MÉTODOS DE INTEGRACIÓNA. Integrales inmediatas. B. Integrales racionales. C. Integración por sustitución. D. Integración por partes. E. Integración por reducción.

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A. Integrales inmediatas:

Es conveniente memorizar la siguiente tabla obtenida de considerar la integral como inversa de la derivada:

TIPO GENERAL CASOS PARTICULARES

Potencial

Exponencial

Logarítmico

Trigonométricas inversas

Trigonométricas

A.1.Integrales reducibles a inmediatas de tipo potencial:

Siempre que en el integrando aparezca una función elevada a una constante, si lo que la multiplica es al menos en su parte variable la derivada de la función, se podrá ajustar con constantes y será una integral inmediata de tipo potencial.

Ejemplo:

A.2. Integrales reducibles a inmediatas de tipo exponencial.

Siempre que en el integrando aparezca una función, si lo que la multiplica es al menos en su parte variable la derivada de la función, se podrá ajustar con constantes, y será una inmediata de tipo exponencial.

Ejemplo:

A.3. Integrales reducible a inmediatas de tipo logarítmico.

Si en el integrando aparece un cociente, si el numerador es al menos en su parte variable la derivada del denominador, se podrá ajustar con constantes, y será una integral inmediata de tipo logarítmico.

Ejemplo:

A.4. Integrales reducibles a inmediatas de tipo trigonométricas inversas.

Si en el integrando aparece una expresión de alguno de los tipos:

 

O incluso sin raíz en el denominador.

podemos aplicar el método de los 4 pasos que consiste en:

Paso 1:: Se multiplican numerador y denominador por la raíz cuadrada de cuatro veces el valor absoluto del coeficiente numérico del término en x2.

Paso 2: :Se expresa el término interior a la raíz obtenido anteriormente en la forma , identificando coeficientes con esta expresión.

Paso 3:: Se divide numerador y denominador por la raíz cuadrada de p.

Paso 4:: Se ajusta por constantes el resultado obtenido a alguna de las integrales inmediatas de tipo inversa de las trigonométricas.

Ejemplo:

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B. Integrales racionales:

B.1.El grado del numerador P(x) es mayor que el grado del denominador Q(x)

Realizamos la división de P(x) por Q(x) y llamando C(x) al cociente y R(x) al resto se ha de cumplir que:

P(x)=Q(x)C(x)+R(x)

Si R(x)=0 la división es exacta y si es distinto de cero el grado de R(x) será menor que el grado de Q(x). Dividiendo la igualdad anterior por Q(x), tenemos:

La integral se descompone en dos:

Si la división es exacta, la integral ha quedado reducida a una inmediata de tipo potencial, si no lo es actuaremos como se explicará en el caso B.3.

B.2. El grado de P(x) es igual al grado de Q(x):

Entonces el cociente es una constante y la integral queda reducida a:

La 1* inmediata y la segunda la estudiaremos en el caso B.2.

B.3. El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x):

Seguimos el siguiente proceso:

Obtenemos las raíces del polinomio denominador Q(x).y éstas pueden ser:

B.3.1. Raíces reales simples.

B.3.2. Raíces reales múltiples.

B.3.3. Raíces complejas simples.

B.3.4. Raíces complejas múltiples.

B.3.1. Raíces reales simples:

a) Podemos poner la integral racional así:

b) Descomponemos P(x)/Q(x) en fracciones simples de la forma:

c) Obtenemos los coeficientes Ai expresando ambos miembros de la igualdad anterior en común denominador que será Q(x) y utilizando el método de identificación de coeficientes o dando valores a arbitrarios a x y resolviendo el sistema de ecuaciones que resulte.

d) Integramos el segundo miembro en el que todas las integrales que aparecen son inmediatas de tipo logaritmo neperiano.

Ejemplo:

Hacemos:

Quedando la integral:

B.3.2. Raíces reales múltiples:

Si Q(x) es de grado n y sus raíces son r1, r2,...rm con órdenes de multiplicidad s1, s2,...sp (verificándose que s1+s2+...+sp=n). Se tiene que el radicando se puede descomponer así:

Es decir, de cada raíz múltiple con orden de multiplicidad s, obtenemos s+1 fracciones simples. Por identificación de coeficientes obtenemos las constantes y de ahí la integral queda recducida a inmediata:

Ejemplo:

El radicando se descompone así:

Quedando la integral:

B.3.3. Raíces complejas simples:

Supongamos el caso particular, para fijar ideas, de que el polinomio Q(X) fuese de 5: grado y sus raíces fuesen x=r1 (raíz real simple), x=r2 (raíz real de orden de multiplicidad 2) y x=a+bi, x=a-bi (raíces complejas simples conjugadas). Q(x) quedaría descompuesto así:

Los dos últimos términos pueden expresarse así:

Y la descomposición de Q(x) quedaría así:

Si sacamos 1/a0 fuera de la integral, el coeficiente principal de Q(x) es uno.

En la descomposición de en fracciones simples las fracciones correspondientes a la raíz real simple y a la múltiple ya las hemos tratado en puntos anteriores. En cuanto a las raíces complejas simples obtendríamos, en el numerador un polinomio completo de primer grado Mx+N y en denominador la expresión (x-a)2+b2. Resolvamos una integral de este tipo:

Calculemos ahora I1 e I2

Y para la integral I tenemos:

Y para esta última integral nos queda:

Con lo cual finalmente queda:

Con lo que el problema está ya resuelto:

Ejemplo:

Las raíces del denominador son:

Quedando el radicando:

Con lo que:

B.3.4. Raíces complejas múltiples:

Aplicaremos el método de Hermite, descomponemos P(x)/Q(x) de la siguiente manera:

Las raíces reales simples se descomponen como en el apartado B.3.1.

Las raíces reales múltiples se descomponen como si fueran simples (sin tener en cuenta su orden de multiplicidad)

Las raíces complejas simples se descomponen como en el caso B.3.3.

Las raíces complejas múltiples se descomponen como si fueran simples (sin tener en cuenta su orden de multiplicidad).

Se añade un término característico llamado de Hermite que se forma como:

1. La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raíces reales múltiples y las raíces complejas múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.

2. Se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio del denominador

Se deriva este último término con relación a x

Se expresan ambos términos con el común denominador Q(x).

Se calculan los coeficientes indeterminados.

Se integra la expresión resultante.

Ejemplo:

El denominador tiene una raíz real simple x=1 y dos raíces complejas dobles

El denominador pues, puede ser descompuesto así:

La descomposición de Hermite es:

 

Identificando coeficientes tenemos:

De donde

De donde resulta el sistema:

Que resuelto da:

Y la integral pedida queda:

 

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C. Integrales por sustitución:

Se trata de encontrar una función x=g(t), la cual sustituida por x bajo el signo integral, convierta la integral dada en otra más sencilla (en la nueva variable t). La sustitución debe cumplir:

1. Ser derivable con derivada no nula, es decir:

2. Admitir función inversa:

Entonces se tiene que:

 

Los tipos más usuales de sustitución y que conducen a los mejores resultados son:

C.1. En funciones exponenciales, logarítmicas e inversas de trigonométricas:

Tipo de integral Sustitución Cálculo de elementos

C.2. En funciones trigonométricas:

Para integrales del tipo

Sustitución Cálculo de los elementos

Si R(sen x, cos x) es impar en sen x

Hacemos cos x=t

Si R(sen x, cos x) es impar en cos x

Hacemos sen x=t

Si R(sen x, cos x) es par en sen x y cos x hacemos tg x=t

Si R(sen x, cos x) no cumple ninguna de las características anteriores

hacemos

C.3. En funciones irracionales:

Tipo de integral Sustitución Cálculo de los elementos

con a>0

con c>0

con r y s raíces del radicando

(binomia)

si p es entero

siendo s el denominador de la fracción p y si (m+1)/n es entero

siendo s el denominador de p y si (m+1)/n+p es entero

 

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D. Integración por partes.

Si u y v son dos funciones cualesquiera, se puede demostrar la siguiente fórmula de integración llamada por partes

Con esta fórmula transformamos una integral en otra que, si es de más fácil cálculo, nos permitirá resolver la integral inicial.

Como norma general elegiremos como u la parte del integrando fácil de derivar y como dv la parte fácil de integrar.

Ejemplo:

Hacemos:

Pudiéndose reiterar el método cuantas veces sea necesario hasta obtener una integral inmediata o fácilmente integrable.

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E. Integración por reducción.

La integración por reducción se aplica a integrales con funciones de exponentes enteres pero muy grandes, buscando obtener una parte integrada y una sin integrar, en la que aparecerá la misma integral inicial pero con los exponentes disminuidos, de esta forma, aplicando la fórmula se puede ir rebajando el exponente hasta llegar a integrales de resolución directa.

En cada caso se puede obtener la fórmula de reducción directamente y posteriormente aplicarla al problema concreto. Muchas fórmulas de reducción están tabuladas (veremos algunas de uso frecuente en la tabla inferior.

El procedimiento es básicamente similar en cada caso; primero una integración por partes, que nos conducirá a una parte ya integrada y una integral en la que se debe, o conseguir directamente la misma integral inicial reducida de exponente, o descomponerla en suma de integrales una de las cuales sea la misma integral inicial reducida y la otra la integral inicial.

Las fórmulas de reducción más usuales, obtenidas aplicando procedimientos descritos en el párrafo anterior se ven en la tabla siguiente:

Integral Fórmula de reducción