Universidad Autnoma de ChiapasFacultad de IngenieraIngeniera Civil

Materia: Mtodos numricosIng. Sal Chanona Vzquez

Sergio Eduardo Livano Torres3C

Tuxtla Gutirrez, Chiapas; 08 de Marzo de 2014.

ContenidoMETODO DE BISECCION3Mtodo de falsa posicin8Mtodo de punto fijo11Mtodo de Newthon-Raphson15Mtodo de Steffensen20Mtodo de Gauss-Seidel23Mtodo de Jacobi29Mtodo de Doolitle33

METODO DE BISECCION1.- Determine el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa kg tenga una velocidad de 40 m/s despus de una cada libre de s. Nota: la aceleracin de la gravedad .

Para obtener los valores iniciales hacemos la siguiente tabla: Por lo tanto al observar nuestro cambio de signo nuestro valor c estar entre 14 y 16.

Por lo tanto para un error mayor o igual a nuestro valor del coeficiente de arrastre c ser:

2.- Suponga que est diseando un tanque esfrico para almacenar agua para todo un poblado pequeo en un pas en desarrollo. El volumen de lquido que puede contener se calcula con: Donde

Si a qu profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30? El primer paso es obtener los valores iniciales de h

Por lo tanto la profundidad a la que debe de llenarse el tanque con un error es:

3.- Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa , la profundidad critica la profundidad crtica y para dicho canal satisface la ecuacin. Donde , rea de la seccin transversal ( y B = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso se relacionan con la profundidad y por medio de: ; Resuelva la profundidad crtica con el uso de los valores iniciales ,.Sustituyendo B y Ac en la ecuacin inicial

Por lo tanto la profundidad crtica con un error ser:

Mtodo de falsa posicin1.- Un abrevadero de longitud L tiene una seccin transversal en forma de semicrculo con radio r. Vase la figura. Cuando se llena de agua a una distancia h de la parte superior, el volumen V de agua es: Suponga que ; determine la profundidad en el abrevadero. Para realizar el mtodo de falsa posicin necesitamos de dos valores:

El algoritmo de la falsa posicin es:

La distancia h con un error ser Por lo tanto la profundidad del agua es

2.- una partcula parte del reposo sobre un plano inclinado uniforme, cuyo ngulo cambia con una rapidez constante de .3Al final t segundos la posicin del objeto est dada por:

Suponga que la partcula se desplaz 1.7 pies en un segundo. Encuentre con una exactitud de la rapidez w con que cambia. Suponga que

Tomando estos valores iniciales tenemos:

Donde nuestra rapidez con que w cambia ser de:

3.- Un objeto que cae verticalmente en el aire est sujeto a una resistencia viscosa y a la fuerza de gravedad. Si se deja caer un objeto de masa mdesde una altura y que la altura del objeto despus de tsegundos est dada por:

Donde y k representa el coeficiente de resistencia del aire. Supngase que , m=0.25 lb y , calcule el tiempo que tarda un cuerpo con este peso en caer al suelo.

Primero obtenemos los valores iniciales para el tiempo:

Calculamos el tiempo para un error

Por el tanto el tiempo en que el cuerpo caer al suelo ser:

Mtodo de punto fijo1.-El balance de masa de un contaminante en un lago bien mezclado se expresa as: Dados los valores de parmetros , y . Ahora se evaluara f(c) para obtener el valor inicial:Por lo tanto nuestro valor inicial de c estar entre 4 y 5.

Evaluando a este valor mediante iteraciones de punto fijo tenemos:

Para un error el valor para la concentracin de estado estable c ser:

2.- La torsin T y el esfuerzo cortante mximo para un tubo de radio interno y radio externo se relacionan por la ecuacion

Si , halle un para el cual cuando T es de 0.90 . Tome como un valor inicial.

Entonces para un valor inicial usamos el mtodo de punto fijo

Por lo tanto para un error el radio externo ser de

3.- El valor acumulado de una cuenta de ahorros que se basa en pagos peridicos puede calcularse con la ecuacin de anualidad vencida

En esta ecuacin, A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita peridicamente e i es la tasa de inters por periodo para los n periodos de depsito. A un ingeniero le gustara tener una cuenta de ahorros con un monto de 750.000 dlares al momento de retirarse dentro de 20 aos, y puede depositar 1500 dlares mensuales para lograr dicho objetivo. Cul es la tasa mnima de inters a que puede invertirse ese dinero, suponiendo que es un inters compuesto mensual?La cantidad P ser dada en un ao por

Evaluamos para la funcin para obtener nuestro valor inicial

Ahora se lleva acabo las iteraciones con este valor y el mtodo de punto fijo:

Por lo tanto nuestro valor

Representa una tasa de inters de:

Mtodo de Newthon-Raphson1.-Se desea conocer el volumen especfico del nitrgeno a 1000 kPa y 150 K utilizando la ecuacin de estado de Van der Waals.La ecuacin es del tipo: Donde y De las tablas de termodinmica se obtienen las siguientes constantes: De aqu se calculan las constantes a y b obtenindose: Podemos reescribir nuestra ecuacin de la forma cubica: Para desarrollar el mtodo de Newton-Raphson aplicamos la formula

Para encontrar el valor inicial evaluamos a f(v) y tenemos

Es claro que el valor inicial ser:

Por lo tanto el volumen especifico a 1000 kPa y 150 K con un error ser:

2.- Al tratar de encontrar la acidez de una solucin de hidrxido de magnesio en acido clorhdrico, se obtiene la ecuacin siguiente:

Donde x es la concentracin del ion hidrogeno. Calcule la concentracin del ion de hidrogeno para una solucin saturada (cuando la acidez es igual a cero).Para desarrollar el mtodo de Newton-Raphson aplicamos la formula

Para una acidez cero tenemos: Evaluamos a para encontrar un valor inicial

Se realiza el clculo mediante la siguiente tabla:

Por lo tanto para una solucin saturada la concentracin del ion de hidrogeno ser:

Con un error de

3.- La concentracin de bacterias contaminantes c en un lago disminuye de acuerdo con la ecuacin

Determine el tiempo que se requiere para que la concentracin de bacterias se reduzca a 15 con el uso del Mtodo de Newton-Raphson con un valor inicial de .Para desarrollar el mtodo de Newton-Raphson aplicamos la formula

Realizamos el clculo iterativo mediante la siguiente tabla:

Por lo que la concentracin de bacterias se reducir a 15 en un tiempo de

Mtodo de Steffensen1.- La siguiente formula es atribuida a Francis y se aplica a un vertedor con contracciones

Donde:Q= cantidad de agua que pasa por el vertedor en B= ancho del vertedor en piesH= carga sobre la cresta del vertedor en piesSi se sabe que el ancho del canal es de 5.8 pies y el gasto Q es de determine la carga sobre la cresta. Se sugiere que el valor inicial Usamos el mtodo de Steffensen y as mediante una sucesin de valores de la siguiente manera con y un error

Como observamos la carga sobre la cresta del vertedor ser de

2.- El desplazamiento de una estructura est definido por la ecuacin siguiente para una oscilacin amortiguada:

Donde Utilice un mtodo numrico para realizar una estimacin del tiempo que se requiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5.

Usamos como valor inicial un tiempo As mediante el algoritmo de Aitken ; tenemos la tabla:

Entonces el tiempo para un desplazamiento de 3.5 ser:

3.- Encuentre una aproximacin con una exactitud de para la ecuacin de poblacin:

Donde es el ndice constante de natalidad. Suponiendo que a tasa de inmigracin se mantiene en 435000 personas por ao.

Usamos como valor inicial As mediante el algoritmo de Aitken ; tenemos la tabla:

Donde el ndice constante de natalidad ser:

Mtodo de Gauss-SeidelComponenteCobrezincvidrio

Transistores412

Resistores331

Chips de computadora213

1.- Una compaa de electrnica produce transistores, resistores y chips de computadora. Cada resistor requiere cuatro unidades de cobre, una de zinc y dos de vidrio. Cada resistor requiere tres, tres y una unidades de dichos materiales respectivamente y cada chip de computadora requiere dos, una y tres respectivamente.

Los suministros de estos materiales varan de una semana a la otra, de modo que la compaa necesita determinar una corrida de produccin diferente cada semana. Por ejemplo las cantidades disponibles de materiales son 960 unidades de cobre, 510 unidades de zinc y 610 unidades de vidrio.Cul es el nmero de transistores, resistores y chips de computadora por manufacturar esta semana?Primero definimos nuestras ecuaciones

Despejamos a las variables

As entonces tabulando con la ayuda de Excel tenemos con un error de

...

Es de decir que

Ntese que bajo este mtodo se necesit de 127 iteraciones.

2.- Emplee el mtodo de Gauss- Seidel para resolver el sistema siguiente. Si es necesario reacomode las ecuaciones para lograr convergencia.

Reacomodando para lograr convergencia tenemos:

DESPEJANDO TENEMOS:

Tabulando estos datos tenemos:

Por lo tanto con un error de :

3.- El sistema de ecuaciones siguiente est diseado para determinar concentraciones (las c estn en ) en una serie de reactores acoplados, como funcin de la cantidad de masa que entra a cada uno de ellos (los lados derechos estn en g/da), resuelva para un error .

Despejamos para cada una de las variables:

Tabulamos con los datos anteriores y tenemos:

Por lo tanto nuestros valores son:

Mtodo de Jacobi1.- Supongase que tiene una estructura cuadrada. Con el fin de analizarla se forma una malla imaginaria sobre dicha estructura, como se muestra en la figura siguente:

En la aplicacin del mtodo de rigideces, para calcular los desplazamientos en los nodos de una estructura dada al aplicarse una carga en uno de los nodos, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Donde la matriz coeficiente es conocida como la matriz de nodos, y son los vectores de desplazamiento de los nodos B y C, respectivamente. Resuelva dicho sistema.Con esta matriz obtenemos nuestras ecuaciones caractersticas:

Con estas ecuaciones tabulamos y llevamos acab las iteraciones con el mtodo de Jacobi y la ayuda de Excel

...

Y estas son las soluciones de nuestro sistema; Observe que se llega hasta el resultado con un hasta la iteracin nmero 180.

2.- Resuelva para el siguiente sistema con un error Despejamos a cada una de las variables:

Tabulamos con estas ecuaciones y el mtodo de Jacobi: Los resultados son:

3.-Resuelva mediante el mtodo de Jacobi el siguiente sistema con un error de

Con estas ecuaciones tabulamos con el mtodo de jacobi: Por lo tanto nuestra solucin es:

Mtodo de Doolitle1.-En un experimento sobre una dieta a seguir se desea alimentar a una persona con una dieta diaria formada por una combinacin de tres alimentos dietticos comerciales: MiniCal, Silueta y Bajo Peso. Para este experimento es importante que la persona consuma exactamente 500 mg de potasio, 75 g de protena y 1150 unidades de vitamina D cada da. En la siguiente tabla se ven las cantidades de esos nutrientes en una onza de cada producto.

Cuntas onzas de cada producto debe ingerir una persona al da para cumplir estrictamente las indicaciones del nutricionista?Aplicando la factorizacin LUCon nuestras formulas:

Tenemos nuestra Matriz

Entonces por descomposicin tenemos nuestras matrices A = L UHacemos

Y con esto hacemos

Por lo tanto se necesitan: 5 onzas de Minical 2 onzas de Silueta 10 onzas de Bajo peso

2.- La compaa LAWNCO produce 3 grados de fertilizantes comerciales que contienen nitrgeno, fosfato y potasio en cantidades diferentes (libras). Los nutrientes en un saco de 100lbs de cada grado se muestra.GRADO/NUTRIENTESNITROGENO FOSFATOPOTASIO

A1845

B2044

C2436

Cuntos sacos de 100 lb de cada grado se deben producir si se dispone: 26400 lb de nitrgeno, 4900 lb de fosfato y 6200 lb de potasio y se utilizan todos los ingredientes?Aplicando la factorizacin LUCon nuestras formulas:

Tenemos nuestra Matriz

Entonces por descomposicin tenemos a la matriz A = L U

Hacemos

Y con esto hacemos

Por sustitucin hacia atrs tenemos:Se deben producir: 400 sacos de fertilizante A 600 sacos de fertilizante B 300 sacos de fertilizante c

3.- Un turista visita un supermercado en Madrid y paga un total de 156 euros por 24 litros de leche, 6 kg de jamn a la plancha y 12 litros de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artculo, sabiendo que un litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que 1 kg de jamn cuesta igual que 4 litros de aceite ms 4 litros de leche. X: precio por litro de leche Y: precio por kg de jamn Z: precio por litro de aceite

Aplicando la factorizacin LUCon nuestras formulas:

Tenemos nuestra Matriz

Aplicando la factorizacin en L U tenemos:

Hacemos

Y con esto hacemos

Por lo tanto los precios son: Leche 1 euro el litro Jamn 16 euros el kg Aceite 3 euros el litro1