Método grafico de programación lineal

Kevin Obando

• Método gráfico. El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo.El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.Los pasos necesarios para realizar el método son nueve:

1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.

2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.

3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.

4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.

5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.

6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.

7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

• Ejemplo. Maximizar Z = 3X1 + 2X2 restricciones : X1 + 2X2 <=6 (1) 2X1 + X2 <=8 (2) -X1 + X2 <=1 (3) X2 <= 2 (4) X1 >= 0 (5) X2 >= 0 (6)

• Convirtiendo las restricciones a igualdad y representandolas gráficamente se tiene:• X1 + 2X2 = 6 (1)

2X1 + X2 = 8 (2) -X1 + X2 = 1 (3) X2 = 2 (4) X1 = 0 (5) X2 = 0 (6)

Figura 1 Espacio de solución presentada con WinQsb

El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para

tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor mínimo o máximo del problema.

EJEMPLO: Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.

SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL POR EL METODO GRAFICO.

VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).

Cantidad de liquidaciones (X2).

RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directoTiempo disponible de revisiónNúmero máximo de liquidaciones. Maximizar :

Sujeto a

La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.