MÉTODO DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Dada la ecuación:

Transposición:

Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los

miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo

teniendo en cuenta que:

Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la

igualdad no varía.

En otras palabras, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro

lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando

(+6)

La ecuación quedará así:

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el

primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser

sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

Simplificación:

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro y simplificamos el segundo

miembro, de tal forma que la ecuación simplificada será:

Despejar:

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de

la igualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos

miembros, la igualdad no varía.

En otras palabras: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado

dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo).

Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la

igualdad no varía.

En otros términos: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria)

(Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su

signo). En la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está

multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una

igualdad en la que x equivale al número ⁄ . Sin embargo, debemos

simplificar.

Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el

resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el

resultado.

En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 =

5,5263157894737)

Por tanto, simplificando, la solución es:

Resolución de ecuaciones de primer grado:

Ejemplo:

Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual

al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer

paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión

algebraica:

Se podría leer así:

“X número de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el número x de canicas menos

2 canicas”.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de

x; para ello se sigue este procedimiento:

Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los

términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier

término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

Que, simplificado, resulta:

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si

modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el

mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y

radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra

cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que

se repite con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado

tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

Ecuaciones de la forma

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven

igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

Pasamos -16 al segundo miembro

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta;

en este caso, raíz cuadrada

√

La ecuación tiene las siguientes soluciones

Ecuaciones de la forma

Tengamos:

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor

común de ambas expresiones:

( )

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los

factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta

es la primera solución), o:

Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.

La ecuación tiene las siguientes soluciones

Ecuaciones de la forma

Si tenemos la ecuación cuadrática:

Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:

√

Si sustituimos las letras por los números, siendo:

a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo.

b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.

c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).

Para este caso

;

Por lo que:

( ) √( ) ( )( )

( )

√

√

La ecuación tiene las siguientes soluciones

Otra solución

Si tenemos la ecuación cuadrática:

También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:

Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual

a c, la expresión:

Es equivalente a:

( )( )

Siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.

Los valores propuestos son, y , puesto que: y

.

Luego, la igualdad:

es equivalente a:

( )( )

Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son

1. 2.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más

ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar

un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del

sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que

reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales

simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe

haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser

real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un

único punto (dos ecuaciones lineales de dos incógnitas), planos en una recta (dos

ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales

de tres incógnitas).

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier

incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación,

sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser

sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la

hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una

incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método

reiteradamente.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

{

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor

coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos,

obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra

ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

( )

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta

incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales

( )

Obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de

sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a

continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución,

{

Si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente

manera:

{

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda,

por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el

valor de la incógnita x,

( )

El resultado es

Y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales,

( )

Obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.

Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo

pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El

procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste

en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de

manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca

con el mismo coeficiente y distinto signo.

A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o

cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola

incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema

{

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por 3 para poder cancelar la

incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original:

Obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en

este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en

cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así

que el valor de y

( )

Es igual a .