UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZMAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS

MÉTODOS CUANTITATIVOS ICATEDRÁTICO: ING. FRANCISCO FERNÁNDEZ MARTÍNEZ (MAI, MF)

UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALAFACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓNDIRECCIÓN DE POSTGRADOS

MÉTODOS CUANTITATIVOS IOBJETIVO GENERAL: Desarrollar en el estudiante la habilidad para analizar problemas y la capacidad para la creación de modelos matemáticos que le permitan optimizar los recursos de su empresa, haciéndolo un elemento eficiente en el desempeño de sus funciones.OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Adquirir habilidad en el cálculo de probabilidades para la toma de decisiones.

2. Desarrollar la competencia del uso de las distribuciones de probabilidad en la solución de problemas específicos.

3. Aplicar los procesos de Markov en las diferentes áreas operativas de la empresa.

4. Diagnosticar, evaluar y aplicar criterios en la toma de decisiones en diferentes escenarios empresariales.

CONTENIDOSEMANA 1UNIDAD I TEORÍA DE PROBABILIDADES

1. Concepto de espacio muestral, evento y probabilidad de un evento.2. Eventos mutuamente excluyentes. Regla de adición.3. Eventos independientes. Regla de multiplicación.4. Eventos dependientes. Regla de probabilidad condicional.

SEMANA 25. Probabilidades conjuntas y marginales. 6. Diagrama de árbol para calcular probabilidades. 7. Teorema de Bayes.

SEMANA 3UNIDAD II DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1. Distribución Normal. Parámetros. Fórmula de estandarización. Cálculo de probabilidades normales.

SEMANA 42. Distribución Binomial. Proceso de Bernoulli. Calcular probabilidades

binomiales. 3. Distribución de Poisson. Calcular probabilidades Poisson.

SEMANA 5UNIDAD III PROCESOS DE MARKOV

1. Matriz de transición2. Vector de estado inicial Vo. Vector de estado Vn. Vector de estado estable Q.

SEMANA 63. Probabilidades de transición de un estado a otro.

SEMANA 74. Estados absorbentes. Matriz fundamental.

SEMANA 8UNIDAD IV TEORIA DE DECISIÓN

1. Acciones, estados de naturaleza, pagos. 2. Criterios de decisión: Maximin, maximax, minimax y de Bayes. 3. Tabla de pagos.

SEMANA 94. Diagrama de árbol en problemas de decisión.

SEMANA 10 EXAMEN FINAL

III METODOLOGÍALa metodología en cada sesión de clase de aplicará de acuerdo con las siguientes modalidades:

Lecciones magistrales. Lecciones magistrales participativas. Prácticas de laboratorio. Resolución de problemas. Trabajo por proyectos.

IV EVALUACIÓN Tareas 20 pts. 4 tareas, una de cada tema. Pruebas cortas 40 pts. 4 pruebas, una de cada tema, en semanas 3, 5, 8 y 9. Proyectos 20 pts. 2 proyectos, uno sobre teoría de probabilidades y

distribuciones de probabilidad y otro sobre procesos de Markov y teoría de decisión.

Evaluación final 20 pts.

V CRONOGRAMADIA TEMA METODOLOGÍA OBJETIVOS

1

I TEORÍA DE PROBABILIDADES

1. Concepto de espacio muestral, evento y probabilidad de un evento.

Clase magistral, clase magistral participativa, solución de problemas.

Determinar el espacio muestral de varios experimentos.Determinar diferentes eventos de un espacio muestral.

2. Eventos mutuamente excluyentes. Regla de adición.

3. Eventos independientes. Regla de multiplicación.

4. Eventos dependientes. Regla de probabilidad condicional.

Calcular la probabilidad de ocurrencia de eventos.Aplicar regla de adición y de multiplicación en la solución de problemas.

2

5. Probabilidades conjuntas y marginales.

6. Diagrama de árbol para calcular probabilidades.

7. Teorema de Bayes.

Clase magistral, clase magistral participativa, solución de problemas, práctica de laboratorio.

Calcular probabilidades conjuntas y marginales.Aplicar diagrama de árbol para calcular probabilidades.Aplicar teorema de Bayes en la solución de problemas.

3

II DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1. Distribución Normal. Parámetros. Fórmula de estandarización. Cálculo de probabilidades normales.

Evaluación por medio de prueba corta, clase magistral, clase magistral participativa, solución de problemas.

Resolver problemas de aplicación de probabilidades normales.

4

2. Distribución Binomial. Proseso de Bernoulli. Calcular probabilidades binomiales.

3. Distribución de Poisson. Calcular probabilidades Poisson.

Clase magistral, clase magistral participativa, solución de problemas, práctica de laboratorio, trabajo por proyectos.

Resolver problemas de aplicación de probabilidades binomiales y de Poisson.

5

III PROCESOS DE MARKOV

1. Matriz de transición2. Vector de estado

inicial Vo. Vector de estado Vn. Vector de estado estable Q.

Evaluación por medio de prueba corta, clase magistral, solución de problemas.

Calcular probabilidades de un estado a otro.Calcular el procentaje de fidelidad.Determinar el posicionamiento en el mercado en el largo plazo.

6

3. Probabilidades de transición de un estado a otro.

Clase magistral, clase magistral participativa,

Resolver problema de migraciones.

solución de problemas.

7

4. Estados absorbentes. Matriz fundamental.

Clase magistral, clase magistral participativa, solución de problemas, práctica de laboratorio.

Estimar cuánto puede ser pagado y cuánto no pagado del total de cuentas por cobrar de una empresa.

8

IV TEORIA DE DECISIÓN 1. Acciones, estados de

naturaleza, pagos. 2. Criterios de decisión:

Maximin, maximax, minimax y de Bayes.

3. Tabla de pagos.

Evaluación por medio de prueba corta, clase magistral, solución de problemas.

Aplicar criterios maximin, maximax, minimax y de Bayes en problemas de decisión.Elaborar tabla de pagos y tomar la mejor decisión.

9

4. Diagrama de árbol en problemas de decisión.

Evaluación por medio de prueba corta, clase magistral, clase magistral participativa, solución de problemas, práctica de laboratorio, elaboración de proyectos.

Usar diagrama de árbol en la solución de problemas de decisión.

10 EXAMEN FINALEvaluación del curso por medio de prueba final.

Comprobar el logro de los objetivos del curso.

BIBLIOGRAFÍAMétodos Cuantitativos para los Negocios. Anderson/Sweeney/WilliamsEditorial: Thomson. Novena Edición, 2004.

CATEDRÁTICO: J. FRANCISCO FERNÁNDEZ MARTÍNEZ

MÉTODOS CUANTITATIVOS I. PLAN DE CLASES. SEMANA No. 1 OBJETIVO METODOLOGÍA MATERIAL TIEMPO OBSERVA-

CIONES1. Determinar el

espacio muestral de varios experimentos

2. Determinar diferentes eventos de un espacio muestral.

3. Calcular probabilidad de eventos.

4. Aplicar regla de adición y de multiplicación

1. Explicar contenidos del programa de curso.

2. Formar grupos de 4 para determinar los conceptos de espacio muestral, evento y probabilidad de un evento.

3. Clase magistral para aclarar conceptos.

4. Hacer grupos de 4 para resolver problemas.

5. Clase magistral para explicar cómo se resuelven problemas.

1. Plataforma de Moodle con programa y contenido del curso.

2. Laptop de los estudiantes.

3. Pizarra electrónica.

Programa: 10 minutos.

Conceptos básicos en grupo: 40 minutos.

Clase magistral para aclarar conceptos : 30 minutos.

Receso: 20 minutos.

Laboratorio para resolver problemas: 40 minutos.

Clase magistral para resolver problemas: 40 minutos.

Se darán a conocer los contenidos del curso y cómo serán evaluados.

Con las clases magistrales se aclararán dudas de conceptos y de cómo resolver problemas con significado para el estudiante.

Se resolverán las dudas consultadas en los distintos grupos.

Espacio Muestral, S. Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. La cantidad de elementos del espacio muestral S, se denota n(S).

Evento, E. Un evento E, es cualquier subconjunto del espacio muestral S. La cantidad de elementos de un evento E, se denota n(E). Para determinar un evento se indica la propiedad o condiciòn que deben satisfacer los elementos del espacio muestral para pertenecer a ese evento.

Probabilidad de ocurrencia de un evento ELa probabilidad de ocurrencia de un evento E se denota P(E)

Para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento E, se aplica

P(E) = n(E) / n(S)

La probabilidad de ocurrencia P(E), de un evento E, es un número entre 0 y 1 inclusives, es decir, 0 ≤ P(E) ≤ 1P(E) = 1 cuando es seguro de que el evento E ocurre.P(E) = 0 cuando es seguro de que el evento E no ocurre.

Ejemplo: Sea el experimento “lanzar un dado”. Determine el espacio muestral S, los siguientes eventos y la probabilidad de ocurrencia de cada evento.

a) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n(S) = 6

b) El evento E: “El resultado es un número par” E = { 2, 4, 6 } n(E) = 3 P(E) = 3 / 6 = 0.50

c) El evento E1: “El resultado es menor que 5”. La expresión “menor que 5”, no incluye al 5.

E1 = { 1, 2, 3, 4 } n(E1) = 4 P(E1) = 4 / 6 = 0.6667

Nota: Los valores de probabilidad se dan con 4 decimales generalmente

d) El evento E2 : “El resultado es múltiplo de 3” E2 = { 3, 6 } n(E2) = 2 P(E2) = 2 / 6 = 0.3333

Ejemplo: Sea el experimento “lanzar dos dados”. Determine el espacio muestral S, los siguientes eventos y la probabilidad de ocurrencia de cada evento.S = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1, 6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2)

(3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }

n(S) = 36b) El evento A : “La suma de los resultados es 7” A = { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) }

n(A) = 6 P(A) = 6 / 36 = 0.1667

c) El evento B : “El producto de los resultados es divisible por 4” B = { (1,4) (2,2) (2,4) (2,6) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,4)

(6,2) (6,4) (6,6) } n(B) = 15 P(B) = 15 / 36 = 0.4167

d) El evento C: “El resultado de restar el segundo elemento del par al primero, es un número positivo impar”

C = { (2,1) (3,2) (4,1) (4,3) (5,2) (5,4) (6,1) (6,3) (6,5)} n(C) = 9 P(C) = 9 / 36 = 0.25

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESDos eventos A y B son mutuamente excluyentes entre sí, cuando al ocurrir uno de ellos se anula la posibilidad de ocurrencia del otro.

Ejemplos: Son eventos mutuamente excluyentes entre sí los siguientes: ganar–perder, verdadero - falso, aceptar–rechazar, bueno – malo, etc.

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes entre sí, la intersección entre ellos es el conjunto vacío. Es decir, que si los eventos A y B son mutuamente excluyentes entre sí, entonces A ∩ B = θ

Regla de adición para eventos mutuamente excluyentes Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces:

P(A o B) = P(AUB) = P(A) + P(B)

Regla de adición para eventos no excluyentesSi los eventos A y B no son excluyentes entre sí, existe intersección entre ellos. Entonces:

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Probabilidad del complemento del evento ASi A es un evento, el complemento de A se denota por A’ o Ac

A’ o Ac es el evento cuyos elementos pertenecen al espacio muestral S pero no pertenecen al evento A.

P(Ac) = 1 – P(A)

EjemploEn una empresa, 65 personas han solicitado trabajo, de las cuales 40 tienen experiencia (E), 30 tienen título universitario (T) y 10 tienen experiencia y título. Si se selecciona aleatoriamente una solicitud, calcular la probabilidad de que la persona: a) Tenga experiencia o título. b) Tenga experiencia o título pero no ambos. c) No tenga experiencia ni título. d) Tenga sólo experiencia. e) Tenga sólo título.

P(E) = 40/65 = 10/65P(T) = 30/65 =

P(E∩T)=

EVENTOS INDEPENDIENTESDos eventos A y B son independientes si la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

Regla de multiplicación para eventos independientesSi los eventos A y B son independientes, entonces P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A)P(B) Regla de multiplicación para eventos dependientes.Si los eventos A y B son dependientes, se aplica el concepto de probabilidad condicional que se denota P(A|B) que se lee: “probabilidad de que ocurra A dado que ya ocurrió B”. La línea vertical se lee “dado que”.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A)

EjemploSe tienen dos eventos A y B, estadísticamente dependientes. Si P(A) = 0.39, P(B) = 0.21 y P(A o B) = 0.47, calcule la probabilidad de que:

a) No ocurra ni A ni B.b) Ocurra B dado que A ya ha ocurrido.c) Ocurra A dado que B ya ha ocurrido.

Solución: Existe intersección porque P(A o B) = P(A) + P(B) = 0.39 + 0.21 = 0.60 que no es el valor de 0.47 que se da en e l problema. Por lo que:P(A o B) = P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

0.47 = 0.39 + 0.21 – P(A ∩ B)

Si los eventos A y B son independientesP(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)

De donde P(A ∩ B) = 0.60 – 0.47 = 0.13 a) P(Ni A, ni B) = 1 – P(A o B) = 1 – 0.47 = 0.53

b) P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A) = 0.13 / 0.39 = 0.3333

c) P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.13 / 0.21 = 0.6190

EjemploDado que P(A) = 3/4, P(B) = 1/6, P(C) = 1/3, P(A y C) = 1/7, y P(B|C) = 5 /21 calcule: a) P(A|C), b) P(C|A), c) P(B y C), d) P(C|B)

a) P(A|C) = P(A ∩ C) / P(C) = (1/7) / (1/3) = 3/7 = 0.4286b) P(C|A) = (1/7) / (3/4) = 4/21 = 0.1905c) P(B y C) = P(B ∩ C) = P(B|C)P(C) = (5/21)(1/3) = 5/63 = 0.0794

PROBABILIDADES CONJUNTAS Y MARGINALESProbabilidades marginales son las probabilidades de ocurrencia de un solo evento.Probabilidades conjuntas son las probabilidades de dos o más eventos que ocurren simultáneamente.

Ejemplo. Los diputados de tres partidos A, B y C han votado a favor, en contra o indiferente con relación a un proyecto de desarrollo social como se indica a continuación. Calcule la probabilidad de que un diputado aleatoriamente seleccionado:

a) Esté a favor dado que es del partido A.b) Sea del partido B dado que está en contra.c) Esté en contra dado que es del partido C.d) Sea del partido A dado que está a favor.

Tabla de datos observadosPartido A favor En contra Indiferent

eTotal

A 18 10 7 35B 15 8 3 26C 12 5 4 21Total 45 23 14 82

Tabla de probabilidadesPartido A favor En contra Indiferente TotalA 18/82= 10/82= 7/82= 35/82=B 15/82= 8/82= 3/82= 26/82=C 12/82= 5/82= 4/82= 21/82=Total 45/82= 23/82= 14/82= 82/82=

TEOREMA DE BAYESSe aplica cuando conociendo la probabilidad de lo último que ocurrió, se quiere conocer la probabilidad de un evento que ocurrió al inicio.

Ejemplo. Un fabricante de cámaras de video utiliza un microchip en el ensamble de cada cámara que produce. Los microchips son comprados a los proveedores A, B y C y son tomados al azar para ser ensamblados en cada cámara. El 20% de los microchips provienen del proveedor A, el 35% proviene de B y el resto proviene de C. Con base en la experiencia, el fabricante cree que la probabilidad de que un microchip defectuoso provenga de A es de 0.03, la probabilidad de que provenga de B es 0.02 y de que provenga de C es 0.01. De la producción de un día, una cámara es seleccionada al azar y su microchip está defectuoso. Calcule la probabilidad de que el microchip defectuoso haya sido suministrado por: a) El proveedor A. b) El proveedor B. c) Por el proveedor C. d) ¿De qué proveedor es más probable que provenga el microchip defectuoso?

En una empresa, la producción se realiza con tres màquinas 1, 2, 3. La

màquina 1 produce 90% de unidades buenas, la màquina 2 produce 5% de

unidades defectuosas y la màquina 3 produce 80% de unidades buenas. De

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad es el listado de las probabilidades de los resultados que podrían obtenerse si se realizara un experimento.Las distribuciones de probabilidad pueden ser discretas o continuas.Las distribuciones discretas a estudiar son la distribución binomial y la distribución de Poisson.Distribuciones continuas son la distribución Normal, la distribución “ t ” de student, la distribución F, la exponencial, etc.

DISTRIBUCIÓN NORMALCaracterísticas:

1. Su gráfica tiene forma de campana.2. La media, la moda y la mediana son iguales.3. Es simétrica con relación a la media.4. Sus extremos son asíntotas con el eje X.5. La probabilidad bajo la curva de la distribución normal es igual a 1.6. Sus parámetros son la media (mu o miu ) y la desviación estándar

(sigma).7. Es mesocúrtica.8. Se tienen más - menos cuatro Z respecto a la media.9. Es continua.

En una distribución Normal para transformar datos reales en valores Z, se aplica la fórmula de estandarización

Ejemplo

En una clase de estadística, la media de las calificaciones es de 72 con una desviación estándar de 12. Si se selecciona aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad de que la calificación sea:

a) Mayor o igual que 90.b) Menor que 85.c) Mayor que 60.d) Menor que 55.e) Sea mayor que 50 y menor o igual que 95f) Esté entre 80 y 95g) Sea mayor o igual que 45 y menor que 60.

Si X (el valor real) es mayor que la media, el valor de Z es positivo.Si X es menor que la media, el valor de Z es negativo.

Observación. 1. Las probabilidades son siempre positivas.2. El valor de Z se da siempre con dos decimales por lo que se debe

redondear correctamente este valor.3. Las probabilidades se dan siempre con 4 decimales.4. Los valores de probabilidad que da la tabla corresponden a intervalos

entre la media y el valor real X.

LABORATORIOEn una empresa, el salario semanal promedio de los trabajadores es de Q680 con una desviación estándar de Q75. Si se selecciona aleatoriamente un trabajador, calcular la probabilidad de que su salario sea:

a) Menor o igual que Q600b) Menor o igual que Q650 y mayor o igual que Q575c) Mayor que Q750d) Menor que Q800e) Mayor o igual que Q500f) Esté entre Q850 y Q720g) Mayor que Q480 y menor o igual que Q740

DISTRIBUCIÓN BINOMIALEs una distribución discreta que se aplica cuando un evento tiene sólo dos posibles resultados. Ejemplos: bueno-malo, verdadero-falso, éxito-fracaso, cara-escudo, ganar-perder, etc.Los parámetros de una distribución binomial son la probabilidad de éxito “p” y el tamaño de la muestra “n”.

Para calcular probabilidades binomiales, se aplica la fórmula siguiente e:

P(x│n, p) = nCx pxqn – x

Donde x = Número deseado de éxitos. n = Tamaño de la muestra.

p = Probabilidad de éxito. q = 1 – p = probabilidad de no éxito.

Ejemplo: Un vendedor debe visitar 10 clientes en un día. La probabilidad de que un cliente compre es de 0.40. Calcule la probabilidad de que:

a) A lo más siete clientes compren.b) Al menos cinco clientes compren.c) Entre tres y ocho clientes compren.d) Si debe visitar 45 clientes en un mes, cuál es la probabilidad de que

a lo más 22 compren.e) Al menos 25 clientes compren.f) Al menos 13 clientes compren.g) A lo más 10 clientes compren.h) Entre 12 y 24 clientes compren.

DISTRIBUCIÓN DE POISSONEs una distribución discreta que se utiliza en problemas de colas. Su parámetro es λ (lambda).λ = Promedio de ocurrencias en la unidad de tiempo.

Para calcular probabilidades Poisson se aplica

P( x│λ ) = λX e- λ / x!

Ejemplo. A un celular entran en promedio 15 llamadas en una hora. Calcular la probabilidad de que se reciban:

a) 10 llamadas en una hora.b) Al menos 6 llamadas en una hora.c) A lo más 8 llamadas en una hora.d) 5 llamadas en media hora.e) A lo más 5 llamadas en media hora.f) Al menos 8 llamadas en media hora.g) 3 llamadas en 15 minutos.