MÉTODO DE TRIANGULACIÓN

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1 UACH FACULTAD DE INGENIERÍA PRÁCTICAS DE TOPOGRAFÍA II Noviembre 17 de 2011 TRIANGULACIÓN José Abraham Sosa Chávez 251977 Andrea Cristina Olivas Baca 252005 Adrian Mauricio Salcedo Chitica 251933 Bernardo Enrique Pérez Cázares 251840 FING UACH Triangulación

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Se llama triangulación el método en el cual las líneas del levantamiento forman figuras triangulares, de las cuales se miden solo los ángulos y los lados se calculan trigonométricamente a partir de uno conocido llamado base. El caso más simple de triangulación es el levantamiento de un lote por intersección de visuales; de cada triángulo que se forma se conocen un lado, la base, y los dos ángulos adyacentes; los demás elementos se calculan trigonométricamente.

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UACHFACULTAD DE INGENIERÍA

PRÁCTICAS DE TOPOGRAFÍA II

Noviembre 17 de 2011

TRIANGULACIÓN

José Abraham Sosa Chávez 251977

Andrea Cristina Olivas Baca 252005

Adrian Mauricio Salcedo Chitica 251933

Bernardo Enrique Pérez Cázares 251840

Grupo: 2GM1

Brigada 1

FING UACH Triangulación

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METODO DE TRIANGULACION

Conceptos básicos

Se llama triangulación el método en el cual las líneas del levantamiento forman figuras triangulares, de las cuales se miden solo los ángulos y los lados se calculan trigonométricamente a partir de uno conocido llamado base.

El caso más simple de triangulación es el levantamiento de un lote por intersección de visuales; de cada triángulo que se forma se conocen un lado, la base, y los dos ángulos adyacentes; los demás elementos se calculan trigonométricamente.

Una red de triangulación se forma cuando se tiene una serie de triángulos conectados entre sí, de los cuales se pueden calcular todos los lados si se conocen los ángulos de cada triángulo y la longitud de la línea base. No necesariamente han de ser triángulos las figuras formadas; también pueden ser cuadriláteros (con una o dos diagonales) o cualquier otro polígono que permita su descomposición en triángulos. Los puntos que constituyen esta red pueden estar separados desde unos centenares de metros hasta kilómetros. Para ubicarlos se utilizan los métodos de intersección.

Los métodos de intersección no requieren más que medidas angulares, por ello para llegar a determinar las posiciones de los vértices se necesitará conocer al menos la longitud de uno de los lados de la red. A este lado de longitud conocida se le denomina base de la triangulación. Se debe medir otra línea al final para confrontar su longitud medida directamente y la calculada a través de la triangulación, lo cual sirve de verificación. La precisión de una triangulación depende del cuidado con que se haya medido la base y de la precisión en la lectura de los ángulos.

Los ángulos de cada triangulo deben sumar 180º; debido a pequeños errores inevitables, esto no se logra exactamente y, así, se presenta un pequeño error en cada triangulo (cierre en ángulo).

De acuerdo con el grado de precisión deseada, este error tiene un valor máximo tolerable. También se puede encontrar el error de cierre en lado o cierre de la base, o sea, la diferencia que se encuentra entre la base calculada, una vez ajustados los ángulos, y la base medida, expresada unitariamente.

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TRABAJO DE CAMPO PARA UNA TRIANGULACION TOPOGRAFICA

Equipo necesario:

Tránsito digital Nivel fijo Dos estadales Marro Cinta métrica Dos balizas Una libreta de tránsito

Personal requerido:

Dos tensadores Un Medidor de Fracciones Un anotador Un ayudante general

ESTACIÓN TOTAL Una estación total permite efectuar las mismas operaciones que se efectúan con otros aparatos como los taquímetros y teodolitos incorporando las nuevas técnicas de la electrónica y la informática. Permite la medida de distancias de forma automática sin más que apretar una tecla una vez hecha puntería en el prisma y el cálculo de coordenadas de los puntos del terreno. Todas la funciones del aparato, se visualizan en una pantalla digital y un teclado como el de la foto. Con una estación total se podrá determinar: la distancia horizontal o reducida, la distancia geométrica, el desnivel, los ángulos horizontales y verticales, así como las coordenadas X,Y,Z. Toma de datos Se estaciona el aparato en un punto de coordenadas conocidas, y se orienta con respecto a otro también conocido. El prisma o reflector se colocan en el punto que queremos determinar. A continuación se hace puntería sobre el prisma, enfocando según la distancia, y se pulsa la tecla correspondiente para iniciar la medición. La estación lanzará una señal que será reflejada por el prisma y devuelta a la fuente emisora, registrándose el tiempo transcurrido, a partir del cual se determinará la distancia. El software incorporado en la estación se ocupa de realizar los cálculos presentando en la pantalla los datos que se necesiten.

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Los resultados obtenidos no será necesario que los incorporemos a una libreta de campo con su correspondiente estadillo, pues el instrumento posee una libreta electrónica o colector de datos que va almacenándolos para la posterior descarga a un ordenador y la realización de los trabajos de gabinete (compensación de errores, dibujo del mapa, etc). La secuencia de toma de datos sería: 1º) Estacionar el aparato - Definir el plano horizontal utilizando los niveles del instrumento - El eje vertical debe pasar por el punto del terreno sobre el que se quiere estacionar, utilizando la plomada láser - Introducir las coordenadas del punto de estación 2º) Orientar el instrumento: - Visar a un punto de coordenadas conocidas (no es necesario que sea accesible) - Introducir las coordenadas del punto observado - Orientar mediante la función correspondiente 3º) Cálculo de coordenadas del itinerario o radiación - Colocar el reflector en el punto del cual queremos calcular sus coordenadas - Hacer puntería con el anteojo sobre el reflector - Realizar la medición (medición de distancias y ángulos) Para cambiar de estación, situaremos el aparato donde estaba el reflector (que ya son coordenadas conocidas) y para enlazar se coloca el reflector en la estación anterior (coordenadas conocidas) y se repite el proceso de los puntos 1,2 y 3. El estadillo o libreta de campo suele poder configurarse según los datos que necesitemos, por ejemplo puede quedar como el que aparece a continuación

ETAPAS PARA LA EJECUCIÓN DE UN TRABAJO DE TRIANGULACIÓN

1. Reconocimiento2. Señales3. Medidas de ángulo4. Orientación y determinación de posiciones geográficas5. Medida de la base6. Cálculos (compensaciones, lados y coordenadas)

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Reconocimiento

Lo primero que se debe hacer es un reconocimiento del terreno para planear la triangulación, o sea, estudiar la posición más conveniente de las estaciones de acuerdo con la topografía misma del terreno y con las condiciones de visibilidad y facilidad de acceso. Luego se determinan las estaciones, lo cual se llama materializarlas; para esto se emplean estacas. Además, las estaciones deben hacerse visibles mutuamente; para tal fin se establecen señales que pueden ser, un trípode, con su vértice verticalmente sobre la estación, o un poste (pintado de un color que lo haga más visible), que se pone al lado de la estación y que se remueve mientras se están observando ángulos desde ella. Estas señales son indispensables, pues es imposible, dado que las distancias son muy grandes (0,5 a 2,0 km en promedio), alcanzar a ver piquetes o jalones colocados en otra estación.

Tipos de señales

El tipo conveniente de señales depende de la clase trabaje, visibilidad y distancias; las señales pueden ser opacas o luminosas.

Opacas: Pueden emplearse balizas comunes, una bandera con colores vistosos, o con tripie para poder marcar el vértice y medir ángulos al mismo tiempo, o torres para elevar la señal en zonas planas o con vegetación.

Luminosas: las comunes son las señales de sol con espejo, echando cardillo al vértice donde se está midiendo ángulos. Esto puede hacerse con: un espejo ordinario, espejo especial, heliotropo sencillo, heliotropo de anteojo.

Medición de ángulos

Para la medición de ángulos los aparatos deben ajustarse cuidadosamente. Con aparatos ordinarios de poca aproximación, deben medirse los ángulos por repeticiones y con reiteraciones. Se procede luego a la medición de la base. En esta clase de triangulaciones se emplean los métodos de precisión vistos en medición de una línea. Se debe patronar la cinta que se va a utilizar en la medición.

La base se toma sobre un terreno que presente condiciones favorables para efectuar la medición; hay que medir varias veces para así conocer la precisión con que se hizo.

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El procedimiento indicado, con este tipo de aparatos de 01’ de aproximación, es el que se describe al estudiar la medida por repeticiones, en pocas palabras se tiene que medir cada Angulo con 5 repeticiones con el anteojo invertido. Después de ser medidos todos y cada uno de los ángulos alrededor del vértice, el error de cierre de horizonte de deberá excederse de 10’’√numero de ángulos medidos.Con aparatos de mayor aproximación, se mide solo con reiteraciones (direcciones a partir de varias líneas).Debe procurarse que los ángulos se midan con buena visibilidad, sin humo, neblina, etc.…Después de centrar el aparato y antes de nivelarlo definitivamente, lo más conveniente sería aflojar las tuercas superiores del triple que unen las patas con la pieza donde atornilla el aparato y volver a apretar verificando si quedo centrado, evitando que se desnivele por torsión. Si hay mucho viento, lo recomendable lastrar el aparato para que no se desnivele, o protegerlo en alguna forma.

Método de direcciones (Método de Bessel o de reiteraciones)

Se emplea este método cuando hay varios vértices alrededor de una estación. Se parte de una dirección BASE cualquiera y se van leyendo los ángulos comprendidos entre la base; cuando no se obtienen 360 º al completar la vuelta, se reparte equitativamente el error, a los ángulos sin tomar en cuenta sus dimensiones.

Este método es adecuado para un teodolito de un solo eje acimutal de lombo fijo, de un minuto de aproximación y con micrómetro; pero también es aplicable para un tránsito de dos ejes azimutales: interior y exterior. Con este método se economiza tiempo en la medida de los ángulos, pero pueden existir errores de lectura de micrómetros en cada dirección.

Orientación y determinación de coordenadas geográficas

En triangulaciones normalmente se orienta con estrellas, de noche, para obtener más precisión que con el sol. Se recomienda hacer orientaciones sistemáticas cada cierto número de triángulos, considerando el efecto de la convergencia de meridianos, cuando en verdad se requiere.

Medida de la base

La base debe localizarse preferentemente en un terreno plano, sin obstáculos y de modo que haya intervisibilidades entre sus extremos y también con los vértices a los que se deba ligarse. Una carretera o una vía de ferrocarril son lugares adecuados para ubicar una base ya que facilita la medida.

La medida se hace con cinta de acero. Esta debe ser comparada antes de la medida y si hay cualquier duda sobre el comportamiento durante el trabajo, puede compararse también después para asegurarse de las medidas tomadas.

- Etapas para la medida de la base:

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1. Se fijan los extremos. 2. Se clavan estacas sobre la línea.- estas separadas entre sí

convenientemente a 10 o 20 cm menos de la longitud de la cinta. Estas son estacas principales que constituyen los tramos que posteriormente se miden con precisión. Deben de ser de 80cm de largo para que sobresalgan lo suficiente del terreno para que en ellas se pueda apoyar la cinta al medir y no se arrastre.

3. Para darle apoyo intermedio a la cinta.- se clavan otras estacas que son las secundarias o de apoyo. Estas se colocan de manera que queden fuera del alineamiento con una de sus caras separada cerca de un centímetro de él. En esa cara se clavara posteriormente un clavo que se deja sobresaliente y que será el apoyo de la cinta.

4. Se nivelan.- con nivel fijo todas las cabezas de las estacas principales y secundarias y los extremos de la base para obtener sus cotas las cuales sirven para conocer el desnivel de cada tramo y poder reducirlo, y calcular en cada estaca secundaria la distancia a la que se debe poner el clavo, de tal manera que quede en la línea que une las 2 cabezas de estacas principales que limitan el tramo. En pocas palabras se calculan las cotas que deben tener los clavos a la mitad de cada tramo.

5. Se mide las longitudes de los tramos: Con toda precisión y la cinta apoyada en los clavos, y con un dinamómetro para repetir siempre que se pueda, las condiciones de apoyo.

Registro de cálculo para la longitud real de la base

Tramo Longitud medida

Correcciones Longitudes corregidasDesnivel Temp. Cat Tensión

1º2 º3 º4 º

Longitud total corregida de la base = SUMA*Si se repiten las condiciones en el terreno de apoyos y tensión con que la cinta fue comparada, no habrá necesidad de corregir por catenaria ni por tensión.

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Cálculos

Comprende compensaciones, cálculos de lado y de coordenadas. Lo más importante son las compensaciones. El cálculo de lados y coordenadas se hace por los siguientes métodos.

Angular

Compensaciones

Lineal

La combinación tiene como objeto encontrar los valores más probables de las medidas tomadas, pues siempre se supone que dichas medidas quedan afectadas por ciertos errores que no es posible eliminar con mucho cuidado con el que se trabaje. En la observaciones angulares se trata siempre de eliminar los errores sistemáticos- instrumentales, midiendo en posición directa e inversa (método de Bessel), leyendo en los dos verniers, usando diversas partes de la graduación, etc.…Es decir, se tiende a no dejar si no los errores accidentales, y en esa suposición se hacen las compensaciones.

a) compensación de Cadena de triángulos vértices o estaciones

b) compensación de figuras

Compensación angular

a) Compensación de vértices

Cadena de cuadriláteros b) compensación O polígonos de vértice central de figuras

1. Condición geométrica

2. Condición trigonométrica

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Cadena de triángulos.

1- Compensación de vértices.- las suma de los ángulos de cada vértice debe de ser de 360º.

Si todos los ángulos fueron medidos en igualdad de condiciones, ósea que todos tienen las mismas probabilidades de error, y el error total es tolerable, la discrepancia se divide por igual a cada ángulo y se agrega algebraicamente, es decir si sobra se les resta a todos y si falta se le suma.

2- Compensación de figuras.- La suma de ángulos de cada triangulo debe ser 180º. Si el error es tolerable, la discrepancia se reparte por e igual y se agrega algebraicamente. Esto se hace partiendo de los valores obtenidos en compensación de vértices. En ambas compensaciones solo se reparten segundo enteros.

Ejemplo de compensación de vértices

Estación Angulo Valor observado Valor compensado

A1 240-19-00 240-18-532 73-31-10 73-31-033 46-10-10 46-10-04

Sumas 360-00-20 360-00-00

Ejemplo de compensación de figuras

∆ AnguloValor de la

compensación de los vértices

Valor compensado en la

figura

ABC3 46-10-04 46-10-095 92-47-40 92-47-456 41-02-00 44-02-06

Sumas 179-59-44 180-00-00

Si los ángulos no fueron medidos en igualdad de condiciones, o de algunos se hicieron mayor números de observaciones que para otros, habrá que hacer intervenir sus pesos respectivos para compensarlos. Si las condiciones fueron diferentes, los pesos los puede asignar el observador según su criterio sobre las circunstancias de cada caso. Si el numero de observaciones fue diferentes para cada ángulo, sus respectivos pesos serán proporcionales al número de observaciones y las correcciones que deban de aplicarse inversamente proporcionales de sus pesos.

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Cadena de cuadriláteros

1. Compensación de vértices : la suma de los ángulos de cada vértice debe de ser de 180º

2. Compensación geométrica : la suma de los ángulos interiores de cada figura debe ser 180º(n-2), en triángulos y cuadriláteros.

Condición trigonométrica. En todos los triángulos del cuadrilátero las longitudes de sus lados deben ser proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Con esta condición se logra que el cálculo de las longitudes produzca iguales resultados por cualquier camino que siga para calcularlas.

Si en un cuadrilátero, el lado conocido es AB, para conocer el lado opuesto CD hay cuatro formar diferentes de hacerlo. Estos cuatro caminos deben dar iguales resultados.

Tomando dos de los cuatro caminos posibles se tiene:

1er. Camino

ADAB

= sen csen h

; AD=ABsencsen h

; y ,CD=AD senasen f

Sustituyendo en CD el valor de AD:

CD=ABsencsenh

sen asen f

2do. Camino

BCAB

= senbsen e

;BC=ABsen bsene

; y ,CD=BC sendsen g

CD=ABsenbsene

sendseng

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Igualando los dos valores de CD:

ABsencsen h

sen asenf

=ABsen bsene

sen dsen g

sen asenb

sencsen d

senesen f

sen gsenh

=1

Los ángulos del cuadrilátero deben satisfacer esta ecuación.En triangulación de primer y segundo orden el error se compensa por el método de los mínimos cuadrados, para calcular el valor más probable para cada ángulo. Los de tercer orden, pueden aplicarse para compensar.

a) Tomando logaritmos de la ecuación de condición trigonométrica

( log senA+ logsenC+logsenG )−( logSenB+logsenD+logsenF+logse nH )=0

Como los ángulos en la compensación geométrica seguramente no cumplen esta condición habrá que agregar a cada ángulo una variación (v), del orden de segundos, entonces:

logsen (va+A )+logsen ( vc+C )+logsen (ve+E )+logs en ( vg+G )−logsen (vb+B )−logsen (vd+D )−logsen ( vf +F )−logsen ( vh+H )=0

Al hacer variar los ángulos, podrán suceder que no se verifiquen las ecuaciones de la condición geométrica, y entonces habrá que hacer repeticiones; seguirá nuevamente otra trigonométrica a partir de los nuevos valores. Generalmente con dos o tres aproximaciones sucesivas se llega a los valores buscados.

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*El punto decimal que aparece en los cálculos es solo auxiliar para facilitar operaciones.

Las Variaciones (v) se cierran a segundos enteros únicamente.En cuadriláteros bien conformados simétricos entre 30º y 60º la distribución

del error es más uniforme.Si los ángulos corregidos no satisfacen la condición geométrica, habrá que

hacer otra aproximación completa partiendo de los valores obtenidos; en la mayoría de los casos, a la segunda o tercera aproximación se logra el equilibrio total de la figura.

b) Procedimiento practico aproximado para compensar los ángulos de un cuadrilátero, logrando satisfacer la condición trigonométrica sin variar el ajuste geométrico hecho previamente.

1.-Obtener los logaritmos de seno para cada ángulo.2.- Obténgase las tablas logarítmicas tabuladas para un segundo.3.- Encontrar la diferencia de las dos sumas de logaritmos de la ecuación trigonométrica.Esta diferencia divídase entre ocho y el resultado será la variación media necesaria para el logaritmo seno de cada ángulo y se le llama α.4.- Encontrar la diferencia logarítmica tabular promedio para un segundo, sumándolas todas y dividiendo entro ocho. A este promedia se le llama β.5.- Divídase α/β, y el resultado será el número de segundos de arca que habrá que variar cada ángulo para corregirlo.6.- Agregar esta corrección cuya suma logarítmica es menor y réstese de aquellos cuya suma es mayor.

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Método del polígono

El primero de ellos consiste en elegir una serie de puntos de forma que los extremos de la base medida A y B serán vértices de un polígono y de modo que también lo serán los extremos C y G. de la base deducida. Los restantes vértices se sitúan libremente procurando que formen triángulos en los que se vayan aumentando progresivamente los lados. Con este método no se consiguen grandes ampliaciones a lo sumo el doble de las medidas.

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Compensación

Estas figuras pueden ser de 3, 4, 5,6 lados o más, en todos sus vértices se deben medir los ángulos incluyendo el vértice central.Compensación de vérticesSe hace de la misma forma descrita para los otros sistemas de figura.Compensación de figuras

a) Condición geométrica: La suma de ángulos de cada triangulo debe ser de 180, y la suma de ángulos del vértice central debe de ser de 360 grados.

La compensación de los errores angulares puede hacerse de la siguiente manera:1. Empleando los valores de compensación de vértices súmense los

ángulos en cada triangulo, y la diferencia a 180 grados se divide entre 3.Se suma el resultado algebraicamente a cada ángulo para lograr la suma requerida.

2. Empleando los valores de la compensación anterior, súmense todos los ángulos alrededor del vértice central, y la diferencia a 360 grados se repartirá por igual a cada uno de los ángulos.

3. Tomando los valores compensados en el vértice central, vuélvase a sumar los ángulos en cada triangulo, y la diferencia a 180 grados, enseguida distribúyase en formal igual en los ángulos no centrales de cada triangulo, quedando así satisfechas la condiciones impuestas.

b) Condición trigonométrica: Esta condición es igual que en un cuadrilátero para los ángulos del perímetro. Cualquiera que sea el número de lados del polígono habrá siempre un número par de ángulos del perímetro, y las sumas de los logaritmos seno de los ángulos impares debe ser igual a la de los impares.

La distribución del error también se puede hacer por aproximaciones sucesivas en la misma forma vista para los cuadriláteros.

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Compensación lineal

Esta compensación se aplica en pocas ocasiones, y siempre que se hayan medido dos bases del sistema, lo cual se hace solamente en trabajos de mucha importancia o jurisdicción.

Si una triangulación se dispone de dos bases puede compensarse linealmente.

Se escoge un punto intermedio que equidiste aproximadamente de ambas bases y se calcula su longitud a partir de una y otra base.Si existe discrepancia entre los dos valores calculados ese será el error lineal, y debe quedar dentro de la tolerancia. El valor definitivo para el lado intermedio será el promedio de esos valores calculados.

Si el error es tolerable, se divide entre dos y cada mitad se reparte a cada figura a ambos lados del lado intermedio, hasta llegar a las bases. Esto se hace mediante proyección del error y de los lados, variando las proyecciones de los lados de la figura adyacente, y de esta se pasa a la siguiente y aso sucesivamente en ambos sentidos. Las proyecciones del error van variando o disminuyéndolas para cada figura, proporcionalmente al número de figuras que se vallan atravesando al cálculo, hasta llegar a cada base donde la variación será nula. Esto es una especie de variación lineal del error del pentágono, distribuida del modo en que va disminuyendo la cantidad que absorbe cada figura, hasta llegar a la base cuya magnitud no se altera.

Dentro de cada figura, la cantidad que le toca variar se distribuye entre sus lados, proporcionalmente a sus longitudes.Si esta compensación hace variar de forma apreciable los valores de los ángulos, estos nuevos valores que se obtengan serán los definitivos.

Calculo de lados y coordenadas

Teniendo todos los datos angulares compensados de la figuras, pueden calcularse por la ley de los senos todos los lados del sistema, y por proyecciones las coordenadas de los vértices.

En el caso de cuadriláteros o polígonos de vértice central, el cálculo de lados puede comprobarse, viendo si a partir de un lado conocido y atravesando los diversos triángulos adyacentes dentro de la figura, se completa una vuelta calculando lados, hasta llegar de nuevo al lado del que se partió, y se obtiene el mismo valor. La diferencia que se encuentra entre ambos valores, no deberá exceder, en el logaritmo de una unidad de la quinta cifra decimal.

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• Método de la doble cadena

La ampliación por doble cadena se hace, como de su nombre se deduce, mediante la observación de las cadenas de triángulos, para tener así comprobación de los resultados. Normalmente los vértices duplicados de ambas cadenas son los intermedios entre los de la base medida y ampliada, se sitúan muy próximos unos a otros, lo que reduce los desplazamientos y se utilizan banderas de diferentes colores para no confundirlos. Este método permite ampliaciones mayores que el anterior, pero no se debe exagerar el número de triángulos de las cadenas, para evitar la acumulación de errores.

CORECCION DEL METODO DE LA CADENA

Llamaremos cadena a la disposición de triángulos que tienen una base en común entre triángulos y no existe ningún vértice en común a todos ellos.Para el cálculo de la cadena se necesita conocer, al menos, la longitud del ladoInicial AB, y según se conozcan o no otros datos relativos a su lado final IJ, podráAplicarse un número variable de compensaciones.

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1º Compensación:Si solo se conoce un dato relativo al último lado de la cadena, se dice que

está colgada, y solo se podrá realizar la compensación que deriva de los cierres de sus triángulos, por lo que una vez realizado, los ángulos corregidos tendrán que cumplir la condición general.

De aquí los ángulos compensados serán:

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2º Compensación:

Si además de conocer los ángulos de los triángulos conocemos el azimut de llegada, es natural que este dato obligue a hacer otra compensación, llamada ajuste de acimut. Partiendo del azimut AB θ y pasando por todas las bases comunes a los triángulos haremos una corrida de azimuts hasta llegar al acimut final.

Este error será el error en el ajuste acimutal que habrá que compensar. Para ello se hacen tantas partes del error como ángulos han intervenido en la corrida de acimuts (será igual al número de triángulos). En cuanto al sentido con que han de aplicarse las correcciones debe ser tal que anulen el error e, y a este respecto debe deducirse de la figura el signo con que cada uno de aquellos ángulos intervienen el cálculo.

Así en la figura la compensación será:

Esta modificación obliga a reajustar los triángulos otra vez sin modificar losÁngulos que han intervenido en la corrida acimutal. El reajuste será la mitad delÁngulo de corrección que se aplicó a los ángulos de la corrida acimutal cambiadoDe signo.

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3º Compensación:Cuando se conoce la longitud del lado de llegada debe aplicarse la

compensación del ajuste de lado, aplicando el teorema de los senos en los lados comunes de los triángulos o lo que es lo mismo utilizando los lados de la corrida acimutal.

Aplicando el teorema de los senos.

Multiplicando ordenadamente y simplificando queda la expresión:

Aplicando logaritmos:

Se hace, por tanto necesario modificar los distintos ángulos que intervienen en una cierta cantidad e. Para obtener el valor del ángulo, se procede de modo análogo ha como hemos realizado en las figuras anteriores:

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Siendo:

Las diferencias tabulares se calculan para los ángulos que intervienen en laEcuación de ajuste. El valor de Σ δ viene dado por la suma de los siguientesTérminos:

Cuando hayamos modificado los ángulos que intervienen en la ecuación de ajuste, para compensar la figura, se cumplirá la igualdad:

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• Método rómbico

Por último el método más utilizado era el método rómbico o alemán. Con él seConseguían mayores rendimientos con el menor esfuerzo. Consiste en considerarla basé AB medida, como la diagonal pequeña de un rombo, del que la baseampliada CD, es la otra diagonal. Así pues solo interviene en la operación loscuatro puntos mencionados reduciéndose al máximo las observaciones. Con estemétodo se puede ampliar dos veces y media la base medida con un rombo, peroPuede considerarse a la diagonal CD como la base a ampliar mediante otro rombo, del que EF sería la base a deducir.

PROBLEMA DE LOS TRES PUNTOS

Este procedimiento llamado de resección es un caso especial de triangulación. Con él, se identifica un punto, midiendo ángulos horizontales entre punto y tres estaciones visibles cuyas posiciones se conocen. Donde un teodolito ocupa la estación en un punto p los ángulos x e y se miden entre las estaciones AB BC.

Método para calcular las coordenadas de la estación P:

1. En la función de las coordenadas A, B y C, calcula las longitudes a y c y el ángulo θ en la estación B.

2. Obtenga la suma de los ángulos A y C con la expresión.

A+C=360 °− (∅+X+Y )3. Calcule los ángulos A y C con las sig. Expresiones

cotA= cSenyaSenx Sen (A+C )

+cot ( A+C )

cotC= aSenxcSeny Sen(A+C)

+cot(A+C )

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4. Con el ángulo A y el azimut AB calcule el azimut AP. En el triangulo ABP encuentre longitud AP usando la ley de senos donde θa= 180º - A-x. calcule la latitud y proyección X de AP, así como las coordenadas de P.

5. De la misma manera que en el paso cuatro, use el triangulo BCP para calcular las coordenadas de P como verificación.

EJEMPLO

En la figura los ángulos x e y tienen los valores 48-53-12 y 41-20-35, respectivamente. Los puntos de control A, B y C tienen las coordenadas XA=5721.25, YA=21802.48, XB= 12963.71 YB= 27002.38, Xc= 20350.09 Yc=24861.22 pie. Calcule las coordenadas de P.

SOLUCION

1- Según la ec. 13-16a:

a= √ (20350.09−12963.71)

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ANEXO

APLICACIONES

La triangulación se emplea en combinación con las poligonales para determinar puntos o detalles de un levantamiento. Esta resulta más económica cuando se trata de medición de grandes distancias, pues cuando las distancias son cortas, el costo de la construcción de las estaciones, torres de observaciones, etc., hace preferible el empleo de poligonales. Por otra parte el uso de instrumentos de precisión en las triangulaciones no aumenta mucho el costo.

El GPS permite actualmente hacer esta más rápida y económicamente. Los detalles del levantamiento se toman por radiación desde las estaciones de la triangulación o trazando poligonales adicionales a partir de ellas, o también por GPS.

CONCLUSIÓN

La triangulación es un método útil y rápido para la translación de coordenadas, BM y puntos de control, los cuales pueden ser necesarios para la construcción de carreteras, puente, túneles, acueductos entre otros.

Se recomienda utilizar una triangulación topográfica cuando se trate del levantamiento de una zona relativamente grande o que presente inconvenientes para el trazado de una poligonal, ya sea por vegetación abundante o por cursos de agua.

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Practica de triangulación

Brigada Numero 1

Poligono de eje central

Escala 1: 100

FING UACH Triangulación

Page 26: MÉTODO DE TRIANGULACIÓN

26

aSena

= b

Senb =

55.92Sen 48−53−10

bSen86−19−39.58 = 74.0707

aSena

= c

Senc =

55.92Sen 48−53−10

cSen 44−47−7.57 = 52.2867

aSena

= b

Senb =

52.2867Sen62−57−53.07

bSen65−19−44 = 53.3428

aSena

= c

Senc =

52.2867Sen62−57−53.07

cSen51−42−20.09 = 46.0708

aSena

= b

Senb =

46.0708Sen65−00−12

bSen65−47−05 = 46.1757

aSena

= c

Senc =

46.0708Sen65−00−12

cSen 49−12−42 = 38.4864

aSena

= b

Senb =

38.4864Sen58−15−44.6

bSen 48−53−07 = 34.0935

aSena

= c

Senc =

38.4864Sen58−15−44.6

cSen72−5−01 = 43.0588

aSena

= b

Senb =

43.0588Sen62−22−25.06

bSen65−19−47 = 44.1636

aSena

= c

Senc =

43.0588Sen62−22−25.06

cSen 48−18−3.68 = 37.9723

aSena

= b

Senb =

aSen65−42−02

74.0707Sen59−17−40.57 = 78.5122

FING UACH Triangulación

Page 27: MÉTODO DE TRIANGULACIÓN

27

Vértice Angulo V1 V’ Angulo Corregido

Log. Seno Impar

Log Seno Par

1 11’1”

58-15-4872-51-0948-53-08

+.5+.5-1

58-15-48.572-51-9.548-53-07

-2.5-2.5

58-15-4672-51-0748-53-07

-0.07034-0.01974

∑=180-00-05

∑=180-00-00

2 22’2”

66-22-1348-18-0965-19-48

+.5+.5-1

66-22-13.548-18-9.565-19-47

-5-5

66-22-8.548-18-4.565-19-47

-0.038030.01268

∑=180-00-10

∑=180-00-00

3 33’3”

54-55-0959-17-4065-47-08

+.5+.5-1

54-55-9.559-17-40.565-47-07

+1.5+1.5

54-55-1159-17-4265-47-07

-0.08706-0.06559

∑=179-59-57

∑=180-00-00

4 44’4”

44-47-0886-19-4048-53-10

000

44-47-0886-19-4048-53-10

+1+1

44-47-0986-19-4148-53-10

-0.15214-0.00089

∑=174-59-58

∑=180-00-00

5 55’5”

62-57-5151-42-1865-19-45

+.5+.5-1

62-57-51.551-42-18.565-19-44

+3+3

62-57-58.551-42-21.565-19-44

-0.05025-0.10521

∑=179-59-54

∑=180-00-00

6 66’6”

65-00-1349-12-4265-47-06

+.5+.5-1

65-00-13.549-12-42.565-47-05

-.5-.5

65-00-1349-12-4265-47-05

-0.04271-0.01208

∑=180-00-01

∑=180-00-00

∑”= 360-00-05

∑=720-00-04Externos

∑= 0.44053 ∑ = 0.32495

FING UACH Triangulación

Page 28: MÉTODO DE TRIANGULACIÓN

28

K=∑ log Sen(Angulo impar )−∑ log Sen(Angulo Par)

∑d2

K=0.44053938−0.32495145421.33182805

=0.005418566

Proyecciones del PoligonoEstacion Angulo Distancia Rumbo N E S W2 a 3 106-32-20.86 44.1636 SE 32-30 0 24.0051 27.6617 03 a 4 125-38-38.1 78.5162 SE 3-8-38.1 0 9.5134 61.3564 04 a 5 141-13-21.5 55.92 NE 54-21-59.6 44.716 49.15827 0 05 a 6 96-28-0.15 53.3428 NW 29-10-0.25 58.157 0 0 22.459

6 a 7 112-17-49.4 46.1757SW 83-07-49.15 0 0 -4.4991 42.7812

7 a 2 137-49-49.9 34.0935SW 40-57-39.05 0 0 18.3462 17.66608

102.873 82.67677 102.8652 82.90628

Coordenadas del PoligonoPunto X Y2 80 1003 104.0051 72.33234 113.5185 10.98195 162.6768 55.6979

FING UACH Triangulación

d d2 Kd Angulo Corregido1 Impar = 0.302292

Par = 0.6496810.0913804530.422085401

(+)0.007056555(-)0.003520339

58-15-44.672-51-5.59

2 Impar = 0.9212405

Pa r = 1.875876

0.8486840583.518910767

(+)0.004991802(-)0.010164557

66-22-25.0648-18-3.08

3 Impar = 1.478709Par = 1.250421

2.1865803071.563552677

(-)0.008012482(+)0.006775488

54-55-9.5759-17-40.57

4 Impar = 2.121329Par = 0.135127

4.5000367260.018259467

(-)0.011494561(+)0.000732197

44-47-7.5786-19-39.58

5 Impar = 1.074436Par = 1.662491

1.1544127182.763876325

(-)0.005821902(+)0.009008317

62-57-53.0751-42-20.09

6 Impar = 0.9816643

Par = 1.816696

0.9636647973.300384356

(+)0.005319212(-)0.0098438871

65-00-11.5949-12-40.57

∑ = 720-00-0.94

Page 29: MÉTODO DE TRIANGULACIÓN

29

6 140.2178 113.85497 98.436 118.354n

Problema de los 3 puntos

4. x= 113.5185

Y= 10.9819

C. x= 1000

Y= 1000

6. x= 140.2178

Y= 113.8549

CALCULAR DISTANCIAS

4C=√ (113.5185−100 )2+ (10.9819−1000 )2=¿¿ 1328.158971

C6 √(1000−40.2778 )2+(1000−113.8549 )2=¿¿ 1306.26178

Rumbo.

4C=tan-1 1000−10.98191000−113.5185

=¿❑NE 48−07−45.62¿

Rumbo.

C6= tan-1 113.8549−1000146.2178−1000

=SE45−53−33.69

Θ= 4C+C6= 94-01-19.31

360= a+c+x+y+θ

(a+c)= 360-(x+y+θ)

(a+c)= 360-(15-30-05+22-20-46+94-01-19.31)

C=228-07-49.69

M= Sen22−20−46(1328.158971)Sen15−30−05 (1306.26178) =

504.9667349.11378

= 1.44642

FING UACH Triangulación

Page 30: MÉTODO DE TRIANGULACIÓN

30

Tan-1 a = SenMcosM+C

= Sen228−07−49.69cos228−07−49.69

+ 1.44642

A= 43-42-35.14

C = m – a

C= 228-07-19.69 - [43-42-35.14]

C= 184-25-14.5

Rumbo AP

Dist AP = ABSen X

= APSenθ

Θa= 180-a-x

Θa= 180 – (43-42-35.14 - 15-30-05) = 151-47-29.8

AP= ABSenθaSen X

= 1328.158971Sen151−47−29.8

Sen15−30−05

AP= 2348.985386

Proy E= 2348.985386 Sen 91-50-20.76

Proy E= 2347.775405

Proy N= 2348.985386 Cos 91-50-20.76

Proy N= 75.3856

FING UACH Triangulación

Page 31: MÉTODO DE TRIANGULACIÓN

31

Bibliografía

Montes de Oca. Topografía. Alfaomega. México. 1996. pag.299 a 342Wolf Brikner. Topografía. Alfaomega. México. 1997. pag. 446 a 450Miyabara Higashida Sabro. Topografía General UNAM. 1971. Pag.479 a 556

FING UACH Triangulación