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Programacin Lineal - Mtodo Grfico

1

Mtodo Grfico

EJEMPLO DE METODO GRAFICO

Un taller puede fabricar 2 productos diferentes

utilizando para ello 3 tipos de mquinas por las

que deben pasar los 2 productos

El problema consiste en planificar la produccin

del taller, teniendo como objetivo escoger el

programa de produccin que maximice las

utilidades netas en el perodo de planificacin,

tomando en cuanta las restricciones de

disponibilidad de las mquinas


2


Ambos productos requieren para su elaboracin

del empleo de las 3 mquinas, siendo imposible

ocupar la misma mquina para la elaboracin

simultnea de los 2 productos

Para la fabricacin de una unidad del producto 1,

se requieren: 2 horas en la mquina 1, 1 hora en la

mquina 2 y 1 hora en la mquina 3. Mientras que

para la fabricacin de una unidad del producto 2,

se requieren: 1 hora en la mquina 1, 1 hora en la

mquina 2 y 3 horas en la mquina 3


La disponibilidad de las mquinas en horas por

semana, es de 70, 40 y 90, para las mquinas 1, 2 y

3, respectivamente

Se estima que el costo unitario es de 30 para el

producto 1 y de 60 para el producto 2. Mientras

que los precios de venta son 70 y 120, para ambos

productos respectivamente

El problema supone que todo lo que se produce,

se vende


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Variables de Decisin:

X1: Cantidad del producto 1 a elaborar en la semana

X2: Cantidad del producto 2 a elaborar en la semana

Mq.1 Mq.2 Mq.3 Costo Precio

Producto1

Producto2

Disponibilidad

2 hrs. 1 hora 1 hora 30 70

1 hora 1 hora 3 hrs. 60 120

70 40 90


Funcin Objetivo Mx { utilidades }

Mx { (70 - 30)X1 + (120 - 60)X2 }

Mx Z = 40X1 + 60X2

Restricciones de Capacidad de las Mquinas

(mquina 1) 2X1 + X2 70

(mquina 2) X1 + X2 40

(mquina 3) X1 + 3X2 90 < < <

Restricciones de No Negatividad X1 0

X2 0

> >


4


Para graficar las restricciones, se obtiene la recta

lineal entre ambos ejes como si fuesen igualdades

en vez de desigualdades

X1 + 3X2 90 X1 + X2 40 2X1 + X2 70 < < <

X1 X2

0 30

90 0

X1 X2

0 40

40 0

X1 X2

0 70

35 0


70

40

X1

X2

90

35

30

X1 0

X2 0 >

>

X1 + X2 40 < 40

Regin de

Puntos Factibles


5

TEOREMA

Si todas las restricciones del

problema son lineales, entonces el

conjunto de soluciones del sistema de

inecuaciones lineales AX b, es

siempre un conjunto convexo < >

CONJUNTO CONVEXO

Un conjunto de puntos en el espacio es convexo,

si para cada par de puntos en el conjunto, el

segmento de recta que une a ambos puntos

pertenece ntegramente al conjunto

Ejemplos: s son conjuntos convexos


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En cambio, no es un conjunto convexo:

CONJUNTO CONVEXO

TEOREMA: El conjunto de soluciones del

sistema de inecuaciones lineales AX b

es siempre un conjunto convexo

< >

TEOREMA

Cuando existe un conjunto convexo

como conjunto de soluciones

posibles, entonces la solucin ptima

se encuentra en, a lo menos, un punto

vrtice del conjunto convexo

Luego, para encontrar la solucin del problema,

basta con evaluar la funcin objetivo en cada

uno de los vrtices del conjunto convexo


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VERTICE

Es un punto en la frontera de la regin factible tal

que no sea un segmento de recta

En el ejemplo, se pueden definir:

Z = CX

Z = 40 60 X1 X2

AX b

1 3

1 1

2 1

X1 X2

<

< 90

40

70

donde Xj 0 > , j = 1,2

VERTICES EN EL EJEMPLO

70

40

X1

X2

90

35

30

X1 0

X2 0 >

>

X1 + X2 40 < 40

Regin de

Puntos Factibles

= Vrtice


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SOLUCION METODO GRAFICO

En el mtodo grfico, existen dos formas para

resolver un problema de programacin lineal que

tenga dos variables de problema:

Evaluar la funcin objetivo en cada vrtice

Obtener la mejor recta de la funcin objetivo

Desde luego, ambas formas son complementarias

entre s, proporcionando la misma solucin ptima

70

40

X1

X2

90

35

30

X1 0

X2 0 >

>

X1 + X2 40 < 40

A

B

C

D E

A

EVALUACION EN CADA VERTICE

B

C

D

E

(X1,X2) = ( 0,30)

(X1,X2) = (15,25)

(X1,X2) = (30,10)

(X1,X2) = (35, 0)

(X1,X2) = ( 0, 0)

ZB = 2100

ZA = 1800

Zc = 1800

ZD = 1400

ZE = 0

Z = 40X1 + 60X2


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RECTA DE LA FUNCION OBJETIVO

Se dibuja con una lnea punteada una recta de la

funcin objetivo sobre el grfico

Existen tantas rectas de la funcin objetivo como

interceptos con el eje vertical del grfico. Cada una

de dichas rectas, tiene diferente valor objetivo Z

Luego, se busca aquella recta de la funcin

objetivo que, perteneciendo al conjunto convexo,

tenga el mejor valor de Z. El vrtice tangente a

dicha recta, es el vrtice de la solucin ptima


Ecuacin de la recta y = a + bx

Donde a : intercepto con el eje vertical

b : pendiente

pendiente variacin en el eje vertical

variacin en el eje horizontal =

Si el grfico

es del tipo:

X1

X2 Entonces, la ecuacin de

la recta queda: X2 = a + bX1

con b X2

X1 =


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Ecuacin de la recta y = a + bx

Donde a : intercepto con el eje vertical

b : pendiente

pendiente variacin en el eje vertical

variacin en el eje horizontal =

Si el grfico

es del tipo:

X2

X1 Entonces, la ecuacin de

la recta queda: X1 = a + bX2

con b X1 X2

=


Z = 40X1 + 60X2 En el ejemplo

Como el grfico

es del tipo:

X1

X2

Entonces, la ecuacin de la

recta de la funcin objetivo

queda: X2 = a + bX1

con b X2 X1

=

Luego, en Z = 40X1 + 60X2, se requiere despejar X2

Z = 40X1 + 60X2 60X2 = 40X1 - Z

X2 = (2/3)X1 (Z/60)


11

70

40

X1

X2

90

35

40


30

a = 20

20

30

Recta de la funcin objetivo

b X2

X1 = =

30

20

a = 20 (Z/60) = 20

pendiente

intercepto

Z = 1200

70

40

X1

X2

90

35

40


a = 30

30

45


b X2 X1

= = 45

30

a = 30 (Z/60) = 30

pendiente

intercepto

Z = 1800


12

70

X1

X2

90

35

40


a = 35

35

52,5


b X2

X1 = =

52,5

35

a = 30 (Z/60) = 35

pendiente

intercepto

Z* = 2100 Mx Z


70

40

X1

X2

90

35

30

X1 0

X2 0 >

>

X1 + X2 40 < 40

Regin de

Puntos Factibles

solucin

ptima X1 = 15

X2 = 25

Con

Z* = 2100


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RESTRICCIONES ACTIVAS

Son aquellas que estn en el vrtice de la

solucin ptima. La disponibilidad o capacidad

de sus recursos no poseen holgura

En el ejemplo:

X1 + X2 40

(15) + (25) = 40

Holgura = 0

X1 + 3X2 90

(15) + (3 25) = 90

Holgura = 0

< <

RESTRICCIONES INACTIVAS

Son aquellas que no pertenecen al vrtice de la

solucin ptima. S hay capacidad disponible de

sus recursos, ya que hay holgura

En el ejemplo:

2X1 + X2 70

(2 15) + (25) = 55

Holgura = 15

<


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RESTRICCIONES SUPERFLUAS

Son aquellas que no intervienen en la regin de

puntos factibles

En el ejemplo no hay restricciones superfluas.

Segn el problema y las restricciones existentes,

podran haber sido restricciones superfluas las

siguientes:

X1 70

X2 50 < <

CONTEXTOS EN UN PROBLEMA

DE PROGRAMACION LINEAL

Se denomina PPL a un problema de programacin lineal

Un PPL tiene solucin ptima cuando el conjunto convexo de la regin factible no es vaco

Existen cuatro casos posibles (tres de solucin)

1) Solucin ptima nica y finita

2) Infinitas soluciones ptimas

3) Solucin ptima no acotada

4) No existe solucin


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X1

X2

SOLUCION UNICA Y FINITA

Si un PPL tiene

solucin nica y

finita, su solucin

se halla siempre

sobre un vrtice del

conjunto convexo

X1

X2

INFINITAS SOLUCIONES

Cualquier punto

de las infinitas

soluciones, es una

solucin vlida

Las infinitas soluciones

siempre se hallan sobre

una arista del conjunto

convexo


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X1

X2

SOLUCION OPTIMA NO ACOTADA

PPL SIN SOLUCION

X1

X2

No hay regin

de puntos

factibles, el

conjunto

convexo es

vaco


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1) Leer con calma el enunciado del problema

2) Identificar las variables de decisin, las que se

asocian generalmente a las incgnitas del problema

3) Hacer un cuadro resumen con las relaciones

entre actividades, insumos y disponibilidades

4) Plantear la funcin objetivo, que generalmente

es maximizar utilidades/ventas o minimizar costos

5) Plantear las restricciones, cuidando de expresar

todas las relaciones existentes y la no negatividad

METODOLOGIA PARA PLANTEAR

UN PPL DE MAS DE 2 VARIABLES

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