ESTADISTICA ESPAOLANm. 89, 1980, pgs. 139 a 160

Apl^cacin de la metodologia de Box-Jenkins a laprevisin del transporte de pasajeros por Iberia

por JUAN IGNACIfJ PEA SANCHEZ DE RIVERA (*)Profesor del Departamento de Estadstica

e Investigacin OperativaFacultad de Ciencias Econmicas UAM

Kjlr^r^^ h^r^-t,^. ^., ^-lr^^rl^^ ^.i t/^ry^ c-a^l bE^ k^l^t^^. thrrl u.re jhdK^^rt^rttIG. E. P. Box y G. M. Jenkins

Time Series Anafysis

RESUMEN

E1 presente trabajo tiene como objetivo el estudic^ de la serie de pasaje-ros transportados por Iberia, con datos mensuales desde enero de 19b^hasta diciembre de l y78, med iante la metc^dologa de Box y Jenkins yutilizando los dos primeros niveles de anlisis d^ la misma. Se realiza elanlisis univariante y el estudio y mudelizacin de las anomalas mssignificativas mediante el Anlisis de Intervencin. Finalmente, se generanprevisiones cun los modelos escogidus, comparndolas cun las observacio-nes reales.

Plubrus clu ^c^: Serie temporal; modelos Box-Jenkins; previsin.

* EI autur manifiesta su agradec imientu pur sus enseanzas y colaboracin a los profesores'Timuteu Martnez Aguacfu y Jus Luis Gasc, as como a Ivn Prez de las Peas. As mismu,yuiere resaltar su prufunda deuda intelectual con 1os profesores Daniel Pea y Arthur B. Tread-way, y agradecer su cc^nstante enseanza y estmulo, sin las cuales esta investigacin nu hubierasidu pc^sible.

140

l. EI_ PROBLEMA EMPIRICU

l . 1. INTRt)DUCCIN

ESTrIDiSTICA ESf'AOLA

El objeto de nuestro estudo es la serie de Pasajeros Transportados por Ibera( PI}A en adelante) con datas mensuales, durante el perodo 1/b8- l 2J78, que nos fueronproporcionados por la Direccin de Investigacin C}peratva de dicha empresa. Elmotivo de escoger esta serie es su inters como representativa del sector del transporteareo, uno de los de mayor crecimiento en los ltimos aos. Adems, creemos quepuede ser un indicador ms de la evolucin econmica general, con especial sensibili-dad a variaciunes coyunturales, no exclusivamente econmicas.

Otro motivo, quiz ms secundario, es el inters que despert en el autor el estudiode una serie de parecidas caractersiicas que se realiza en el libro bsico de la metudo-loga Box-Jenkins " y nuestro deseo de comprobar si esta lnea de transporte areosegua pautas similares .

1.2. EL li/^ODELO EST(7CSTIC(J I.NIVARIANTE

1.2 .1. Id^nti, f icucivn

El anlisis visual de la serie original nus seala algunas caracteristicas de inters:

a) La serie es creciente en el tiempo y claramente no estacionaria.b) Se aprecia un comportamiento estacional muy marcado, con picos en los meses

de verano y descensos a fnales de otoo.

c) Las fluctuaciones de la serie son de mayor amplitud segn vamos avanzando enel tiempo, hecho que nos indica la presencia de heterocedasticidad. E1 diagramaRango-Media nos confirma este hecho, por lo que parece adecuado efectuar algn tipode transformacin Box-Cox-'. En este caso, parece que la ms cunveniente puede ser lalogartmica, esto es ^^ = 0.0. E1 nuevo grfico de PDA, Fig. 2, no muestra sntamas deheterocedasticidad y su diagrama Rango-Media, aunque nu nos deja plenamente satisfe-chos, tampoco muestra evidencias contundentes de heter^cedasticidad, pur 1^ que, conciertas precauciones, escogemas esta transfurmacin.

Se aprecia una clara falta de estacionariedad, asi cumu un cumportamient^ estacio-nal rnuy marcado.

' Vase Bax y Jenk^ns (197b), pgs. 300-329.Z Vase B^x y Cax (1964).

METODOL(XiIA DE BOX-JENKINS A L.A PREVISION DEL TRANSF'ORTE POFt IBERtA ^4I

^it^r^nc:ian^l^^ ^il^c.'^u^il^^iCll^.'ntr: t)^tt'nc'mu^ ^^l tr^n^t^)rfll^illl?n L'til^i^ll)n^iCl^i `'^^^ . ^.'nt'[)A.

[^c.^ t^^tam^^^; un t'utrtc^ v^il^ar anrn^il^^ ne^ativ^^ c.n 1 I^ 77. N^^s ^iri^im^^^ ^i Ihc.^ri^i n^ir^i^^^m^r^^h^ir I^^^ ^i^^t^^^ y^^: n^^^ ^umuni^ yti^ n^^ hah^^ c.^r'r^r^r^^^^ ^n 1^^^ mi^n^^^s. r,c,^r^^ qri^^es^ m^ti h^ihan cuinc:iciic^u la.^ si^uitnte^ cir^un^tan^ia^:

c^) C^ambiu c1t pintur^i y embltmati ^c: la m;^iy^^ra ^ie lu^ ^ivi^^n^s ^it^ 1a tl^}tti.h) Huelga de cuatrc^ da^ ciel per^^^nal de ^l^ru^ut^rt^^^ ^^^r m^^tivs ^^^I^it'I^ila^, ^^>n

n^^table intlu^n^ia ^n tl trficu arc:u.

T^^ctu r:llu, uniciu a que n^^vi^mhrc^ t^ tl m^^ c:n ^l qu^^ ^e ^t^c^^t^in I^i^ revi^i^.^nt^^tnk'r^i^f:S }^ rt ^^iC^ll'll)ntS l^t ^i^^ir^itl)ti, Ct)n rt'l.^Ul`L IUn (jt', tit'I'^'ll I`1, nUti C^lin ^^ t'X j^^ll^i^ 1{,111c^e la anumala.

l.^i ^r^^^nc:iti ^i^ un^i ^iistc^r^in t^ln fuc.^rtc.^ ( - ^i rs ) ^a ^i ^it^^^t^ir ^i I^i ,Jc^.^^ Y .t^^/^uscurr

F:s^r,^ar^rrcA r-sr^,q^r^r..^

:^i c)hsc.'r^.fmus ^.I ^r^il^i^c) ctc.' ^^^^,Y In E'().^l It`i^;. 71, c^'stri ^art^e t^ta^i^)n^rr^i. hc:^huyil^' ^^^nt`irm^t suti ,,irr., (t`i^. K). Un ^riteri^) ^r^1i^:^^n^il ^^ira haher ^yl^'^;^i^) ^*^t^i trantit'^)rma-^ i^^n c;^ I^r ^ic.' ^^)sc.^c'r mnim^r ^ ^iri^inra ^: ^in c'mh^ir^;^), l^l lit^'r^itllr^i ^^)hrc.' !3 J ti^ne^^hr,n^^in^c^s ^_^tnl^lt)^ cn ^l)^ ytl^ ^t tr'^^ntit`^)rmil'IUn t'^tiil.'ll)nirlt i^^ ) t'.rii ^ii (.^C 1711nt1'Tlivarianz^^, Pur Ic) yu^' c:i nicu ^c>'ntr^^^tc.' t`i^h^^' c.'ti ^.'I c.'stucliu c: ui^t^^^1c)tiu clel ^;r`^fi^c) y I^i%us `.

+2^

0

-^ 2 c^12

IIIIIIIIIII^-------_--__-------------------------

^us In PDAt Frv. 3

+2c^

0

-2r^

^i^^^^i111^n^^^^^^,^^^12 24 36

,Jus Q^^ ln PC^A^ FtG. 4

0

-2c^

+ 2cs

12-,

i

^us C7 In PDA t F'rG.

^ Vase Ancitrsun ( ly7K).s Vase Treadwdy et dl (1 y7H).

ME^:T()D()l.(X;IA I)E: f3()X-JFNKIN;S A[.A k'RF:^'ttil(^N C^FI. ^RAN^F^)k"^-F: }^C)R fE3F:RIA

+ 2 c^

0-2^

Puru lct ^^urtc^ rc^,^^trlur

1rl

3fi^^ ^^ ^

.fus V^^ ` In PDAt F1G. K

143

F 1 examtn de la /cts^ y,f/^ su^iere un MA ( 1) cn cuefitiente pu^itivu. l.a e^tructurae interacein^ dpuya est^.i iciea.

Pctru lu /^urtc^ c^stctcrc^jtctl

La situarin nu est tan clara cc^mc^ en el puntc^ anteric^r, aunyue lc^s candidatus msplau^ibles tiun, u hien un MA (1 > de c^^eficiente pusitivc^, c^ bien un AR (2) de racescc^mpleja^.

Nuestr^^s canciiciatus para la fase cle estimacin sun p^ar tantu:

ct} ARIMA (0, 1. 1} x(0, I, 1},^.h} ARIMA (0, l, 1) x(?. 1, 0), ,.

-------------- ------

_L-l^_ i__ 1 2 _^1^ _ 2a^ T_ - - ---T __ _ -^ T --^ . ._-^

^ Vase Hamiltc^n y Watts (197K) y Pea ( ly7y).

^^a

I.?.^. f-.^^1 ^^tttc^t^i^t

;1^[c ^1^'I^^ ct 1

t-^^r.^t^t^rtc^.^ t^s^,^ +.vcyt.A

^'^' , , ln E'I^A, ^ { 1 ^^ .^7I3) { 1 ^^ .7t3' ' tt,( .OK) ( .U5 )

^ ^, '^ I O0 : 4. 3^t^ { 3 7} ^^= 21. 7^^ - 0.0

N1^^^1^I^^ h1

1 1 ^.f^ 1^3'' +. 3?B'^' 1^^^, , ln E'[)Ac 1 I .53B} {r,{ .()^) { .(ly) ( .()y}

^ ^^^ I (}{) ^. ^K{,^ (3(^} I K.f^,E^ {^U^, il ,} .^I

O.(}

+2^r

0

-2^

I . ^__ 24 _ ^

.tu.s ^ V ,: In PDA c F'iG. y

I.?.3. (^^,trt -ct.^^tc^.^^ clict,^^ttci.t'tic^^^,ti^

(^'c^n t'^.'s^;tu ^tl mu^'Ic^ {cr) hay yuc.' ^c.'^^lit ': '

--- l.c^^ ^i^^^ rur^^mc:tr^^^ ^itl mi^m^^ r^'^^tlt^in ^^^hra^itrm^nt^ ^;i^nit^i^ativc^s.

---- E: I v^1 ^^ r^1 c.' C,1 ^ s a^ c.' ^ t a h I t.

- I.a mec^ia c^c I^^s r^^;iciuus c^^ n^^ ^i^;nit^icativamentt ^iistinta ^1c.' ^c^ru.

METODOL4GIA DE B^X-JENKINS A LA P'REVISION DEL TRANSPORTE PoR IBERIA

-- No aparecen retardos significativos en las ^fs y,fu^.-- No hay problemas de correlacin entre los parmetrUS.

Con respecto a1 mode{o (b):

145

--- Todos los parmetros son sobradamente significativos.

- F1 valor de Q es aceptable y menor que en (a).-- La media de los residuos resulta no significativamente distinta de cero, pero con

escassimo margen. Habida cuenta de que tratarnos con criterios estadsticos, estasinterpretaciones no pueden considerarse restrictivarnente.

No hay retardos significativos en la fas y fap.-- La correlacin entre los parmetrus estacionales es muy baja y no preocupante.- La varianza de Ios resid uos es casi un 5 por 100 mayor que en (a ).

Tenernos ahora que decid ir c ul de ios dos modebs escogemos en esta primera fasepara continuar el anlisis. Lo cierto es que ia parte estacional del (b) nos recuerdademasiado a una extensin sobr^eparametrizada del (a), ya que es fcil ver que sitenemos un proceso MA (1)s como el que sigue,

puede representarse:

esto es,

W^ = ( l - E^Bs) al.

(1 -- HBS)-^ W, = a,,

(1 + f^Bs + H^F3^ + (^`B^ + ...) W = u ,r ^

que nos da una representacin no escueta det prcx:es^ simple de media mvii. Comu elvalor de ^2 est demasiado cerca del de ^U ;, y adems, la varianza residual es mayor,optamos por escoger inicialmente el modelo (u), que can menor nmero de parmetrosnos da una explicacin similar del proceso. No obstante, sealamos que esta eleccin esprovisional, y que segn vayamos limpiando de anomalas la sere, pueden aparecerhechos que nos indiquen la conveniencia de una reformulacin del modelo, ya que,la serie tiene gran cantidad de residuos extremos que estn distorsionando fuertementela estructura bsica de la misma.

Por ello se realizaron anlisis nivariantes con la serie truncada y sobreparametriza-ciones del MA ( l, I) x( l, l) por si la estructura era susceptible de reformulacin. Como

146 ESTADISTICA ESPAC)LA

Ic^s resultadc^s no fueron satisfactoric^s, nc^ lus reflejamos aqui, remitiendo al lecturinteresadu a la vertiin c^riginal cie este trabajc^^`.

1.3. ANLIS[S DE ^NTFRYFNCt(3N

^n este apartado comentamos las distintas intervenciones que se efectan en elmudelu cun ubjeto de explicar los valores anmalos yue aparecen en los residuc^s delMEU (*).

Hemos preferidc^ ir e xpc^nienda paso a paso los resultados, ya que creemos yue esun buen ejemplo de cmo el anlisis cuidadoso de los residuos es la clave en laelaboracin de modelos siguiendu la metc^duloga B/J .

Veamus en el resumen de residuos anmalos del modelo univariante que aparecenvarios valores extremc^s y, fundamentalmente, el de ll/77 muy fuertemente negativu(--4,3 cs). Sin ernbargu, no se aprecian valc^res extremos en las Pascuas, en contra de loque el examen de la serie inicial nos haba indicado. No obstante, y en una primeraetapa, vamos a intentar modelizar el efecto Pascua separadamente, segn sea marzo 0abril el mes de dicha festividad. Asi pues, nuestro primer paso de Anlisis de Interven-cin ser el mudelizar las Pascuas y l l/7? cun un pulso al que Ilamaremos huelga.

Los resu{tadus de la estirnacin estn en la hoja de resumen nm. 3(*). Queremosindicar que lc^s prugramas utilizados en la estimacin de los parmetros del modelo notienen incorporadu back-forecasting, por lo que las varianzas resid^uales no soncomparabies con las de los MEU estimados que si poseen esta cualidad. No obstantes,y para hacernos una idea de cul va siendo la reduccin de varianza residual queocasionan las sucesivas intervenciones, recurdemos que en el Anexo t al apartadoanterior, la varanza del l^ ^i E U sin retroprevisin era:

^ = .0020?

c u x 100 = 4. 5 4.

Asi pues, volviendo a la haja nm. 3, son destacables los siguientes aspectos:

a) Resultan signifrcativos los parmetros de Pascua abril y 1 1/?? Huelga y nosignificativc^ el de Pascua marzo.

^` Tesina de licenciaiura ciel misrno ttulo. Facultad de CC. Econmicas. Universidad Autnomade Madrid (1979),

* Vase Bc^x y Tiao (1975).(*) Para esta tase hemos utilizado hojas de resumen para reflejar los resultadc^s, segn el

diseo de Arthur B. Treadway.

METODOLOGIA DE HOX JENKINS A LA P`REVISION DEL TRANSPORTE POR IBERIA 147

b) La disminucin de varianza residual con respecto a( I) es de casi el 25 por 100.

c) La media de los residuos resulta nu significativamente distinta de cero, alcontrario de lo que suceda en el rnodelo univariante.

d) Hay valores significativos en el retardo 24 de las fas y fap que pueden venirexplicadas por el efecto de los residuos anmalos de 3/73 y 3/?5, o por defectos deformulacin del ruido Nt.

P) Aparecen varios residuos fuertemente anmalos y, sobre todo, el de 4/69(- 3.8 a).

,f) E1 valor del estadstico Q es aceptablemente bajo.

HOJA DE RESUMEN NUM. 3

EST AI: PDS vs. Pascua marzo, P. abril, li/77 (huelga)N = 132 (1 /68 - 12178)IT = 10 converge

5 tt rY

`^ 3t1 t= Pasc ua marzo y 1 t= Pasc ua abril

l+

0 t^ Pascua marzo ^ 2` 0 t^ Pascua abril

In P; : - ^ 0165 ^ r + .046^ 2r - .165^, ^r + N r( .15) ( . 013) ( . 02)

^7^i,Nr = ( 1 - .44B)(1 - .41B'^)ar( .08) ( .09)

SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA

a = - .006303 ;

'^4 ( ) _ - .185 ;

Q .oo3sbls,^,(^) - - .200

RESIDUOS ANOMALOS

6z

1 t = 11 /77

0 t ^ i l/77

_ .001535

c Q x 100 = 3.92

Q(37) = 22.4

= 0 .0

2- . 183

119

Nm.obs. Fecha

Valorunidades

c^^

Distorsionporcentual

de r"saDistorsiones fas

16 4/69 - 3. 8 12 ,1b3 3i73 - 2. 3 4.476 4/74 - 3.0 7.677 5/74 - 2.4 4. S ( 24} -- -.03587 3/75 1. 8 2.794 10/75 - 2.1 3.796 12/75 3. 3 9.2 r

Total: 44.5

148 ESTADIS'rfCA ESPAOLA

Parece, pues, que e1 siguiente pasu sera cc^nu^er qu oc:urri en 4/651 y efectuar lamudelizacin currespondiente, ya yue el etiectuar

METODOLOOIA DE BOX-IENK[NS A LA PREVISION DEL TRANSPORTE POR IHER[A 1^i9

HOJA DE RESUMEN NUM. 4

EST AI: PDA vs. Pascua marzu, Pascua abril, 11/77 (huelga), 4/68 (DC-8)

^, 2r

1 t = Pascua marzo

0 t ^ Pascua marzo

1 t = Pascua abril

0 t ^ Pascua abril

ln PDAr = .013 ; Ir + .041^,2r - . 18^3^ + .123^,ar +( . 015 ) ( . 013 ) ( . 020) ( . 020)

V^i^Nr = ( 1 - .42B){1 - .60B'`)ur(.08) (.08)

s `_ .001341; ^s a x 100 ! 3.6

N = 132 (1/b8-12/78)IT = 10 converge

1 t = 11 /770 t ^ 11 /77

1 t >_ 4/68U t ^ 4/68

Q(37} = 23.8

SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA

u - - .004575 ; c a = .003351 = 0.0

2r44() _ - .186; s^4() - - .199 -^- _ .183

^/^ 119

HOJA RESUMEN NUM. 5

EST AI: PDA vs. Pascua abril, 11 /77 (huelga), 4/68 (DC-8}, 10/75 (boicot),12/75 (coronacin), 3/73 (controladores)

. N = 132 (1/68-12/78)1T = 13 converge

1 t = Pascua abril

0 t^ Pascua abril^ 2t

1 t = 10l75^ 4r 0 t ^ 10/75

y sr

1 t = 11 /770 t ^ 11/77

1 t = 12/750 t ^ 12/75

{{

1 t ? 4/b80 t ^ 4/68

1 t = 3 /730 t ^ 3/73

ln PDAr = .0498^ Ir - .1699^zr + .128.^,^r - .Of^11^^r + .0624;sr - . I06^br + Nr(.011) (.024) (.025) (.023) (.024) (.023)

^^ i ^ N r = ( 1 - . 36B) (1 . - .56B `^ )ar(.09) (.08) .^

c^` -.UOlU^4; sa x 100 = 3.24 Q(37) ^ 32.2

150 ESTAISTICA ESPAt)LA

SITUACION DE LA ESTIMACION B1EN DEFINIDA

a = - .0035U7; c Q = .002971

x^4 () - - .19 l ; s^d (^a ) - - . 215

N = 0.0

.+ 2.1x3

119

e) Aparecen varios residuos fuertemente extremos, destacando 3/73 (- 2.5 a), 4/74-2.b a), 5174 (-2.7 cs), 10/75 (-2.4 cs) y i?J75 {3.4 cs).

^ EI valor del estadstic o Q es aceptablemente bajo.

Siguiend con la modelizacin de residuos anmalos centramos nuestra atencin enlos tres que, en principio, nos parecieron de mayor entidad, los de 3/73, l0/?5 y 12/75.

Nuestras consultas en Iberia y en la Hemeroteca Nacional dieron los siguientesresultados:

a) Can respectc^ a 3I73: E1 da 20 de febrero comienza una huelga de controladoresareos de casi todo el continente europeo (franceses, belgas, etc.). Iberia reduce susvuelos europeos aJ 22 por 1QU de lo normal, E1 da 5 de marzo chocan en el aire sobrela ciudad francesa de Nantes dos aviones espaoles, de las compaas Iberia y Span-tax, ocasionando Ia muerte de 48 pasajeros. A1 da siguiente Iberia suspende todos susvuelos con Europa hasta que finalice la huelga de controladores, verdadera responsablede la catstrofe area. E1 da 20 de marzo finaliza la huelga, y el 21 se reanudan losvuelos europeos de lberia. Parece, pues, justificada una intervencic^n de tipo pulsonegativo a la que llamaremos CONTROLADORES .

b) Con respectc^ a 10/75: Al producirse los fusilamientos de Hoyo de Manzanaresde miembros de ETA y FRAP a finales del mes de septiembre de 1975, se produce unageneralizada campaa exterior contra el rgimen del general Franco. Durante todo elmes de octubre, Iberia ve sistemticamente boicoteados todos sus vuelos internaciona-les, a los que no acuden pasajeros, problemas en los aeropuertos, etc. Unas declaracio-nes del entonces presidente de Mjico, seor Echevarra, hacen que Iberia suspendatodos sus servicios con este pas. Durante todo el mes, los efectos de la campaainternacional se hacen sentir muy fuertemente sobre el nmero de pasajeros transporta-dos por Iberia, hecho ste que incluso es destacado en la mernoria que la compaapublica a final de ejercicio. (Los ejercicios de Iberia no siguen el ao natural, sino quevan desde el 1 de noviembre a 3i de octubre del ao siguiente.)

Toda ello justifica la introduccin de un pulso negativo al que denominaremosBOICOT .

METDOLOGIA DE BOX,IENKINS A LA PREVISION DEL TRANSPORTE POR 1BERtA 151

c^) ^c^n respec^tu u 12/75: Fuentes de lberia nos indicarun que ese mes se produjoun inusitado incrementa det trfico areo, debida a la situacin ucasiunada por elcambio de rgimen en Espaa.

Polticos, diplomticos, exil iados polticos, hombres cie negoc ios, ocdsionan un in-cremento en el total de pasajeros que Iberia atiende. Por ello, hemos denominado a estaintervencin, en la forma de pulso positivo, como COR^JNACI+C^N>>.

Queremas destacar que los efectos de 10/7S y 12/75 se mani^estan en algunas otrasseries temporales de la economa espaola, tal como ha puesto de manifiesto J. Alma-gro n sus estudios sobre las entradas de turistas en Espaa`'.

Visto lo anterior, pasamos a estimar un nuevo modelo que cantenga la informacincomentada lneas arriba. Los resultados de la estimacin estn en la hoja de resumennm. 5(se ha suprimido en la estimacin la variable Pascua marzo al resultarclaramente no significativa).

Puntos destacables de la misma son:

a) Tados los parmetros son significativos.

b) Disminuye la varianza residual can respecto al modelo anterior del orden de un20 por l0U y ms del 50 por l0U con respecta a(I).

c) La media de los residuos sigue siendo na signifcativamente diferente de cero.

d) Hay valores significativos en el retardo 24 de las fas y fap que pueden venirexplicadas por el efecto de los residuos anmalos de 12/76 y 12/^8 o por defectos en Nr.

e) Los principales residuos extremos son el de 5/69 (+2.2 a) y el preocupantebache negativo de la primavera de l 974: 3/74 ^- 2.0 a), 4/74 (- 2.4 a), S/75 (- 2.3 cs ).

,fl El valor del estadstico Q ha aumentada con respecto a modelos anteriores, perosigue siendo aceptable.

Llegados a este punto de la modelizacin queremos llamar la atencin sobre unproblema que nos ha ido preocupando de forma creciente, y es el de la presencia deretardos significativos en 24 de las fas y,fap de todos los modelos de intervencin que,si bien en un principio pudieron justificarse por la influencia de residuos anmalos, aeste nivel del anlisis ms bien nos indican que nuestro madelo del ruido Nr necesitauna reformulacin; as pues, antes de seguir adelante, vamos a estudiar las posibles vasde actuacin en este sentido.

`' Vase Almagro (1979).

ESTADISTICA ESPAOLA

La parte regular no parece presentar problemas, por lo que la dejamos como est.En la parte estacional la hiptesis ms plausible es la de un AR (2) con races cumple-jas, que es la que adoptamos. Pasamos pues a estimar nuestro modelo de intervencin,pero con esta modificacin en el ruido N^.

Los resultados de la estimacin estn en la hoja de resumen nm. 6. Puntosdestacables:

a) Todos los parmetros, tanto del ruido como de las intervenciones, son significa-tivos holgadamente, excepto el DC-^3, que est justo en el lmite, pero que conside-ramos aceptable.

b) La varianza residual es ligeramente menor que en cl modelo anterior.c) La media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de cero.d) Nca hay valores signficativos ni en las fas ni en tas fup.^) Hay muy pocos residuos extremos y el ms importante es el de 4/74 (-2.5 cr).

f El valor del estadstico Q es inferior al del modelo anterior.g) No hay problemas de correlacin entre los parmetros.

A la vista de los resultados anteriores, parece claro que esta reformulacin delruido ha sido adecuada y, por tanto, proseguimos el anlisis de los residuos extremos.Volviendo al resumen de residuos anmalos observamos que las anomalas ms preocu-pantes siguen situndose d urante la primavera de 1974. La informac in de que dispo-nemos al respecto (fuente Hemeroteca e lberia) es que desde enero a abril, inclusive,se produjeron unas fueries alzas de precios en todas las lneas de la compaa, comoconsecuencia de la crisis energtica y econmica, que entonces se agudizaba. Losincrementos oscilaron del 12 por 100 al 30 por 100 segn las lneas y fueron, segn lapropia Memoria 1973174 de Iberia, las ms considerables de toda la historia deltransporte areo. Hay que aadir que este alza fue general en todas las lneas areas delmundo, con pequeas diferencias en los porcentajes.

No obstante, el modelizar estos hechos mediante variables de intervencin noparece correcto, ya que sera mucho ms fructfera elaborar una funcin de transferen-cia PRECIOS - PASAJER(JS que, adems^ de tener un evidente sentido econmico,podra ser de indudable inters para comprender los mecanismos de relacin de ambasseries. Desgraciadamente, no disponemos de una serie de ndices de precios globales detransporte areo de [beria, ya que no est elaborada, por lo que renunciamos a estecamino, que queda como futura lnea de investigacin.

METODOLOGIA DE BOX-JENKlNS A LA PREVlS10N DEL TRANSPORTE POR 181:R1A 153

Por ello, damos por terminada esta etapa de modelizacin de intervenciunes ypasamos a la de construccin del mudelo final sobre la serie cc^rregida.

Como !os prc^gramas que hemos utilizado para todo el A1 carecen de retroprevisin,consideramos interesante modificar la serie con tas intervenciones halladas y efectuar laestimacin univariantes, ya con retroprevisin, de gran inters sobre todo de cara a laprevisin.

As pues, una vez corregidos los valores correspondientes, he^nos estimad el MEUresultante (esto es, el ruido N^) que presentamos a continuacin en la h^ja de resurnennm. 7.

HOJA DE RESUMEN NUM. b

EST A 1: PDA vs. Pascua abril, 1 l i77 (huelga), 4J68 (D^-8), 10/75 (boicot),12l7S (coronacin), 3l73 (controladores)

N = 132 ( l /68-12/78)1 T = 13 converge

1 t= Pasc ua abril

0 t^ Pasc ua abril

1 t = 10/75

0 t ^ 10/75 `^ S r

1 i = II /77

0 t ^ I1 /77

( I ^ - 12 /75^ 0 r ^ 12/75

1 t >_ 4/680 t < 4/68

( 1 1 = 3/73^ 0 t ^ 3/73

ln PDA, _ .454.^,lt - .183^2r + .163^^^ - .049^^^ + .Ob7^gr - .092^6r + Nr(.01) (.02) (.08) (.02) (.02) (.02)

(1 + .28812 + .37B```)QO,^Nr = ( 1 - .34B^u,(.11) (.11) (.11)

.001042; c^^ x lUO = 3.22 Q(37) = 2b.6

S[TUACION DE LA FSTIMACION BIEN DEFIN IDA

z^ = -- .0025K4; ^^ _ .003320 - = 0.0

154 ESTADISTlCA F.SPACILA

HC}JA DE RES[.JMEN NUM. 7

EST MEU: PDA curregidc^ cun intervenciones = PDA'N = 132 { 1 /8-12/7g)1 T= 7 c un v^e rge

(1 + ,43B' ` + ,40BZ`' )VC7 ^ ^ In PDAr = { 1 - .3oB)ar .(. os) c.os^ (.09)s `_. OOC^95 47 ; rs a x 100 = 3. 08 Q(36) = 37.

SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA p{^r, ^^) =3?

= -- . oQ2005 ; s =- .002816 = 0.0

r^^,() - - .251; s;^,(} - - .157 ^ 2 - .183. -^^ 119

+e+

P^ri{^do, fr^cuencia y fact^^r d^ amvrti^^c^amiE^ntc, cl^l up^radc^r AR (2)OPERADOR : ( l + .43B t2 + .40B24)FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO : .b3FREC UEN+G IA : .305PERIODO : 39.30? = 3.25 AOS

Puntos destacables:

a) Todos los parmetros sun significativos y sin problemas de autocorrelacin.b) La varian^za residual ha disminuido, como era de esperarar, con respecto al

modelo con intervenciones en casi un 14 por lUO.

c} La media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de cero.d) E1 valor del estadstico Q es muy alto y preocupante.e) Hay un fuerte retardo significativo, el 36 en la fas.,fl El operadur AR {2) genera un ciclo de 3.25 aos.

La situacin es delicada, ya que nos han surgido problemas en la fas y con Q quenos sealan que hay que refurmular la estructura de nuestro MEU.

La hiptesis ms plausibies son, o bien un AR ( 3) o un ARMA (2, 1). Estimamos enprimer fugar el AR (3}.

Los resultadus de esta operacin estn en la hoja de resumen nm. 8.

METODOLOGU DE R+DX JENKINS A LA PREVISION DEL TRANSPORTE POR 18ERIA 1SS

Puntos destacables:a) Todos los parmetros son significativos y sin problemas de autacorrelacin.b) La varianza residual ha descendido ligeramente con respecto al modelo anterior.c) La media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de cero.d) E1 valor del estadstico Q es bajo y aceptable.e) Hay un retardo significativo en las fas y fup de orden 3 que no nos preocupa

excesivamente, ya que puede ser el fruto de la relacin entre los residuos del bac he en laprimavera del 74, o, simplemente, al trabajar con unos intervalos del 95 por 100 deconfianza, un error muestral.

,f^ El operador AR (3) genera un eiclo largo de 4.25 aos de un tipo muy comn enseries econmicas espa.ol as ^ .

g) Los nicos residuos significativos, aparte de los de primavera 1974, son los de3/76, 9/76 y 3/78 (Semana Santa). En este ltimo podra haberse hecho un AI y corregirel^dato, pero el hec ho de que el efecto Pasc ua marzo haya sal ido no significati vo, nosfrena en ese sentido y preferimos dejar esta labor para posterores investigaciones confunciones de transferencia.

Los resultados de la estimacin del ARMA (2, 1) estacional estn en la hoja deresumen nm. 9.

Puntos destacables:

a) Todos los parmetros son signi^icativos y sin problemas de autocorrelacin.b) La varianza residual es menor que en AR (3).c) La media de los residuos sigue siendo no signi^cativamente distinta de cero.d) El valor de Q es aceptable.^) Hay retardos significativos en las fas y fap de orden 3 y 11, explicables por

anomalas.

f El opera.dor AR (2) genera un ciclo de cinco aos.g) Los residuos significativos son similares al modelo anterior.Lo cierto es que ambos modelos son muy parecidos y la razn ms fuerte para optar

por uno o por otro, en este caso, es la diferencia en la varianza residual, que es menoren e1 segundo. Escogemos, pues, como modelo definitivo el ARIMA (0, 1, 1) xX (2^ 1, 1)^^

Hasta aqu la fase de model izac in de la serie. En el siguiente apartado comentamoslos resultados de las previsiones para 1979 de los modelos univariantes y de interven-c in * .

x Vase Sanz (1979).

15b E5TAISTICA ESPAnL..A

1.4, PREVISIONES GENERADAS Y CC)MPARAC tC^N DE LAS MISMAS

En este punt^^ cc^mentaremos las previsiones yue nos han generado lus modelosMEU y AI (final) para It^s datas ms recientes de yue disponemos, desde enero a juliode 1979, y tamando como origen nico el ltimo dato utilizado para la estimacin de losmodelos (diciembre 1978).

En el cuadra adjunto se muestra la previsin puntual de cada modelo junto con susintervalas de confan,za del 90 par 100, as como el tanto por ciento de error en laprevisin.

Hay que indicar que en febnera y marzo los valores estn fuera de los intervalos deconfianza, posiblemente por algn fenmeno anmalo, cuyas causas desconocemos demomento.

Finalmente, hay que indicar que las previsiones que genera el modelo AI sun, engeneral, ms precisas que las del MEU, que suele pecar por exceso, como se comproben una simulacin dinmica realizada por el autor y cuyos resultados no presentamos

.

aqul.

HOJA DE IZESUMEN NUM. 8

EST ME U: PDA (corregido con intervenciones) = PDA`

N = 132 (1/68-12/78)I T = 14 converge

(1 + .47B' 2 + . S 1 B2`' + .38B3b) oo ^ ^In PDAI' _ (1 - .24B) a f( .08) ( .08) ( .O8) { .09). O()09014 ; cu x 100 = 3.00 Q( 3 5)= 28 . 2

SITUACION DE LA ESTIINIACION BIEN DEFINIDA

u = - .002336

r; () _ - .199

P (^, , ^z) _ .38a (^2, ^;) _ .33P (^, , ^;) _ .33

a = .002718

s ^ ( ) _ - .199 2 = 0.0

.183119

METODOLOGU DE IX?X,JENKINS A LA PREVISI4N DEL TRANSPORTE P'C}R 1BERIA

P^ertc^du, fr^cucncia y fuct^^r dc amc^rtikuamiento de! np^rudc^r AR (31OPERADOR: ( 1 - . lB'` + .61 Bz^)FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO: .78FRECUENCIA: .234PERIODO: S 1.384 = 4.25 AOS

HOJA DE RESUMEN NUM. 9

EST MEU : PDA (corregido con intervenciones) = PDA'N = 132 ( l/68-12/78)1T = 7 conver^e

(1 - .29B' 2 + . 21 B``' } VV , ^.ln PDA^ = ( I - .25B} (1 - .87B' `) c^(.10) (.09) (.09) (.04)

^ a =.0()081339 ; p x 100 = 2.8b Q(35) = 30.0

SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA

^ _ - .00155 2fas : r; () = - .20

c a= . 002551 = 0.0------ r , , ( ) = .197;

fap : .s; () _ - .208 ; s, , (U) _ . 189 2^.ti^' 119

Perodo, frecuencia _y factor de amc^rtiguamientr^ dc^l upcrador AR (2)

OPERADOR: (1 - .29B'^ + .21B^`')FACTOR DE AMORTIGUAM IENTO: .46FRECUENCIA: .199PE R I O DO : 60 . 442 -= 5 A O S

PREV ISION ES DEL ME U

.183

1S7

1979 Valor Real ^--im. Inf.90 ^^ ^-evisinLim. Sup.

90 ^o ^^ error

E 1.001.709 993. 14 1.07.780 1. l 66.910 7,5F** 831,839 926.826 1.012.81U 1. lOb.760 21,8M** 1.103.217 1.127.280 1.241.270 1.366.790 12,5A 1.322.247 1.223.350 1.356.590 1.504.340 2,6M 1.232.983 1.206.040 1.346.260 1.502.770 9,2J 1.263.485 1.231.170 1.382.890 1.553.310 9,4J l.489.292 1.485 . 370 l.78. 300 1.896. 300 12,7

158 ESTrRD1STICA ESPAOI..A

PREVISIUNFS I)^.L AI

1979 Valur Real Lim. lnf.9t} ^l previsinLim. Sup.

90 h^QI, errur

E 1.001.709 957. ?62 1.004. 320 1.052. 290 0, 3F* * 831.839 894. 897 949. 712 1.006.20 l 4,2M** 1.103.217 1,123.5 l0 1.204.330 1.288.730 9,2A 1.322.247 1.224.783* 1.324.449 1.429.092 0,2M 1.232.983 1.209.320 1.318.130 1.432.940 6,9J 1.2b3.485 1, 234.130 1.355 .000 1.483 .100 7, 2J 1.489.292 1.469.4G10 1.b24.270 !.789.090 9,1

Corr^egido por efecto pascua." Fuera de los intervalos de confianza dtl 90 por IUO.

1.5. CONCLUSIONES

En las pginas anteriores se ha procedido al estudio univariante y posteriormentecon AI de la serie PDA. Creemos que puede ser un interesante ejercicio en el quemostramos, tanto el pc^der del anJisis univariante sencillo, como las indudables mejorasque las intervenciones han aportado.

Comu ejemplo de ello veamos el siguiente cuadro:

E rrorestndar

h Mejorarespecto al anterior

% Mejorarespecto a serie univar.

Modelo un ivariante 4,38

Modeto con 3 intervenciones 3. 92 10,5 10,5

Mudeto finat t3,22) * { 17,9)* t2,5) *2,H 9,7 57,2

` Sin Back-Forecasting.

Utros aspectos de inters son:

u) Segn la evidencia disp^nible, parece que el efecta Pascua solamente generapasajeros cuandc^ coincide con el mes de- abril, y en un porcentaje alrededor del 5 por

* Por razones de puhlicac ic5n, no hemos pudido incluir en este artculo todo el material grfic^de fus, fup gr^cos de residuos. AI lector interesadu le remitimus a la Memoria de Licenciatura delmisma ttulo, Universidad Autnuma de Madrid, Facultad de Ciencias 1~^conmicas (1979), quecontiene toda la informac in complementaria.

METODC3LOGIA DE BOX-JENKINS A LA FREVISION DEL TRAN5PORTE POR IBER[A iS9

100 sobre lo que sera normal e n esas fec has. Una explicac in de este hecho seria la deque las expectativas de buen tiempo, dias ms largos, etc., pueden ser factores querefuercen el deseo de viajar, facilitado, en este caso, pc^r la presencia de vacaciones.

Adems, hay que tener en cuenta que aunque la Pascua sea en rnarzo, como suelecoincidir con la ltima semana del mes, los vuelos de regreso se realizarn, normal-mente, en el mes de abril, por lo que el efecto Pascua marzo se disuelve entre ambosmeses, dificultando la medicin del mismo.

Debido a este problema de medida, hemos optado por considerar significativosolamente el efecto Pascua abril, aunque teniendo presente el hecho de que Pascuamarzo puede, en determinadas circunstancias, ser tomado en consideracin.

b) Los efectos de huelgas, catstrofes, etc., son perfectamente detectables y rnedi-bles, como lo demuestra el trabajo realizado.

c) Resulta interesante comprobar el efecto de cambio de nivel que supuso paraIberia la adquisicin de los DC-8, ya que sera esp^erable que hechos como la puesta enservicio de los Jumba o el puente areo Madrid-Barcelona produjesen efectos simila-res; sin embargo, nosotros no hemos captado esos supuestos efectos, en el caso de quehayan existido.

d} El modelo final escogido nos muestra con claridad la evolucin ciclica delnmero de pasajeros transportados en unos perodos relativamente amplios (cinco aos)si los comparamos con otros ms comunes en series espaolas.

BIBLIOGRAFIA

ALMAGRO, .I.: Aplicacivnes del Enfoque Bvx-Jenkins a Series Tempvrales del Turismc^ Espaol.Comunicacin presentada a las Jornadas de Estudio sobre: Nuevos enfoques en el anlisis deSeries Temporales. Escuela de Organizacn Industrial. Madrid (1979).

ANDERSON, ^. D.: Time Series Analysis and Forecasting; The B^x Jenkins Apr^ach. Londan:Butterworths (1976).

Box, G. E. P., and Cox, D. R.: An Analysis of Transformations. J. Rc^yal Statist. Soc., B. 26 (2):

211-242 (1964). dBox, G. E. P., and JEN[c^NS, G. M.: Time Series Analysis: Fc^recasting and Contrul. Revised

Edition. San Francisca: Holdenday (I.^ edicin, 1970) (1976}. ^

Box, G. E. P., and TIAO, G. C.: Intervention Analysis with Applicatians to Economic andEnvironmental Problems. J. Amer Statist. Assoc., 70 (349)^70-79 (1975).

HAMILTC^N, D., and WATTS, D.: Interpreting Parcial Autocorrelatian Functions of Seasonal TimeSeries Models. Bic^metrika, 65, 1, 135-40 (1978).

l0 ESTADISTICA E5PAI^IOLw

HoYO, J. del, y TERCE[RO, J.: Relacin Dinmicu entre el IndirP de Prnduccir^n Industriul yDispcanibilidaries L^yuidas. Comunicacin presentada a las Jornadas de Estudio sobre: NuevosEnfoques en el Anlisis de Series Temporales. Escuela de t)rganizacin Industrial. Madrid(1 979)

P'E1^A, D.: Interaccin en la Identifieacin de Modelr^s ARIMA LJni^-ariantes. Comunicac in pnesen-tada a las Jornadas de Estudio sobre: Nuevos Enfoques en el Anlisis de Series Temporales.Escueta de Organizac in Industrial. Madrid (1979).

Swxz, R.: Modelizacin del ndice de Prvduc'cin Industrial y su Retacin con el Cr^nsumo deEnergia Elctrica. Comunica^c in presentada a las Jornadas de Estudio sobre: Nuevos Enfoquesen el Anlisis de Series Temporales. Escuela de tJrganizacin Industrial. Madrid (1979).

TREADWAY, A. B.: Sobre la Modelizacin Estadstica de la Balanza de Pagos Espaola. Informa-cin Comercial Espaula, abril, 24-26 { 1978).

TREADwwY, A. B., GARCtw-PwRDO, J., y CwRB,tvo Isl_w, A.: Efec.tr^.r sobre la Econuma Espac^la deuna Deti^aluacin de la Peseta. Fundacin Ramn Areces. Madrid (1978).

SUMMAR^

This paper aims to study the series of Iberia transported passengers,with the aid of monthly information from January I98 to December 1978and applying the first two analysis levels of the Box-Jenkins method. TheIntervention Analysis is used to achieve the univariate analysis as well asthe study and modelization of the most important anornalies. Finally, theselected models give rise to forecastings while comparing them with actualobservations.

Key words: Time-series; Box Jenkins models; forecasting.

AMS, 1970. Subjeet classification: 90A20.