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Método de Variación de Parámetros

En la sección anterior se uso el método de coeficientes indeterminados para encontrar

una solución particular de

( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′

Se tenían dos restricciones importantes en el método de los coeficientes indeterminados.

Primero qp, tenían que ser constantes. Segundo g tenia que estar en una forma

especial. Ahora presentaremos un método para encontrar una solución particular de

( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′ siempre que se haya resuelto la ecuación homogénea

asociada ( ) ( ) 0=+′+′′ yxqyxpy .

Primero se desarrollara el método y después se trabajara con varios ejemplos.

Supongamos que se tiene un conjunto fundamental de soluciones { }21, yy .

Comenzamos por buscar funciones 1v y 2v tales que

2211 yvyvy +=

Es solución de ( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′ . Esto se conoce como variación de

parámetros porque las constantes usuales 21,cc en la solución de la ecuación

homogénea asociada ahora se pueden variar.

Se eligen 1v y 2v de manera tal que 2211 yvyvy ′+′=′ en resumen se obtendrá que si 1v′

y 2v′ satisfacen las ecuaciones algebraicas

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=′′+′′=′+′

gyvyv

yvyv

2211

2211 0

Entonces 2211 yvyvy += es una solución particular de la ecuación diferencial

( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′

Deben hacerse dos comentarios. Primero, se puede aplicar al sistema de ecuaciones

anterior el método de Cramer para obtener:

′′

′=′

21

21

2

2

1

det

0det

yy

yy

yg

y

v y

′′

′=′

21

21

1

1

2

det

0det

yy

yy

gy

y

v

Evaluando los determinantes de los numeradores

( )21

21 , yyW

ygv −=′ ( )21

12 , yyW

ygv =′

Donde ( )21, yyW es el wronskiano de 1y , 2y . En la practica tal vez sea mas rápido usar

estas formulas para encontrar 1v y 2v .

Teorema: Si las funciones qp, y g son continuas sobre el intervalo [ ]ba, y si las

funciones 1y y 2y son soluciones linealmente independientes de la ecuación

homogénea asociada con la ecuación diferencial

( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′

Entonces una solución particular esta dada por

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( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )∫∫ +−=xx

p dssyyW

sgsyxyds

syyW

sgsyxyxy

0 21

12

0 21

21 ,,

Lo cual puede escribirse como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dssg

sysysysy

syxyxysyxy

x

p ∫ ′−′−

=0 2121

2121

Al usar el método de variación de parámetros para un problema particular generalmente

es mas seguro sustituir 2211 yvyvy += y proceder como antes más bien que tratar de

recordar cada formula. Sin embargo, aun en estos casos, las formulas para ( )xy p nos

darán un punto de partida para la evaluación numérica de ( )xy p , que en muchos casos

será lo mejor que podamos hacer, desde el punto de vista numérico es ventajoso tener

una forma integral de solución, ya que el calculo numérico de una integral es

considerablemente mas fácil que la integración numérica directa de una ecuación

diferencial.

Ejemplo: Encuentre la solución general de 72 433 xyyxyx =+′−′′ .

Ejemplo: Encuentre la solución general de 1

1

+=+′′

xyy .

Ejemplo: Encuentre la solución general de 0242 1 >=+′−′′ −− xexyyy x

Ejemplo: Encuentre la solución general de 2

0secπ<<=+′′ xxyy

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Ejemplo: Encuentre la solución general de xeyy =′′−′′′

Solución: la ecuación homogénea asociada es 0=′′−′′′ yy su ecuación característica

023 =− rr implica ( ) 012 =−rr entonces 021 == rr (multiplicidad 2) y 13 =r así un

conjunto fundamental de soluciones es { }xex,,1 la solución general de la ecuación

homogénea es ( ) xh ecxccxy 321 ++= . Aplicando el método de variación de

parámetros, suponemos que una solución particular es de la forma

( ) ( ) xp evxvvxy 321 1 ++= lo cual nos conduce al sistema de ecuaciones algebraico:

( )( ) ( )( ) ( )

=′+′+′=′+′+′

=′+′+′

xx

x

x

eevvv

evvv

evxvv

321

321

321

00

010

01

En este caso en particular el sistema es muy sencillo de resolver

13 =′v Implica xv =3

xev −=′2 Implica xev −=2

xxev x −=′1 Implica xx exev 21 −=

Entonces una solución particular es ( ) ( ) xp evxvvxy 321 1 ++= así se tiene

( ) ( )( ) xxxxp xexeexexy +−−= 12

( ) xxp exexy 2−= Finalmente la solución general de la ecuación no homogénea es

( ) xxxG exeecxccxy 2321 −+++=

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Ejercicios Propuestos

Encuentre la solución general por el método de variación de parámetros. Decida si el

método de los coeficientes indeterminados pudo haberse usado también.

1. xeyy 2=−′′

2. xeyyy 244 =+′−′′

3. senx

yy1=+′′

4. x

yy2cos

44 =+′′

5. xyy tan=+′′

6. 21

2x

eyyy

x

+=+′+′′

−

7. xe

yyy21

123

+=+′+′′

8. xyy =−′′4

9. xexyyy 32

3

96 =+′−′′ , 0>x

10. ( )xx eeyyy cos23 3=+′−′′

11. 32 22 xyyxyx =+′−′′

12. 2

12 xyyxyx =−′+′′

13. 12 2 −=′+′′ xyxyx

14. xyyxyx =+′−′′ 332

15. xeyy =′′−′′′

16. xeyy 2=′−′′′

17. senx

yy1=′+′′′

18. senxyyyy =+′−′′−′′′ 33

19. xexyyyy 2

1

33 =−′+′′−′′′

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20. (**) Considere el problema de valores iniciales ( )xgyy =+′′

( ) ( ) 0000 =′= yy Demuestre que la solución general puede escribirse como

( ) ( ) ( )∫ −==x

dttxsentgxy0

φ .

21. (***) Supuesto que se conoce una solución de la ecuación homogénea, la

ecuación no homogénea ( ) ( ) ( )xgyxqyxpy =+′+′′ puede resolverse por

reducción de orden.

• Suponga que 1y es una solución conocida de la ecuación homogénea,

mostrar que 1vyy = es solución de la ecuación no homogénea supuesto

que v , satisface ( ) gvpyyvy =′+′+′′ 111 2 .

• La ecuación anterior, es una ecuación lineal de primer orden para v′ .

Mostrar que la solución es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kdssgshsyxvxhxyx

+=′ ∫0

121 donde

( )( )∫

=

x

dssp

exh 0 y k es una constante.

• Usando el resultado anterior mostrar que la solución general de la

ecuación no homogénea es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫

++=

x sx

dstgthtyshsy

xyshsy

dsxycxycy

0 0

121

1

021

1211

1