METODO DE ELIMINACION SISTEMA DE ECUACIONES: Mtodo de GaussEl mtodo de eliminacin de Gauss o simplemente mtodo de Gauss consiste en convertir un sistema lineal denecuaciones connincgnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuacin tienenincgnitas, la segunda ecuacin tienen- 1 incgnitas, hasta la ltima ecuacin, que tiene 1 incgnita. De esta forma, ser fcil partir de la ltima ecuacin e ir subiendo para calcular el valor de las dems incgnitas.

Ejemplo deeliminacin de Gauss

Se renen 30 personas entre hombres, mujeres y nios. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los nios. Tambin se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al nmero de nios. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

Se renen 30 personas entre hombres, mujeres y nios:

Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los nios:

Tambin se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al nmero de nios:

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuacin a las dos siguientes:

En este caso en la tercera ecuacin se ha eliminado lay, por lo que no es necesario hacer ms operaciones. Por lo tanto obtenemos quez= 10 de la tercera ecuacin:

Sustituyendozen la segunda ecuacin obtenemos quey= 10:

Sustituyendozyen la primera ecuacin obtenemosx= 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

Eliminacin de Gauss-JordanUna variante de este mtodo, denominadaeliminacin de Gauss-Jordan, es un mtodo aplicable nicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular lamatriz aumentadadel sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incgnita, cuyo valor ser igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reduccin, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algortmico.

Ejemplo deeliminacin de Gauss-Jordan

Supngase que es necesario encontrar los nmerosx,y,z, que satisfacen simultneamente al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Inicialmente, se escriben los coeficientes del sistema como unamatriz aumentada. Lo que en notacin matricial se denota por:

Posteriormente, se reduce la incgnita, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda as:

El siguiente paso consiste en eliminar la incgnitaen la primera y tercera fila, para lo cual se suma la segunda multiplicada pory por, respectivamente.

Por ltimo, se elimina, tanto de la primera como de la segunda fila, sumndoles la tercera multiplicada pory por, respectivamente:

Llegados a este punto se puede resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si se prefiere, se puede multiplicar las tres filas de la matriz por:,yrespectivamente, y obtener as automticamente los valores de las incgnitas en la ltima columna.

ESPACIO VECTORIALEnlgebra abstracta, unespacio vectoriales unaestructura algebraicacreada a partir de unconjunto no vaco, unaoperacin interna(llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y unaoperacin externa(llamadaproducto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura decuerpo), con 8 propiedades fundamentales.A los elementos de un espacio vectorial se les llamavectoresy a los elementos del cuerpo,escalares.

VECTORES EN EL PLANO1Vector de posicin de un punto en el plano de coordenadas

El vectorque une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posicin del punto P.2Coordenadas o componentes de un vector en el plano

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vectorson las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

SUBESPACIOS VECTORIALESAlgunos subconjuntos de un espacio vectorial V son a su vez espacios vectoriales con las operaciones definidas en V.Es el subconjunto de un espacio vectorial que debe cumplir con ciertas caractersticas especficas.

INDEPENDENCIA LINEALVarios vectores libres sonlinealmente independientessi ninguno de ellos puede ser escrito con unacombinacin linealde los restantes.

a1= a2= = an= 0Losvectores linealmente independientestienendistinta direcciny suscomponentesno sonproporcionales.EjemploDeterminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.= (3, 1) y= (2, 3)

Linealmente independientesBASESe dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones: Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V. Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente. Todo elemento de V se puede escribir como combinacin lineal de los elementos de la base B (es decir , B es un sistema generadorde V).

COORDENADAS E ISOMORFISMO

El trminoisomorfismoquiere decirigual forma, con ello se busca destacar la idea segn la cual existen similitudes y correspondencias formales entre diversos tipos de sistemas.

La palabraisomrficose refiere entonces a la construccin de modelos de sistemas similares al modelo original. El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa fundamentalmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo cual deja ver en claro dos puntos de vista desiguales sobre cada cuestin y suele ser primordial en su adecuada comprensin. Dos estructuras matemticas entre las que existe una relacin de isomorfismo se llaman isomorfas.

RANGO DE UNA MATRIZEl rango de una matriz Es el nmero de filas (o columnas) linealmente independientes. Utilizando esta definicin se puede calcular usando el mtodo de Gauss.Tambin podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definicin se puede calcular el rango usando determinantes.

Enlgebra lineal, elrango de una matrizes el nmero mximo de columnas (filas respectivamente) que sonlinealmente independientes. Si el rango fila y columna son iguales, este nmero es llamado simplemente rango deA. Comnmente se expresa como rg(A).El nmero de columnas independientes de una matrizmpornAes igual a la dimensin delespacio columnadeA. Tambin la dimensin delespacio filadetermina el rango. El rango deAser, por tanto, mayor o igual que uno y menor o igual que el mnimo entremyn.

DESCOMPOSICION "LU"

El mtodo de descomposicin LU para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposicin de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).Esto es:

Donde:L - Matriz triangular inferiorU - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:=Si efectuamos la multiplicacin de L y U, igualando los elementos de ese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:

De aqu que los elementos de L y U son, en este caso:

Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:A x = blo cual resulta lo mismo escribir:L U X = bDefiniendo a:U X = Ypodemos escribir:L Y = bResolviendo para Y, encontramos:

El algoritmo de solucin, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar primeramente los valores de "Y" por sustitucin progresiva sobre "L Y = b". En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitucin regresiva para encontrar los valores de "x", obteniendo:

La determinacin de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientemente aplicando una forma modificada del mtodo de eliminacin de Gauss.Se observa que el mtodo de descomposicin LU opera slo sobre la matriz de coeficientes, sin modificar el vector de excitacin (en este caso b), por lo que resulta superior al mtodo de eliminacin gausiana.Ejemplo:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matriz en LU:=Las matrices de factores L y U de A son:L =U =El primer paso es resolver la ecuacin L Y = b por sustitucin progresiva para obtener los elementos del vector auxiliar Y:

=Donde

El segundo paso es resolver la ecuacin U X = Y para encontrar los elementos de X, por sustitucin regresiva:

=De donde se obtiene:

METODOS INDIRECTOS-Qu son los mtodos indirectos/iterativos? Esquemas numricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, basados en la aplicacin de un algoritmo a partir de una solucin inicial, que se repite iterativamente hasta que un criterio de parada (convergencia) detiene el algoritmo (nmero de paso desconocido a priori). - Para qu se usan los mtodos indirectos/iterativos? Eficientes para sistemas grandes con matrices con un elevado nmero de ceros (matrices sparse), que aparecen en problemas de fsica e ingeniera, asociados a la resolucin de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. - Convergencia y problemas mal condicionados Estos mtodos no siempre convergen, y adems, en ocasiones pequeas variaciones pueden introducir grandes errores (problema de mal condicionamiento).Mtodos indirectos: Jacobi, Gauss-Seidel