XVI CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERÍA GRÁFICA

METODOLOGÍA PARA LA DETERMINACIÓN DE UN PUNTO DE

LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA EN SOMBRA O ILUMINADO. MODELO MATEMÁTICO Y APLICACIÓN INFORMÁTICA.

MARTÍNEZ GARCÍA, JOSÉ (1); MONTES TUBIO, FRANCISCO (1);

BURGOS LADRÓN DE GUEVARA, ENRIQUE (1) ; CARRANZA CAÑADAS, PILAR (1); MARTÍNEZ RUEDA, JAVIER (1)

(1)Universidad de Córdoba, España

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Agrónomos y Montes Departamento de Ingeniería Gráfica y Sistemas de Información cartográfica

Correo electrónico: ig1magaj@uco.es

RESUMEN

La determinación, en el Sistema de Planos Acotados, de puntos en sombra o iluminados, para una dirección del rayo luminoso, se ha resuelto gráficamente mediante el método de las �envolventes trasladadas�. Con el presente trabajo se expone la metodología, mediante el desarrollo de un algoritmo matemático y su implementación infográfica, para determinar si un punto de la superficie topográfica, conocida por sus curvas de nivel en proyección ortogonal acotada, se encuentra en sombra o soleado, para una dirección dada del rayo solar.

Palabras clave: sombreado, planos acotados, modelado geométrico, aplicación informática.

ABSTRACT

The determination, in the System of Contour Maps, of points in the shade or illuminated, having a particular direction of the suns�s rays, has been solved graphically by means of the method of so called � encircling transferred lines�. With the present study, the methodology is put forwaed by means of the development of a mathematical algorithm and its infographic implementation, to determineif a point onthe topographical surface, hnown by its contour lines in contour orthogonal proyection, is in shade or ssunlit for a given direction of the sun�s rays.

Key words: System of Contour Maps, shade.

1.- Introducción El modelo matemático que se presenta tiene un fundamento físico sumamente

simple, tal como es la interceptación que un cuerpo opaco produce en un rayo luminoso, dejando en sombra a todos los puntos que, de no existir dicho impedimento, hubieran quedado posteriormente expuestos a una situación de iluminación.

Sin embargo, la resolución numérica de este sencillo problema presenta de

hecho cierta complejidad, dado que al ser múltiples las variantes que presenta, no permiten un tratamiento unificado.

La base física del modelo reduce el problema a determinar la situación relativa

de los puntos del espacio respecto a otros, en la dirección y sentido del rayo luminoso. El enfoque matemático se realiza mediante una reducción del problema en el

espacio tridimensional a una serie de problemas elementales sobre perfiles contenidos en planos proyectantes sobre el horizontal.

El análisis de estos últimos problemas se hace mediante una constatación de

las ordenadas de los distintos puntos del perfil longitudinal obtenido con orientación del eje de abscisas dada por el propio rayo luminoso.

Se propone la formulación de un modelo matemático que permita analizar la situación de sombra o iluminación de los puntos del espacio en el que se definen un conjunto de cuerpos, capaces de interceptar una radiación de rayos cuyo foco se sitúa en el infinito. Como complemento al mismo se realiza un análisis de las posibles variaciones que pueden presentarse en la realidad, con objeto de definir una sistematización del problema, orientada a su resolución mediante cálculo con ordenador.

2.- Desarrollo del trabajo.

El espacio sobre el que se sitúa el problema de determinación de zonas de luz y sombra debe ser conocido previamente, y puede quedar definido mediante las representaciones habituales utilizando curvas de nivel. Sobre el plano del cuadro, y con vistas a un tratamiento numérico de la información en él contenida, se define un sistema de ejes coordenados XOY, que nos permitirá situar cada punto del mismo mediante su correspondiente abscisa y ordenada.

Es evidente que la posición espacial de cada punto queda definitivamente

localizada mediante una tercera coordenada, altura, correspondiente al valor de la cota de nivel sobre el que está situado.

De esta manera la información gráfica implícita en un plano de curvas de

nivel, puede quedar alternativamente recogida bajo forma numérica mediante un conjunto de datos {Xi, Yi , Zi} extendido a los �i� puntos estudiados..

La resolución analítica más inmediata puede ser el uso de técnicas de interpolación a partir de la información base, es decir del conjunto {Xi,Yi,Zi} sin ningún tratamiento previo. Otra posible vía de análisis es el estudio de un modelo matemático de la superficie que se adapte al conjunto anterior, obtenida , por ejemplo, mediante regresión mínimo cuadrática, y posterior seccionamiento con la superficie plana proyectante. En este sentido hemos supuesto que la superficie topográfica se adapta a la de un paraboloide hiperbólico para cada cuadrícula de vértices conocidos.

Definidos un conjunto de rayos paralelos de dirección (d) e inclinación (ß) dados, así como el perfil longitudinal correspondiente, se establecen automáticamente las zonas en sol y en sombra, en función de los diferentes rayos que van siendo interceptados por los puntos de dicho perfil.

La solución gráfica de este problema es sencilla, mientras que la solución

analítica puede abordarse determinando, en los perfiles definidos, la distancia AP entre el punto inicial del perfil (A) y el punto del que queremos verificar su estado de iluminación o sombra (P) (figura 1). Para ello dividimos el segmento AP en un número de partes iguales N , que dependerá de un factor de escala y tomamos las cotas de cada uno de esos puntos intermedios hallados perteneciendo a la superficie del terreno S y al rayo luminoso R.

El punto P estará iluminado cuando para todas las parejas de puntos R y S, la

cota del punto luminoso sea tal que ZR > ZS . Son puntos en sombra todos aquellos que presentan una cota inferior a la

correspondiente a cualquier punto a su izquierda, esto es z�j < z�i , con i < j.

β

β

α

Figura 1. Punto en luz o en sombra.

La solución propuesta define una matriz de datos (figura 2), que recoge la

información de coordenadas para todos los nudos de una retícula ortogonal definida sobre el plano del cuadro.

Ahora bien, si las dimensiones del cuadro en estudio se definen mediante la

abscisa máxima (Xm) y ordenada máxima (Ym) le retícula puede definirse mediante el número de intervalos elegido N, que conduce a un tamaño de los mismos: X1 = Xm / N e Y1 = Ym / N . Cada punto de la retícula puede venir definido mediante uno o varios dígitos, siendo su valor de posición dado por el de la fila y columna a que pertenece. El valor de posición de un punto P viene dado por la expresión:

P = (F � 1) (N + 1) + C Siendo: F = nº de fila; C = nº de columna; N= nº de intervalos

Por otra parte, conocido el valor de la posición de un punto P, es inmediata la

determinación de las coordenadas (xp , yp) , por la cual es suficiente con almacenar el valor de su cota, con el consiguiente ahorro de capacidad de memoria, ya que las coordenadas citadas pueden generarse automáticamente en el momento en que sea necesario. De esta forma la matriz de datos anteriormente definida puede ser transformada en un vector columna z en el cual se representen únicamente los valores numéricos de las cotas de los diferentes puntos P, en orden consecutivo creciente desde el punto 1 hasta el punto (N + 1)2. Esta ordenación hace innecesario el almacenamiento de los valores de posición P.

Figura 2. Situación de puntos sobre el terreno

P

P P P P P P P

P P P P P P P

P P P P P P P

xx

y

y

1

1

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31 32 33 34 35

A

P

60

58

56

54

52

50

48

46

50

50

m

m

P P P P P P P

P P P P P P

El vector de datos así definido adopta la forma z = {zi} , con

{zi} = [ z1 , z2 , z3 , ........ , z (N+1)2 ]

Con objeto de analizar de forma exhaustiva los diferentes casos que pueden

presentarse, se propone el estudio de las diferentes posiciones de la dirección del rayo proyectado, que engloban rayos comprendidos en los diferentes cuadrantes, más cuatro soluciones particulares que representan la coincidencia con los propios ejes coordenados X e Y , en sus sentidos positivo y negativo.

Definida una cuadrícula de lado unidad, la ecuación general del paraboloide

hiperbólico que pasa por sus cuatro vértices es:

Z = ax + by + cxy + d

El segmento AP se divide en un determinado número de partes iguales,

función de la longitud del propio segmento AP. Definiéndose un factor de escala E = INT [( x1 + y1) / 2] + 1

siendo el tamaño del intervalo I = AP / E.

En resumen, como sólo nos interesa determinar el estado de iluminación o

sombra del punto P, el problema se reduce a verificar si existe alguna pareja de puntos, sobre la misma vertical, entre A y P , tal que la cota del rayo luminoso que pasa por P, (zR) ,sea menor a la correspondiente cota sobre la superficie del terreno (zS), siendo zR < zS , en cuyo caso el punto P estaría en sombra.

Se ha realizado la formulación de un modelo infográfico que permita verificar

la situación de iluminación u oscuridad de un punto cualquiera de la superficie topográfica.

El planteamiento del modelo sería:

Nuestro modelo propuesto sería establecer una cuadrícula, cuadrada o rectangular, dándose las coordenadas (X,Y,Z) de cada vértice de la misma.

Para introducir los elementos de la superficie topográfica podemos partir de: a) Datos procedentes de la digitalización de un mapa topográfico. b) Tomar los datos de campo de los puntos de la superficie topográfica, vía

GPS, teodolito, etc., obteniéndose un fichero ACII tipo .TXT. Mediante el Software integrado en el GPS se tratarían los datos de tal manera que obtengamos las coordenadas X,Y,Z de cada uno de los puntos. El fichero de salida será también del tipo ACII

Por último mediante el software apropiado (en nuestro modelo hemos empleado el programa SURFER) se reconocerá la matriz de datos y mediante el método de interpolación adecuado se podrán crear las curvas de nivel.

Entrada de información: - Digitalización del terreno. - Situación geográfica. - Situación estacional y horaria.- Orientación del rayo solar.

Análisis de zonas en sol y en sombra.

Salida de información para los puntos establecidos.

En las figuras 3 y 4 se muestran algunas de las pantallas de la aplicación desarrollada.

Figura 3 . Determinación de la posición del sol.

Figura 4.- Mapa de curvas de nivel del terreno con un punto en sombra y la dirección del rayo solar

3.- Conclusiones El trabajo realizado nos permite el estudio del asoleo sobre puntos concretos de la superficie topográfica. La aplicación desarrollada nos da la dirección del rayo solar mediante la introducción de la fecha y posición del lugar y nos proporciona la información necesaria para saber si un punto está en sombra o iluminado. 4.- Referencias MARTÍNEZ GARCÍA, JOSÉ, et al. �Metodología gráfica para la determinación de la zona de la superficie topográfica visualizada desde un punto fijo. Acta del XII Congreso de Ingeniería Gráfica. Badajoz 2001 MARTÍNEZ GARCÍA, JOSÉ. �Análisis metodológico del asoleo sobre superficies topográficas�. Tesis doctoral. Universidad de Córdoba . Julio 2002