Métodos Para El Cálculo de Superficies

7/23/2019 Métodos Para El Cálculo de Superficies

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURNAGOMartes, 16 de diciembre de 2014

ING. CIVIL

P GRAFÍA

Clave: ICT-1033

Nombre del Alumno: Carlos Iván Bueno Orona.

No. Control: 12040083

Docente: In. !i"uentes de la #o$a %ore.

Grupo: 2II

Documento: 2.2.7 !todo" p#r# el c$lculo de "uper%&c&e"

UNIDAD No. 2PLANIMETRÍA



Carlos I. Bueno O. Topografía: Planimetría 2014

Conten&do

'nd&ce

1. I&'(O)*CCI+&................................................................................................................................... 1

10.2 Cmo utili-ar el mtodo de "ran/as o bandas ara medir áreas.........................................................2

10.3 Cmo utili-ar el mtodo de la cuadrcula ara medir áreas..............................................................4

10.4 Cmo subdividir un área en "iuras eomtricas reulares...............................................................

Medicin de áreas or triánulos..........................................................................................................

!ubdivisin de áreas de terreno sin lneas de base..............................................................................14

10. Como medir áreas cu$os lmites son curvos...................................................................................1

Bibliora"a................................................................................................................................................ 20

Página 0




(. INTRODUCCIÓN

1. *no de los rinciales ob/etivos de un levantamiento toorá"ico uede ser la determinacindel área de una arcela de terreno en la cual se uiere construir una ran/a isccola. 5uede suceder

ue, a artir de maas toorá"icos $a eistentes, 7a$a ue calcular el área de la cuenca de un"uturo embalse 9er :ua, 9olumen 4 de esta !erie;.

&ota< =n un levantamiento de camo 7a$ ue considerar las áreas de terrenos como suer"icies

7ori-ontales $ no las áreas reales de la suer"icie del terreno. Medimos siemre, or lo tanto, lasdistancias 7ori-ontales.

2. : menudo es necesario saber el área de una seccin transversal ver !eccin >.6; ara calcular la cantidad de tierra necesaria.

?rea 7ori-ontal Corte trasversal del área

3. @as áreas se ueden calcular $a sea directamente 7aciendo las mediciones en el camo, oindirectamente, a artir de un lano o un maa. =n el rimer caso 7abrá ue 7acer unlevantamiento ara determinar todas las distancias $ ánulos necesarios $ as calcular las áreas.=n el seundo caso se comen-ará or dibu/ar un maa o un lano $, utili-ando la escalaadecuada, se determinará el área en cuestin.

4. =isten varios mtodos sencillos ara la medicin de áreas. :lunos son mtodos rá"icos en losue se 7ace una comaracin entre el lano o el maa ue se necesita medir $ un atrn de áreaconocida. 'ambin eisten los mtodos eomtricos en los ue se usan "rmulas matemáticassencillas ara calcular el área de "iuras eomtricas reulares, como triánulos, traeciosA o áreasdelimitadas or curvas irreulares.

&ota< un traecio es un olono de cuatro lados, dos de los cuales son aralelos.

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. =stos sencillos mtodos se describen en detalle en las siuientes secciones. !e resumentambin en el Cuadro 13.

'riánulo 'raecio 1

'raecio 2 ?rea irreular

C*:)(O 13Mtodos sencillos de medicin de áreas

!eccin Mtodo Comentarios

10.2 ran/asMtodo rá"ico ue da valores estimados oco recisos

10.3 CuadrculasMtodo rá"ico ue da valores estimados de buenos amu$ buenos

10.4!ubdivisin en "iuraseomtricas reulares,triánulos, traecios

Mtodo rá"ico ue da valores estimados de buenos a

mu$ buenos

10. (ela trae-oidalMtodo eomtrico ue da valores estimados de buenos a mu$ buenos.:decuado ara áreas con ermetros curvilneos irreulares

().2 C*mo ut&l&+#r el m!todo de %r#n,#" o b#nd#" p#r# med&r $re#"1. 'ome un ael transarente como or e/emloun ael de calco o un ael milimtricodelado de un tamao ue deenderá deltamao del área cu$o maa se está 7aciendo.

2. )ibu/e una serie de bandas tra-ando uncon/unto de lneas aralelas a intervalos "i/osreulares. )e"ina un anc7o D de las bandasue euivala a un nEmero de"inido de metros.5uede usar ara este rosito la escala en ue

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ftp://ftp.fao.org/fi/CDrom/FAO_training/FAO_training/general/x6707s/x6707s10.htm#131a
















está el maa o el lano .

=/emlo

E"c#l# ( : 2 )))- #nco de l# b#nd# / 0 ( cm 0

2) mE"c#l# ( : 1) )))- #nco de l# b#nd# / 0 ( cm 01)) m

&ota< =l estimado del área de una arcela serámas reciso cuanto más eueo sea el anc7ode la banda

3. 5oner la 7o/a de ael transarente sobre elmaa o lano del área ue ueremos medir $"i/arla con c7inc7etas o cinta ad7esiva

transarente.

=scala< 1< 2.000

4. Mida la distancia :B en centmetros de cada banda a lo laro de un e/e delimitado or el ermetro del área de"inida en el maa.

.Calcule la suma de estas distancias encentmetros $, de acuerdo con la escala ue estusando, 7aa la multilicacin ara 7allar ladistancia euivalente en el terreno en metros.

=/emlo

L# e"c#l# e" ( : 2 ))) ( cm 0 2) m.Sum# de l#" d&"t#nc&#" 0 (3 cm..D&"t#nc&# e4u&5#lente en el terreno: (3 6 2) m 02) m .

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6. Multilicar la suma de las distancias realesen metros; or el anc7o euivalente de la banda D en metros; ara obtener un estimadoaroimativo del área total en metros cuadradosabreviado como m2;.

=/emlo

L# "um# de l#" d&"t#nc&#" e4u&5#lente" e" 2) m..El #nco de l# b#nd# 8( cm9 e4u&5#le # 2) m.El $re# del terreno: 2) m 6 2) m 0 3 )) m2 *);3 #

&ota< 10 000 m2 F 1 7ectárea 7a;

. (eita el rocedimiento or lo menos unave- ara veri"icar los cálculos.

?rea total F 320 m 20 m F 6.400 m2

(). C*mo ut&l&+#r el m!todo de l# cu#dr<cul# p#r# med&r $re#"1. 'ome un ael transarente cuadriculado, o7aa usted mismo los cuadritos dibu/ándolos enun ael de calco. : tal e"ecto, dibu/e unacuadrcula con cuadrados de 2 mm 2 mm dentro decuadrados más randes de 1 cm 1 cm aracomletar un cuadrado rande de 10 cm de lado.*se si lo desea el e/emlo ue aarece en esta áina.

&ota< !i la cuadrcula se 7ace con cuadraditosmas eueos, el estimado del área del terrenoserá más reciso ero el tamao mnimorecomendable es de 1 mm 1 mm F 1 mm2.

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2. 5ona la cuadrcula transarente sobre eldibu/o del área ue se uiere medir $ "/ela conc7inc7etas o cinta ad7esiva transarente. !i lacuadrcula es más euea ue el área encuestin, comience or el borde del dibu/o.Marue claramente el er"il del dibu/o $ muevalueo la cuadrcula 7acia un nuevo sector 7astacomletar toda el área.

3. Cuente el nEmero de cuadrados randesincluidos en el área. 5ara no euivocarse, 7aauna marca con el lái- a medida ue los cuenta.

&ota<Cuando est cubriendo la arte central delárea es osible ue ueda contar cuadrados másrandes como, or e/emlo, de 10 10 F 100cuadrados eueos. =sto le "acilitará el traba/o.

4. Observe los cuadrados ue están en el ermetrodel dibu/o. !i más de la mitad de uno de esoscuadrados cae dentro del dibu/o, cuntelo $máruelo como si "uera una cuadrado entero. &otome en cuente los demás.

@a mitad o más de la mitad de los cuadrados

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. !ume los dos totales untos 3 $ 4; araobtener el nEmero total ' de cuadrados enteros.

6. #aa de nuevo las sumas ara estar seuro delresultado.

. Calcule la unidad de área euivalente de sucuadrcula usando la escala de distancias deldibu/o.

=/emlo

• E"c#l# ( : 2 ))) * ( cm 0 2) m o ( mm 0 2m

• El t#m#=o de lo" cu#dr#do" e" de 2 mm 62 mm

• L# un&d#d de $re# e4u&5#lente de l#cu#dr<cul# 0 m 6 m 0 (3 m2

8. Multiliue la unidad de área euivalente or el nEmero total ' de cuadrados enteros araobtener un estimado bastante con"iable del áreamedida.

=/emlo

• N>mero tot#l de cu#dr#do" cont#do" T 0213

• Un&d#d de $re# e4u&5#lente 0 (3 m2

• ?re# tot#l 0 213 6 (3 m2 0 )@3 m2 0)@3 m2

&ota< cuando se traba/a con lanos a ran escalacomo secciones transversales, se uede me/orar

la recisin del estimado del área modi"icando el aso de arriba. : tal e"ecto, observe todos loscuadros ue están en el borde del dibu/o $ or lotanto atravesados or la lnea del ermetro delárea. : continuacin 7aa un estimado a o/o delnEmero de dcimas artes de un cuadrado enteroue vamos a incluir en la cuenta las dcimas artes son "racciones del cuadrado, eresadas

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como un decimal, como 0, ue euivale a G>;.

=/emlo

Cu#dr#do A 0 ).1- 0 ).(- C 0 ).@.

(). C*mo "ubd&5&d&r un $re# en %&Bur#" Beom!tr&c#" reBul#re"1. Cuando 7a$ ue medir áreas directamente en el camo, divida la arcela de terreno en "iuras

eomtricas reulares, como triánulos, rectánulos $ traecios. #aa lueo todas las medicionesnecesarias $ calcule las áreas mediante las "rmulas matemáticas corresondientes vea :neo 1;. !idisone del lano o el maa de un área uede dibu/arle estas "iuras eomtricas $ 7allar susdimensiones usando la escala adecuada.

2. =n el rimer manual de esta serie, :cuicultura de aua dulce< el aua, Coleccin :O< Caacitacin4;, !eccin 20, arendimos a calcular el área de un estanue usando este mtodo. =n los untosue siuen, arenderemos su alicacin en condiciones más di"ciles.

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Medicin de áreas or triánulos3. =l cálculo del área de cualuier triánulo es"acil de reali-ar cuando se conocen lasdimensiones de<

•

de los tres lados a, b $ c

:rea FHss a; s b; s c;

donde s F a J b J c; K 2L

=/emlo

S& # 0 1 m- b 0 2@ m- c 0 1;1 m. LueBo " 0 81 m 2@ m 1;1 m9 2 0 1;71 m

?re# 2 0 1.71 m 81.71m 1 m9 81.71 m 2@ m981.71 m 1.1 m90 1.71 m 6 (@.71 m 6 21.71 m 6 @.21 m 0 217 111 m

?re# 08217 111 m9 0 1)7 m2

• los dos lados b, c; $ el valor del $nBulo B:C"ormado or sus dos lados

:rea F bc sin B:C; K2

se 7alla el sen B:C del Cuadro 14.

=/emlo

S& b 0 2@ m- c 0 1;1 m- el $nBulo AC 0 1)F.lueBo "en AC 0 );733) 8Cu#dro (9?re# 0 82@ m 6 1;1 m 6 );733)9 2 0 ( )();77 2 0

1)1;31 m2

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C*:)(O 14

9alores del seno de los ánulos

?nulorados;

!eno?nulorados;

!eno?nulorados;

!eno

1 0.01 31 0.10 61 0.846

2 0.034> 32 0.2>> 62 0.882>

3 0.023 33 0.446 63 0.8>10

4 0.06>8 34 0.>2 64 0.8>88

0.082 3 0.36 6 0.>063

6 0.104 36 0.88 66 0.>13

0.121> 3 0.6018 6 0.>20

8 0.13>2 38 0.61 68 0.>22

> 0.164 3> 0.62>3 6> 0.>336

10 0.136 40 0.6428 0 0.>3>11 0.1>08 41 0.661 1 0.>4

12 0.20> 42 0.66>1 2 0.>11

13 0.220 43 0.6820 3 0.>63

14 0.241> 44 0.6>4 4 0.>613

1 0.288 4 0.01 0.>6>

16 0.26 46 0.1>3 6 0.>03

1 0.2>24 4 0.314 0.>44

18 0.30>0 48 0.431 8 0.>81

1> 0.326 4> 0.4 > 0.>816

20 0.3420 0 0.660 80 0.>848

21 0.384 1 0.1 81 0.>8

22 0.346 2 0.880 82 0.>>03

Página 9




23 0.3>0 3 0.>86 83 0.>>2

24 0.406 4 0.80>0 84 0.>>4

2 0.4226 0.81>2 8 0.>>62

26 0.4384 6 0.82>0 86 0.>>6

2 0.440 0.838 8 0.>>86

28 0.46> 8 0.8480 88 0.>>>4

2> 0.4848 > 0.82 8> 0.>>>8

30 0.000 60 0.8660

4. !ubdivida la arcela de tierra en triánulos. 5arael caso de un área ue tena cuatro lados se uede7acer de dos maneras<

• *na dos ánulos ouestos con una lnea rectaB). Mida la lonitud de B) ara 7allar lalonitud de los tres lados de cada uno de losdos triánulos, $ calcule sus áreas ver unto 3,arriba;. @a suma de las áreas de los dostriánulos es el área total.

• 5uede tambin tra-ar radios desde la estacincentral O. Mida los ánulos :OB, BOC, CO)$ )O:. Mida desus las distancias desde O acada ánulo del terreno, O:, OB, OC, $ O), $calcule el área de cada triánulo ver unto 3,

arriba;. @a suma de las áreas de los cuatrotriánulos es el área total.

)os triánulos

. !i la arcela de tierra tiene más de cuatro lados,se uede subdividir en triánulos<

• or radiacin desde una estacin central O ver unto 4, arriba;L o

• or radiacin desde una estacin lateral, como:.

'ra-ados radiales desde la estacin central

'ra-ados radiales desde la estacin central 'ra-ados radiales desde una estacin lateral

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6. Comruebe los cálculos reali-ados. !i 7a7allado el área usando los dos ánulos ouestos,aliue el rimer mtodo. !i 7a emleado laradiacin, aliue el seundo.

• 9uelva a medir el área total a artir de losotros dos triánulos :BC $ :C), "ormados

or la lnea recta :C.

• 5uede tambin reetir la medicin de losánulos $ las lonitudes desde la mismaestacin o desde otra estacin.

. Cuando el terreno tiene una "orma olional,eneralmente se subdivide el área total ue seuiere medir en una serie de "iuras eomtricasreulares 1 en el e/emlo; a artir de una

lnea base comEn :). )esde dic7a lnea setra-an erendiculares 7asta los vrtices del olono "ormando de esta manera lostriánulos rectánulos 1, 2, 3 $ , $ lostraecios 2, $ 6.

8. Cuando eli/a la lnea base acurdese ue esta

?rea F base altura; K 2

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debera<

• ser "ácilmente accesible a lo laro de todasu lonitudL

• ermitir la visin de la ma$ora de los

vrtices del olonoL

• cubrir la distancia mas lara dentro del áreaen cuestin ara ue de esta manera las

erendiculares sean lo mas cortas osible

• unir dos vrtices del olono

>. Calcule el área de cada triánulo rectánulomediante la "rmula<

?rea F base altura; K2

10. Calcule el área de cada traecio mediante la"rmula<

?rea F altura base 1 J base2; K 2

donde<

• @a base 1 es aralela a la base 2L

• @a altura es la distancia erendicular desde la base 1 a la base 2

?rea F altura base 1 J base 2; K 2

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11. !ume todas las áreas arciales ara 7allar elárea total del terreno. )ebera 7acer un cuadrocon todas las dimensiones de los triánuloscon una sola base; $ los traecios con dos bases;, como se muestra en el e/emlo.

=/emlo

• ed&r de"de el punto A l#" d&"t#nc&#"#cumul#d#" # lo" punto" H; I; ; J; L; D # lo l#rBo de l# l<ne# b#"e AD; como"&Bue:

L<ne# b#"e 8en m9

• A p#rt&r de e"t#" med&c&one" ; de%&n&r l#"d&"t#nc&#" p#rc&#le" p#r# c#d# "ecc&*nAH; HI; I; J; JL LD como "&Bue:

@nea base en m;

• ed&r l#" perpend&cul#re" HG; I; ... LEde"de l# l<ne# b#"e # c#d# 5!rt&ce delpol<Bono:HG 0 ((;) m- l 0 1;2) m- ...LE 0 @;31 m

• Introdu+c# e"to" d#to" en el "&Bu&entecu#dro obtenB# l#" $re#" p#rc&#le" dec#d# lote (; 2; ; ; 1; 3 7- l# "um# e" el$re# tot#l.

5arcela &N :ltura m;

Base m;

B1JB2; G 2 m; ?rea m2

;1 2

1 '( .20 6.0 3.2 16.>0

2 '5 .6 .20 6.20 .0 43.61

3 '( 6.20 1.10 8. 3.01

4 '( >.6 4.00 2.00 1>.30

Página 13




'5 10.0 >.6 14.80 12.22 128.31

6 '5 13.> 14.80 11.80 13.30 18.4

'( 11.80 2.80 1.40 16.2

'otal area 463.1>

1'( F triánulo rectánuloL '5 traecio

!ubdivisin de áreas de terreno sin lneas de base12. Cuando la "orma del terreno es máscomlicada ue las ue 7asta a7ora 7emosarendido a medir, 7abrá ue usar más de unalnea base, $ subdividir el área en triánulos $traecios de varios tios. 5or lo eneral no será osible crear triánulos rectánulos con loscuales traba/ar $ 7abrá ue calcular el área delos traecios 7aciendo otras mediciones con lascuales se odrá determinar su altura a lo larode lneas erendiculares.

=/emlo

El per<metro de un terreno ACDEKGHIA por el cu#l p#"# un r<o "e "ubd&5&de en c&nco lote" (1 4ue %orm#ntre" tr&$nBulo" 8(; 2; 19 do" tr#pec&o" 8 con E p#r#lel# # CD con EI p#r#lel# # KH9. Lo" l<m&te" delterreno %orm#n un pol<Bono cerr#do 4ue "e # le5#nt#do topoBr$%&c#mente como "&Bue.

Página 14




13. Calcular las áreas de los triánulos 1, 2 $ ,usando las lonitudes de sus tres lados $ lassiuientes "rmulas<

s F a J b J c; K 2

area Fssa;sb;sc;

=/emlo

&d# lo" l#do" de lo" tr&$nBulo".

Apl&4ue l# %*rmul# #re# 0 "8" #98" b98"c9 en l#"&Bu&ente t#bl#:

'riánulo

@onitud ;

de los ladosm;

sm; s ; en m ?rea m2;

a b csa;

s b;

sc;

( 31) 3) 3) ((1 11 21 212177.2

1

2 3) @) )(

)) 3) 1))

)21.33

1 33) 2) 3) 72) 3) )) 3) 3)1.(3

?re# tot#l de lo" tr&$nBulo"3377.)

7

Página 15




14. Calcular las áreas de los traecios 3 $ 4determinando sus alturas $ las lonitudes de sus bases, mediante la siuiente "rmula<

área F altura base 1 J base 2;K 2

=/emlo

&d# lo" l#do" de lo" tr&$nBulo".

Apl&4ue l# %*rmul# en l# "&Bu&ente t#bl#:

@ote &:ltura

m;

Base m; B1 J B2; G2 m;

?ream2;1 2

13) @) 3)) 7@) 2))

3) ) 33) 71) 1)))

?re# tot#l de lo" tr#pec&o"77))

1. :adir el area total de los triánulos unto 12;al área total de los traecios unto 14; ara asobtener el área total del terreno.

=/emlo

?re# tot#l de lo" tr&$nBulo" 0 3377 m2 ?re# tot#l de lo" tr#pec&o" 0 77)) m2 ?re# tot#l del terreno 0 (1 77 m2

or (1.7 #

Página 16




16. Otra manera, más "ácil, de 7acer estos cálculoses medir en el lano la altura de cada triánulo midiendola erendicular tra-ada desde un vrtice 7asta ellado ouesto llamado base;. @ueo, se calcula elárea de cada triánulo con la "rmula<

?rea F altura base;K 2

Introdu-ca los datos en un solo cuadro, tal como seelic en el unto 11, arriba.

=/emlo

ed&r en el pl#no l#" #ltur#" ; J; LG en lo"tr&$nBulo" (; 2 re"pect&5#mente..

Introduc&r lo" d#to" en l# "&Bu&ente t#bl#:

5arcela &N

:lturam;

Base m; B1 J B2;G 2 m;

?rea m2;1 2

( 3)) 3) ) 21)))

2 () ) 2) )2))

13) @) 3)) 7@) 2))

3) ) 33) 71) 1)))

1 2)3 33) ) 37@)

Super%&c&e tot#l del terreno(11)

=l área total de la arcela de terreno es 14, 36 7a,lieramente di"erente al estimado ue se 7i-o antes

ver unto 1;. =sto se debe a errores de escalacuando se 7icieron las mediciones en el lano ue,en este caso, son su"icientemente eueos 0,11 7a 0,0 or ciento; como ara ser acetados.

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().1 Como med&r $re#" cuo" l<m&te" "on cur5o"1. =n el 9olumen 4 de esta !erie, :cuicultura deaua dulce< el aua ver !eccin 20, a. 22;arendimos a calcular el área de un estanue uetiene un lado curvo. !e uede emlear un

rocedimiento similar ara calcular el área de una arcela de terreno ue tena un lado en "orma decurva reular tratando de comensar el rado decobertura en cada una de las áreas.

2. !i una arte de la arcela de terreno estálimitada or una curva irreular , como unacarretera o un ro, se uede 7allar el áreaalicando la rela trae-oidal ue se elica en estaseccin.

3. 'race una lnea recta :B ue una los lados de la arcela de terreno asando lo más cerca osiblede la arte curva de su ermetro. 5ara determinar el área irreular :BC):, 7aa lo siuiente<

4. Mida la distancia :B $ subdivdala en un nEmero de intervalos reulares, cada uno, or e/emlo,de 22, m. Marue con /alones en :B cada uno de los intervalos

&ota< Cuanto mas cortos sean los intervalos, más reciso será el estimado del área.

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. 'race una erendicular desde cada uno delos intervalos marcados ver !eccin 33;uniendo :B al er"il de la curva. Mida cadauna de estas erendiculares.

6. Calcule el área :BC): usando la "rmula<

?rea F intervalo 7o J 7n J27i; K 2

donde<

7o es la lonitud de la rimera erendicular :)L7n es la lonitud del la Eltima erendicular,BCL $7i es la suma de las lonitudes de todas las

erendiculares intermedias.

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=/emlo

Inter5#lo 0 ((2.1 m 1 0 22.1 mo 0 2) m #nd n 0 () m& 0 27 m 3 m ( m 2 m 0 7@ m?re# ACDA 0 22.1 m 6 82) m () m (1 m9

2 0 822.1 m 6 ( m9 2 0 2((1 m2

&ota< recuerde ue debe tambin calcular elárea de :PQB: $ sumarla al área de :BC): ara tener el área total ):PQBC).

. @os cálculos se ueden simli"icar si selora tra-ar la lnea :B de manera ue touelos dos etremos del lado curvado. =n estecaso, 70, $ 7n son ambos iuales a cero, $ la"rmula se convierte en<

?rea F intervalo 7i

donde 7i es la suma de las lonitudes de todaslas erendiculares intermedias.

=/emlo

Inter5#lo 0 (1 m 3 0 23. m& 0 21 m 27 m 2 m 2 m 2 m 0 ()( m?re#0 23. m 6 ()( m 0 2 313. m2

&ota< recuerde ue debe tambin calcular elárea de :PQB: $ sumarla al área de la artecurva ara tener as el área total

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&bl&oBr#%<#

• Obras esaolas modernas sobre 'oora"a, Reodesia $ :stronoma18>, 44, tomo I 111;< 100102

• @a toora"a Bentabol Marinas, Carlos 1>>>, 146 3388;< 224

• @a toora"a en la "ormacin curricular del ineniero de caminos, canales $ uertos errer 'orio,(a"ael 1>>1, 138, 32>8;< 1321

• @a toora"a "otorá"ica $ su alicacin a los ro$ectos de vas de comunicacinCáceres de la 'orre, 'oribio 1>0, 3, tomo II 1;< 444

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Métodos Para El Cálculo de Superficies

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